2024年新北師大版七年級(jí)上冊數(shù)學(xué)課件 5.3 第2課時(shí)“盈余不足”問題

3一元一次方程的應(yīng)用

第五章

一元一次方程

七年級(jí)上冊數(shù)學(xué)（北師版）第2課時(shí)

“盈余不足”問題教學(xué)目標(biāo)1.

借助表格分析復(fù)雜問題中的數(shù)量關(guān)系,從而建立方程解決實(shí)際問題。2.

領(lǐng)悟數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐,服務(wù)于實(shí)踐,解決問題用最簡單的方法。重點(diǎn)：利用方程解決“盈余不足”問題。難點(diǎn)：根據(jù)題意建立等量關(guān)系,列出方程。導(dǎo)入新課《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部?！毒耪滤阈g(shù)》第七章“盈不足”中有這樣一個(gè)問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問人數(shù)、物價(jià)各幾何？”你知道我國古人是如何解決這個(gè)問題的嗎？探究新知“盈不足”問題1“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問人數(shù)、物價(jià)各幾何？”題目大意：幾個(gè)人合伙買東西，若每人出8錢，則會(huì)多出3錢，若每人出7錢，則還少4錢。問合伙的人數(shù)和物品的價(jià)格分別是多少？（1）問題中有哪些已知量和未知量？它們之間有怎樣的等量關(guān)系？合作探究（2）設(shè)人數(shù)為x，其他未知量能用含x的代數(shù)式表示嗎？請完成下表。有關(guān)量每人出8錢每人出7錢人數(shù)x出錢總數(shù)物價(jià)8x

8x

-3x

7x

7x+4知識(shí)總結(jié)（3）根據(jù)等量關(guān)系，你能列出怎樣的方程？方法總結(jié)：利用表格分析數(shù)量關(guān)系是一種有效方法。設(shè)人數(shù)為x。根據(jù)等量關(guān)系，列出方程：

。解這個(gè)方程，得x=

。因此，人數(shù)為

，物價(jià)為

。77538x

-3=7x+4知識(shí)總結(jié)如果設(shè)物價(jià)為y，你能列出怎樣的方程？與同伴進(jìn)行交流。解得

y=53。你比較喜歡用哪種方式列方程呢？例1《九章算術(shù)》“盈不足”章第五題：今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。問人數(shù)、金價(jià)各幾何？題目大意：幾個(gè)人合伙買金，每人出400錢，會(huì)多出3400錢；每人出300錢，會(huì)多出100錢。合伙人數(shù)、金價(jià)各是多少？典例精析分析：設(shè)人數(shù)為x，你能把下表補(bǔ)充完整嗎？有關(guān)量每人出400錢每人出300錢人數(shù)x出錢總數(shù)物價(jià)400x

400x

-3400x

300x

300x

-100解：設(shè)合伙人數(shù)為x，則金價(jià)可表示為（400x

-3400）錢，還可表示為（300x

-100）錢，根據(jù)等量關(guān)系，列出方程：方程的兩邊就是金價(jià)的兩種不同的表達(dá)式。400x-3400=300x-100。解這個(gè)方程，得x=33。300×33-100=9800。因此，人數(shù)為33，金價(jià)為9800錢。思考交流（1）對于例1，如果設(shè)金價(jià)為

y，能列出怎樣的方程？解得

y=9800。（2）《九章算術(shù)》給出了一種算法：人數(shù)=兩次剩余錢數(shù)之差÷兩次每人所出錢數(shù)之差；物價(jià)=每人出的較多錢數(shù)×人數(shù)-剩余錢數(shù)，或物價(jià)=每人出的較少錢數(shù)×人數(shù)+不足的錢數(shù)。你能理解這種解法嗎？與方程的求解過程相比，有什么不同？與同伴進(jìn)行交流。解方程→順向思考算式方法→逆向思考練一練1.(鹽城·期末)《九章算術(shù)》記載了這樣一道題：“以繩測井，若將繩三折測之,繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺。問繩長、井深各幾何?”題意是：用繩子測量水井深度，如果將繩子折成三等份，那么每等份井外余繩四尺；如果將繩子折成四等份，那么每等份井外余繩一尺。問繩長和井深各多少尺？假設(shè)井深為x尺，則符合題意的方程應(yīng)為()A.13x

-4=14x

-1B.3x+4=4x+1C.13x+4=14x+1D.3(x+4)=4(x+1)D2.(廣東)《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)專著，幾名學(xué)生要湊錢購買1本．若每人出8元，則多了3元；若每人出7元，則少了4元．問學(xué)生人數(shù)和該書單價(jià)各是多少元？解：設(shè)學(xué)生有

x人．根據(jù)題意，得8x－3＝7x＋4.解得

x＝7.7×8－3＝53(元)．答：學(xué)生有7人，該書單價(jià)是53元．當(dāng)堂小結(jié)實(shí)際問題盈虧不足問題盈時(shí)的總量－盈時(shí)的數(shù)量＝虧時(shí)的總量＋____的數(shù)量虧時(shí)方法點(diǎn)撥：“盈余不足”問題，往往都是根據(jù)同一個(gè)量的兩種不同表示方式來列方程求解，一般有兩種設(shè)未知數(shù)的方法。1.《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作之一。書中記載：“今有人共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六．問人數(shù)幾何？”意思是：“有若干人共同出錢買雞，如果每人出九錢，那么多了十一錢；如果每人出六錢，那么少了十六錢。問：共有幾個(gè)人？”設(shè)共有

x

個(gè)人共同出錢買雞，則下面所列方程正確的是（）A．9x

+

11

=

6x

-

16

B．9x

-

11

=

6x

+

16C．6x

-

11

=

9x

+

16

D．6x

+

11

=

9x

-

16課堂練習(xí)B2.牛奶是家家戶戶早餐的選擇，現(xiàn)某奶站每天需要配送若干瓶牛奶，若每個(gè)送奶員配送10瓶，還剩6瓶；若每個(gè)送奶員配送12瓶，還差6瓶。設(shè)該奶站現(xiàn)有送奶員x人，根據(jù)題意列方程為（）A．10x+6=12x

-6 B．10x

-6=12x+6C．10+6x=12-6x

D．10-6x=12+6x

A3.在數(shù)學(xué)課上，老師展示了下列問題，請同學(xué)們分組討論解決的方法．中國古代人民很早就在生產(chǎn)生活中發(fā)現(xiàn)了許多有趣的數(shù)學(xué)問題，其中《孫子算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：“今有三人共車，二車空；二人共車，九人步，問人和車各幾何？”這個(gè)題的意思是：今有若干人乘車。若每3人乘一輛車，則余2輛空車；若每2人乘一輛車。則余9人需步行，問共有多少輛車，多少人？某小組選擇用一元一次方程解決問題，請補(bǔ)全他們的分析和解答過程：（1）設(shè)共有x輛車；（2）由“若每3人乘一輛車，則余2輛空車”，可得人數(shù)為

（用含x的式子表示）；（3）由“若每2人乘一輛車，則余9人需步行”可得人數(shù)為

（用含x的式子表示）；（4）