人教版八年級上冊數(shù)學《全等三角形》教案

第十二章全等三角形

11.2全等三角形

一、教學目標

1.理解全等形、全等三角形的概念.

2.能熟練找出兩個全等三角形的對應角、對應邊.

3.理解并能靈活應用全等三角形的性質.培養(yǎng)學生動態(tài)研究幾何圖形的意識.

二、教學重點及難點

重點：1.理解全等形、全等三角形的概念.

2.理解并能靈活應用全等三角形的性質.

難點：全等三角形的性質的運用

三、教學用具

電腦、多媒體、課件、兩個完全相同的三角形硬紙板、直尺、刻度尺

四、相關資源

兩個全等三角形平移、旋轉、翻折的動畫演示；全等三角形的概念與性質微課

五、教學過程

（一）情景導入

1.下面哪些圖形的形狀相同、大小相等？

2.你能再舉出生活中的一些類似例子嗎？

設計意圖：豐富的圖形容易引起學生的注意，使他們能很快地投入到學習的情境中,

同時反映了現(xiàn)實生活中存在著大量的全等圖形.

（二）探究新知

1.舉出現(xiàn)實生活中能夠完全重合的圖形的例子.

這些形狀相同、大小相等的圖形放在一起能夠完全重合.

能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形.

結論：一個圖形經過平移、翻折、旋轉后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即

平移、翻折、旋轉前后的圖形全等.

2.全等三角形的對應邊、對應角以及兩個三角形全等的符號表示、讀法、寫法.

讓學生把剛才得到的兩個三角形，任意放置，與同桌交流.

（1）任何時候兩個三角形能夠完全重合在一起嗎？

（2）此時它們的頂點、邊、角，有什么特點？

把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應頂點，重合的邊叫做對應邊，重

合的角叫做對應角.

“全等”用“絲”表示，讀作“全等于”.

兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上，如△A8C和

△DEF,點A和點。、點B和點E、點C和點F是對應頂點，記作△4BC絲△DEF.

（3）先讓學生對全等三角形紙板進行觀察，小組討論，合作交流，觀察對應邊、對應

角有何關系，教師再用動畫進行演示，從而得出全等三角形的性質.

全等三角形的性質：

全等三角形的對應邊相等，

全等三角形的對應角相等.

用幾何語言表示：

如圖：

EF

'：AABCgADEF,

：.AB=DE,AC=DF,BC=EF（全等三角形的對應邊相等），

/A=/。，NB=/E,（全等三角形的對應角相等）.

3.總結找對應元素的常用方法：

（1）從運動角度看

翻折法：一個三角形沿某條直線翻折與另一個三角形重合，從而發(fā)現(xiàn)對應元素.

b.旋轉法：一個三角形繞某一點旋轉一定角度能與另一個三角形重合，從而發(fā)現(xiàn)對應

元素.

c.平移法：沿某一方向推移使兩個三角形重合來找對應元素.

（2）根據(jù)位置元素來推理

a.有公共邊的，公共邊是對應邊；

b.有公共角的，公共角是對應角；

C.有對頂角的，對頂角是對應角；

d.兩個全等三角形最大的邊是對應邊，最小的邊也是對應邊;

e.兩個全等三角形最大的角是對應角，最小的角也是對應角.

（3）對應邊所對的角是對應角，對應角所對的邊是對應邊.

設計意圖：讓學生通過觀察圖案的形狀、大小，得到“全等形”的概念，進而遷移到

“全等三角形”的概念，從互相重合過渡到全等三角形的對應邊、對應角相等的性質，從

而培養(yǎng)學生探索與發(fā)現(xiàn)問題的能力，并嘗試應用知識解決問題，再一次激發(fā)學生的學習熱

情，掌握確定全等三角形的對應頂點、對應邊、對應角的方法，幫助學生不斷完善和構建

正確的認知結構，完成新知識的內化.

（三）課堂練習

1.判斷下列各組圖形中的兩個圖形是全等形的是.（填序號）

①②③④⑤

2.下列命題：

①形狀相同的三角形是全等三角形；

②面積相等的三角形是全等三角形；

③全等三角形的周長相等；

④經過平移、翻折或旋轉得到的三角形與原三角形是全等三角形.

其中正確的命題有（）.

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.如圖，已知△ABC絲△BAO,點A,C的對應點分別為B,D,如果AB=5cm,BC

=7cm,AC=10cm,那么BO等于（）.

A.10cmB.7cmC.5cmD.無法確定

學生獨立完成..

答案：1.①②④；2.B；3.A

設計意圖：檢查學生對本節(jié)課所學知識的掌握情況.

六、課堂小結

1.在自己動手實際操作中，得到了全等三角形的哪些知識?

2.找全等三角形對應元素的方法，注意挖掘圖形中隱含的條件，如公共元素、對頂角

等，但公共頂點不一定是對應頂點.

3.在運用全等三角形的定義和性質時，應注意規(guī)范書寫格式.

設計意圖：通過小結，使學生梳理本節(jié)所學內容，理解全等形、全等三角形的概念,

學會用全等符號表示全等三角形，會用全等三角形的性質解決一些簡單的實際問題.

七、板書設計

12.1.1全等三角形

全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形

對應定點對應邊對應角

全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等全等三角形的對應角相

第十二章全等三角形

12.2全等三角形的判定

第1課時

一、教學目標

1.引導學生積極主動地經歷探索三角形全等的條件的過程，體會利用操作、歸納獲得數(shù)

學結論的過程.

2.掌握三角形全等的“邊邊邊”的判定方法，了解三角形的穩(wěn)定性，能用三角形的全等解

決一些實際問題。.

3.培養(yǎng)學生的空間觀念，推理能力，發(fā)展有條理地表達能力，積累數(shù)學活動經驗。

二、教學重點與難點

重點：三角形全等條件的探索過程

難點：1.通過三角形全等條件的探索過程，體會研究幾何問題的方法.

2.探索并理解“邊邊邊”判定方法，會用“邊邊邊”證明兩個三角形全等.

3.會用尺規(guī)作一個角等于己知角，了解作圖的原理

三、教學用具

電腦、多媒體、課件、三角形硬紙板、刻度尺、直尺

四、相關資源

《三角形全等的條件》動畫；《三角形全等的判定-SSS》微課

五、教學過程

(-)復習導入

回憶前面研究過的全等三角形.如圖,

已知△ABC紅ADEF,找出其中相等的邊與角.

圖中相等的邊是：AB=DE,BC=EF,AC^DF.相等的角是：NA=N。，NB=/E,

NC=NF.

這里有一個三角形紙片，你能畫一個三角形與它全等嗎？怎樣畫？

根據(jù)定義，先量出三角形紙片的各邊長和各個角的度數(shù)，再作出一個三角形使它的邊、

角分別和已知的三角形紙片的對應邊、對應角相等.這樣作出的三角形一定與已知的三角形

紙片全等.請問，是否一定需要六個條件呢？條件能否盡可能少呢？現(xiàn)在我們就來探究這個

問題.

設計意圖：提出“全等判定”問題，明確探究方向，激發(fā)探究欲望.

(二)探究新知

探究1：先任意畫一個△ABC,再畫一個△DEF,使△ABC與△DEF,滿足上述條件中

的一個或兩個.你畫出的尸與△ABC一定全等嗎？

讓學生按照下面給出的條件作出三角形.

1.如果只滿足一個條件

(1)只給一條邊時如3cm；

(2)只給一個角時如45°.

結論：只有一條邊或一個角對應相等的兩個三角形不一定全等.

2.如果滿足兩個條件

(1)三角形的兩條邊分別是3cm,4cm；

結論：兩條邊對應相等的兩個三角形不一定全等.

(2)三角形的一條邊為4cm,一個角為30°；

結論：一條邊一個角對應相等的兩個三角形不一定全等.

(3)三角形的兩個角分別是30°,45°.

結論：兩個角對應相等的兩個三角形不一定全等.

根據(jù)三角形的內角和為180°,則第三個角一定對應相等，所以當三個內角對應相等時,

兩個三角形不一定全等.

通過畫一畫，剪一剪，比一比的方式，得出結論：

只給出一個或兩個條件時，都不能保證所畫出的兩個三角形一定全等.

3.如果滿足三個條件

(1)三個角；(2)三條邊；(3)兩邊一角；(4)兩角一邊.

(1)已知兩個三角形的三個內角分別為30°,60°,90°,它們一定全等嗎？

這說明有三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.

（2）已知兩個三角形的三條邊都分別為3cm,4cm,6cm,它們一定全等嗎？

通過平移、旋轉、翻折，得到它們能夠完全重合，也就是說它們是全等的.

探究2：先任意畫出一個△A8C,再畫一個夕C',使Ab=A8,B'C'=BC,C'A'=

CA,把畫好的夕C剪下，放到△ABC上，它們全等嗎？

讓學生交流之后作出△4'夕C,并通過比較得出結論：三邊對應相等的兩個三角形全等.

畫法：（1）畫射線夕在射線截取線段夕C=BC；

（2）分別以C為圓心，AB,AC為半徑畫弧，兩弧相交于點4.

（3）連結ATT,A'3得△4'B'C'.

剪下△4EC放在△ABC上，可以看到

通過觀察，我們得到一個規(guī)律：

三邊分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.

這個定理說明，只要三角形的三邊的長度確定了，這個三角形的形狀和大小就完全確定

了，這也是三角形具有穩(wěn)定性的原理.

如何用符號語言來表達呢？

如圖：

在AABC馬4DEF中,

AB=DE,

.BC=EF,

AC=DF,

：./\ABC^/\DEF(SSS).

證明的書寫步驟：

(1)準備條件：證全等時要用的條件要先證好.

(2)三角形全等書寫三步驟：

①寫出在哪兩個三角形中；

②擺出三個條件用大括號括起來：

③寫出全等結論.

設計意圖：學生通過動手操作、自主探究、交流、獲得新知，增強了動手能力，同時

也滲透了分類的思想.

(三)例題講解

【例1】如下圖△力BC是一個鋼架，AB=AC,4力是連接點A與BC中點。的支架，

求證：△ABO絲△ACZX

證明：?.?。是BC的中點,

：.BD=DC.

在△A8O和△AC￡)中,

AB=AC,

BD=CD,

AD=AD,

.,.△AB。絲△ACC(SSS).

設計意圖：運用“邊邊邊”判定方法證明簡單的幾何問題，感悟判定方法的簡捷性,

體會證明過程的規(guī)范性.

【例2】用圓規(guī)和直尺畫一個角等于已知角的方法：

已知：ZAOB.

求作：ZA'0'B',使

作法：(1)以點。為圓心、任意長為半徑畫弧，分別交OA,0B與點C,。；

(2)畫一條射線O7V,以點。，為圓心、0C長為半徑畫弧，交04于點CZ

(3)以點。為圓心、CD長為半徑畫弧，與第2步中所畫的弧相交于點O；

(4)過點。，畫射線0?,則NA'0'B'=NA0B.

為什么這樣作出的N40b和N408是相等的？

學生獨立思考后，教師點名學生敘述理由.

由作法可知0C=0'C,OD^O'D',CD=C'D',根據(jù)“邊邊邊”可知△COO絲△C077,

所以

設計意圖：讓學生運用“邊邊邊”條件進行尺規(guī)作圖，同時體會作圖的合理性，增強

作圖技能.

(四)課堂練習：

1.己知：如圖，AB=4。，BC=DC,

求證：△ABC9XADC.

A

w

c

2.已知：如圖，AB=DC,AD=BC.

求證：NA=NC.

BL------------------'c

提示：要證明/4=NC,可設法使它們分別在兩個三角形中，為此，只要連結8。即

可.

第1題學生獨立完成，第2題學生獨立思考后，教師點撥.

答案：1.證明：在AABC和△AOC中，

AB=AD,

■BC=DC,

AC=AC,

:.XABg缸ADC(SSS).

2.證明：連結BD.

在△54。和△OCB中，

AB=CD,

?BD=DBt

AD=CB,

：.^BAD^/\DCB(SSS).

AZA=ZC(全等三角形的對應角相等).

BJ---------------'c

設計意圖：通過練習，熟悉全等三角形判定的證明格式，通過解題實踐，鍛煉學生探

索與發(fā)現(xiàn)問題的能力.

六、課堂小結

1.探索三角形全等條件的基本思路.

2.三邊對應相等的兩個三角形全等（邊邊邊或SSS）；

3.書寫格式：

（1）準備條件；

（2）三角形全等書寫的三步驟.

設計意圖：通過小結，使學生梳理本節(jié)所學內容，理解和掌握構建三角形全等條件的

探索思路，以及“邊邊邊”判定方法.

七、板書設計

12.2三角形全等的判定（邊邊邊）

“邊邊邊”：三邊分別相等的兩個三角形全等

“邊邊邊”的幾何語言

作一個角等于已知角的作圖步驟

第十二章全等三角形

12.2全等三角形的判定

第2課時

一、教學目標：

1.理解三角形全等的判定定理（邊角邊），并能靈活地運用，進行有條理的簡單的推理.

2.經歷探索三角形全等判定方法的過程，體會利用操作、歸納獲得數(shù)學結論的過程.

二、教學重點及難點

重點：“邊角邊”判定條件的理解和應用.

難點:利用“邊角邊”的判定三角形全等，靈活解決問題.

三、教學用具

電腦、多媒體、課件、直尺、刻度尺、量角器

四、相關資源

動畫演示《“已知兩邊及其夾角”做一個三角形與已知三角形重合的過程》

五、教學過程

（一）問題導入

在上節(jié)課的討論中，我們發(fā)現(xiàn)三角形中只給一個條件或兩個條件時，都不能保證所畫出

的三角形一定全等.給出三個條件時，有四種可能，你能說出是哪四種嗎？

生：三內角；三條邊；兩邊一內角；兩內角一邊.

師：很好，這四種情況中我們已經研究了兩種，三內角分別相等不能保證兩三角形一定

全等；三條邊分別相等的兩三角形全等.今天我們接著研究第三種情況：“兩邊一內角”.

師：如果已知一個三角形的兩邊及一內角，那么它有幾種可能情況？

生：兩種：

（1）兩邊及其夾角；（2）兩邊及一邊的對角.

設計意圖：明確給出三個條件時有四種情況和本節(jié)課要探究的內容.

（二）探究新知

師：按照上節(jié)方法，我們有兩個問題需要探究.

探究1：先任意畫出一個△ABC,再畫一個夕C,使C'A'=CA,ZA'=

/A（即保證兩邊和它們的夾角對應相等）.把畫好的aA，夕C剪下，放到△ABC上，它們全

等嗎？

探究2：先任意畫出一個△A8C,再畫一個△AQC,使C'A'^CA,NB'=

NB（即保證兩邊和其中一邊的對角對應相等）.把畫好的剪下，放到aABC上，它

們全等嗎？

學生活動：

（1）學生自己動手，利用直尺、三角尺、量角器等工具畫出aABC與夕C,將△從夕C

剪下，與△ABC重疊，比較結果.

（2）作好圖后，與同伴交流作圖心得，討論發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律.

教師活動：

在學生作完圖后，由一個學生口述作圖方法，教師進行動畫演示，再次體會探究全等三

角形條件的過程.

操作結果展示：

對于探究1：畫一個△AbC,使A'C'^AC,/A，=/A.

（1）畫/￡>4E=NA；

（2）在射線4。上截取AE=A8,在射線4E上截取4C=AC；

（3）連結B'C.

將△力⑻C剪下，發(fā)現(xiàn)△ABC與△4B，C'全等.

由此得出判定方法：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等(簡稱“邊角邊”和

“SAS”).

幾何語言表示：

如圖，

在△46。和△應尸中，

AB=DE,

-NB=NE,

BC=EF,

:.△ABgiXDEF(SAS).

對于探究2：

學生畫出的圖形各式各樣，有的說全等，有的說不全等.教師在此可引導學生總結畫圖

方法：

(1)畫NDB，E=NB；

(2)在射線8'力上截取B'A'=BA；

(3)以A為圓心，以AC長為半徑畫弧，此時只要/CW90°,弧線一定和射線夕E交

于兩點C,F,也就是說可以得到兩個三角形滿足條件，而兩個三角形是不可能同時和AABC

全等的.

也就是說：兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等.所以它不能作為

判定兩三角形全等的條件.

歸納總結：

“兩邊及一內角”中的兩種情況只有一種情況能判定三角形全等.即：兩邊及其夾角對

應相等的兩個三角形全等.(簡記為“邊角邊”或“SAS”).

設計意圖：類比“邊邊邊”探究得出“邊角邊”，學生通過動手操作、自主探究、交流、

獲得新知，進一步增強了動手能力.

(三)例題解析

【例】如圖，有一池塘，要測池塘兩端A,B的距離，可先在平地上取一個點C,從點

C不經過池塘可以直接到達A和B.連結AC并延長到。，使CD=CA.連結BC并延長到

點E,使CE=CB.連結。￡,那么量出。￡的長就是A,8的距離.為什么？

師生共同分析：如果能證明△ABC也△OEC,就可以得出A8=OE.在△ABC和△DEC

中，AC=DC,BC=EC.要是再有N1=N2,那么△ABC與△￡)￡■(7就全等了.而N1和N

2是對頂角，所以它們相等.

證明：在△ABC和△￡>￡<?中，

AC=DC,

"Z1=Z2,

BC=EC,

.'.△ABC/△力EC(SAS).

：.AB=DE.

設計意圖：運用“邊角邊”判定方法解決實際問題，引導學生把實際問題轉化為幾何

問題，分析問題中的已知條件，以及兩個三角形全等還需要的條件.

(四)課堂練習

1.如圖，0A平分NBOC,并且。B=OC.求證：AB=AC.

2.如圖，已知△ABC中，AB=AC,D,E分別是AB,AC的中點，且C￡)=BE,△AOC

與△AE8全等嗎？小明是這樣分析的：因為AB=4C,BE=CD,ZBAE=ZCAD,所以△

ADC^/\AEB(SSA),他的思路正確嗎？請說明理由.

A

學生獨立完成.

答案：

1.證明：平分NBOC,

：.ZBOA=ZCOA.

在△OAB和△OAC中，

OB=0C,

"NBOA=ZCOA,

0A=0A,

：.ZXOAB絲△OAC(SAS).

：.AB=AC.

2.小明的思路錯誤.錯解在把“SSA”作為三角形全等的判別方法，實際上，“SSA”

不能作為三角形全等的判別條件.因為兩邊及一邊對角相等的兩個三角形不一定全等.

正解：△AOC四△4EB.因為4B=AC,D,E為AB,AC的中點，所以AO=AE.在X

AQC和△AE8中，因為AC=A8,AD=AE,CD=BE,所以△AQC附△AEB(SSS).

或者因為AB=AC,D,E為AB,AC的中點，所以AZ)=AE.在△AOC和△AE8中，

因為AC=A8,NCAD=NBAE,AD=AE,所以△AOC絲(SAS).

設計意圖：通過練習，掌握全等三角形判定的證明格式，通過解題實踐，鍛煉學生分

析問題，尋找判定三角形全等條件的能力.

六、課堂小結

1.根據(jù)“邊角邊”判定兩個三角形全等，要找出兩邊及夾角對應相等的三個條件.

2.找使結論成立所需條件，要充分利用已知條件(包括給出圖形中的隱含條件，如公

共邊、公共角等)，并要善于運用學過的定義、公理、定理.

設計意圖：通過小結，使學生梳理本節(jié)所學內容，理解“邊角邊”判定方法.

七、板書設計

12.2三角形全等的判定(邊角邊)

“邊角邊"（SAS）：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等

邊角邊的幾何語言

第十二章全等三角形

12.2全等三角形的判定

第3課時

一、教學目標

1.掌握三角形全等“ASA”和“AAS”條件.

2.能運用“ASA”和“AAS”條件判定兩個三角形全等.

二、教學重點及難點

重點：經歷探索三角形全等條件的過程，體會利用操作、歸納獲得數(shù)學結論的過程，.

難點：“角邊角”和“角角邊”判定條件的理解和應用

三、教學用具

電腦、多媒體、課件、三角形硬紙板、直尺、刻度尺

四、相關資源

“已知兩角及其夾邊”作一個三角形與已知三角形重合的過程；三角形全等的判定微課

五、教學過程

（-）情境導入

（1）一張教學用的三角形硬紙板不小心被撕壞了，如下圖，你能制作一張與原來同樣

大小的新教具嗎？能恢復原來三角形的原貌嗎？

（2）到目前為止，可以作為判別兩個三角形全等的方法有幾種？各是什么？

三種：（1）定義；（2）SSS；（3）SAS.

今天我們接著探究已知兩角一邊是否可以判斷兩三角形全等？

設計意圖：設置問題情境，激發(fā)學生的求知欲，明確本節(jié)課要探究的內容.

(二)探究新知

1.拿出準備好的三角形硬紙片△ABC,再畫一個△A‘B'C',使4B，=AB,乙4'

=NA,ZB'=NB(即保證兩角和它們的夾邊對應相等).把畫好的△A'B'C',放到

叢ABC上,它們全等嗎？

學生活動：

(1)學生自己動手，利用直尺、三角尺、量角器等工具畫出將△48。與

重疊，比較結果.

(2)作好圖形后，與同伴交流作圖心得，討論發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律.

操作結果展示：

畫一個△A'B'C',使/'B'=AB,NZZB'=ZB.

(1)畫W=4B；

(2)在4'B'的同旁畫/。NEB'A'=/B,A'D,配E相交于點C.

將做好的夕C剪下，'發(fā)現(xiàn)AABC與AA'B'C'全等.

由此得出判定方法：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等(可以簡寫成“角邊

角”或“ASA”).

幾何語言表示：

如圖，

在△ABC和尸中,

NB=NE,

<BC=EF,

ZC=NF,

:.XABC色XDEF(ASA).

設計意圖：類比''邊邊邊”和“邊角邊”探究得出“角邊角”的兩個三角形全等的判

定方法，學生通過動手操作、自主探究、交流、獲得新知，進一步增強了動手能力，滲透

類比思想.

2.在兩個三角形中，是不是只要有兩個角對應相等，一條邊對應相等，這兩個三角形

就全等呢？

下面，我們來看一個問題：

如圖，在△ABC和△OEF中，4人=/D,/B=/E,BC=EF.求證：△ABgl\DEF.

證明：在中，ZA+ZB+ZC=\^°,

.：/C=180。-ZA-ZB.

同理4=180°-ZD-ZE.

又NA=〃，/B=/E,

:.NC=NF.

在和△%T7中

ZB=Z￡,

-BC=EF,

NC=NF,

:.叢ABC沼/XDEF(ASA).

由此得出：兩角和其中一角的對邊分別相等的兩個三角形全等(可以簡寫成“角角邊”

或aAAS").

幾何語言表示:

如圖，

在△4BC和△OEF中，

ZA=ZZ),

"ZB=NE,

BC=EF,

：./\ABC^/\DEF(AAS).

設計意圖：用"角邊角”證明滿足兩角和其中一角的對邊分別相等的兩個三角形全等

的正確性，得出“角角邊”的判定方法.

（三）例題解析

【例】如圖，點。在AB上，點E在AC'上，AB=AC,NB=NC.求證：AD=A￡

證明：在△AC。和△ABE中,

ZA=NA,

AC=AB,

NC=ZB,

/.AACD^AABE(ASA).

.'.AD=AE.

設計意圖：運用“角邊角”判定方法證明兩個三角形全等，從而證明兩條線段相等.

（四）課堂練習

1.如圖，點。在AB上，點E在AC上，BE和CD相交于點。，AB^AC,ZB=ZC.求

證：BO=CO.

2.解決課前導入的問題：一張教學用的三角形硬紙板不小心被撕壞了，如下圖，你能

制作一張與原來同樣大小的新教具嗎？能恢復原來三角形的原貌嗎？

學生獨立完成.

答案：

1.證明：在△AC。和△ABE中，

NA=N4

<AC=AB,

NC=NB,

：./\ACD^/\ABE（ASA）.

'.AD=AE.

'：AB=AC,

：.AB-AD=AC-AE.

即BD=CE.

在△800和△COE中，

Z.BOD=乙COE,

<ZB=ZC,

BD=CE,

:.△BODQXCOECAAS）.

：.BO=CO.

2.被撕壞的這塊三角形硬紙板保留了原三角形硬紙板的兩角及其夾邊，新制作的三角

形硬紙板的兩角及其夾邊和被撕壞的這塊三角形硬紙板對應相等，新制作的三角形硬紙板和

原三角形硬紙板滿足“角邊角”，自然就同樣大小了，所以能恢復原來三角形的原貌.

設計意圖：運用“角邊角”和“角角邊”的判定方法證明兩個三角形全等，體會全等

三角形判定方法的多樣性，鍛煉學生挖掘題目中隱含條件的能力.

六、課堂小結

1.如何找對應相等的邊和角？

尋找對應相等的邊：公共邊、中點或中線、通過計算（同加或同減）、作輔助線（構造

公共邊等）.

尋找對應相等的角：公共角、角平分線平分角、直角或垂直（90°）、平行線性質、通

過計算（同加或同減）；同角的余角相等.

對應邊所對的角是對應角，對應角所對的邊是對應邊.

2.我們現(xiàn)在學了五種判定三角形全等的方法：

(1)全等三角形的定義；

(2)邊邊邊(SSS)；

(3)邊角邊(SAS)；

(4)角邊角(ASA)；

(5)角角邊(AAS).

3.要根據(jù)題意選擇適當?shù)呐卸ǚ椒?

4.用三角形全等來證明線段相等或角相等.

設計意圖：通過小結，使學生梳理本節(jié)所學內容，理解“角邊角”和“角角邊”的判

定方法，靈活選擇全等三角形的判定方法判定兩個三角形全等.

七、板書設計

12.2三角形全等的判定(“角邊角”和“角角邊”)

“角邊角”(ASA)：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等.

“角角邊”：兩角和其中一角的對邊分別相等的兩個三角形全等.

“角邊角”的幾何語言

“角角邊”的幾何語言

第十二章全等三角形

12.2全等三角形的判定

第4課時

一、教學目標

1.讓學生經歷探究全等直角三角形判定方法“HL”的過程，學會用操作確認、歸納發(fā)現(xiàn)

問題結論的方法。

2.通過操作確認、歸納得到直角三角形全等的判定方法，感知實驗操作在發(fā)現(xiàn)問題結

論中的重要作用，讓學生體會到學習幾何的樂趣。

二、教學重點及難點

重點：直角三角形全等的條件、判定方法。

難點：運用全等直角三角形的判定方法解決問題。

三、教學用具

電腦、多媒體、課件、直角三角形硬紙板、直尺、刻度尺、量角器

四、相關資源

《全等三角形的判定（斜邊，直角邊）》微課

五、教學過程

（一）復習導入

1.我們已經學習了判定兩個三角形全等的方法：“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”.

2.如圖，RtZXABC中，直角邊是48和BC,斜邊是4c.

3.對于兩個直角三角形，除了直角相等的條件外，還要滿足幾個條件，這兩個直角三

角形就全等了？說說你的看法.

例如：（1）滿足一邊一銳角分別相等的兩個直角三角形全等.（利用“ASA”或“AAS”）,

（2）兩直角邊分別相等的兩個直角三角形全等.（利用“SAS”）

如果滿足斜邊和一條直角邊分別相等，這兩個直角三角形全等嗎？

設計意圖：通過回顧已學過的全等三角形的判定方法，構建三角形全等的知識體系，

接著利用提出“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形是否全等”問題，明確本節(jié)

課的探究內容，激發(fā)學生探究知識的欲望.

（二）探究新知

探究：拿出準備好的Rt/XABC,,再畫一個RtZXA'B'C',使NC'=90°,B'C

=BC,A'8/=AB,把畫好的RtAA'8'C'剪下，放到上，它們全等嗎？

學生活動：

（1）學生自己動手，利用直尺、三角尺、量角器等工具畫出RtZ\ABC與44'8'C',

將Rt^A'B'C剪下，與RtZVIBC重疊，比較結果.

（2）作好圖后，與同伴交流作圖心得，討論發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律.

操作結果展示：

畫一個Rt44'B'C,使"C'=BC,A'B'=A&

（1）畫NMCW=90°；

（2）在射線CM上取B'C=BC；

(3)以方為圓心、A8為半徑畫弧，交射線CW于點4；

(4)連接48'.

通過重疊發(fā)現(xiàn)RtAABC與RtzMB'C'全等.

于是得出直角三角形的判定方法：

斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等(簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”).

在使用“HL”時，同學們應注意:

(1)“HL”是僅適用于直角三角形的特殊方法.

(2)注意對應相等.

用幾何語言表示為：

如圖，

在RtAABC和Rt/\DEF中,

\AB=DE,

1AC=DF,

：.RtAABC^RtADEF(HL).

設計意圖：類比"SSS”“SAS”“ASA”“AAS”探究得出“HL”，學生通過動手操

作、自主探究、交流、獲得新知，掌握直角三角形的判定方法和書寫格式.

(三)例題解析

【例】如圖，ACLBC,BDVAD,垂足分別為C,D,AC^BD.求證：BC=AD.

AB

證明："：ACLBC,BD1AD,

：.ZD=ZC=90°.

在RtAABC和RtABAD中,

AB=BA,

AC=BD,

：.Rt/\ABC^Rt/\BAD(HL).

：.BC=AD.

變式：如圖，/ACB=乙4。8=90°,要使△ABC絲△54。還需增加一個什么條件？把

增加的條件填在橫線上,并在后面相應括號內填上判定它們全等的理由:

(1)();(2)();

(3)().

答案：（1）AC=BD,HL；(2)AD=BC,HL；

(3)ZBAC^ZABD,AAS；(4)ZABC^ZBAD,ASA.

設計意圖：運用“斜邊、直角邊”判定方法證明兩個直角三角形三角形全等，從而證

明兩條線段相等.

（四）課堂練習

1、如圖，有兩個長度相等的滑梯，左邊滑梯的高AC與右邊滑梯水平方向的長度OF

相等，兩滑梯傾斜角/ABC和/。FE有什么關系？

學生獨立完成.

答案：

解：ZABC+Z￡）FE=90°.

理由如下：

在RtAABC和RtADfF中,

JBC=EF,

\AC=DF,

：.RtAABC^RtADEF(HL).

???ZABC=ZDEF.

又?.*ZDEF+ZDFE=90°9

：.ZABC+ZDFE=90°.

即兩滑梯的傾斜角NABC與NDFE互余.

2、已知：如圖，AC平分/BAO,CE1.ABE,CF±ADF,_SBC=DC.

求證：BE=DF.

答案：YAC平分N84。，

???NDAC=NBAC.

?.?CEJ_A8于E,C凡1_4。于產，

???ZAFC=ZAEC.

'：AC=AC,

：./XAFC^/XAEC(AAS).

：.EC=FC.

在RtADCF和RtABCE中

jBC=DC,

[EC=FC,

：.RtADCF^RtABCE.

：.BE=DF.

設計意圖：運用“斜邊、直角邊”判定方法證明兩個直角三角形全等，熟練書寫格式,

鍛煉學生挖掘題目中隱含條件解決實際問題的能力.

六、課堂小結

1.到目前為止，我們有六種判定三角形全等的方法：

(1)全等三角形的定義；

(2)邊邊邊(SSS)；

(3)邊角邊(SAS)；

(4)角邊角(ASA)；

(5)角角邊(AAS)；

(6)HL(僅用在直角三角形中).

2.要根據(jù)題意靈活選擇適當?shù)娜切稳鹊呐卸ǚ椒?

3.用三角形全等來證明線段相等或角相等.

設計意圖：通過小結，使學生梳理本節(jié)所學內容，理解“斜邊、直角邊”判定方法,

靈活選擇全等三角形判定方法判定兩個三角形全等.

七、板書設計

12.2三角形全等的判定(HL)

直角三角形全等的判定(HL)：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個三角形全等

直角三角形全等的判定(HL)的幾何語言

第十二章全等三角形

12.3角的平分線的性質

一、教學目標

1.會用尺規(guī)作一個已知角的平分線；

2.掌握角的平分線的性質和判定；能夠完成嚴密的邏輯推理；

3.能運用角的平分線的性質定理解決簡單的幾何問題.

二、教學重點及難點

重點：角平分線的尺規(guī)作圖，角的平分線的性質和判定及其應用.

難點：1.對角平分線性質定理中“點到角兩邊的距離”的正確理解.

2.角的平分線的性質及判定定理的運用.

三、教學用具

電腦、多媒體、課件、直尺、刻度尺、量角器、角平分儀

四、相關資源

《角的平分線的性質》微課

五、教學過程

(-)引出新知

問題1：給出一個紙片做的角，能不能找出這個角的角平分線呢？

師生活動：可用量角器，若不利用工具，也可用折紙的方法，教師課件演示.

問題2：哪一種方法用起來更方便？在生活中，這些方法是否都可行呢？

師生活動：用量角器比較方便，但有誤差，用折疊的方法比較簡捷，但若換成木板、鋼

板等無法對折的材料，此方法就不行了，那還有別的方法適合嗎？引出課題.

［設計意圖］依據(jù)弗雷登塔爾的現(xiàn)實性原則，設計“激趣設疑、聯(lián)舊帶新”環(huán)節(jié)，既

能激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生運用數(shù)學知識解決實際問題的意識，同時為更高層次的

知識建構提供了理想途徑.

（-）探究新知

探究（1）：出示儀器模型，說明工人師傅常用如圖所示的簡易平分角的儀器來畫角的平

分線.介紹儀器特點（有兩對邊相等），將A點放在角的頂點處，和AD沿角的兩邊放下,

過AC畫一條射線AE,4E即為/8AQ的平分線.為什么？

學生口述，用三角形全等的方法（SSS）證明AE是NBA。的平分線.

師問：把簡易平分角的儀器放在角的兩邊時，平分角的儀器兩邊相等，也就是4B=A￡>,

從幾何作圖角度怎么畫？BC=DC,從幾何作圖角度怎么畫？

師生活動：學生同桌交流，歸納角的平分線的作法.學生板演示范作圖.

預設：為什么要以大于LMN的長為半徑畫弧？為什么強調交于角的內部？提倡學生自

2

學、對學、再群學.

［設計意圖］幫助學生體驗從生產生活中分離，抽象出數(shù)學模型，以此為線索，先自

學、再對學，有問題（或困難）的在小組內交流，從實驗操作中獲得啟示，探究出作角的

平分線的方法，不僅注重了個人的實效性發(fā)展，而且也實現(xiàn)了學生自身能力的資源共享.

探究（2）：請將一張用紙片做的角NA08對折，再折出一個直角三角形（使第一條折

痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結論？再連續(xù)折出幾

個直角三角形，然后展開，觀察折痕，你能得到什么結論？

問題1：第一次的折痕和角有什么關系？為什么？

問題2：第二次折疊形成的兩條折痕與角的兩邊有何關系，它們的長度有何關系？

學生動手折疊

師生活動：第一次折痕是角的平分線，第二次的折痕是角平分線上的點到兩邊的距離,

它們的長度相等，連續(xù)再折出折痕長度也對應相等.由此可見，角的平分線除了有平分角的

性質，還有其他性質.用文字語言闡述得到的猜想：

角的平分線上的點到角兩邊的距離相等

［設計意圖］學生動手動腦，可猜測并能說出觀察到的結論，為邏輯推理做好了鋪墊.

幾何語言：：0C是/A0