2.3.2兩條直線的交點坐標(biāo)課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

兩條直線的交點坐標(biāo)第2章平面解析幾何初步湘教版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊課標(biāo)要求1.掌握兩條直線的位置關(guān)系中的相交幾何意義,并能根據(jù)已知條件求出兩條直線的交點坐標(biāo);2.能夠根據(jù)方程組解的個數(shù)判定兩條直線的位置關(guān)系;3.能根據(jù)兩條直線相交的性質(zhì)求待定參數(shù).基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點兩直線的交點坐標(biāo)設(shè)兩條直線方程分別為l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,兩條直線的位置關(guān)系與對應(yīng)直線方程組成的方程組的解的關(guān)系方程組的解的情況一組解無解無數(shù)組解直線l1與l2的公共點個數(shù)一個零個無數(shù)個直線l1與l2的位置關(guān)系

相交

平行重合名師點睛1.點與直線關(guān)系的幾何意義及其表示幾何元素及關(guān)系代數(shù)表示點MM(a,b)直線ll:Ax+By+C=0(A,B不同時為0)點M在直線l上Aa+Bb+C=0直線l1與l2的交點是M方程組

的解是2.兩直線的交點坐標(biāo)與兩直線的方程構(gòu)成的方程組之間的關(guān)系如果兩條直線相交,則交點一定同時在這兩條直線上,且交點坐標(biāo)是這兩個直線方程的唯一公共解;如果這兩個二元一次方程組成的方程組只有一個解,那么以這個解為坐標(biāo)的點必是l1和l2的交點.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)兩直線方程構(gòu)成的方程組可以有兩個解.(

)(2)若兩直線方程構(gòu)成的方程組的解集不是空集,則兩直線不會平行.(

)(3)兩直線方程構(gòu)成的方程組的解集最多只有一個元素.(

)×√×2.若直線l1:x-2y=0與l2:2x-ay+3=0構(gòu)成的方程組無解,則實數(shù)a的值為(

)A.2 B.3C.-2 D.4D解析

依題意,直線l1,l2構(gòu)成的方程組無解,則兩直線平行,即(-a)-(-2)×2=0,且1×3-2×0≠0,解得a=4.3.若直線l1:x+ay-4=0與直線l2:bx-y+5=0的交點坐標(biāo)是P(2,1),則a=

,b=

.

2-2解析

將P(2,1)代入直線l1:x+ay-4=0,得2+a-4=0,解得a=2;將P(2,1)代入直線l2:bx-y+5=0的方程可得2b-1+5=0,解得b=-2.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一兩直線的交點坐標(biāo)的求法【例1】

判斷下列各組中兩條直線之間的位置關(guān)系.如果相交,求出交點的坐標(biāo):(1)l1:x-y=0,

l2:3x+3y-10=0;(2)l1:3x-y+4=0, l2:6x-2y-1=0;(3)l1:3x+4y-5=0, l2:6x+8y-10=0.分析

聯(lián)立兩直線的方程構(gòu)成的方程組,通過方程組是否有解及解的個數(shù),確定直線位置關(guān)系及交點的坐標(biāo).①×2-②得9=0,矛盾.由此可知方程組無解,所以直線l1與l2平行.①×2得6x+8y-10=0.說明方程②是方程①的2倍,方程①的解都是方程②的解.因此直線l1與l2重合.規(guī)律方法

根據(jù)兩相交直線的直線方程求直線的交點的方法將兩條直線的方程聯(lián)立,得方程組

若方程組有唯一解,則兩直線相交,此解就是交點的坐標(biāo);若方程組無解,則兩直線無公共點,此時兩直線平行;若方程組有無數(shù)組解,則兩直線重合.變式訓(xùn)練1判斷下列各組中直線的位置關(guān)系.如果相交,求出交點的坐標(biāo):(1)l1:2x-3y=7,

l2:4x+2y=1;②×6得6y=2x+4,整理得2x-6y+4=0,說明方程①是方程②的6倍,方程②的解都是方程①的解.因此直線l1與l2重合.探究點二過兩直線的交點的直線方程的求法【例2】

求經(jīng)過直線3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交點,且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程.分析

解方程組求出兩直線的交點坐標(biāo),利用條件求出直線的方程,也可以設(shè)過兩直線的交點的直線方程,利用條件求解.當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為0時,設(shè)直線的方程為x+y=a,將點(-4,3)代入可得a=-1,整理得直線方程為x+y+1=0.綜上所述,所求直線方程為x+y+1=0或3x+4y=0.(方法2)由于直線2x+5y-7=0在兩坐標(biāo)軸上的截距不相等,設(shè)直線方程為3x+2y+6+λ(2x+5y-7)=0,即(3+2λ)x+(2+5λ)y+6-7λ=0.規(guī)律方法

過兩直線的交點的直線方程的求法

方法過程結(jié)論方程組法解方程組求出交點坐標(biāo)根據(jù)交點及其他條件求解直線系法先設(shè)出過兩條直線交點的直線方程利用條件求直線系中的參數(shù)得方程說明:過兩條直線l1:A1x+B1y+C1=0與l2:A2x+B2y+C2=0的交點的直線系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括l2的方程)(其中λ為參數(shù)).變式訓(xùn)練2求經(jīng)過兩直線l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交點P,且與直線l3:3x-4y+5=0垂直的直線l的方程.(方法2)∵直線l過直線l1和l2的交點,∴可設(shè)直線l的方程為x-2y+4+λ(x+y-2)=0,即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0.∵l與l3垂直,∴3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0,解得λ=11.∴直線l的方程為12x+9y-18=0,整理得4x+3y-6=0.探究點三直線過定點問題【例3】

求證:不論m取什么實數(shù),直線(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都經(jīng)過一個定點.求出這個定點的坐標(biāo).證明(方法1)對于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0,令m=0,得x-3y-11=0;令m=1,得x+4y+10=0.將點(2,-3)代入已知直線方程左邊,得(2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11)=4m-2-3m-9-m+11=0.這表明不論m為什么實數(shù),所給直線均經(jīng)過定點(2,-3).(方法2)以m為未知數(shù),整理為(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0.所以不論m取什么實數(shù),該直線都經(jīng)過定點(2,-3).規(guī)律方法

求解含有參數(shù)的直線過定點問題的方法(1)給直線中的參數(shù)任意賦兩個不同的值,得到兩條不同的直線,然后驗證這兩條直線的交點就是題目中含參數(shù)直線所過的定點.(2)分項整理,將含參數(shù)的項并為一項,不含參數(shù)的項并為一項,整理成等號右邊為零的形式,然后令含參數(shù)的項和不含參數(shù)的項分別為零,解方程組所得的解即為所求定點.變式訓(xùn)練3求證:不論m為何值時,直線l:y=(m-1)x+2m+1一定過第二象限.證明(方法1)直線l的方程可化為y-3=(m-1)(x+2),∴直線l過定點(-2,3).由于點(-2,3)在第二象限,故直線l總過第二象限.(方法2)直線l的方程可化為(x+2)m-(x+y-1)=0.∴無論m取何值,直線l總經(jīng)過點(-2,3).∵點(-2,3)在第二象限,故直線l總過第二象限.本節(jié)要點歸納1.知識清單:兩直線交點的坐標(biāo)與兩直線方程構(gòu)成的方程組解的關(guān)系.2.方法歸納:解方程組法判斷兩直線交點的個數(shù)及求兩直線的交點,設(shè)直線系方程求解過兩直線的交點的直線方程;特殊值法與轉(zhuǎn)化法求直線過定點問題.3.注意事項:兩直線的交點的個數(shù)可以轉(zhuǎn)化為直線的方程構(gòu)成的方程組解的個數(shù),使用直線系方程時要注意驗證與參數(shù)結(jié)合的直線是否滿足題意.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)1234567891011121314151617A級必備知識基礎(chǔ)練1.下列直線與直線x+y=0只有一個交點的是(

)A.y=-x+3 B.-x-y+=0C.x-y+2=0 D.2x+2y-5=0C解析

由題可知,A,B,D選項中的直線均與x+y=0平行,只有C選項中的直線與x+y=0相交.故選C.12345678910111213141516172.兩條直線l1:2x-y-1=0與l2:x+3y-11=0的交點坐標(biāo)為(

)A.(3,2) B.(2,3)C.(-2,-3) D.(-3,-2)B12345678910111213141516173.關(guān)于x,y的方程組

沒有實數(shù)解,則實數(shù)a的值是(

)A.4 B.2

C.-4 D.-2C解析

依題意得直線2x-ay+1=0與直線x+2y-1=0平行,且a≠0.所以

,解得a=-4.故選C.12345678910111213141516174.已知兩條直線2x+3y-k=0和x-6y+12=0的交點在y軸上,那么k的值是(

)A.-6 B.6

C.2

D.-2B解析

由x-6y+12=0可得直線與y軸的交點坐標(biāo)為(0,2).將點(0,2)代入2x+3y-k=0,可得k=6.12345678910111213141516175.三條直線x=2,x-y-1=0,x+ky=0相交于一點,則k的值為

.

-2解析

設(shè)三條直線交于一點P,即P點坐標(biāo)為(2,1).∵直線x+ky=0過點P,即2+k=0,解得k=-2.12345678910111213141516176.經(jīng)過兩條直線2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交點,并且與直線x+y=1平行的直線方程為

,與直線x+y=1垂直的直線方程為

.

x+y-3=0x-y-1=0由于直線x+y=1的斜率為k=-1,因此過交點且與直線x+y=1平行的直線方程為y-1=-(x-2),整理得x+y-3=0.過交點且與直線x+y=1垂直的直線方程的斜率為1,則所求直線方程為y-1=x-2,整理得x-y-1=0.12345678910111213141516177.已知兩直線l1:3x-y+4=0和l2:x+y-4=0.(1)判斷兩直線是否相交,若相交,求出其交點;(2)求過直線l1與l2的交點且斜率為-2的直線方程.(2)(方法1)∵所求直線斜率為-2,且過直線l1與l2的交點,則所求的直線方程為y-4=-2(x-0),整理得2x+y-4=0.(方法2)顯然x+y-4=0不是所求方程,可設(shè)所求直線方程為3x-y+4+λ(x+y-4)=0(λ∈R),整理得(3+λ)x+(λ-1)y+4(1-λ)=0,∴-=-2,解得λ=5.整理得所求直線方程為2x+y-4=0.1234567891011121314151617B級關(guān)鍵能力提升練8.[2024甘肅甘南高二期中](多選題)已知三條直線:直線l1:ax+y-3=0,l2:x+y-1=0,l3:2x-y-5=0不能圍成一個封閉圖形,則實數(shù)a的值可以是(

)A.-2 B.1

C.2

D.3ABC解析

若l1,l2,l3中有兩條相互平行,或三條線過同一點都不可以圍成封閉圖形,若l1∥l2,由兩直線平行與斜率之間的關(guān)系可得a=1;若l1∥l3,由兩直線平行與斜率之間的關(guān)系可得a=-2;12345678910111213141516179.無論k為何值,直線(k+2)x+(1-k)y-4k-5=0都過一個定點,則該定點為(

)A.(1,3) B.(-1,3)C.(3,1) D.(3,-1)D解析

直線方程可化為(2x+y-5)+k(x-y-4)=0,則已知直線一定過直線2x+y-5=0和直線x-y-4=0的交點.解方程組

所以所求定點為(3,-1).故選D.123456789101112131415161710.若直線kx-k+y+1=0與直線x+3y-3=0交點在第一象限,則實數(shù)k的取值范圍為(

)C123456789101112131415161711.△ABC中,A(1,5),高BE,CF所在的直線方程分別為x-2y=0,x+5y+10=0,則BC所在直線的方程是(

)A.x+4y=0B.5x-y=28C.3x+5y=0D.5x-3y=28C123456789101112131415161712.(多選題)若三條直線2x+y-4=0,x-y+1=0與ax-y+2=0共有兩個交點,則實數(shù)a的值可以為(

)A.1 B.-1 C.2

D.-2AD解析

由題意可得三條直線中,有兩條直線互相平行.∵直線x-y+1=0和直線2x+y-4=0不平行,∴直線x-y+1=0和直線ax-y+2=0平行或直線2x+y-4=0和直線ax-y+2=0平行.∵直線x-y+1=0的斜率為1,直線2x+y-4=0的斜率為-2,直線ax-y+2=0的斜率為a,∴a=1或a=-2.故選AD.123456789101112131415161713.已知定點A(0,1),點B在直線x+y+1=0上運動,當(dāng)線段AB最短時,點B的坐標(biāo)是

.

(-1,0)解析

當(dāng)直線AB和直線x+y+1=0垂直時,線段AB的距離最短,此時直線AB的方程的斜率為k=1,所以直線AB的直線方程為y=x+1.123456789101112131415161714.已知△ABC的兩個頂點A(-10,2),B(6,4),垂心是H(5,2),則頂點C的坐標(biāo)為

.

(6,-6)又kAH=0,∴BC所在直線與x軸垂直,故直線BC的方程為x=6,聯(lián)立直線AC與BC的方程得點C的坐標(biāo)為C(6,-6).123456789101112131415161715.若△ABC的頂點A(5,1),AB邊上的中線CM所在直線方程為2x