人教版八年級上冊數(shù)學(xué)《全等三角形》教案

第十二章全等三角形

11.2全等三角形

一、教學(xué)目標(biāo)

1.理解全等形、全等三角形的概念.

2.能熟練找出兩個(gè)全等三角形的對應(yīng)角、對應(yīng)邊.

3.理解并能靈活應(yīng)用全等三角形的性質(zhì).培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)態(tài)研究幾何圖形的意識.

二、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)

重點(diǎn)：1.理解全等形、全等三角形的概念.

2.理解并能靈活應(yīng)用全等三角形的性質(zhì).

難點(diǎn)：全等三角形的性質(zhì)的運(yùn)用

三、教學(xué)用具

電腦、多媒體、課件、兩個(gè)完全相同的三角形硬紙板、直尺、刻度尺

四、相關(guān)資源

兩個(gè)全等三角形平移、旋轉(zhuǎn)、翻折的動(dòng)畫演示；全等三角形的概念與性質(zhì)微課

五、教學(xué)過程

（一）情景導(dǎo)入

1.下面哪些圖形的形狀相同、大小相等？

2.你能再舉出生活中的一些類似例子嗎？

設(shè)計(jì)意圖：豐富的圖形容易引起學(xué)生的注意，使他們能很快地投入到學(xué)習(xí)的情境中,

同時(shí)反映了現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的全等圖形.

（二）探究新知

1.舉出現(xiàn)實(shí)生活中能夠完全重合的圖形的例子.

這些形狀相同、大小相等的圖形放在一起能夠完全重合.

能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形.

結(jié)論：一個(gè)圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即

平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.

2.全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角以及兩個(gè)三角形全等的符號表示、讀法、寫法.

讓學(xué)生把剛才得到的兩個(gè)三角形，任意放置，與同桌交流.

（1）任何時(shí)候兩個(gè)三角形能夠完全重合在一起嗎？

（2）此時(shí)它們的頂點(diǎn)、邊、角，有什么特點(diǎn)？

把兩個(gè)全等的三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對應(yīng)邊，重

合的角叫做對應(yīng)角.

“全等”用“絲”表示，讀作“全等于”.

兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)的位置上，如△A8C和

△DEF,點(diǎn)A和點(diǎn)。、點(diǎn)B和點(diǎn)E、點(diǎn)C和點(diǎn)F是對應(yīng)頂點(diǎn)，記作△4BC絲△DEF.

（3）先讓學(xué)生對全等三角形紙板進(jìn)行觀察，小組討論，合作交流，觀察對應(yīng)邊、對應(yīng)

角有何關(guān)系，教師再用動(dòng)畫進(jìn)行演示，從而得出全等三角形的性質(zhì).

全等三角形的性質(zhì)：

全等三角形的對應(yīng)邊相等，

全等三角形的對應(yīng)角相等.

用幾何語言表示：

如圖：

EF

'：AABCgADEF,

：.AB=DE,AC=DF,BC=EF（全等三角形的對應(yīng)邊相等），

/A=/。，NB=/E,（全等三角形的對應(yīng)角相等）.

3.總結(jié)找對應(yīng)元素的常用方法：

（1）從運(yùn)動(dòng)角度看

翻折法：一個(gè)三角形沿某條直線翻折與另一個(gè)三角形重合，從而發(fā)現(xiàn)對應(yīng)元素.

b.旋轉(zhuǎn)法：一個(gè)三角形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度能與另一個(gè)三角形重合，從而發(fā)現(xiàn)對應(yīng)

元素.

c.平移法：沿某一方向推移使兩個(gè)三角形重合來找對應(yīng)元素.

（2）根據(jù)位置元素來推理

a.有公共邊的，公共邊是對應(yīng)邊；

b.有公共角的，公共角是對應(yīng)角；

C.有對頂角的，對頂角是對應(yīng)角；

d.兩個(gè)全等三角形最大的邊是對應(yīng)邊，最小的邊也是對應(yīng)邊;

e.兩個(gè)全等三角形最大的角是對應(yīng)角，最小的角也是對應(yīng)角.

（3）對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過觀察圖案的形狀、大小，得到“全等形”的概念，進(jìn)而遷移到

“全等三角形”的概念，從互相重合過渡到全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，從

而培養(yǎng)學(xué)生探索與發(fā)現(xiàn)問題的能力，并嘗試應(yīng)用知識解決問題，再一次激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱

情，掌握確定全等三角形的對應(yīng)頂點(diǎn)、對應(yīng)邊、對應(yīng)角的方法，幫助學(xué)生不斷完善和構(gòu)建

正確的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，完成新知識的內(nèi)化.

（三）課堂練習(xí)

1.判斷下列各組圖形中的兩個(gè)圖形是全等形的是.（填序號）

①②③④⑤

2.下列命題：

①形狀相同的三角形是全等三角形；

②面積相等的三角形是全等三角形；

③全等三角形的周長相等；

④經(jīng)過平移、翻折或旋轉(zhuǎn)得到的三角形與原三角形是全等三角形.

其中正確的命題有（）.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.如圖，已知△ABC絲△BAO,點(diǎn)A,C的對應(yīng)點(diǎn)分別為B,D,如果AB=5cm,BC

=7cm,AC=10cm,那么BO等于（）.

A.10cmB.7cmC.5cmD.無法確定

學(xué)生獨(dú)立完成..

答案：1.①②④；2.B；3.A

設(shè)計(jì)意圖：檢查學(xué)生對本節(jié)課所學(xué)知識的掌握情況.

六、課堂小結(jié)

1.在自己動(dòng)手實(shí)際操作中，得到了全等三角形的哪些知識?

2.找全等三角形對應(yīng)元素的方法，注意挖掘圖形中隱含的條件，如公共元素、對頂角

等，但公共頂點(diǎn)不一定是對應(yīng)頂點(diǎn).

3.在運(yùn)用全等三角形的定義和性質(zhì)時(shí)，應(yīng)注意規(guī)范書寫格式.

設(shè)計(jì)意圖：通過小結(jié)，使學(xué)生梳理本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，理解全等形、全等三角形的概念,

學(xué)會用全等符號表示全等三角形，會用全等三角形的性質(zhì)解決一些簡單的實(shí)際問題.

七、板書設(shè)計(jì)

12.1.1全等三角形

全等三角形：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形

對應(yīng)定點(diǎn)對應(yīng)邊對應(yīng)角

全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等全等三角形的對應(yīng)角相

第十二章全等三角形

12.2全等三角形的判定

第1課時(shí)

一、教學(xué)目標(biāo)

1.引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地經(jīng)歷探索三角形全等的條件的過程，體會利用操作、歸納獲得數(shù)

學(xué)結(jié)論的過程.

2.掌握三角形全等的“邊邊邊”的判定方法，了解三角形的穩(wěn)定性，能用三角形的全等解

決一些實(shí)際問題。.

3.培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，推理能力，發(fā)展有條理地表達(dá)能力，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：三角形全等條件的探索過程

難點(diǎn)：1.通過三角形全等條件的探索過程，體會研究幾何問題的方法.

2.探索并理解“邊邊邊”判定方法，會用“邊邊邊”證明兩個(gè)三角形全等.

3.會用尺規(guī)作一個(gè)角等于己知角，了解作圖的原理

三、教學(xué)用具

電腦、多媒體、課件、三角形硬紙板、刻度尺、直尺

四、相關(guān)資源

《三角形全等的條件》動(dòng)畫；《三角形全等的判定-SSS》微課

五、教學(xué)過程

(-)復(fù)習(xí)導(dǎo)入

回憶前面研究過的全等三角形.如圖,

已知△ABC紅ADEF,找出其中相等的邊與角.

圖中相等的邊是：AB=DE,BC=EF,AC^DF.相等的角是：NA=N。，NB=/E,

NC=NF.

這里有一個(gè)三角形紙片，你能畫一個(gè)三角形與它全等嗎？怎樣畫？

根據(jù)定義，先量出三角形紙片的各邊長和各個(gè)角的度數(shù)，再作出一個(gè)三角形使它的邊、

角分別和已知的三角形紙片的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等.這樣作出的三角形一定與已知的三角形

紙片全等.請問，是否一定需要六個(gè)條件呢？條件能否盡可能少呢？現(xiàn)在我們就來探究這個(gè)

問題.

設(shè)計(jì)意圖：提出“全等判定”問題，明確探究方向，激發(fā)探究欲望.

(二)探究新知

探究1：先任意畫一個(gè)△ABC,再畫一個(gè)△DEF,使△ABC與△DEF,滿足上述條件中

的一個(gè)或兩個(gè).你畫出的尸與△ABC一定全等嗎？

讓學(xué)生按照下面給出的條件作出三角形.

1.如果只滿足一個(gè)條件

(1)只給一條邊時(shí)如3cm；

(2)只給一個(gè)角時(shí)如45°.

結(jié)論：只有一條邊或一個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.

2.如果滿足兩個(gè)條件

(1)三角形的兩條邊分別是3cm,4cm；

結(jié)論：兩條邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.

(2)三角形的一條邊為4cm,一個(gè)角為30°；

結(jié)論：一條邊一個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.

(3)三角形的兩個(gè)角分別是30°,45°.

結(jié)論：兩個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.

根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°,則第三個(gè)角一定對應(yīng)相等，所以當(dāng)三個(gè)內(nèi)角對應(yīng)相等時(shí),

兩個(gè)三角形不一定全等.

通過畫一畫，剪一剪，比一比的方式，得出結(jié)論：

只給出一個(gè)或兩個(gè)條件時(shí)，都不能保證所畫出的兩個(gè)三角形一定全等.

3.如果滿足三個(gè)條件

(1)三個(gè)角；(2)三條邊；(3)兩邊一角；(4)兩角一邊.

(1)已知兩個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為30°,60°,90°,它們一定全等嗎？

這說明有三個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.

（2）已知兩個(gè)三角形的三條邊都分別為3cm,4cm,6cm,它們一定全等嗎？

通過平移、旋轉(zhuǎn)、翻折，得到它們能夠完全重合，也就是說它們是全等的.

探究2：先任意畫出一個(gè)△A8C,再畫一個(gè)夕C',使Ab=A8,B'C'=BC,C'A'=

CA,把畫好的夕C剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐幔?/p>

讓學(xué)生交流之后作出△4'夕C,并通過比較得出結(jié)論：三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

畫法：（1）畫射線夕在射線截取線段夕C=BC；

（2）分別以C為圓心，AB,AC為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)4.

（3）連結(jié)ATT,A'3得△4'B'C'.

剪下△4EC放在△ABC上，可以看到

通過觀察，我們得到一個(gè)規(guī)律：

三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.

這個(gè)定理說明，只要三角形的三邊的長度確定了，這個(gè)三角形的形狀和大小就完全確定

了，這也是三角形具有穩(wěn)定性的原理.

如何用符號語言來表達(dá)呢？

如圖：

在AABC馬4DEF中,

AB=DE,

.BC=EF,

AC=DF,

：./\ABC^/\DEF(SSS).

證明的書寫步驟：

(1)準(zhǔn)備條件：證全等時(shí)要用的條件要先證好.

(2)三角形全等書寫三步驟：

①寫出在哪兩個(gè)三角形中；

②擺出三個(gè)條件用大括號括起來：

③寫出全等結(jié)論.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過動(dòng)手操作、自主探究、交流、獲得新知，增強(qiáng)了動(dòng)手能力，同時(shí)

也滲透了分類的思想.

(三)例題講解

【例1】如下圖△力BC是一個(gè)鋼架，AB=AC,4力是連接點(diǎn)A與BC中點(diǎn)。的支架，

求證：△ABO絲△ACZX

證明：?.?。是BC的中點(diǎn),

：.BD=DC.

在△A8O和△AC￡)中,

AB=AC,

BD=CD,

AD=AD,

.,.△AB。絲△ACC(SSS).

設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用“邊邊邊”判定方法證明簡單的幾何問題，感悟判定方法的簡捷性,

體會證明過程的規(guī)范性.

【例2】用圓規(guī)和直尺畫一個(gè)角等于已知角的方法：

已知：ZAOB.

求作：ZA'0'B',使

作法：(1)以點(diǎn)。為圓心、任意長為半徑畫弧，分別交OA,0B與點(diǎn)C,。；

(2)畫一條射線O7V,以點(diǎn)。，為圓心、0C長為半徑畫弧，交04于點(diǎn)CZ

(3)以點(diǎn)。為圓心、CD長為半徑畫弧，與第2步中所畫的弧相交于點(diǎn)O；

(4)過點(diǎn)。，畫射線0?,則NA'0'B'=NA0B.

為什么這樣作出的N40b和N408是相等的？

學(xué)生獨(dú)立思考后，教師點(diǎn)名學(xué)生敘述理由.

由作法可知0C=0'C,OD^O'D',CD=C'D',根據(jù)“邊邊邊”可知△COO絲△C077,

所以

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生運(yùn)用“邊邊邊”條件進(jìn)行尺規(guī)作圖，同時(shí)體會作圖的合理性，增強(qiáng)

作圖技能.

(四)課堂練習(xí)：

1.己知：如圖，AB=4。，BC=DC,

求證：△ABC9XADC.

A

w

c

2.已知：如圖，AB=DC,AD=BC.

求證：NA=NC.

BL------------------'c

提示：要證明/4=NC,可設(shè)法使它們分別在兩個(gè)三角形中，為此，只要連結(jié)8。即

可.

第1題學(xué)生獨(dú)立完成，第2題學(xué)生獨(dú)立思考后，教師點(diǎn)撥.

答案：1.證明：在AABC和△AOC中，

AB=AD,

■BC=DC,

AC=AC,

:.XABg缸ADC(SSS).

2.證明：連結(jié)BD.

在△54。和△OCB中，

AB=CD,

?BD=DBt

AD=CB,

：.^BAD^/\DCB(SSS).

AZA=ZC(全等三角形的對應(yīng)角相等).

BJ---------------'c

設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)，熟悉全等三角形判定的證明格式，通過解題實(shí)踐，鍛煉學(xué)生探

索與發(fā)現(xiàn)問題的能力.

六、課堂小結(jié)

1.探索三角形全等條件的基本思路.

2.三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（邊邊邊或SSS）；

3.書寫格式：

（1）準(zhǔn)備條件；

（2）三角形全等書寫的三步驟.

設(shè)計(jì)意圖：通過小結(jié)，使學(xué)生梳理本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，理解和掌握構(gòu)建三角形全等條件的

探索思路，以及“邊邊邊”判定方法.

七、板書設(shè)計(jì)

12.2三角形全等的判定（邊邊邊）

“邊邊邊”：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等

“邊邊邊”的幾何語言

作一個(gè)角等于已知角的作圖步驟

第十二章全等三角形

12.2全等三角形的判定

第2課時(shí)

一、教學(xué)目標(biāo)：

1.理解三角形全等的判定定理（邊角邊），并能靈活地運(yùn)用，進(jìn)行有條理的簡單的推理.

2.經(jīng)歷探索三角形全等判定方法的過程，體會利用操作、歸納獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過程.

二、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)

重點(diǎn)：“邊角邊”判定條件的理解和應(yīng)用.

難點(diǎn):利用“邊角邊”的判定三角形全等，靈活解決問題.

三、教學(xué)用具

電腦、多媒體、課件、直尺、刻度尺、量角器

四、相關(guān)資源

動(dòng)畫演示《“已知兩邊及其夾角”做一個(gè)三角形與已知三角形重合的過程》

五、教學(xué)過程

（一）問題導(dǎo)入

在上節(jié)課的討論中，我們發(fā)現(xiàn)三角形中只給一個(gè)條件或兩個(gè)條件時(shí)，都不能保證所畫出

的三角形一定全等.給出三個(gè)條件時(shí)，有四種可能，你能說出是哪四種嗎？

生：三內(nèi)角；三條邊；兩邊一內(nèi)角；兩內(nèi)角一邊.

師：很好，這四種情況中我們已經(jīng)研究了兩種，三內(nèi)角分別相等不能保證兩三角形一定

全等；三條邊分別相等的兩三角形全等.今天我們接著研究第三種情況：“兩邊一內(nèi)角”.

師：如果已知一個(gè)三角形的兩邊及一內(nèi)角，那么它有幾種可能情況？

生：兩種：

（1）兩邊及其夾角；（2）兩邊及一邊的對角.

設(shè)計(jì)意圖：明確給出三個(gè)條件時(shí)有四種情況和本節(jié)課要探究的內(nèi)容.

（二）探究新知

師：按照上節(jié)方法，我們有兩個(gè)問題需要探究.

探究1：先任意畫出一個(gè)△ABC,再畫一個(gè)夕C,使C'A'=CA,ZA'=

/A（即保證兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等）.把畫好的aA，夕C剪下，放到△ABC上，它們?nèi)?/p>

等嗎？

探究2：先任意畫出一個(gè)△A8C,再畫一個(gè)△AQC,使C'A'^CA,NB'=

NB（即保證兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等）.把畫好的剪下，放到aABC上，它

們?nèi)葐幔?/p>

學(xué)生活動(dòng)：

（1）學(xué)生自己動(dòng)手，利用直尺、三角尺、量角器等工具畫出aABC與夕C,將△從夕C

剪下，與△ABC重疊，比較結(jié)果.

（2）作好圖后，與同伴交流作圖心得，討論發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律.

教師活動(dòng)：

在學(xué)生作完圖后，由一個(gè)學(xué)生口述作圖方法，教師進(jìn)行動(dòng)畫演示，再次體會探究全等三

角形條件的過程.

操作結(jié)果展示：

對于探究1：畫一個(gè)△AbC,使A'C'^AC,/A，=/A.

（1）畫/￡>4E=NA；

（2）在射線4。上截取AE=A8,在射線4E上截取4C=AC；

（3）連結(jié)B'C.

將△力⑻C剪下，發(fā)現(xiàn)△ABC與△4B，C'全等.

由此得出判定方法：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡稱“邊角邊”和

“SAS”).

幾何語言表示：

如圖，

在△46。和△應(yīng)尸中，

AB=DE,

-NB=NE,

BC=EF,

:.△ABgiXDEF(SAS).

對于探究2：

學(xué)生畫出的圖形各式各樣，有的說全等，有的說不全等.教師在此可引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)畫圖

方法：

(1)畫NDB，E=NB；

(2)在射線8'力上截取B'A'=BA；

(3)以A為圓心，以AC長為半徑畫弧，此時(shí)只要/CW90°,弧線一定和射線夕E交

于兩點(diǎn)C,F,也就是說可以得到兩個(gè)三角形滿足條件，而兩個(gè)三角形是不可能同時(shí)和AABC

全等的.

也就是說：兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.所以它不能作為

判定兩三角形全等的條件.

歸納總結(jié)：

“兩邊及一內(nèi)角”中的兩種情況只有一種情況能判定三角形全等.即：兩邊及其夾角對

應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(簡記為“邊角邊”或“SAS”).

設(shè)計(jì)意圖：類比“邊邊邊”探究得出“邊角邊”，學(xué)生通過動(dòng)手操作、自主探究、交流、

獲得新知，進(jìn)一步增強(qiáng)了動(dòng)手能力.

(三)例題解析

【例】如圖，有一池塘，要測池塘兩端A,B的距離，可先在平地上取一個(gè)點(diǎn)C,從點(diǎn)

C不經(jīng)過池塘可以直接到達(dá)A和B.連結(jié)AC并延長到。，使CD=CA.連結(jié)BC并延長到

點(diǎn)E,使CE=CB.連結(jié)?！?那么量出?！甑拈L就是A,8的距離.為什么？

師生共同分析：如果能證明△ABC也△OEC,就可以得出A8=OE.在△ABC和△DEC

中，AC=DC,BC=EC.要是再有N1=N2,那么△ABC與△￡)￡■(7就全等了.而N1和N

2是對頂角，所以它們相等.

證明：在△ABC和△￡>￡<?中，

AC=DC,

"Z1=Z2,

BC=EC,

.'.△ABC/△力EC(SAS).

：.AB=DE.

設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用“邊角邊”判定方法解決實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何

問題，分析問題中的已知條件，以及兩個(gè)三角形全等還需要的條件.

(四)課堂練習(xí)

1.如圖，0A平分NBOC,并且。B=OC.求證：AB=AC.

2.如圖，已知△ABC中，AB=AC,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn)，且C￡)=BE,△AOC

與△AE8全等嗎？小明是這樣分析的：因?yàn)锳B=4C,BE=CD,ZBAE=ZCAD,所以△

ADC^/\AEB(SSA),他的思路正確嗎？請說明理由.

A

學(xué)生獨(dú)立完成.

答案：

1.證明：平分NBOC,

：.ZBOA=ZCOA.

在△OAB和△OAC中，

OB=0C,

"NBOA=ZCOA,

0A=0A,

：.ZXOAB絲△OAC(SAS).

：.AB=AC.

2.小明的思路錯(cuò)誤.錯(cuò)解在把“SSA”作為三角形全等的判別方法，實(shí)際上，“SSA”

不能作為三角形全等的判別條件.因?yàn)閮蛇吋耙贿厡窍嗟鹊膬蓚€(gè)三角形不一定全等.

正解：△AOC四△4EB.因?yàn)?B=AC,D,E為AB,AC的中點(diǎn)，所以AO=AE.在X

AQC和△AE8中，因?yàn)锳C=A8,AD=AE,CD=BE,所以△AQC附△AEB(SSS).

或者因?yàn)锳B=AC,D,E為AB,AC的中點(diǎn)，所以AZ)=AE.在△AOC和△AE8中，

因?yàn)锳C=A8,NCAD=NBAE,AD=AE,所以△AOC絲(SAS).

設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)，掌握全等三角形判定的證明格式，通過解題實(shí)踐，鍛煉學(xué)生分

析問題，尋找判定三角形全等條件的能力.

六、課堂小結(jié)

1.根據(jù)“邊角邊”判定兩個(gè)三角形全等，要找出兩邊及夾角對應(yīng)相等的三個(gè)條件.

2.找使結(jié)論成立所需條件，要充分利用已知條件(包括給出圖形中的隱含條件，如公

共邊、公共角等)，并要善于運(yùn)用學(xué)過的定義、公理、定理.

設(shè)計(jì)意圖：通過小結(jié)，使學(xué)生梳理本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，理解“邊角邊”判定方法.

七、板書設(shè)計(jì)

12.2三角形全等的判定(邊角邊)

“邊角邊"（SAS）：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等

邊角邊的幾何語言

第十二章全等三角形

12.2全等三角形的判定

第3課時(shí)

一、教學(xué)目標(biāo)

1.掌握三角形全等“ASA”和“AAS”條件.

2.能運(yùn)用“ASA”和“AAS”條件判定兩個(gè)三角形全等.

二、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)

重點(diǎn)：經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，體會利用操作、歸納獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過程，.

難點(diǎn)：“角邊角”和“角角邊”判定條件的理解和應(yīng)用

三、教學(xué)用具

電腦、多媒體、課件、三角形硬紙板、直尺、刻度尺

四、相關(guān)資源

“已知兩角及其夾邊”作一個(gè)三角形與已知三角形重合的過程；三角形全等的判定微課

五、教學(xué)過程

（-）情境導(dǎo)入

（1）一張教學(xué)用的三角形硬紙板不小心被撕壞了，如下圖，你能制作一張與原來同樣

大小的新教具嗎？能恢復(fù)原來三角形的原貌嗎？

（2）到目前為止，可以作為判別兩個(gè)三角形全等的方法有幾種？各是什么？

三種：（1）定義；（2）SSS；（3）SAS.

今天我們接著探究已知兩角一邊是否可以判斷兩三角形全等？

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置問題情境，激發(fā)學(xué)生的求知欲，明確本節(jié)課要探究的內(nèi)容.

(二)探究新知

1.拿出準(zhǔn)備好的三角形硬紙片△ABC,再畫一個(gè)△A‘B'C',使4B，=AB,乙4'

=NA,ZB'=NB(即保證兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等).把畫好的△A'B'C',放到

叢ABC上,它們?nèi)葐幔?/p>

學(xué)生活動(dòng)：

(1)學(xué)生自己動(dòng)手，利用直尺、三角尺、量角器等工具畫出將△48。與

重疊，比較結(jié)果.

(2)作好圖形后，與同伴交流作圖心得，討論發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律.

操作結(jié)果展示：

畫一個(gè)△A'B'C',使/'B'=AB,NZZB'=ZB.

(1)畫W=4B；

(2)在4'B'的同旁畫/。NEB'A'=/B,A'D,配E相交于點(diǎn)C.

將做好的夕C剪下，'發(fā)現(xiàn)AABC與AA'B'C'全等.

由此得出判定方法：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡寫成“角邊

角”或“ASA”).

幾何語言表示：

如圖，

在△ABC和尸中,

NB=NE,

<BC=EF,

ZC=NF,

:.XABC色XDEF(ASA).

設(shè)計(jì)意圖：類比''邊邊邊”和“邊角邊”探究得出“角邊角”的兩個(gè)三角形全等的判

定方法，學(xué)生通過動(dòng)手操作、自主探究、交流、獲得新知，進(jìn)一步增強(qiáng)了動(dòng)手能力，滲透

類比思想.

2.在兩個(gè)三角形中，是不是只要有兩個(gè)角對應(yīng)相等，一條邊對應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形

就全等呢？

下面，我們來看一個(gè)問題：

如圖，在△ABC和△OEF中，4人=/D,/B=/E,BC=EF.求證：△ABgl\DEF.

證明：在中，ZA+ZB+ZC=\^°,

.：/C=180。-ZA-ZB.

同理4=180°-ZD-ZE.

又NA=〃，/B=/E,

:.NC=NF.

在和△%T7中

ZB=Z￡,

-BC=EF,

NC=NF,

:.叢ABC沼/XDEF(ASA).

由此得出：兩角和其中一角的對邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡寫成“角角邊”

或aAAS").

幾何語言表示:

如圖，

在△4BC和△OEF中，

ZA=ZZ),

"ZB=NE,

BC=EF,

：./\ABC^/\DEF(AAS).

設(shè)計(jì)意圖：用"角邊角”證明滿足兩角和其中一角的對邊分別相等的兩個(gè)三角形全等

的正確性，得出“角角邊”的判定方法.

（三）例題解析

【例】如圖，點(diǎn)。在AB上，點(diǎn)E在AC'上，AB=AC,NB=NC.求證：AD=A￡

證明：在△AC。和△ABE中,

ZA=NA,

AC=AB,

NC=ZB,

/.AACD^AABE(ASA).

.'.AD=AE.

設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用“角邊角”判定方法證明兩個(gè)三角形全等，從而證明兩條線段相等.

（四）課堂練習(xí)

1.如圖，點(diǎn)。在AB上，點(diǎn)E在AC上，BE和CD相交于點(diǎn)。，AB^AC,ZB=ZC.求

證：BO=CO.

2.解決課前導(dǎo)入的問題：一張教學(xué)用的三角形硬紙板不小心被撕壞了，如下圖，你能

制作一張與原來同樣大小的新教具嗎？能恢復(fù)原來三角形的原貌嗎？

學(xué)生獨(dú)立完成.

答案：

1.證明：在△AC。和△ABE中，

NA=N4

<AC=AB,

NC=NB,

：./\ACD^/\ABE（ASA）.

'.AD=AE.

'：AB=AC,

：.AB-AD=AC-AE.

即BD=CE.

在△800和△COE中，

Z.BOD=乙COE,

<ZB=ZC,

BD=CE,

:.△BODQXCOECAAS）.

：.BO=CO.

2.被撕壞的這塊三角形硬紙板保留了原三角形硬紙板的兩角及其夾邊，新制作的三角

形硬紙板的兩角及其夾邊和被撕壞的這塊三角形硬紙板對應(yīng)相等，新制作的三角形硬紙板和

原三角形硬紙板滿足“角邊角”，自然就同樣大小了，所以能恢復(fù)原來三角形的原貌.

設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用“角邊角”和“角角邊”的判定方法證明兩個(gè)三角形全等，體會全等

三角形判定方法的多樣性，鍛煉學(xué)生挖掘題目中隱含條件的能力.

六、課堂小結(jié)

1.如何找對應(yīng)相等的邊和角？

尋找對應(yīng)相等的邊：公共邊、中點(diǎn)或中線、通過計(jì)算（同加或同減）、作輔助線（構(gòu)造

公共邊等）.

尋找對應(yīng)相等的角：公共角、角平分線平分角、直角或垂直（90°）、平行線性質(zhì)、通

過計(jì)算（同加或同減）；同角的余角相等.

對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊.

2.我們現(xiàn)在學(xué)了五種判定三角形全等的方法：

(1)全等三角形的定義；

(2)邊邊邊(SSS)；

(3)邊角邊(SAS)；

(4)角邊角(ASA)；

(5)角角邊(AAS).

3.要根據(jù)題意選擇適當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?

4.用三角形全等來證明線段相等或角相等.

設(shè)計(jì)意圖：通過小結(jié)，使學(xué)生梳理本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，理解“角邊角”和“角角邊”的判

定方法，靈活選擇全等三角形的判定方法判定兩個(gè)三角形全等.

七、板書設(shè)計(jì)

12.2三角形全等的判定(“角邊角”和“角角邊”)

“角邊角”(ASA)：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.

“角角邊”：兩角和其中一角的對邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.

“角邊角”的幾何語言

“角角邊”的幾何語言

第十二章全等三角形

12.2全等三角形的判定

第4課時(shí)

一、教學(xué)目標(biāo)

1.讓學(xué)生經(jīng)歷探究全等直角三角形判定方法“HL”的過程，學(xué)會用操作確認(rèn)、歸納發(fā)現(xiàn)

問題結(jié)論的方法。

2.通過操作確認(rèn)、歸納得到直角三角形全等的判定方法，感知實(shí)驗(yàn)操作在發(fā)現(xiàn)問題結(jié)

論中的重要作用，讓學(xué)生體會到學(xué)習(xí)幾何的樂趣。

二、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)

重點(diǎn)：直角三角形全等的條件、判定方法。

難點(diǎn)：運(yùn)用全等直角三角形的判定方法解決問題。

三、教學(xué)用具

電腦、多媒體、課件、直角三角形硬紙板、直尺、刻度尺、量角器

四、相關(guān)資源

《全等三角形的判定（斜邊，直角邊）》微課

五、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)導(dǎo)入

1.我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了判定兩個(gè)三角形全等的方法：“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”.

2.如圖，RtZXABC中，直角邊是48和BC,斜邊是4c.

3.對于兩個(gè)直角三角形，除了直角相等的條件外，還要滿足幾個(gè)條件，這兩個(gè)直角三

角形就全等了？說說你的看法.

例如：（1）滿足一邊一銳角分別相等的兩個(gè)直角三角形全等.（利用“ASA”或“AAS”）,

（2）兩直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等.（利用“SAS”）

如果滿足斜邊和一條直角邊分別相等，這兩個(gè)直角三角形全等嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過回顧已學(xué)過的全等三角形的判定方法，構(gòu)建三角形全等的知識體系，

接著利用提出“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形是否全等”問題，明確本節(jié)

課的探究內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生探究知識的欲望.

（二）探究新知

探究：拿出準(zhǔn)備好的Rt/XABC,,再畫一個(gè)RtZXA'B'C',使NC'=90°,B'C

=BC,A'8/=AB,把畫好的RtAA'8'C'剪下，放到上，它們?nèi)葐幔?/p>

學(xué)生活動(dòng)：

（1）學(xué)生自己動(dòng)手，利用直尺、三角尺、量角器等工具畫出RtZ\ABC與44'8'C',

將Rt^A'B'C剪下，與RtZVIBC重疊，比較結(jié)果.

（2）作好圖后，與同伴交流作圖心得，討論發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律.

操作結(jié)果展示：

畫一個(gè)Rt44'B'C,使"C'=BC,A'B'=A&

（1）畫NMCW=90°；

（2）在射線CM上取B'C=BC；

(3)以方為圓心、A8為半徑畫弧，交射線CW于點(diǎn)4；

(4)連接48'.

通過重疊發(fā)現(xiàn)RtAABC與RtzMB'C'全等.

于是得出直角三角形的判定方法：

斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等(簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”).

在使用“HL”時(shí)，同學(xué)們應(yīng)注意:

(1)“HL”是僅適用于直角三角形的特殊方法.

(2)注意對應(yīng)相等.

用幾何語言表示為：

如圖，

在RtAABC和Rt/\DEF中,

\AB=DE,

1AC=DF,

：.RtAABC^RtADEF(HL).

設(shè)計(jì)意圖：類比"SSS”“SAS”“ASA”“AAS”探究得出“HL”，學(xué)生通過動(dòng)手操

作、自主探究、交流、獲得新知，掌握直角三角形的判定方法和書寫格式.

(三)例題解析

【例】如圖，ACLBC,BDVAD,垂足分別為C,D,AC^BD.求證：BC=AD.

AB

證明："：ACLBC,BD1AD,

：.ZD=ZC=90°.

在RtAABC和RtABAD中,

AB=BA,

AC=BD,

：.Rt/\ABC^Rt/\BAD(HL).

：.BC=AD.

變式：如圖，/ACB=乙4。8=90°,要使△ABC絲△54。還需增加一個(gè)什么條件？把

增加的條件填在橫線上,并在后面相應(yīng)括號內(nèi)填上判定它們?nèi)鹊睦碛?

(1)();(2)();

(3)().

答案：（1）AC=BD,HL；(2)AD=BC,HL；

(3)ZBAC^ZABD,AAS；(4)ZABC^ZBAD,ASA.

設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用“斜邊、直角邊”判定方法證明兩個(gè)直角三角形三角形全等，從而證

明兩條線段相等.

（四）課堂練習(xí)

1、如圖，有兩個(gè)長度相等的滑梯，左邊滑梯的高AC與右邊滑梯水平方向的長度OF

相等，兩滑梯傾斜角/ABC和/。FE有什么關(guān)系？

學(xué)生獨(dú)立完成.

答案：

解：ZABC+Z￡）FE=90°.

理由如下：

在RtAABC和RtADfF中,

JBC=EF,

\AC=DF,

：.RtAABC^RtADEF(HL).

???ZABC=ZDEF.

又?.*ZDEF+ZDFE=90°9

：.ZABC+ZDFE=90°.

即兩滑梯的傾斜角NABC與NDFE互余.

2、已知：如圖，AC平分/BAO,CE1.ABE,CF±ADF,_SBC=DC.

求證：BE=DF.

答案：YAC平分N84。，

???NDAC=NBAC.

?.?CEJ_A8于E,C凡1_4。于產(chǎn)，

???ZAFC=ZAEC.

'：AC=AC,

：./XAFC^/XAEC(AAS).

：.EC=FC.

在RtADCF和RtABCE中

jBC=DC,

[EC=FC,

：.RtADCF^RtABCE.

：.BE=DF.

設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用“斜邊、直角邊”判定方法證明兩個(gè)直角三角形全等，熟練書寫格式,

鍛煉學(xué)生挖掘題目中隱含條件解決實(shí)際問題的能力.

六、課堂小結(jié)

1.到目前為止，我們有六種判定三角形全等的方法：

(1)全等三角形的定義；

(2)邊邊邊(SSS)；

(3)邊角邊(SAS)；

(4)角邊角(ASA)；

(5)角角邊(AAS)；

(6)HL(僅用在直角三角形中).

2.要根據(jù)題意靈活選擇適當(dāng)?shù)娜切稳鹊呐卸ǚ椒?

3.用三角形全等來證明線段相等或角相等.

設(shè)計(jì)意圖：通過小結(jié)，使學(xué)生梳理本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，理解“斜邊、直角邊”判定方法,

靈活選擇全等三角形判定方法判定兩個(gè)三角形全等.

七、板書設(shè)計(jì)

12.2三角形全等的判定(HL)

直角三角形全等的判定(HL)：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)三角形全等

直角三角形全等的判定(HL)的幾何語言

第十二章全等三角形

12.3角的平分線的性質(zhì)

一、教學(xué)目標(biāo)

1.會用尺規(guī)作一個(gè)已知角的平分線；

2.掌握角的平分線的性質(zhì)和判定；能夠完成嚴(yán)密的邏輯推理；

3.能運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)定理解決簡單的幾何問題.

二、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)

重點(diǎn)：角平分線的尺規(guī)作圖，角的平分線的性質(zhì)和判定及其應(yīng)用.

難點(diǎn)：1.對角平分線性質(zhì)定理中“點(diǎn)到角兩邊的距離”的正確理解.

2.角的平分線的性質(zhì)及判定定理的運(yùn)用.

三、教學(xué)用具

電腦、多媒體、課件、直尺、刻度尺、量角器、角平分儀

四、相關(guān)資源

《角的平分線的性質(zhì)》微課

五、教學(xué)過程

(-)引出新知

問題1：給出一個(gè)紙片做的角，能不能找出這個(gè)角的角平分線呢？

師生活動(dòng)：可用量角器，若不利用工具，也可用折紙的方法，教師課件演示.

問題2：哪一種方法用起來更方便？在生活中，這些方法是否都可行呢？

師生活動(dòng)：用量角器比較方便，但有誤差，用折疊的方法比較簡捷，但若換成木板、鋼

板等無法對折的材料，此方法就不行了，那還有別的方法適合嗎？引出課題.

［設(shè)計(jì)意圖］依據(jù)弗雷登塔爾的現(xiàn)實(shí)性原則，設(shè)計(jì)“激趣設(shè)疑、聯(lián)舊帶新”環(huán)節(jié)，既

能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的意識，同時(shí)為更高層次的

知識建構(gòu)提供了理想途徑.

（-）探究新知

探究（1）：出示儀器模型，說明工人師傅常用如圖所示的簡易平分角的儀器來畫角的平

分線.介紹儀器特點(diǎn)（有兩對邊相等），將A點(diǎn)放在角的頂點(diǎn)處，和AD沿角的兩邊放下,

過AC畫一條射線AE,4E即為/8AQ的平分線.為什么？

學(xué)生口述，用三角形全等的方法（SSS）證明AE是NBA。的平分線.

師問：把簡易平分角的儀器放在角的兩邊時(shí)，平分角的儀器兩邊相等，也就是4B=A￡>,

從幾何作圖角度怎么畫？BC=DC,從幾何作圖角度怎么畫？

師生活動(dòng)：學(xué)生同桌交流，歸納角的平分線的作法.學(xué)生板演示范作圖.

預(yù)設(shè)：為什么要以大于LMN的長為半徑畫弧？為什么強(qiáng)調(diào)交于角的內(nèi)部？提倡學(xué)生自

2

學(xué)、對學(xué)、再群學(xué).

［設(shè)計(jì)意圖］幫助學(xué)生體驗(yàn)從生產(chǎn)生活中分離，抽象出數(shù)學(xué)模型，以此為線索，先自

學(xué)、再對學(xué)，有問題（或困難）的在小組內(nèi)交流，從實(shí)驗(yàn)操作中獲得啟示，探究出作角的

平分線的方法，不僅注重了個(gè)人的實(shí)效性發(fā)展，而且也實(shí)現(xiàn)了學(xué)生自身能力的資源共享.

探究（2）：請將一張用紙片做的角NA08對折，再折出一個(gè)直角三角形（使第一條折

痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？再連續(xù)折出幾

個(gè)直角三角形，然后展開，觀察折痕，你能得到什么結(jié)論？

問題1：第一次的折痕和角有什么關(guān)系？為什么？

問題2：第二次折疊形成的兩條折痕與角的兩邊有何關(guān)系，它們的長度有何關(guān)系？

學(xué)生動(dòng)手折疊

師生活動(dòng)：第一次折痕是角的平分線，第二次的折痕是角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離,

它們的長度相等，連續(xù)再折出折痕長度也對應(yīng)相等.由此可見，角的平分線除了有平分角的

性質(zhì)，還有其他性質(zhì).用文字語言闡述得到的猜想：

角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等

［設(shè)計(jì)意圖］學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦，可猜測并能說出觀察到的結(jié)論，為邏輯推理做好了鋪墊.

幾何語言：：0C是/A0