湖南省長沙市湘郡培粹實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷

湖南省長沙市天心區(qū)湘郡培粹實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)開學(xué)考試試卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列曲線中不能表示y是x的函數(shù)的是（）A． B． C． D．3．（3分）已知一個(gè)直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（）A．25 B．7 C．5或 D．7或254．（3分）在某一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中，隨機(jī)抽取了10份試卷，其成績?nèi)缦拢?5、81、89、81、72、82、77、81、79、83則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù)與中位數(shù)分別為（）A．81、82、81 B．81、81、76.5 C．83、81、77 D．81、81、815．（3分）直線y＝x+a不經(jīng)過第二象限，則關(guān)于x的方程ax2+2x+1＝0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．1或26．（3分）拋物線y＝ax2+2ax+c（a≠0）與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣5，0），則它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（，0） D．不能確定，與a的值有關(guān)7．（3分）拋物線y＝x2+3上有兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，則下列結(jié)論正確的是（）A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0 C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不對8．（3分）如圖，某拱橋呈拋物線形狀，橋的最大高度是16米，跨度是40米，在線段AB上離中心M處5米的地方，橋的高度是（）A．12米 B．13米 C．14米 D．15米9．（3分）對稱軸為直線x＝1的拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）如圖所示，某同學(xué)得出了以下結(jié)論：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m為任意實(shí)數(shù)），⑥當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．610．（3分）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，將矩形ABCD沿直線DE折疊，點(diǎn)A恰好落在邊BC的點(diǎn)F處．若AE＝5，BF＝3，則CD的長是（）A．7 B．8 C．9 D．10二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）將直線y＝﹣x﹣5向上平移5個(gè)單位，得到直線．12．（3分）甲、乙兩同學(xué)參加跳遠(yuǎn)訓(xùn)練，在相同條件下各跳了6次，統(tǒng)計(jì)兩人的成績得；平均數(shù)x甲＝x乙，方差S2甲＜S2乙，則成績較穩(wěn)定的是．（填甲或乙）．13．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠BAD的平分線AE交CD于點(diǎn)E，連接BE，若∠BAD＝∠BEC，則平行四邊形ABCD的面積為．14．（3分）如圖，函數(shù)y＝2x和y＝ax+4的圖象相交于點(diǎn)A（m，5），則不等式2x＜ax+4的解集為．15．（3分）設(shè)m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的兩個(gè)根，則m2+2m+n＝．16．（3分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2ax（a為常數(shù)）．當(dāng)﹣1≤x≤4時(shí)，y的最小值是﹣12，則a的值為三．解答題（共9小題，滿分72分，每小題8分）17．（8分）解方程①x2﹣x﹣12＝0②2x2﹣4x﹣5＝0．18．（6分）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與正比例函數(shù)y＝2x的圖象交于點(diǎn)A（m，2），與y軸的交點(diǎn)為C，與x軸的交點(diǎn)為D．（1）若一次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)B（﹣2，﹣1），求一次函數(shù)的解析式；（2）在（1）的條件下，求△AOD的面積．19．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若此方程的兩實(shí)數(shù)根x1，x2滿足x12+x22＝11，求k的值．20．（8分）學(xué)校廣播站要招聘一名播音員，考查形象、知識面、普通話三個(gè)項(xiàng)目．按形象占10%，知識面占40%，普通話占50%計(jì)算加權(quán)平均數(shù)，作為最后評定的總成績．李文和孔明兩位同學(xué)的各項(xiàng)成績?nèi)缦卤恚喉?xiàng)目選手形象知識面普通話李文708088孔明8075x（1）計(jì)算李文同學(xué)的總成績；（2）若孔明同學(xué)要在總成績上超過李文同學(xué)，則他的普通話成績x應(yīng)超過多少分？21．（8分）某扶貧單位為了提高貧困戶的經(jīng)濟(jì)收入，購買了33m的鐵柵欄，準(zhǔn)備用這些鐵柵欄為貧困戶靠墻（墻長15m）圍建一個(gè)中間帶有鐵柵欄的矩形養(yǎng)雞場（如圖所示）．（1）若要建的矩形養(yǎng)雞場面積為90m2，求雞場的長（AB）和寬（BC）；（2）該扶貧單位想要建一個(gè)100m2的矩形養(yǎng)雞場，這一想法能實(shí)現(xiàn)嗎？請說明理由．22．（8分）如圖所示，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD上的點(diǎn)，AE＝CF，連接EF，BF，EF與對角線AC交于點(diǎn)O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．（1）求證：OE＝OF；（2）若BC＝2，求AB的長．23．（8分）為了振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)，增加村民收入，某村委會干部帶領(lǐng)村民在網(wǎng)上直播推銷一種成本價(jià)為每千克40元的農(nóng)產(chǎn)品，如圖是該種農(nóng)產(chǎn)品的日銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)圖象，請結(jié)合圖象回答下列問題：（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，日銷售利潤最大？最大利潤是多少？24．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，我們不妨把縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)3倍的點(diǎn)稱為“一中點(diǎn)”，例如點(diǎn)（1，3），（2，6），（﹣1，3﹣3），……都是“一中點(diǎn)”．例如：拋物線y＝x2﹣4上存在兩個(gè)“一中點(diǎn)”P1（4，12），P2（﹣1，﹣3）．（1）在下列函數(shù)中，若函數(shù)圖象上存在“一中點(diǎn)”，請?jiān)谙鄳?yīng)題目后面的括號中打“√”，若函數(shù)圖象上不存在“一中點(diǎn)”的打“×”．①y＝2x﹣1；②y＝x2﹣1；③y＝x2+4．（2）若拋物線y＝﹣x2+（m+3）x﹣m2﹣m+1上存在“一中點(diǎn)”，且與直線y＝3x相交于點(diǎn)A（x1，y1）和B（x2，y2），令t＝+，求t的最小值；（3）若函數(shù)y＝x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2的圖象上存在唯一的一個(gè)“一中點(diǎn)”，且當(dāng)﹣1≤b≤2時(shí)，a的最小值為c，求c的值．25．（10分）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，圖形G上點(diǎn)P（x，y）的縱坐標(biāo)y與其橫坐標(biāo)x的差y﹣x稱為點(diǎn)P的“坐標(biāo)差”，而圖形G上所有點(diǎn)的“坐標(biāo)差”中的最大值稱為圖形G的“特征值”（1）點(diǎn)A（2，6）的“坐標(biāo)差”為；（2）求拋物線y＝﹣x2+5x+4的“特征值”；（3）某二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”為﹣1，點(diǎn)B與點(diǎn)C分別是此二次函數(shù)的圖象與x軸和y軸的交點(diǎn)，且點(diǎn)B與點(diǎn)C的“坐標(biāo)差”相等，求此二次函數(shù)的解析式；（4）二次函數(shù)y＝﹣x2+px+q的圖象的頂點(diǎn)在“坐標(biāo)差”為2的一次函數(shù)的圖象上，四邊形DEFO是矩形，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（7，3），點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)D在x軸上，點(diǎn)F在y軸上，當(dāng)二次函數(shù)y＝﹣x2+px+q的圖象與矩形的邊只有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求此二次函數(shù)的解析式及特征值．

湖南省長沙市天心區(qū)湘郡培粹實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)開學(xué)考試試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】D2．（3分）下列曲線中不能表示y是x的函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】C3．（3分）已知一個(gè)直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（）A．25 B．7 C．5或 D．7或25【答案】D4．（3分）在某一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中，隨機(jī)抽取了10份試卷，其成績?nèi)缦拢?5、81、89、81、72、82、77、81、79、83則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù)與中位數(shù)分別為（）A．81、82、81 B．81、81、76.5 C．83、81、77 D．81、81、81【答案】D5．（3分）直線y＝x+a不經(jīng)過第二象限，則關(guān)于x的方程ax2+2x+1＝0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．1或2【答案】D6．（3分）拋物線y＝ax2+2ax+c（a≠0）與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣5，0），則它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（，0） D．不能確定，與a的值有關(guān)【答案】A7．（3分）拋物線y＝x2+3上有兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，則下列結(jié)論正確的是（）A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0 C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不對【答案】D8．（3分）如圖，某拱橋呈拋物線形狀，橋的最大高度是16米，跨度是40米，在線段AB上離中心M處5米的地方，橋的高度是（）A．12米 B．13米 C．14米 D．15米【答案】D9．（3分）對稱軸為直線x＝1的拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）如圖所示，某同學(xué)得出了以下結(jié)論：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m為任意實(shí)數(shù)），⑥當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B10．（3分）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，將矩形ABCD沿直線DE折疊，點(diǎn)A恰好落在邊BC的點(diǎn)F處．若AE＝5，BF＝3，則CD的長是（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）將直線y＝﹣x﹣5向上平移5個(gè)單位，得到直線y＝﹣x．【答案】見試題解答內(nèi)容12．（3分）甲、乙兩同學(xué)參加跳遠(yuǎn)訓(xùn)練，在相同條件下各跳了6次，統(tǒng)計(jì)兩人的成績得；平均數(shù)x甲＝x乙，方差S2甲＜S2乙，則成績較穩(wěn)定的是甲．（填甲或乙）．【答案】見試題解答內(nèi)容13．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠BAD的平分線AE交CD于點(diǎn)E，連接BE，若∠BAD＝∠BEC，則平行四邊形ABCD的面積為10．【答案】見試題解答內(nèi)容14．（3分）如圖，函數(shù)y＝2x和y＝ax+4的圖象相交于點(diǎn)A（m，5），則不等式2x＜ax+4的解集為x＜．【答案】x＜．15．（3分）設(shè)m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的兩個(gè)根，則m2+2m+n＝2．【答案】2．16．（3分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2ax（a為常數(shù)）．當(dāng)﹣1≤x≤4時(shí)，y的最小值是﹣12，則a的值為2或﹣6.5【答案】見試題解答內(nèi)容三．解答題（共9小題，滿分72分，每小題8分）17．（8分）解方程①x2﹣x﹣12＝0②2x2﹣4x﹣5＝0．【答案】見試題解答內(nèi)容18．（6分）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與正比例函數(shù)y＝2x的圖象交于點(diǎn)A（m，2），與y軸的交點(diǎn)為C，與x軸的交點(diǎn)為D．（1）若一次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)B（﹣2，﹣1），求一次函數(shù)的解析式；（2）在（1）的條件下，求△AOD的面積．【答案】（1）y＝x+1；（2）1．19．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若此方程的兩實(shí)數(shù)根x1，x2滿足x12+x22＝11，求k的值．【答案】（1）k≤．（2）k＝﹣1．20．（8分）學(xué)校廣播站要招聘一名播音員，考查形象、知識面、普通話三個(gè)項(xiàng)目．按形象占10%，知識面占40%，普通話占50%計(jì)算加權(quán)平均數(shù)，作為最后評定的總成績．李文和孔明兩位同學(xué)的各項(xiàng)成績?nèi)缦卤恚喉?xiàng)目選手形象知識面普通話李文708088孔明8075x（1）計(jì)算李文同學(xué)的總成績；（2）若孔明同學(xué)要在總成績上超過李文同學(xué)，則他的普通話成績x應(yīng)超過多少分？【答案】見試題解答內(nèi)容21．（8分）某扶貧單位為了提高貧困戶的經(jīng)濟(jì)收入，購買了33m的鐵柵欄，準(zhǔn)備用這些鐵柵欄為貧困戶靠墻（墻長15m）圍建一個(gè)中間帶有鐵柵欄的矩形養(yǎng)雞場（如圖所示）．（1）若要建的矩形養(yǎng)雞場面積為90m2，求雞場的長（AB）和寬（BC）；（2）該扶貧單位想要建一個(gè)100m2的矩形養(yǎng)雞場，這一想法能實(shí)現(xiàn)嗎？請說明理由．【答案】（1）雞場的長（AB）為15m，寬（BC）為6m．（2）該扶貧單位不能建成一個(gè)100m2的矩形養(yǎng)雞場．22．（8分）如圖所示，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD上的點(diǎn)，AE＝CF，連接EF，BF，EF與對角線AC交于點(diǎn)O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．（1）求證：OE＝OF；（2）若BC＝2，求AB的長．【答案】（1）見解析；（2）6．23．（8分）為了振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)，增加村民收入，某村委會干部帶領(lǐng)村民在網(wǎng)上直播推銷一種成本價(jià)為每千克40元的農(nóng)產(chǎn)品，如圖是該種農(nóng)產(chǎn)品的日銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)圖象，請結(jié)合圖象回答下列問題：（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，日銷售利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x+80（40＜x＜80）；（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為60元時(shí)，日銷售利潤最大，最大利潤是400元．24．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，我們不妨把縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)3倍的點(diǎn)稱為“一中點(diǎn)”，例如點(diǎn)（1，3），（2，6），（﹣1，3﹣3），……都是“一中點(diǎn)”．例如：拋物線y＝x2﹣4上存在兩個(gè)“一中點(diǎn)”P1（4，12），P2（﹣1，﹣3）．（1）在下列函