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文檔簡介
7.6.1-向量法求空間角-專項訓(xùn)練
[A組在基礎(chǔ)中考查學(xué)科功底]
1.如圖,在三棱錐尸-Z8C中,K4,平面48C,PA=AB=BC=1,PC=43.
(1)求證:平面P45;
(2)求二面角A-PC-B的大小.
2.如圖,在直三棱柱4BC-Z1囪C中,4B=ZC=44i=3,點(diǎn)。是5c的中點(diǎn),
點(diǎn)£在441上,40〃平面8C1E.
(1)求證:平面5C1E,平面581clC;
(2)當(dāng)三棱錐B「BCiE的體積最大時,求直線AC與平面BCiE所成角的正弦值.
[B組在綜合中考查關(guān)鍵能力]
3.如圖所示,在直四棱柱ZBCQ-ZiBCbDi中,底面48CQ為菱形,ZABC=6Q°,
AB=2,^i=2V3,£為線段?!?gt;i上一點(diǎn).
⑴求證:ACLBiD;
(2)若平面ABxE與平面ABCD的夾角的余弦值為|,求直線BE與平面ABiE所成
角的正弦值.
4.如圖,。是以48為直徑的圓。上異于2,8的點(diǎn),平面E4C,平面48C,
△Q4C中,PA=PC=AC=2,BC=4,E,尸分別是尸C,網(wǎng)的中點(diǎn).
(1)求證:5C,平面B4C;
(2)記平面4EF與平面48C的交線為直線/,點(diǎn)0為直線/上的動點(diǎn),求直線尸0
與平面AEF所成的角的取值范圍.
參考答案
[A組在基礎(chǔ)中考查學(xué)科功底]
1.解:⑴證明:因為E4,平面Z8C,5Cu平面N5C,
所以E4L5C,同理E4L4B,
所以△245為直角三角形,
義因為PB=7P或+AB2=無,BC=1,PC=43,
所以產(chǎn)序+^仃二尸。2,則△尸5c為直角三角形,故BCLPB.
又因為5CLE4,R4CPB=P,
所以5C,平面PAB.
(2)由⑴知5C,平面E45,又ABu平面R4B,貝I5CL48,
以幺為原點(diǎn),45為x軸,過Z且與8c平行的直線為y軸,4P為z軸,建立空
間直角坐標(biāo)系,如圖,則2(0,0,0),尸(0,0,1),C(l,1,0),8(1,0,0),
所以9=(0,0,1),就=(1,1,0),BC=(0,1,0),PC=(1,1,-1).
設(shè)平面R1C的法向量為〃,=(xi,yi,zi),
?AP=0,Zi=0,
即
?AC=0,xi+yi=o,
令xi=l,則yi=-1,所以“2=(1,—1,0)為平面E4C的一個法向量,
設(shè)平面P5C的法向量為〃=(X2,yi,Z2),
rfBC=0,(y=0,
則2
n?PC=0,U2+y2-z2=0,
令X2=l,則Z2=l,所以〃=(1,0,1)為平面P5C的一個法向量,
匕£/\m?n11
所以cosn)=——=-^—==-
|m||n|72x722
又因為二面角Z-PC-8為銳二面角,
所以二面角A-PC-B的大小為今
2.解:(1)證明:取8cl中點(diǎn)連接EAf,MD,如圖所示.
:AB=AC,點(diǎn)。是8c的中點(diǎn),:.AD±BC,
又是8cl的中點(diǎn),:.DM//CC\,
又?在直三棱柱Z5C-Z向Ci中,有44i〃CG,44」平面Z8C,
:.DM//AE,。河,平面Z5C,
:40〃平面8C1E,且4Du平面4DME,平面4D〃En平面=瓦〃,
:.AD//ME,
VCCi±^-^]ABC,且ADu平面Z8C,
ACCilAD,
又,.?CCin5C=C,JLCCi,8Cu平面851clC,
.?.40,平面A8C1C
丈:AD〃ME,平面A81C1C,
,.?"Eu平面BCiE,
平面BCE,平面BBiCC
(2)由(1)知"EL平面BBiCiC,
1_
2
設(shè)8c=2a,則5Z)=a,AD=y/9-a,SAB1BC1=|x2aX3=3a,
??,B1-BC1E=W?3a.V9-a2^---=-,
由基本不等式知,當(dāng)且僅當(dāng)。二用7滔時等號成立,
即三棱錐B\-BCxE的體積最大,此時a=竺.
以。為坐標(biāo)原點(diǎn),D4所在直線為x軸,所在直線為y軸,DW所在直線為z
軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則有Z(亭,0,0),C(0,0),8(0,
浮。),E律,。,1),?。,-耍3),.?.前=(一吸一斗,0),印
=(0,3V2,-3),靛=件,—不,|),設(shè)平面5C1E的法向量為〃=(修,加
21),
(n?CyB-3y[iy、—3z1——0,
則有,無?3&3V23八
(n?BE=—-—7i+-Zi=0,
取刈=/,解得〃=(0,V2,2)為平面8C1E的一個法向量,
設(shè)直線ZC與平面BC\E所成的角為。,
貝Isin(9=|cos(n,AC)|=3=^-,
5XVZ十4O
故直線ZC與平面BCxE所成角的正弦值為終.
6
[B組在綜合中考查關(guān)鍵能力]
3.解:(1)證明:連接AD,
?底面ABCD為菱形,:.AC±BD.
又851,平面/BCD,NCu平面A5C。,:.BBi_LAC.
入BDCBBi=B,BD,BBC平面BDBi,
.?./C,平面AD81.又BiDu平面BDBi,:.AC±BiD.
(2)設(shè)CD的中點(diǎn)為E,連接4F,如圖.
?.?△/CD為等邊三角形,:.AF±CD,
又CD"AB,貝UAFLAB.
又441,平面48c貝I441,48,AAi±AF.
以N為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則2(0,0,0),5(2,0,0),C(l,V3,0),E(~l,V3,h)(09W25BiQ,
0,2V3),
福=(2,0,2V3),族=(—1,V3,〃),
設(shè)平面的法向量為〃=(x,y,z),
t(n?AB[-0,.(2x+2gz=0,
(n,AE-0,I—%+V3y+hz=0,
令x=3,則〃=(3,h+W,—8)為平面的一個法向量.
又平面48CQ的一個法向量為股=(0,0,1),
n?m——\/3
則cos〈〃,m)
M\m\7/I*2+2V3/I+15
又平面ABiE與平面ABCD的夾角的余弦值為右
???〃=個(九=_?舍去),?'必君=(-3,V3,?),
/\BE?n-6—8VT7
cos〈BE,?>=質(zhì)祠=/.迤=飛〕,
22
...直線與平面ABiE所成角的正弦值為察.
85
4.解:(1)證明:因為C是以Z8為直徑的圓。上異于Z,5的點(diǎn),...5CLZC,
又平面E4C,平面48C,且平面E4CA平面45C=/C,8Cu平面48C,:.BC1.
平面E4c.
(2)V£,R分別是尸分尸3的中點(diǎn),J.BC//EF.
又EFu平面AEF,8CC平面4E戶,:.BC〃平面AEF,
又8Cu平面48C,平面4EFA平面48C=/,
:.BC//l.
以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CA,C5所在直線分別為x軸,y軸,過C且垂直于平面N8C
的直線為2軸,建立空間直角坐標(biāo)系(圖略),
則幺(2,0,0),8(0,4,0),0(1,0,V3),
?'EG,。,鳥,嗚2,身,
???瓦=(一|,0,亨),EF=(0,2,0),
':BC//l,I.
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