2022年四川省內(nèi)江市中考數(shù)學真題(解析版)

2022年四川省內(nèi)江市中考數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.﹣6的相反數(shù)是（）A.﹣6 B.﹣ C.6 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義，即可解答．【詳解】?6的相反數(shù)是：6，故選C.2.某4S店今年1～5月新能源汽車的銷量（輛數(shù)）分別如下：25，33，36，31，40，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是（）A.34 B.33 C.32.5 D.31【答案】B【解析】【分析】根據(jù)算術(shù)平均數(shù)的計算方法進行計算即可．【詳解】解：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：＝33（輛），故選：B．【點睛】本題考查平均數(shù)，掌握算術(shù)平均數(shù)的計算方法是正確計算的關(guān)鍵．3.下列運算正確的是（）A.a2+a3＝a5 B.（a3）2＝a6C.（a﹣b）2＝a2﹣b2 D.x6÷x3＝x2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)合并同類項法則，冪的乘方和同底數(shù)冪的除法法則，完全平方公式，進行判斷即可．【詳解】A.a2和a3不是同類項，不能合并，故A不符合題意；B.（a3）2＝a6，故B符合題意；C.（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故C不符合題意；D.x6÷x3＝x6﹣3＝x3，故D不符合題意．故選：B．【點睛】本題主要考查了整式的運算，熟練掌握合并同類項法則，冪的乘方和同底數(shù)冪的除法法則，完全平方公式，是解題的關(guān)鍵．4.2022年2月第24屆冬季奧林匹克運動會在我國北京成功舉辦，以下是參選的冬奧會會徽設計的部分圖形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進行逐一判斷即可．【詳解】A.不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故A錯誤；B.不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故B錯誤；C.既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故C正確；D.不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故D錯誤．故選：C．【點睛】本題主要考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義，如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．5.下列說法錯誤的是（）A.打開電視機，中央臺正在播放發(fā)射神舟十四號載人飛船的新聞，這是隨機事件B.要了解小王一家三口的身體健康狀況，適合采用抽樣調(diào)查C.一組數(shù)據(jù)的方差越小，它的波動越小D.樣本中個體的數(shù)目稱為樣本容量【答案】B【解析】【分析】根據(jù)隨機事件的定義、全面調(diào)查的意義、方差的意義以及樣本容量的定義進行判定即可．【詳解】解：A．打開電視機，中央臺正在播放發(fā)射神舟十四號載人飛船的新聞，這是隨機事件，故A選項不符合題意；B．要了解小王一家三口的身體健康狀況，適合采用全面調(diào)查調(diào)查，故B選項符合題意；C．一組數(shù)據(jù)的方差越小，它的波動越小，故C選項不符合題意；D．樣本中個體的數(shù)目稱為樣本容量，故D選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查統(tǒng)計的相關(guān)定義，掌握其定義和意義是解決問題關(guān)鍵．6.如圖是正方體的表面展開圖，則與“話”字相對的字是（）A.跟 B.黨 C.走 D.聽【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正方體表面展開圖的特征進行判斷即可．【詳解】解：由正方體表面展開圖的“相間、Z端是對面”可知，“話”與“走”是對面，故答案為：C．【點睛】本題考查正方體相對兩個面上的文字，掌握正方體表面展開圖的特征是正確判斷的前提．7.如圖，在?ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分線BM交CD邊于點M，則DM的長為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)可得∠CBM＝∠CMB，利用等邊對等角即可得MC＝BC＝8，進而可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，∴∠ABM＝∠CMB，∵BM是∠ABC的平分線，∴∠ABM＝∠CBM，∴∠CBM＝∠CMB，∴MC＝BC＝8，∴DM＝CD﹣MC＝12﹣8＝4，故選：B．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，掌握其相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8.如圖，數(shù)軸上的兩點A、B對應的實數(shù)分別是a、b，則下列式子中成立的是（）A.1﹣2a＞1﹣2b B.﹣a＜﹣b C.a+b＜0 D.|a|﹣|b|＞0【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)軸得出a＜b，根據(jù)不等式的性質(zhì)對四個選項依次分析即可得到答案．【詳解】解：由題意得：a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，∴1﹣2a＞1﹣2b，∴A選項的結(jié)論成立；∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，∴B選項的結(jié)論不成立；∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，∴，∴，∴a+b＞0，∴C選項的結(jié)論不成立；∵∴，∴D選項的結(jié)論不成立．故選：A．【點睛】本題考查數(shù)軸、不等式、絕對值的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸、不等式、絕對值的相關(guān)知識．9.如圖，在平面直角坐標系中，點B、C、E在y軸上，點C的坐標為（0，1），AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC經(jīng)過某些變換得到的，則正確的變換是（）A.△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移1個單位B.△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移1個單位C.△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移3個單位D.△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移3個單位【答案】D【解析】【分析】觀察圖形可以看出，Rt△ABC通過變換得到Rt△ODE，應先旋轉(zhuǎn)然后平移即可．【詳解】解：根據(jù)圖形可以看出，△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移3個單位可以得到△ODE．故選：D．【點睛】本題考查的是坐標與圖形變化，旋轉(zhuǎn)和平移的知識，掌握旋轉(zhuǎn)和平移的概念和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10.如圖，在平面直角坐標系中，點M為x軸正半軸上一點，過點M的直線l∥y軸，且直線l分別與反比例函數(shù)和的圖象交于P、Q兩點．若S△POQ＝15，則k的值為（）A.38 B.22 C.﹣7 D.﹣22【答案】D【解析】【分析】設點P（a，b），Q（a，），則OM＝a，PM＝b，MQ＝，則PQ＝PM+MQ＝，再根據(jù)ab＝8，S△POQ＝15，列出式子求解即可．【詳解】解：設點P（a，b），Q（a，），則OM＝a，PM＝b，MQ＝，∴PQ＝PM+MQ＝．∵點P在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴ab＝8．∵S△POQ＝15，∴PQ?OM＝15，∴a（b﹣）＝15．∴ab﹣k＝30．∴8﹣k＝30，解得：k＝﹣22．故選：D．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，熟練掌握反比例函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．11.如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，半徑為6，則這個正六邊形的邊心距OM和的長分別為（）A.4， B.3，π C.2， D.3，2π【答案】D【解析】【分析】連接、，證出是等邊三角形，根據(jù)勾股定理求出，再由弧長公式求出弧的長即可．【詳解】解：連接、，六邊形為正六邊形，，，為等邊三角形，，，，的長為．故選：D．【點睛】本題考查的是正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理,熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，由勾股定理求出是解決問題的關(guān)鍵．12.如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于兩點（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1．下列四個結(jié)論：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax2+bx+c＞﹣x+c解集為0＜x＜x1．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可得出a，b，c的符號即可判斷①，當x＝1時，y＜0即可判斷②；根據(jù)對稱軸為，a＞0可判斷③；y1＝ax2+bx+c，數(shù)形結(jié)合即可判斷④．【詳解】解：∵拋物線開口向上，對稱軸在y軸右邊，與y軸交于正半軸，

∴a＞0，b＜0，c＞0，∴abc＜0，∴①正確．∵當x＝1時，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②錯誤．∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于兩點（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1，∴，∴，當時，，當時，，，，∴2a﹣c＞0，∴③正確；如圖：設y1＝ax2+bx+c，，由圖值，y1＞y2時，x＜0或x＞x1，故④錯誤．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)巧妙借助數(shù)學結(jié)合思想解決問題是解題的關(guān)鍵．

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13.函數(shù)中，自變量的取值范圍是.【答案】．【解析】【分析】求函數(shù)自變量的取值范圍，就是求函數(shù)解析式有意義的條件，二次根式有意義的條件是：被開方數(shù)為非負數(shù)．【詳解】依題意，得x-3≥0，

解得：x≥3．【點睛】本題考查的知識點為：二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)．14.如圖，在⊙O中，∠ABC=50°，則∠AOC等于_____【答案】100°【解析】【詳解】試題分析：在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角等于圓周角度數(shù)的2倍.根據(jù)題意可得：∠AOC=2∠ABC=2×50°=100°.考點：圓周角和圓心角15.對于非零實數(shù)a，b，規(guī)定a⊕b＝，若（2x﹣1）⊕2＝1，則x的值為_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意列出方程，解方程即可求解．【詳解】解：由題意得：＝1，等式兩邊同時乘以得，，解得：，經(jīng)檢驗，x＝是原方程的根，∴x＝，故答案為：．【點睛】本題考查了解分式方程，掌握分式方程的一般解法是解題的關(guān)鍵．16.勾股定理被記載于我國古代的數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中，漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．圖②由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3．若正方形EFGH的邊長為4，則S1+S2+S3＝_____．【答案】48【解析】【分析】設八個全等的直角三角形的長直角邊為a，短直角邊是b，然后分別求出S1、S2、S3，即可得到答案．【詳解】解：設八個全等的直角三角形的長直角邊為a，短直角邊是b，則：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．故答案為：48．【點睛】本題考查了正方形的面積，勾股定理的應用，解題的關(guān)鍵是利用直角三角形兩直角邊與三個正方形的面積的關(guān)系，可尋找出三正方形面積之間的關(guān)系．三、解答題（本大題共5小題，共44分．解答應寫出必要的文字說明或推演步驟．）17.（1）計算：；（2）先化簡，再求值：（）÷，其中a＝﹣，b＝+4．【答案】（1）2；（2），【解析】【分析】（1）首先代入特殊角的三角函數(shù)值，進行乘方、絕對值運算，再進行乘法和加法運算；（2）首先把分式化簡，再代入a和b的值計算．【詳解】解：（1）原式＝＝+2﹣＝2；（2）原式＝[]?＝＝．當a＝﹣，b＝+4時，原式＝．【點睛】本題考查二次根式的混合運算、分式的化簡求值、特殊角的三角函數(shù)值以及負整數(shù)指數(shù)冪的運算，掌握解題步驟是解決問題的關(guān)鍵．18.如圖，中，E、F是對角線BD上兩個點，且滿足BE=DF．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）求證：四邊形AECF是平行四邊形．

【答案】證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可以得到AB//CD，AB=CD，再證明角相等，用SAS證明兩個三角形全等即可．（2）用（1）中全等三角形的結(jié)論我們得到邊相等，角相等，再去證明平行．用一組對邊平行且相等證明四邊形是平行四邊形．【詳解】證明：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，AB//CD，AB=CD，，在和中，．（2）由（1）可知，，，AE//CF，四邊形AECF是平行四邊形．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)．平行四邊形的判定方法共5種，平行四邊形的判定方法：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．（4）兩組對角相等的四邊形是平行四邊形．（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．19.為讓同學們了解新冠病毒的危害及預防措施，某中學舉行了“新冠病毒預防”知識競賽．數(shù)學課外活動小組將八（1）班參加本校知識競賽的40名同學的成績（滿分為100分，得分為正整數(shù)且無滿分，最低為75分）分成五組進行統(tǒng)計，并繪制了下列不完整的統(tǒng)計圖表：分數(shù)段頻數(shù)頻率74.5﹣79.520.0579.5﹣84.58n84.5﹣89.5120.389.5﹣94.5m0.3594.5﹣99.540.1（1）表中m＝，n＝；（2）請補全頻數(shù)分布直方圖；（3）本次知識競賽中，成績在94.5分以上的選手，男生和女生各占一半，從中隨機確定2名學生參加頒獎，請用列表法或樹狀圖法求恰好是一名男生和一名女生的概率．【答案】（1）14；0.2（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)總數(shù)為40，頻率為0.35，求出m，根據(jù)頻數(shù)為8，總數(shù)為40，求出頻率n；（2）根據(jù)89.5﹣94.5的頻數(shù)為14，補全頻數(shù)分布直方圖即可；（3）先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后根據(jù)概率公式進行計算即可．【小問1詳解】解：m＝40×35%＝14，n＝8÷40＝0.2．故答案為：14，0.2．【小問2詳解】補全頻數(shù)分布直方圖如下：【小問3詳解】∵成績在94.5分以上的選手有4人，男生和女生各占一半，∴2名是男生，2名是女生，畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中確定的2名學生恰好是一名男生和一名女生的結(jié)果有8種，∴確定的2名學生恰好是一名男生和一名女生的概率為．【點睛】本題主要考查了頻數(shù)分布直方圖，畫樹狀圖或列表格求概率，根據(jù)題意畫出樹狀圖或列出表格是解題的關(guān)鍵．20.如圖所示，九（1）班數(shù)學興趣小組為了測量河對岸的古樹A、B之間的距離，他們在河邊與AB平行的直線l上取相距60m的C、D兩點，測得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．（1）求河的寬度；（2）求古樹A、B之間的距離．（結(jié)果保留根號）【答案】（1）（30+30）米；（2）20米．【解析】【分析】（1）過點A作AE⊥l于點E，設CE=x，在Rt△ADE中可表示出DE，在Rt△ACE中可表示出AE，通過解直角三角形ADE求出x即可；（2）過點B作BF⊥l，垂足為F，繼而得出CE的長，在Rt△BCF中，求出CF，繼而可求出AB．【小問1詳解】解：過點A作AE⊥l，垂足為E，設CE＝x米，∵CD＝60米，∴DE＝CE+CD＝（x+60）米，∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°，在Rt△AEC中，AE＝CE?tan45°＝x（米），在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴tan30°＝＝＝，∴x＝30+30，經(jīng)檢驗：x＝30+30是原方程的根，∴AE＝（30+30）米，∴河的寬度為（30+30）米；【小問2詳解】過點B作BF⊥l，垂足為F，則CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF，∵∠BCD＝120°，∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°，在Rt△BCF中，CF＝＝＝（30+10）米，∴AB＝EF＝CE﹣CF＝30+30﹣（30+10）＝20（米），∴古樹A、B之間的距離為20米．【點睛】本題考查解直角三角形的實際應用，解決問題的關(guān)鍵是通過作高構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形解決問題．21.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，⊙O的切線PC交BA的延長線于點P，OF∥BC交AC于點E，交PC于點F，連接AF．（1）判斷直線AF與⊙O的位置關(guān)系并說明理由；（2）若⊙O的半徑為6，AF＝2，求AC的長；（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積．【答案】（1）直線AF與⊙O相切．理由見解析（2）6（3）18﹣6π．【解析】【分析】（1）連接OC，證明△AOF≌△COF（SAS），由全等三角形的判定與性質(zhì)得出∠OAF=∠OCF=90°，由切線的判定可得出結(jié)論；（2）由直角三角形的性質(zhì)求出∠AOF=30°，可得出AE=OA=3，則可求出答案；（3）證明△AOC是等邊三角形，求出∠AOC=60°，OC=6，由三角形面積公式和扇形的面積公式可得出答案．【小問1詳解】直線AF與⊙O相切．理由如下：連接OC，∵PC為圓O切線，∴CP⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵OF∥BC，∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∴∠AOF＝∠COF，∵在△AOF和△COF中，，∴△AOF≌△COF（SAS），∴∠OAF＝∠OCF＝90°，∴AF⊥OA，又∵OA為圓O的半徑，∴AF為圓O的切線；【小問2詳解】∵△AOF≌△COF，∴∠AOF＝∠COF，∵OA＝OC，∴E為AC中點，即，∵∠，∴，∴∠AOF＝30°，∴，∴；【小問3詳解】∵AC＝OA＝6，OC＝OA，∴△AOC是等邊三角形，∴∠AOC＝60°，OC＝6，∵∠OCP＝90°，∴，∴S△OCP＝，∴陰影部分面積=S△OCP﹣S扇形AOC＝．【點睛】此題考查了切線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，三角形的面積求法，等邊三角形的判定與性質(zhì)，扇形的面積公式，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．四、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分．）22.分解因式：a4﹣3a2﹣4＝_____．【答案】（a2+1）（a+2）（a﹣2）【解析】【分析】首先利用十字相乘法分解為，然后利用平方差公式進一步因式分解即可．【詳解】解：a4﹣3a2﹣4＝（a2+1）（a2﹣4）＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），故答案為：（a2+1）（a+2）（a﹣2）．【點睛】本題考查利用因式分解，解決問題的關(guān)鍵是掌握解題步驟：一提二套三檢查．23.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點且與函數(shù)的圖象交于點.若一次函數(shù)隨的增大而增大，則的取值范圍是____．【答案】【解析】【分析】分別求出過點P，且平行于x軸和y軸時對應的m值，即可得到m的取值范圍．【詳解】當PQ平行于x軸時，點Q的坐標為，代入中，可得；當PQ平行于y軸時，點Q的坐標為，可得；∵一次函數(shù)隨的增大而增大，∴的取值范圍是，故答案：．【點睛】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的交點問題，找到兩個臨界是解決本題的關(guān)鍵．24.已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實數(shù)根，且＝x12+2x2﹣1，則k的值為_____．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及解的定義得到x1+x2＝2，x1?x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，再根據(jù)＝x12+2x2﹣1，推出＝4﹣k，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實數(shù)根，∴x1+x2＝2，x1?x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，∴x12＝2x1﹣k+1，∵＝x12+2x2﹣1，∴＝2（x1+x2）﹣k，∴＝4﹣k，解得k＝2或k＝5，當k＝2時，關(guān)于x的方程為x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合題意；當k＝5時，關(guān)于x的方程為x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程無實數(shù)解，不符合題意；∴k＝2，故答案為：2．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程解的定義，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．25.如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點E、F分別是AB、DC上的動點，EF∥BC，則AF+CE的最小值是_____．【答案】10【解析】【分析】延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，證明四邊形EFGC是平行四邊形，得出CE＝FG，得出當點A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小，根據(jù)勾股定理求出AG即可．【詳解】解：延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，∵，EF＝CG，∴四邊形EFGC平行四邊形，∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴當點A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小為AG，由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值為10，故答案為：10．【點睛】本題主要考查了勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，得出當A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小，是解題的關(guān)鍵．五、解答題（本大題共3小題，每小題12分，共36分．）26.為貫徹執(zhí)行“德、智、體、美、勞”五育并舉的教育方針，內(nèi)江市某中學組織全體學生前往某勞動實踐基地開展勞動實踐活動．在此次活動中，若每位老師帶隊30名學生，則還剩7名學生沒老師帶；若每位老師帶隊31名學生，就有一位老師少帶1名學生．現(xiàn)有甲、乙兩型客車，它們的載客量和租金如表所示：甲型客車乙型客車載客量（人/輛）3530租金（元/輛）400320學校計劃此次勞動實踐活動的租金總費用不超過3000元．（1）參加此次勞動實踐活動的老師和學生各有多少人？（2）每位老師負責一輛車的組織工作，請問有哪幾種租車方案？（3）學校租車總費用最少是多少元？【答案】（1）參加此次勞動實踐活動的老師有8人，參加此次勞動實踐活動的學生有247人（2）一共有3種租車方案：租甲型客車3輛，租乙型客車5輛或租甲型客車4輛，租乙型客車4輛或租甲型客車5輛，租乙型客車3輛（3）學校租車總費用最少是2800元．【解析】【分析】（1）設參加此次勞動實踐活動的老師有x人，根據(jù)參加實踐活動的學生人數(shù)的兩種不同表示方法作為等量關(guān)系列方程；（2）首頁判斷車輛總數(shù)為8，設租甲型客車m輛，列出不等式組求出整數(shù)解即可；（3）列出函數(shù)解析式w＝80m+2560，結(jié)合自變量取值范圍求出最少總費用．【小問1詳解】設參加此次勞動實踐活動的老師有x人，參加此次勞動實踐活動的學生有（30x+7）人，根據(jù)題意得：30x+7＝31x﹣1，解得x＝8，∴30x+7＝30×8+7＝247，答：參加此次勞動實踐活動的老師有8人，參加此次勞動實踐活動的學生有247人；【小問2詳解】師生總數(shù)為247+8＝255（人），∵每位老師負責一輛車的組織工作，∴一共租8輛車，設租甲型客車m輛，則租乙型客車（8﹣m）輛，根據(jù)題意得：，解得3≤m≤5.5，∵m為整數(shù)，∴m可取3、4、5，∴一共有3種租車方案：租甲型客車3輛，租乙型客車5輛或租甲型客車4輛，租乙型客車4輛或租甲型客車5輛，租乙型客車3輛；【小問3詳解】設租甲型客車m輛，則租乙型客車（8﹣m）輛，由（2）知：3≤m≤5.5，設學校租車總費用是w元，w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，∵80＞0，∴w隨m的增大而增大，∴m＝3時，w取最小值，最小值為80×3+2560＝2800（元），答：學校租車總費用最少是2800元．【點睛】本題考查一元一次方程的實際應用、利用一次函數(shù)解決最小利潤問題，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到相等關(guān)系或不相等關(guān)系列出方程、不等式組以及函數(shù)解析式解決問題．27.如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，點M、N分別在AB、AD上，且MN⊥MC，點E為CD的中點，連接BE交MC于點F．（1）當F為BE的中點時，求證：AM＝CE；（2）若＝2，求的值；（3）若MN∥BE，求值．【答案】（1）見解析（2）（3）【解析】【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)，證明△BMF≌△ECF，得BM＝CE，再利用點E為CD的中點，即可證明結(jié)論；(2)利用△BMF∽△ECF，得，從而求出BM的長，再利用△ANM∽△BMC，得，求出AN的長，可得答案；(3)首先利用同角的余角相等得∠CBF＝∠CMB，則tan∠CBF＝tan∠CMB，得，可得BM的長，由（2）同理可得答案．【小問1詳解】證明：∵F為BE的中點，∴BF＝EF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD∴∠BMF＝∠ECF，∵∠BFM＝∠EFC，∴△BMF≌△ECF（AAS），∴BM＝CE，∵點E為CD的中點，∴CE＝CD，∵AB＝CD，∴，∴，∴AM＝CE；【小問2詳解】∵∠BMF＝∠ECF，∠BFM＝∠EFC，∴△BMF∽△ECF，∴，∵CE＝3，∴BM＝，∴AM＝，∵CM⊥MN，∴∠CMN＝90°，∴∠AMN+∠BMC＝90°，∵∠AMN+∠ANM＝90°，∴∠ANM＝∠BMC，∵∠A＝∠MBC，∴△ANM∽△BMC，∴，∴，∴，∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，∴；【小問3詳解】∵MN∥BE，∴∠BFC＝∠CMN，∴∠FBC+∠