人教版高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)新

高中數(shù)學(xué)必修1知識(shí)點(diǎn)

第一章集合與函數(shù)概念

[1.1.1]集合的含義與表示

（1）集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無(wú)序性.

（2）常用數(shù)集及其記法

N表示自然數(shù)集，N*或N+表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)

集.

（3）集合與元素間的關(guān)系

對(duì)象。與集合M的關(guān)系是QEM,或者awM,兩者必居其一.

（4）集合的表示法

①自然語(yǔ)言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹?lái)描述集合.

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合.

③描述法：｛xlx具有的性質(zhì)｝,其中工為集合的代表元素.

④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來(lái)表示集合.

（5）集合的分類(lèi)

①含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集.②含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集.③不含有任何元素的

集合叫做空集（0）.

[1.1.2]集合間的基本關(guān)系

（6）子集、其子集、集合相等

名稱(chēng)記號(hào)意義性質(zhì)示意圖

(DACA

AqB

A中的任一元素都屬(2)0^A

子集(或

于B(3)若AqB且87C,則AqC

或

8")

(4)若且則A=8

ACBA^B,且B中至(1)0UA(A為非空子集)

真子集

(或BZ>A)少有一元素不屬于A(2)若AuB且3uC,則4uC

工

A中的任一元素都屬

集合(l)ACB

A=B于B,B中的任一元

相等(2)BqA0

素都屬于A

(7)已知集合4有個(gè)元素，則它有2”個(gè)子集，它有2”—1個(gè)真子集，它有2”一1個(gè)非空子

集，它有2”一2非空真子集.

[1.1.3]集合的基本運(yùn)算

<8)交集、并集、補(bǔ)集

名稱(chēng)記號(hào)意義性質(zhì)示意圖

(i)AC\A=A

AM4,且

交集(2)Ap|0=0

xeB}GD

(3)AQB^A

(1)A\JA=A

A\JBA,或(2)A[J0=A

并集

xeB](3)AU82A

{x\xeU,Sjc^A]?An@A)=。

疫(An8)=(“A)U(78)U03@

補(bǔ)集七，4

^AU8：，=(〃A)n(%B)2AU&A)=U

【補(bǔ)充知識(shí)】含絕對(duì)值的不等式與一元二次不等式的解法

（1）含絕對(duì)值的不等式的解法

不等式解集

Ix|<a(a>0){x|-a<xva}

Ix|>a(a>0)v-a或x>。}

把以+b看成一個(gè)整體，化成|x|va,

|ax+b\<c,\ax+b\>c(c>0)

|x|＞。（。＞0）型不等式來(lái)求解

（2）一元二次不等式的解法

判別式

A>0A=0A<0

A=Z?2-44c

二次函數(shù)-4Lru

y=ar2+bx+c(a>0)

0X=?2

的圖象

一元二次方程

-b±\lb2-4ac

M,一b

ax2+bx+c=0（a>0）2aXy=Xj=~~~無(wú)實(shí)根

2a

(其中百<々)

的根

ax2+bx+c>0(a>0)

,,b、

{x|x<玉或x>/}R

2a

的解集

ax2+Z?x4-c<0(a>0)

{x\x{<x<x2}00

的解集

Ki.22函數(shù)及其表示

[1.2.1]函數(shù)的概念

（1）函數(shù)的概念

①設(shè)A、8是兩個(gè)非空的數(shù)集，加入按照某種對(duì)應(yīng)法則對(duì)于集合A中任何一個(gè)數(shù)x,在

集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合4,8以及A到3

的對(duì)應(yīng)法則/）叫做集合4到B的一個(gè)函數(shù)，記作了:4—8.

②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則.

③只有定義域一樣，且對(duì)應(yīng)法則也一樣的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù).

（2）區(qū)間的概念及表示法

①設(shè)是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且。<從滿(mǎn)足。</工人的實(shí)數(shù)X的集合叫做閉區(qū)間，記做［〃,勿；

滿(mǎn)足a<x<b的實(shí)數(shù)工的集合叫做開(kāi)區(qū)間，記做（4,6）：滿(mǎn)足或的

實(shí)數(shù)x的集合叫做半開(kāi)半閉區(qū)間，分別記做［a,b）,（a,切：滿(mǎn)足

實(shí)數(shù)工的集合分別記做［a,+a））,（a,+oo）,（-oo,b］,（-oo,b）.

注意：對(duì)于集合｛x|avxv?與區(qū)間伍,打，前者?？梢源笥诨虻扔??,而后者必須

a<b.

（3）求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：

①/（X）是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù).

②/（X）是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù).

③/（X）是偶次根式時(shí)，定義域是使被開(kāi)方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合.

④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1.

⑤y=tanx中，k7r+^（kGZ）.

⑥零（負(fù)）指數(shù)箱的底數(shù)不能為零.

⑦若f（x）是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，則其定義域一般是各基本初

等函數(shù)的定義域的交集.

⑧對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域問(wèn)題，一般步驟是：若已知f（x）的定義域?yàn)椋踑,b］,其復(fù)合函數(shù)

/［gW］的定義域應(yīng)由不等式a《g（x）4b解出.

⑨對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問(wèn)題具體情況需對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論.

⑩由實(shí)際問(wèn)題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問(wèn)題的實(shí)際意義.

（4）求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是一樣的.事實(shí)上.加入在函數(shù)的值域中

存在一個(gè)最?。ù螅?shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最?。ù螅┲?因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)

是一樣的，只是提問(wèn)的角度不同.求函數(shù)值域與最值的常用方法：

①觀察法：對(duì)于比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，我們可以通過(guò)觀察直接得.到值域或最值.

②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函

數(shù)的值域或最值.

③判別式法：若函數(shù)y=/(x)可以化成一個(gè)系數(shù)含有y的關(guān)于1的二次方程

a(y)x2+Z;(y)x+c(y)=O,則在。(丫)。0時(shí)，由于為實(shí)數(shù)，故必須有

^=b2(y)-4a(y)^c(y)>0,從而確定函數(shù)的值域或最值.

④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值.

⑤換元法：通過(guò)變量代換達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問(wèn)題

轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題.

⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值.

⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值.

⑧函數(shù)的單調(diào)性法.

[1.2.2]函數(shù)的表示法

(5)函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.

解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.列表法：就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量

之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

(6)映射的概念

①設(shè)A、8是兩個(gè)集合，加入按照某種對(duì)應(yīng)法則f,對(duì)于集合A中任何一個(gè)元素，在集合

3中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合A,8以及A到B的對(duì)應(yīng)法則f)

叫做集合A到8的映射，記作7:A98.

②給定一個(gè)集合4到集合8的映射，旦.加入元素〃和元素b對(duì)應(yīng)，那么我們把

元素b叫做元素。的象，元素。叫做元素〃的原象.

R1.33函數(shù)的基本性質(zhì)

[1.3.1]單調(diào)性與最大(小)值

(1)函數(shù)的單調(diào)性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

加入對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某(1)利用定義

個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變(2)利用已知函數(shù)

量的值XI、X2,當(dāng)卜時(shí)，

y\尸“f（x）/XJ的單調(diào)性

函數(shù)的

都有fZ)<f(x2),那么就(3)利用函數(shù)圖象

眄）1-

單調(diào)性

說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是°X|x,X(在某個(gè)區(qū)間圖

增單孰象上升為增)

(4)利用復(fù)合函數(shù)

(1)利用定義

加入對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某

(2)利用已知函數(shù)

個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變

yy=f(x)的單調(diào)性

量的值X1、X2,當(dāng)金

f(xj

(3)利用函數(shù)圖象

時(shí)，都有f(X1)>f(y?),

0X：X(在某個(gè)區(qū)間圖

那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間

象下降為減)

上是該再藜.

(4)利用復(fù)合函數(shù)

②在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù),兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù),增函數(shù)減去一個(gè)

減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù).

③對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)],令〃=g(x),若y=/(〃)為增，〃=g(x)為增.則

y=/[g(x)]為增；若y=/(〃)為減.u=g(x)為減,則y=f[g(x)]為增；若

(2)存在xoe7,使得.f(x())=M.那么，我們稱(chēng)M是函數(shù)/(X)的最大值,

記作￡nax(x)=M.

②一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,加入存在實(shí)數(shù)加滿(mǎn)足：(D對(duì)于任意的xel,

都有了（X）之〃2;（2）存在不€/,使得.那么，我們稱(chēng)m是函數(shù)/（幻的最

小值，記作篇x（x）=W.

[1.3.2]奇偶性

（4）函數(shù)的奇偶性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

加入對(duì)于函數(shù)f（x）定義域（1）利用定義（要先

內(nèi)任意一個(gè)X,都有！!一上.y判斷定義域是否關(guān)于

(a.f(a))

XT_

-f（x）.那么函數(shù)f（x）叫-a原占對(duì)稱(chēng)）

oax

做奇邑?cái)?shù)(-a.f(-a))<2）利用圖象（圖象

函數(shù)的關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）

奇偶性加入對(duì)于函數(shù)f（x）定義域（1）利用定義（要先

內(nèi)任意一個(gè)X,都有f（yx）y判斷定義域是否關(guān)于

(-a.f(-a))-(a.f(a))

=f（x）,那么函數(shù)f（x）叫做原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）

-aoax

倜國(guó)卻（2）利用圖象（圖象

關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)）

②若函數(shù)/（幻為奇函數(shù)，且在x=0處有定義，則f（0）=0.

③奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對(duì)稱(chēng)的區(qū)間增減性一樣，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對(duì)稱(chēng)的區(qū)間增減性相反.

④在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個(gè)

偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積（或商）是奇函

數(shù).

工補(bǔ)充知識(shí)》函數(shù)的圖象

(1)作圖

利用描點(diǎn)法作圖：

①確定函數(shù)的定義域；②化解函數(shù)解析式；

③討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性)：④畫(huà)出函數(shù)的圖象.

利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：

要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、吊函數(shù)、三角函數(shù)等各

種基本初等函數(shù)的圖象.

①平移變換

〃左移。個(gè)單位

>0,>y=/(x+A)

y=/W人<0,右移I川個(gè)單位

,上移個(gè)單位

A>0A>>=/(%)+攵

y=fMA<0,下移|川個(gè)單位

②伸縮變換

。=/(幻與景祟->)'=/(血)

y=fM=

③對(duì)稱(chēng)變換

y=f(x)^^y=-f(x)y=fM^^y=f(-x)

y=/&)原點(diǎn)>y=_/(T)

、、—去掉y軸左邊圖象

y~J保留y軸右邊圖象，并作其關(guān)于.、，軸對(duì)稱(chēng)圖象>y=f(\x\)

_f(\_____保留x軸上方圖象、_if(\I

yv~JVv)將x軸下方圖象翻折上去>vytj⑴r?

(2)識(shí)圖

對(duì)于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱(chēng)性等方面研究函數(shù)

的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系.

（3）用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問(wèn)題提供了“形”的直觀性，它是探求解題

途徑，獲得.問(wèn)題結(jié)果的重要工具.要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法.

第二章基本初等函數(shù)（I）

K2.12指數(shù)函數(shù)

[2.1.1]指數(shù)與指數(shù)霖的運(yùn)算

（1）根式的概念

①加入尢"=4?！攴瞂￡尺〃>1,且〃wN+，那么X叫做。的〃次方根.當(dāng)〃是奇數(shù)

時(shí)，。的〃次方根用符號(hào)布表示；當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)。的正的〃次方根用符號(hào)標(biāo)表示,

負(fù)的〃次方根用符號(hào)一折表示：0的〃次方根是0；負(fù)數(shù)。沒(méi)有〃次方根.

②式子布叫做根式，這里也叫做根指數(shù)，。叫做被開(kāi)方數(shù).當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，。為任意實(shí)

數(shù)：當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，a>0.

③根式的性質(zhì)：（標(biāo)）"=a：當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，值=a：當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，

(?>0)

=|41=?

(4<0)

（2）分?jǐn)?shù)指數(shù)察的概念

①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)輒的意義是：=標(biāo)募（〃>0,m,〃￡汽+，且〃>1）.o的正分?jǐn)?shù)

指數(shù)吊等于0.

②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)%的意義是：a(-)w=(。>0,6,〃eN+,且

/?>1）.。的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)森沒(méi)有意義.注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù).

（3）分?jǐn)?shù)指數(shù)箱的運(yùn)算性質(zhì)

①。'?"=""(a>0,r,sGR)②(a)=ars(a>0,r,seR)

③(ab)‘=arbr(a>0,Z?>0,r€7?)

[2.1.2]指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（4）指數(shù)函數(shù)

函數(shù)名稱(chēng)指數(shù)函數(shù)

定義函數(shù)y=ax（a>0且aw1）叫做指數(shù)函數(shù)

a>10<a<\

fxx

yty=o/\y=a'1y

J=I(0,1)

J(03)

0X0X

圖象

定義域R

值域(0,+oo)

過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)（0,1）,即當(dāng)x=0時(shí)，y=\.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)

ax>1(x>0)ax<1(x>0)

函數(shù)值的

ax=l(x=0)ax=1(x=0)

變化情況

ax<1(x<0)ax>\(x<0)

〃變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，。越大圖象越高：在第二象限內(nèi)，Q越大圖象越低.

12.21對(duì)數(shù)函數(shù)

［2.2.1］對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算

(1)對(duì)數(shù)的定義

①若優(yōu)=N(a>0,且〃/1),則x叫做以。為底N的對(duì)數(shù)，記作Jv=log“N,其中。叫

做底數(shù)，N叫做其數(shù).

②負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù).

③對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：x=log“N=ax=N(a>0,。。1,N>0).

(2)幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式

b

log.1=0,logfla=1,logaa=b.

(3)常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)

常用對(duì)數(shù)：IgN,即loggN；自然對(duì)數(shù)：InN,即log,N(其中e=2.71828…).

(4)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)加入〃>0,。工1,/>0,N>0,那么

M

①加法：logM+log.N=log(MN)②減法：log”M-logN=log—

N

③數(shù)乘：wlogMM=logHM"(neR)④

⑤log/AT=21og“MSH0,〃￡H)⑥換底公式：108“％=^^3>0,且人聲1)

"blogha

L2.2.2］對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（5）對(duì)數(shù)函數(shù)

函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)

名稱(chēng)

定義函數(shù)y=log”x（a>0且aw1）叫做對(duì)數(shù)函數(shù)

a>\0<a<l

x=\

,廠1J=logX

aky=1嗚x

K

(1,0)

1/;(1,0)X1

圖象11r

定義域(0,-KXJ)

值域R

過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)（1,0）,即當(dāng)x=l時(shí),y=0.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在（0,+8）上是增函數(shù)在（0,+8）上是減函數(shù)

k)g〃x>0(x>l)logflx<0(x>1)

函數(shù)值的

logax=0(x=l)log(/x=0(x=l)

變化情況

logaA<0(0<X<1)log”x>0(0<x<l)

〃變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)：〃越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，4越大圖象越貂高.

(6)反函數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,值域?yàn)镃,從式子y=f(x)中解出x,得?式子

x=Q(y)?加入對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過(guò)式子x=0(y),x在4中都有唯?確定的

值和它對(duì)應(yīng)，那么式子x=0(y)表示x是y的函數(shù)，函數(shù)x=°(y)叫做函數(shù)y=/(x)的反

函數(shù)，記作x=/T(y),習(xí)慣上改寫(xiě)成y=/7(x).

(7)反函數(shù)的求法

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式y(tǒng)=/(x)中反解出x=/7(y)：

③將x=7"(y)改寫(xiě)成)，=7""),并注明反函數(shù)的定義域.

(8)反函數(shù)的性質(zhì)

①原函數(shù)y=/(x)與反函數(shù)y=(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng).

②函數(shù)y=f(x)的定義域、值域分別為其反函數(shù)y=/T(x)的值域、定義域.

③若尸(。,㈤在原函數(shù)＞=/(%)的圖象上，則P'(b,〃)在反函數(shù)y=/T(x)的圖象

上.

④一般地，函數(shù)y=/(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù).

K2.31嘉函數(shù)

(1)耗函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)y=x0叫做幕函數(shù)，其中X為自變量，。是常數(shù).

（3）吊函數(shù)的性質(zhì)

①圖象分布：箱函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無(wú)圖象.吊函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布

在第一、二象限（圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)）：是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限（圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）：

是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在笫一象限.

②過(guò)定點(diǎn)：所有的事函數(shù)在（0,+8）都有定義，并且圖象都通過(guò)點(diǎn)（1,1）.

③單調(diào)性：加入a>0,則塞函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，并且在［0,+8）上為增函數(shù).加入a<0,則箱

函數(shù)的圖象在（0,+8）上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無(wú)限接近工軸與y軸.

④奇偶性：當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，轅函數(shù)為奇函數(shù),當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，轅函數(shù)為偶函數(shù).當(dāng)。=：（其中

￡

p,q互質(zhì),p和qeZ）,若p為奇數(shù)夕為奇數(shù)時(shí)，則丁二工'是奇函數(shù)，若〃為奇數(shù)夕為

偶數(shù)時(shí)，則y=xP是偶函數(shù)，若p為偶數(shù)q為奇數(shù)時(shí)，則丁=%〃是非奇非偶函數(shù).

⑤圖象特征：凝函數(shù)丫=V\工￡（0,+8）,當(dāng)a〉l時(shí)，若0<x<l,其圖象在直線(xiàn)y=x下方,

若工>1,其圖象在直線(xiàn)y=x上方，當(dāng)avl時(shí)，若0<xvl,其圖象在直線(xiàn)y=x上方,

若x>l,其圖象在直線(xiàn)y=x下方.

R補(bǔ)充知識(shí)》二次函數(shù)

（1）二次函數(shù)解析式的三種形式

①一般式：f（x）=ax2+bx+c（a豐0）②頂點(diǎn)式：f（x）=a（x-h）2+%（〃工0）③兩根式：

f（x）=a［x-x^x-x^a0）：2）求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式.

②已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱(chēng)軸有關(guān)或與最大（?。┲涤嘘P(guān)時(shí)，常使用頂點(diǎn)式.

③若已知拋物線(xiàn)與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫線(xiàn)坐標(biāo)已知時(shí)，選用兩根式求/（X）更方便.

（3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì)

對(duì)稱(chēng)軸方程為x=-2,頂點(diǎn)坐

①二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a0）圖象是一條拋物線(xiàn),

2a

b4ac-b2

標(biāo)是X-"Z-)

2a4a

②當(dāng)。>0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，函數(shù)在上遞減，在［-2,將）上遞增，當(dāng)

2a2a

Acic—b2b

x=時(shí),

fminM=---------；當(dāng)。<°時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，函數(shù)在（-00,——］上遞增,

2a4a2a

??A1^2

在［一五上遞減‘當(dāng)A一五時(shí)’人⑴=苫1

③二次函數(shù)/（幻=辦2+法+以。=0）當(dāng)八=/?2—4。（?>0時(shí)，圖象與K軸有兩個(gè)交點(diǎn)

MgO）M（孫0）,1MMIHXF|=---

㈤

（4）一元二次方程依2+辰+6=03。0）根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識(shí)在初中代數(shù)中雖有所涉及，

但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達(dá)定理）

的運(yùn)用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來(lái)分析一元二次方程實(shí)根的分布.

設(shè)一元二次方程雙2+灰+。=（）（〃。0）的兩實(shí)根為xpx2,且不4吃.令

f（x}=ax1+bx+c,從以下匹個(gè)方面來(lái)分析此類(lèi)問(wèn)題：①開(kāi)口方向：。②對(duì)稱(chēng)軸位置：

x=-—③判別式：△④端點(diǎn)的數(shù)值符號(hào).

2a

①&VxWx2<=>

③為VRVX2。af(k)<0

④左VgW即V&2O

⑤有且僅有一個(gè)根為（或臬）滿(mǎn)足LVM（或臬）V他<=>/U：/優(yōu)）<0,并同時(shí)考慮

/優(yōu)）=0或/出）=0這兩種情況是否也符合

@/：i<X\<k>^：pi<x2<i>：<=>

此結(jié)論可直接山⑤推出.

(5)二次函數(shù)/(x)=公2+bx+c(〃wO)在閉區(qū)間［p,g］上的最值

設(shè)f(x)在區(qū)間［p,g］上的最大值為M,最小值為加，令人)=g(p+q).

(I)當(dāng)。＞0時(shí)(開(kāi)口向上)

③若一2>q,則

①若一--<p,則m=/(〃)②若---則加=/(一--)

2a2a2a2a

m=f(q)

③若一二＞夕，則

2a

第三章函數(shù)的應(yīng)用

一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)丫=f(x)(xeD),把使/(x)=0成立的實(shí)數(shù)x叫做函

數(shù)y=f(x)(x￡￡>)的零點(diǎn)。

2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=O實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)

y=/(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：

方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根o函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)o函數(shù)y=/(x)有零

點(diǎn).

3、函數(shù)零點(diǎn)的求法:

求函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)：

①(代數(shù)法)求方程f(x)=O的實(shí)數(shù)根：

②(幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y=/(x)的圖象聯(lián)系起來(lái),

并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn).

4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a*0).

1)A>o,方程ar?+法+。=0有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),

二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

2)△=(),方程a?+"+c=0有兩相等實(shí)根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與x軸有

一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn).

3)A<o,方程依2+版+。=0無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與X粕無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)

無(wú)零點(diǎn).

高中數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)

第一章空間幾何體

L1柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

L2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1三視圖：

正視圖：從前往后側(cè)視圖：從左往右俯視圖：從上往下

2畫(huà)三視圖的原則：

長(zhǎng)對(duì)齊、高對(duì)齊、寬相等

3立觀圖：斜二測(cè)畫(huà)法

4斜：測(cè)畫(huà)法的步驟:

（1）.平行于坐標(biāo)軸的線(xiàn)依然平行于坐標(biāo)軸:

（2）.平行于y軸的線(xiàn)長(zhǎng)度變半，平行于x,Z軸的線(xiàn)長(zhǎng)度不變;

（3）.畫(huà)法要寫(xiě)好。

5用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出長(zhǎng)方體的步驟：（1）畫(huà)軸（2）畫(huà)底面（3）畫(huà)側(cè)棱（4）成圖

1.3空間幾何體的表面積與體積

（-）空間幾何體的表面積

1棱柱、棱錐的表面積：各個(gè)面面積之和

2圓柱的表面積S=2加+2獷23圓錐的表面積S=/zr/+9*2

4圓臺(tái)的表面積S="/+*2+成/+成25球的表面積S=4成2

（-）空間幾何體的體積

2錐體的體積V=gs底

1柱體的體積V=S底X/7

V=；（S上+及W；+S下）x/z

3臺(tái)體的體積4球體的體積V=-7tRy

3

第二章直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系

2.1空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系

2.1.1

1平面含義：平面是無(wú)限延展的

2平面的畫(huà)法及表示

（1）平面的畫(huà)法：水平放置的平面通常畫(huà)成一個(gè)平行四邊形，銳角畫(huà)成45°,且橫邊畫(huà)成鄰邊的2

倍長(zhǎng)（如圖）

（2）平面通常用希臘字母a、B、Y等表示，如平面a、平面B等，也可以用表示平面的平行四

邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相正確的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫(xiě)字母來(lái)表示，如平面AC、平面ABCD等。

3三個(gè)公理：

（1）公理1:加入一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)在此邛?面內(nèi)

符號(hào)表示為

C/L/

BeLJ=>LaL---------------'

AGa

Bea

公理1作用：判斷直線(xiàn)是否在平面內(nèi)

（2）公理2:過(guò)不在一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。?/

符號(hào)表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線(xiàn)=>有且只有一個(gè)平面a,

使A￡a、Bea.Q。

公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。

（3）公理3:加入兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直

符號(hào)表示為：peaA3=>an(3=L,且PEL

公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)

2.1.2空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系

1空間的兩條直線(xiàn)有如下三種關(guān)系:

{W交直線(xiàn)：同一平面內(nèi),

共面直線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn):

平行直線(xiàn)：同一平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn);

異面直線(xiàn)：不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn)。

2公理4:平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行。

符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線(xiàn)

a〃b}->a〃c

c〃b

強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。

公理4作用：判斷空間兩條直線(xiàn)平行的依據(jù)。

3等角定理：空間中加入兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，