2023-2024學(xué)年上海市靜安區(qū)新中高級中學(xué)高一（上）段考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年上海市靜安區(qū)新中高級中學(xué)高一（上）段考數(shù)學(xué)試卷一.填空題（共12題共54分，1～6題每題4分，7～12題每題5分）1．（4分）冪函數(shù)的定義域為．2．（4分）已知，，試用、表示．3．（4分）如果冪函數(shù)的圖像，當(dāng)時，在直線的上方，那么的取值范圍是．4．（4分）光線透過一塊玻璃板，其強(qiáng)度要減弱，要使光線的強(qiáng)度減弱到原來的以下，至少需要這樣的玻璃板塊．（參考數(shù)據(jù)：，5．（4分）設(shè)函數(shù)的值域為，函數(shù)，的值域為，全集，則集合的補(bǔ)集為．6．（4分）已知函數(shù)在區(qū)間，上是嚴(yán)格減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是．7．（5分）函數(shù)的圖象恒過定點，若點在直線上，則的最小值為．8．（5分）設(shè)，且滿足，則．9．（5分）已知是一條過的拋物線，已知，則的頂點坐標(biāo)為．10．（5分）研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲釋放信息素秒后，在距釋放處米的地方測得的信息素濃度滿足，其中，為非零常數(shù)．已知釋放1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為，則釋放信息素4秒后，距釋放處的米的位置，信息素濃度為．11．（5分）已知函數(shù)，其中，若（a），則．12．（5分）冪函數(shù)，當(dāng)取不同的正數(shù)時，在區(qū)間，上它們的圖象是一族美麗的曲線（如圖）．設(shè)點，，連接，線段恰好被其中的兩個冪函數(shù)，的圖象三等分，即有．那么．二.選擇題（4題共18分，13～14每題4分，15～16每題5分）13．（4分）設(shè)，，，1，2，，則“函數(shù)的圖像經(jīng)過點”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件14．（4分）模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域，有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)某種疾病累計確診病例數(shù)的單位：天）的模型：，其中為最大確診病例數(shù)．當(dāng)時，則約為A．48 B．72 C．63 D．5915．（5分）下列四個函數(shù)中，圖象如圖1所示的只能是A． B． C． D．16．（5分）指數(shù)函數(shù)圖象經(jīng)過點，，那么這個指數(shù)函數(shù)可能經(jīng)過A． B． C． D．三.解答題（共78分，17～19每題14分，20～21每題18分）17．（14分）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點．（1）試確定的值；（2）求滿足條件的實數(shù)的取值范圍．18．（14分）已知函數(shù)是奇函數(shù)．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求解不等式；（Ⅲ）當(dāng)，時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．19．（14分）已知冪的基本不等式：當(dāng)，時，．請利用此基本不等式解決下列相關(guān)問題：（1）當(dāng)，時，求的取值范圍；（2）當(dāng)，時，求證：；（3）利用（2）證明對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：當(dāng)時，對數(shù)函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)．20．（18分）某公司擬投資開發(fā)一種新能源產(chǎn)品，估計公司能獲取不低于100萬元且不高于1600萬元的投資收益．該公司對科研課題組的獎勵方案有如下3條要求：①獎金（單位：萬元）隨投資收益（單位：萬元）的增加而增加；②獎金不低于10萬元且不超過200萬元；③獎金不超過投資收益的．（1）設(shè)獎勵方案函數(shù)模型為，我們可以用數(shù)學(xué)語言表述公司對獎勵方案的函數(shù)模型，比如方案要求③“獎金不超過投資收益的”可以表述為：“恒成立”．請你用數(shù)學(xué)語言表述另外兩條獎勵方案；（2）判斷函數(shù)是否符合公司獎勵方案函數(shù)模型的要求，并說明理由；（3）已知函數(shù)符合公司獎勵方案函數(shù)模型要求．在該獎勵方案函數(shù)模型前提下，科研課題組最多可以獲取多少獎金？21．（18分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，解不等式；（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有一個實數(shù)解，求的取值范圍；（3）設(shè)，若存在使得函數(shù)在區(qū)間，上的最大值和最小值的差不超過1，求的取值范圍．

參考答案一.填空題（12題共54分，1～6題每題4分，7～12題每題5分）1．（4分）冪函數(shù)的定義域為．解：因為，所以．故答案為：．2．（4分）已知，，試用、表示．解：，故答案為：．3．（4分）如果冪函數(shù)的圖像，當(dāng)時，在直線的上方，那么的取值范圍是．解：當(dāng)時，冪函數(shù)的圖像與直線第一象限的圖象如圖：由圖知不滿足題意；當(dāng)時，冪函數(shù)的圖像與直線的圖象重合，不滿足題意；當(dāng)時，冪函數(shù)的圖像與直線第一象限的圖象如圖，由圖知滿足題意；當(dāng)時，冪函數(shù)的圖像與直線第一象限的圖象如圖，由圖知滿足題意；當(dāng)時，冪函數(shù)的圖像與直線第一象限的圖象如圖，由圖知滿足題意．綜上，的取值范圍是．故答案為：．4．（4分）光線透過一塊玻璃板，其強(qiáng)度要減弱，要使光線的強(qiáng)度減弱到原來的以下，至少需要這樣的玻璃板11塊．（參考數(shù)據(jù)：，解：由題得經(jīng)過第塊玻璃板后，其光線的強(qiáng)度變?yōu)樵瓉淼?，由．所以?1．故答案為11．5．（4分）設(shè)函數(shù)的值域為，函數(shù)，的值域為，全集，則集合的補(bǔ)集為．解：由，得，即．由，，得，則，，即，．則，，，則集合的補(bǔ)集為，．故答案為：．6．（4分）已知函數(shù)在區(qū)間，上是嚴(yán)格減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是，．解：根據(jù)題意，所以，若，解可得，則在區(qū)間上遞減，在，上遞增，若在，嚴(yán)格減函數(shù)，所以時符合題意，即，則的取值范圍為，．故答案為：，．7．（5分）函數(shù)的圖象恒過定點，若點在直線上，則的最小值為4．解：由已知定點坐標(biāo)為，由點在直線上，，又，，，，當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)相等時取等號．故答案為：4．8．（5分）設(shè)，且滿足，則．解：設(shè)，則，，，即，，將方程兩邊同時除以，得，即，則，即．故答案為：．9．（5分）已知是一條過的拋物線，已知，則的頂點坐標(biāo)為．解：根據(jù)題意，是一條過的拋物線，設(shè)，又由，則，則，；則有；必有，解可得，，故，則的頂點為．故答案為：．10．（5分）研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲釋放信息素秒后，在距釋放處米的地方測得的信息素濃度滿足，其中，為非零常數(shù)．已知釋放1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為，則釋放信息素4秒后，距釋放處的4米的位置，信息素濃度為．解：由題意可知，，，，則①，當(dāng)，時，，即，則②，聯(lián)立①②解得，．故答案為：4．11．（5分）已知函數(shù)，其中，若（a），則．解：根據(jù)題意，因為，所以，所以（a），因為（a），所以，得．故答案為：．12．（5分）冪函數(shù)，當(dāng)取不同的正數(shù)時，在區(qū)間，上它們的圖象是一族美麗的曲線（如圖）．設(shè)點，，連接，線段恰好被其中的兩個冪函數(shù)，的圖象三等分，即有．那么1．解：，點，，所以，分別代入，故答案為：1二.選擇題（4題共18分，13～14每題4分，15～16每題5分）13．（4分）設(shè)，，，1，2，，則“函數(shù)的圖像經(jīng)過點”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解：函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則，1，3，當(dāng)，1，3時，函數(shù)為奇函數(shù)，充分性成立，當(dāng)函數(shù)為奇函數(shù)時，則，1，3，函數(shù)的圖像經(jīng)過點，必要性成立，故“函數(shù)的圖像經(jīng)過點”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的充要條件．故選：．14．（4分）模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域，有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)某種疾病累計確診病例數(shù)的單位：天）的模型：，其中為最大確診病例數(shù)．當(dāng)時，則約為A．48 B．72 C．63 D．59解：由題意得：，即，兩邊取對數(shù)得，即，解得．故選：．15．（5分）下列四個函數(shù)中，圖象如圖1所示的只能是A． B． C． D．解：中，，，當(dāng)時，恒成立，故函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，故不符合題目要求；中，，，當(dāng)時，，時，，故函數(shù)在上為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故符合題目要求；中，，，當(dāng)時，，時，，故函數(shù)在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故不符合題目要求；中，，，當(dāng)時，恒成立，故函數(shù)在定義域上為減函數(shù)，故不符合題目要求；故選：．16．（5分）指數(shù)函數(shù)圖象經(jīng)過點，，那么這個指數(shù)函數(shù)可能經(jīng)過A． B． C． D．解：，，，，若設(shè)指數(shù)函數(shù)，且，則易知：，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；故只有才可能是該指數(shù)函數(shù)經(jīng)過的點．故選：．三.解答題（共78分，17～19每題14分，20～21每題18分）17．（14分）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點．（1）試確定的值；（2）求滿足條件的實數(shù)的取值范圍．解：（1）將代入函數(shù)的解析式得：，即，解得：（舍或，故；（2）由，在遞增，若，則，解得：．18．（14分）已知函數(shù)是奇函數(shù)．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求解不等式；（Ⅲ）當(dāng)，時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（Ⅰ）根據(jù)題意，函數(shù)，．（Ⅱ），即，即，得．（Ⅲ），故在，上為減函數(shù)，，即，即，，又，，，故，當(dāng)時，，，滿足題意，綜上19．（14分）已知冪的基本不等式：當(dāng)，時，．請利用此基本不等式解決下列相關(guān)問題：（1）當(dāng)，時，求的取值范圍；（2）當(dāng)，時，求證：；（3）利用（2）證明對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：當(dāng)時，對數(shù)函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)．解：（1），時，，，時，，，，，的取值范圍為；（2）證明：，，設(shè)，，，即；（3）證明：設(shè)，則，且，由（2）得，，，當(dāng)時，對數(shù)函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)．20．（18分）某公司擬投資開發(fā)一種新能源產(chǎn)品，估計公司能獲取不低于100萬元且不高于1600萬元的投資收益．該公司對科研課題組的獎勵方案有如下3條要求：①獎金（單位：萬元）隨投資收益（單位：萬元）的增加而增加；②獎金不低于10萬元且不超過200萬元；③獎金不超過投資收益的．（1）設(shè)獎勵方案函數(shù)模型為，我們可以用數(shù)學(xué)語言表述公司對獎勵方案的函數(shù)模型，比如方案要求③“獎金不超過投資收益的”可以表述為：“恒成立”．請你用數(shù)學(xué)語言表述另外兩條獎勵方案；（2）判斷函數(shù)是否符合公司獎勵方案函數(shù)模型的要求，并說明理由；（3）已知函數(shù)符合公司獎勵方案函數(shù)模型要求．在該獎勵方案函數(shù)模型前提下，科研課題組最多可以獲取多少獎金？解：（1）①“獎金（單位：萬元）隨投資收益（單位：萬元）的增加而增加”可以表述為：當(dāng)，時，是的增函數(shù)；②“獎金不低于10萬元且不超過200萬元”表述為：函數(shù)值，．（2）函數(shù)在，上是增函數(shù)，，函數(shù)的值域，由得：，解得，因此對，，不成立，即對，，不等式不恒成立，所以函數(shù)不符合公司獎勵方案函數(shù)模型的要求．（3）因為函數(shù)符合公司獎勵方案函數(shù)模型要求，則函數(shù)在，上是增函數(shù)，有，，，解得，由，，不等式恒成立，得，顯然，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，于是，解得，從而，因此當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)且時取等號，且，所以在該獎勵方案函數(shù)模型前提下，科研課題組最多可以獲取195萬元獎金．21．（18分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，解不等式；（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有一個