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湖北省隨州市第一高級中學(xué)2025年高三下學(xué)期(4月)月考數(shù)學(xué)試題試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知拋物線經(jīng)過點,焦點為,則直線的斜率為()A. B. C. D.2.對于函數(shù),若滿足,則稱為函數(shù)的一對“線性對稱點”.若實數(shù)與和與為函數(shù)的兩對“線性對稱點”,則的最大值為()A. B. C. D.3.已知直線過雙曲線C:的左焦點F,且與雙曲線C在第二象限交于點A,若(O為坐標(biāo)原點),則雙曲線C的離心率為A. B. C. D.4.集合,,則()A. B. C. D.5.已知,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.6.已知等差數(shù)列的前n項和為,,則A.3 B.4 C.5 D.67.把函數(shù)圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再將圖象向右平移個單位,那么所得圖象的一個對稱中心為()A. B. C. D.8.已知復(fù)數(shù)滿足,則()A. B.2 C.4 D.39.已知函數(shù),若,則等于()A.-3 B.-1 C.3 D.010.如圖是國家統(tǒng)計局公布的年入境游客(單位:萬人次)的變化情況,則下列結(jié)論錯誤的是()A.2014年我國入境游客萬人次最少B.后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢C.這6年我國入境游客萬人次的中位數(shù)大于13340萬人次D.前3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差小于后3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差11.已知點(m,8)在冪函數(shù)的圖象上,設(shè),則()A.b<a<c B.a(chǎn)<b<c C.b<c<a D.a(chǎn)<c<b12.已知向量,,=(1,),且在方向上的投影為,則等于()A.2 B.1 C. D.0二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.《九章算術(shù)》中記載了“今有共買豕,人出一百,盈一百;人出九十,適足。問人數(shù)、豕價各幾何?”.其意思是“若干個人合買一頭豬,若每人出100,則會剩下100;若每人出90,則不多也不少。問人數(shù)、豬價各多少?”.設(shè)分別為人數(shù)、豬價,則___,___.14.的展開式中的系數(shù)為____.15.已知拋物線的焦點為,其準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸交于點,過的直線與拋物線交于兩點,若,則直線的斜率________.16.(5分)某膳食營養(yǎng)科研機(jī)構(gòu)為研究牛蛙體內(nèi)的維生素E和鋅、硒等微量元素(這些元素可以延緩衰老,還能起到抗癌的效果)對人體的作用,現(xiàn)從只雌蛙和只雄蛙中任選只牛蛙進(jìn)行抽樣試驗,則選出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列的前項和為,證明:.18.(12分)己知點,分別是橢圓的上頂點和左焦點,若與圓相切于點,且點是線段靠近點的三等分點.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;直線與橢圓只有一個公共點,且點在第二象限,過坐標(biāo)原點且與垂直的直線與圓相交于,兩點,求面積的取值范圍.19.(12分)為了打好脫貧攻堅戰(zhàn),某貧困縣農(nóng)科院針對玉米種植情況進(jìn)行調(diào)研,力爭有效地改良玉米品種,為農(nóng)民提供技術(shù)支援,現(xiàn)對已選出的一組玉米的莖高進(jìn)行統(tǒng)計,獲得莖葉圖如圖(單位:厘米),設(shè)莖高大于或等于180厘米的玉米為高莖玉米,否則為矮莖玉米.(1)求出易倒伏玉米莖高的中位數(shù);(2)根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù),完成下面的列聯(lián)表:抗倒伏易倒伏矮莖高莖(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,是否可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下,認(rèn)為抗倒伏與玉米矮莖有關(guān)?附:,0.0500.0100.0013.8416.63510.82820.(12分)已知直線的參數(shù)方程:(為參數(shù))和圓的極坐標(biāo)方程:(1)將直線的參數(shù)方程化為普通方程,圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)已知點,直線與圓相交于、兩點,求的值.21.(12分)已知,點分別為橢圓的左、右頂點,直線交于另一點為等腰直角三角形,且.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)過點的直線與橢圓交于兩點,總使得為銳角,求直線斜率的取值范圍.22.(10分)已知的內(nèi)角的對邊分別為,且.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若的周長是否有最大值?如果有,求出這個最大值,如果沒有,請說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】
先求出,再求焦點坐標(biāo),最后求的斜率【詳解】解:拋物線經(jīng)過點,,,,故選:A考查拋物線的基礎(chǔ)知識及斜率的運算公式,基礎(chǔ)題.2.D【解析】
根據(jù)已知有,可得,只需求出的最小值,根據(jù),利用基本不等式,得到的最小值,即可得出結(jié)論.【詳解】依題意知,與為函數(shù)的“線性對稱點”,所以,故(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號).又與為函數(shù)的“線性對稱點,所以,所以,從而的最大值為.故選:D.本題以新定義為背景,考查指數(shù)函數(shù)的運算和圖像性質(zhì)、基本不等式,理解新定義含義,正確求出的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.3.B【解析】
直線的傾斜角為,易得.設(shè)雙曲線C的右焦點為E,可得中,,則,所以雙曲線C的離心率為.故選B.4.A【解析】
解一元二次不等式化簡集合A,再根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零化簡集合B,求交集運算即可.【詳解】由可得,所以,由可得,所以,所以,故選A.本題主要考查了集合的交集運算,涉及一元二次不等式解法及對數(shù)的概念,屬于中檔題.5.D【解析】
構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間,由此判斷出的大小關(guān)系.【詳解】依題意,得,,.令,所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以,且,即,所以.故選:D.本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查對數(shù)式比較大小,屬于中檔題.6.C【解析】
方法一:設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,解得,所以.故選C.方法二:因為,所以,則.故選C.7.D【解析】
試題分析:把函數(shù)圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍(縱坐標(biāo)不變),可得的圖象;再將圖象向右平移個單位,可得的圖象,那么所得圖象的一個對稱中心為,故選D.考點:三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).8.A【解析】
由復(fù)數(shù)除法求出,再由模的定義計算出模.【詳解】.故選:A.本題考查復(fù)數(shù)的除法法則,考查復(fù)數(shù)模的運算,屬于基礎(chǔ)題.9.D【解析】分析:因為題設(shè)中給出了的值,要求的值,故應(yīng)考慮兩者之間滿足的關(guān)系.詳解:由題設(shè)有,故有,所以,從而,故選D.點睛:本題考查函數(shù)的表示方法,解題時注意根據(jù)問題的條件和求解的結(jié)論之間的關(guān)系去尋找函數(shù)的解析式要滿足的關(guān)系.10.D【解析】
ABD可通過統(tǒng)計圖直接分析得出結(jié)論,C可通過計算中位數(shù)判斷選項是否正確.【詳解】A.由統(tǒng)計圖可知:2014年入境游客萬人次最少,故正確;B.由統(tǒng)計圖可知:后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢,故正確;C.入境游客萬人次的中位數(shù)應(yīng)為與的平均數(shù),大于萬次,故正確;D.由統(tǒng)計圖可知:前年的入境游客萬人次相比于后年的波動更大,所以對應(yīng)的方差更大,故錯誤.故選:D.本題考查統(tǒng)計圖表信息的讀取以及對中位數(shù)和方差的理解,難度較易.處理問題的關(guān)鍵是能通過所給統(tǒng)計圖,分析出對應(yīng)的信息,對學(xué)生分析問題的能力有一定要求.11.B【解析】
先利用冪函數(shù)的定義求出m的值,得到冪函數(shù)解析式為f(x)=x3,在R上單調(diào)遞增,再利用冪函數(shù)f(x)的單調(diào)性,即可得到a,b,c的大小關(guān)系.【詳解】由冪函數(shù)的定義可知,m﹣1=1,∴m=2,∴點(2,8)在冪函數(shù)f(x)=xn上,∴2n=8,∴n=3,∴冪函數(shù)解析式為f(x)=x3,在R上單調(diào)遞增,∵,1<lnπ<3,n=3,∴,∴a<b<c,故選:B.本題主要考查了冪函數(shù)的性質(zhì),以及利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小,屬于中檔題.12.B【解析】
先求出,再利用投影公式求解即可.【詳解】解:由已知得,由在方向上的投影為,得,則.故答案為:B.本題考查向量的幾何意義,考查投影公式的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.10900【解析】
由題意列出方程組,求解即可.【詳解】由題意可得,解得.故答案為10900本題主要考查二元一次方程組的解法,用消元法來求解即可,屬于基礎(chǔ)題型.14.28【解析】
將已知式轉(zhuǎn)化為,則的展開式中的系數(shù)中的系數(shù),根據(jù)二項式展開式可求得其值.【詳解】,所以的展開式中的系數(shù)就是中的系數(shù),而中的系數(shù)為,展開式中的系數(shù)為故答案為:28.本題考查二項式展開式中的某特定項的系數(shù),關(guān)鍵在于將原表達(dá)式化簡將三項的冪的形式轉(zhuǎn)化為可求的二項式的形式,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】
求出拋物線焦點坐標(biāo),由,結(jié)合向量的坐標(biāo)運算得,直線方程為,代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得,,從而可求得,得斜率.【詳解】由得,即聯(lián)立得解得或,∴.故答案為:.本題考查直線與拋物線相交,考查向量的線性運算的坐標(biāo)表示.直線方程與拋物線方程聯(lián)立后消元,應(yīng)用韋達(dá)定理是解決直線與拋物線相交問題的常用方法.16.【解析】
記只雌蛙分別為,只雄蛙分別為,從中任選只牛蛙進(jìn)行抽樣試驗,其基本事件為,共15個,選出的只牛蛙中至少有只雄蛙包含的基本事件為,共9個,故選出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)見解析.【解析】
(1)令,,利用可求得數(shù)列的通項公式,由此可得出數(shù)列的通項公式;(2)求得,利用裂項相消法求得,進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】(1)令,,當(dāng)時,;當(dāng)時,,則,故;(2),.本題考查利用求通項,同時也考查了裂項相消法求和,考查計算能力與推理能力,屬于基礎(chǔ)題.18.;.【解析】
連接,由三角形相似得,,進(jìn)而得出,,寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;由得,,因為直線與橢圓相切于點,,解得,,因為點在第二象限,所以,,所以,設(shè)直線與垂直交于點,則是點到直線的距離,設(shè)直線的方程為,則,求出面積的取值范圍.【詳解】解:連接,由可得,,,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;由得,,因為直線與橢圓相切于點,所以,即,解得,,即點的坐標(biāo)為,因為點在第二象限,所以,,所以,所以點的坐標(biāo)為,設(shè)直線與垂直交于點,則是點到直線的距離,設(shè)直線的方程為,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時,有最大值,所以,即面積的取值范圍為.本題考查直線和橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,利用基本不等式,屬于難題.19.(1)190(2)見解析(3)可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下,認(rèn)為抗倒伏與玉米矮莖有關(guān).【解析】
(1)排序后第10和第11兩個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù);(2)由莖葉圖可得列聯(lián)表;(3)由列聯(lián)表計算可得結(jié)論.【詳解】解:(1).(2)抗倒伏易倒伏矮莖154高莖1016(3)由于,因此可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下,認(rèn)為抗倒伏與玉米矮莖有關(guān).本題考查莖葉圖,考查獨立性檢驗,正確認(rèn)識莖葉圖是解題關(guān)鍵.20.(1):,:;(2)【解析】
(1)消去參數(shù)求得直線的普通方程,將兩邊同乘以,化簡求得圓的直角坐標(biāo)方程.(2)求得直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程,代入圓的直角坐標(biāo)方程,化簡后寫出韋達(dá)定理,根據(jù)直線參數(shù)的幾何意義,求得的值.【詳解】(1)消去參數(shù),得直線的普通方程為,將兩邊同乘以得,,∴圓的直角坐標(biāo)方程為;(2)經(jīng)檢驗點在直線上,可轉(zhuǎn)化為①,將①式代入圓的直角坐標(biāo)方程為得,化簡得,設(shè)是方程的兩根,則,,∵,∴與同號,由的幾何意義得.本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,考查利用直線參數(shù)的幾何意義求解距離問題,屬于中檔題.21.(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由題意可知:由,求得點坐標(biāo),即可求得橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)直線,代入橢圓方程,由韋達(dá)定理,由,由為銳角,則,由向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式,即可求得直線斜率的取值范圍.【詳解】解:(Ⅰ)根據(jù)題意是等腰直角三角形,,設(shè)由得則代入橢圓方程得橢圓的方程為(Ⅱ)根據(jù)題意,直線的斜率存在,可設(shè)方程為設(shè)由得由直線與橢圓有兩個不同的交點則即得又為銳角則即②由①②得或故直線斜率可取值范圍是本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及
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