【課件設(shè)計(jì)】兩角和差的正弦、余弦公式-人教A版2019必修第一冊

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兩角和與差的正弦、余弦公式教材版本：人教2019A版學(xué)科年級：高中數(shù)學(xué)一年級所在單位：山東省泰安第一中學(xué)主講教師：李賓5.5.1兩角和與差的正弦、余弦公式任意角的三角函數(shù)的定義一、溫故知新公式一

公式二

公式三

公式四

公式五

公式六一、溫故知新利用誘導(dǎo)公式可以將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為內(nèi)的角的三角函數(shù)，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)

問題1：在銳角范圍內(nèi)我們常用的特殊角有哪些？問題2：這些特殊角的三角函數(shù)值大家很熟悉了，問題3：。

問題4：那與的三角函數(shù)值有什么關(guān)系呢？問題5：更一般地與的三角函數(shù)值又有什么關(guān)系呢？但是如何計(jì)算？成立嗎？大家可以驗(yàn)證嗎？5.5.1兩角和與差的正弦、余弦公式課標(biāo)要求1.能經(jīng)歷推導(dǎo)兩角差余弦公式的過程，知道兩角差余弦公式的意義。2.理能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系。難點(diǎn)1、兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程2、兩角和差的正余弦公式的靈活運(yùn)用重點(diǎn)兩角和與差的正弦、余弦公式的應(yīng)用

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過探究，了解兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程2.熟記兩角和差的正余弦公式的形式及符號特征，并能利用公式解決求值、求角等問題學(xué)習(xí)目標(biāo)及重難點(diǎn)xyOα終邊A(1,0)A1P1Pβ終邊α-βα-β

如圖，設(shè)單位圓于x軸的正半軸相交于點(diǎn)A(1,0)，以x軸非負(fù)半軸為始邊作角α,β,α-β，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)若把扇形OAP繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)β角，則點(diǎn)A，P分別與點(diǎn)A1，P1重合.

①不妨令α≠2kπ+β,k∈Z.二、探究新知P1(cosα,sinα)，A1(cosβ,sinβ)，P(cos(α-β),sin(α-β)).根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對稱性可知，與重合，從而.連接A1P1，AP.所以AP=A1P1.研究與的三角函數(shù)值的關(guān)系。根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得化簡得②當(dāng)α=β+2kπ,k∈Z時(shí)，容易證明上式仍然成立.所以，對于任意角α，β有，AP=A1P1A(1,0)，P(cos(α-β),sin(α-β))，P1(cosα,sinα)，A1(cosβ,sinβ)，此公式給出了任意角α，β的正弦、余弦與其差角α-β的余弦之間的關(guān)系，稱為差角的余弦公式，簡記作.C(α–β)cosβcos(α＝cosα+–β)sinαsinβ(C(α–β))平面內(nèi)P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點(diǎn)間距離公式：問題6：大家想一想，我們剛才得到了差角的余弦公式，那么兩角和的余弦公式是否需要進(jìn)行重復(fù)證明呢？至此，我們又得到了和角的余弦公式，對于任意角1.公式可簡記為:余余正正號相反.問題8：我們剛才得到了兩角和差的余弦公式，那么兩角和差的正弦公式又是如何呢？即：與的三角函數(shù)值又有什么關(guān)系呢？2.公式中的α,β都是任意角,既可以是一個(gè)角,也可以是幾個(gè)角的組合。問題7：兩組公式的結(jié)構(gòu)有什么特點(diǎn)呢？對于任意角α，β有，和角公式差角公式問題9：你能發(fā)現(xiàn)與余弦有關(guān)的誘導(dǎo)公式和兩角差的余弦公式有什么關(guān)系嗎？問題10：同角三角函數(shù)基本關(guān)系和兩角差的余弦公式之間又有什么樣的關(guān)系呢？1.公式可簡記為:正余余正號相同.2.公式中的α,β都是任意角,既可以是一個(gè)角,也可以是幾個(gè)角的組合(1)cos15°的值是（）√題型一給角求值(2)cos75°的值是（）√【例1】三、題型講解公式的正用在銳角范圍內(nèi)我們常用的特殊角：③cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；④－sin167°·sin223°＋sin257°·sin313°；法1：法2：方法總結(jié)：一看角、二看結(jié)構(gòu)特征;注意名稱的順序和角的順序法1：原式＝cos60°cos105°＋sin60°sin105°法2：原式＝sin30°cos105°＋cos30°sin105°方法總結(jié)：將常數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值后直接套用公式法3：

(3)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)](4)－sin167°·sin223°＋sin257°·sin313°；原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)＝sin13°sin43°＋sin77°sin47°＝sin13°sin43°＋cos13°cos43°(4)－sin167°·sin223°＋sin257°·sin313°；原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)＝sin13°sin43°＋sin77°sin47°＝sin13°cos47°＋cos13°sin47°③cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；④－sin167°·sin223°＋sin257°·sin313°；公式的逆用規(guī)律方法

兩角和差的正余弦公式常見題型及解法(1)對于兩角和差的正余弦公式的正用和逆用要熟練。公式的逆用，一定要注意名稱的順序和角的順序.(2)兩特殊角和差的正余弦值,利用兩角和差的正余弦公式直接展開求解.(3)含有常數(shù)的式子,先將常數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值,再利用兩角和差的正余弦公式求解.（4）求非特殊角的三角函數(shù)值,把非特殊角轉(zhuǎn)化為兩個(gè)特殊角的差或者和,然后利用兩角差的余弦公式求解.√√跟蹤訓(xùn)練1給值求值題型二[方法總結(jié)]解決此類問題的關(guān)鍵在于尋找已知角和所求角的關(guān)系，分析角與角之間的關(guān)系，合理拆、湊，用已知角表示所求角。規(guī)律方法

給值求值的解題策略(1)已知某些角的三角函數(shù)值,求另外一些角的三角函數(shù)值,要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系,適當(dāng)?shù)夭鸾桥c湊角.(2)由于和、差角與單角是相對的,因此解題過程中根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角的變換.常見角的變換有:(3)此類問題中，角的范圍不容忽視，解題時(shí)往往需要根據(jù)三角函數(shù)值縮小角的范圍.(1)解：注意角的范圍跟蹤訓(xùn)練2所以cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)給值求角題型三縮小角的范圍給值求角題型三規(guī)律方法

解決三角函數(shù)給值求角問題的方法步驟四、課堂小結(jié)回憶本節(jié)課的內(nèi)容，你的收獲是什么？常見誤區(qū):(1)求角時(shí)忽視角的范圍;(2)公式的逆用及符號問題.4組公式：兩角和差的正弦和余弦公式3種題型：給角求值,給值求值,給值求角.2種方法：整體法、構(gòu)造法.1個(gè)推導(dǎo)：主要進(jìn)行了兩角差的余弦公式的推導(dǎo).我愛學(xué)習(xí)3.若cos(α-β)=,則(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=

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五、當(dāng)堂檢測挑戰(zhàn)100分√六、布置作業(yè)2.思考如何求兩角和差的正切公式呢？

完成課本P220