《非參數(shù)統(tǒng)計》 理論習(xí)題參考答案匯 易丹輝 第2-8章

2/2第二章理論習(xí)題參考答案7.假設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布關(guān)于0對稱，U=1,&X>00,&其他，求證：|X|證明：設(shè)Y=|X|，只要證對于?y>0，有PP只證第一個式子，第二個類似。由于X的分布關(guān)于0對稱，故P而PY≤y,U=1=P8.設(shè)連續(xù)總體X的分布關(guān)于原點0對稱，X1,X2,?,Xn是來自X的簡單隨機樣本，令Ui=1,&X證明：只要證P其中d是隨機變量i=1nU設(shè){1,2,?,n}的所有全排列為{(rP由第7題的結(jié)論知，Ri與Ui獨立，故i=1nriPr最終有P9.對于Wilcoxon符號秩檢驗的檢驗統(tǒng)計量T+E（提示：利用第8題結(jié)論）證明：不妨設(shè)總體的對稱中心為原點，如果不是原點可以平移。此時T+=i=1nUiRi，E由于各Ui只與相應(yīng)的Xi有關(guān)系，故各UiVar10.對于Wilcoxon符號秩檢驗的檢驗統(tǒng)計量T+，當(dāng)零假設(shè)成立時，證明T+的漸近正態(tài)性。（提示：基于第8、9題的結(jié)論，利用李雅普諾夫引理（李雅普諾夫中心極限定理）：設(shè)隨機變量X1,X2,?,Xn,?相互獨立，且它們具有數(shù)學(xué)期望和方差，EXklim其中Φx為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)證明：只要對T+驗證李雅普諾夫中心極限定理的條件，由于T+與i=1niUi令Xk=kUk,k=1,2,?，則各Xk相互獨立，EXkk=1由李雅普諾夫中心極限定理，i=1niUi有漸近正態(tài)性第三章理論習(xí)題參考答案5.設(shè)X和Y是兩個獨立的連續(xù)對稱總體，X1,X2,?,Xm與Y1,（1）PR1=r1,?,Rn=（2）設(shè)WY=i=1nR解：（1）可以考慮所有對象的排列情況：P也可以只關(guān)注n個對象的排列：P（2）從小到大看，混合樣本排列有兩種極端，一是Y的樣本全在1到n的位置，此WY=i=1nRi=nn+12，還有一種極端是Y的樣本全在6.在第5題的條件下，證明：E先證明一個引理：設(shè)簡單隨機樣本X1,?,X（i）ER（ii）對于任意1≤i<j≤n，都有CovR（i）的證明：EEVar（ii）的證明：由數(shù)學(xué)期望的定義：E注意到r故有ECov利用上述結(jié)果容易完成本題證明，細(xì)節(jié)自己完成：EVar7.設(shè)有m個黑球與n個白球，除了顏色不同，其他無區(qū)別。將這m+n個球排成一排，證明：如果一排中出現(xiàn)2k個游程，則排列的方式有2m-1k-1n-1k-1種；如果一排中出現(xiàn)2k+1個游程，證明：當(dāng)出現(xiàn)2k個游程時，必有k個黑球游程和k個白球游程（請學(xué)生思考為什么）。為得到k個黑球游程，可以將m個黑球排成一列，在m-1個空隙中插入k-1塊隔板，將m個黑球隔成k個段，有m-1k-1種隔法。類似地，有n-1k-1種隔法得到k個白球游程。要將黑球游程和白球游程組合在一起，必須將不同顏色的游程插入彼此的空隙，有兩種情況：黑球游程先出現(xiàn)或者白球游程先出現(xiàn)。每種情況都只有一種組合方法，例如白球游程先出現(xiàn)，則黑球游程只能插入白球游程的k-1個空隙和最后一個白球游程的后面。故總共排列方式為2×當(dāng)出現(xiàn)2k+1個游程時，必然是k個黑球游程與k+1個白球，或者k個白球游程或者k+1個黑球游程（請學(xué)生思考為什么）。利用隔板法，有m-1k-1種方法得到k個黑球游程，有n-1k種方法得到k+1個白球游程，有m-1k種方法得到k+1個黑球游程，有n-1k-1種方法得到k個白球游程。這兩種情形都只有一種方式組合起來，即k+1個游程的球插入k個游程形成的k+1個位置中注1：出現(xiàn)奇數(shù)個游程時，至少為3個游程，故采用2k+1的表述。注2：利用本題結(jié)論，可以得到游程檢驗原假設(shè)成立時的統(tǒng)計量分布：P8.驗證Ansari-Bradley檢驗中的ABX=j=1mN+12-證明：將X，Y樣本混合從小到大排列并且評秩：1,若N為偶數(shù)，則大于N+12和小于N+12的秩各占一半，其中小于N+12的秩不變，大于N+12變?yōu)镹+1-RXj；若N為奇數(shù)，則排在中間的秩為N+12，取值與其對應(yīng)的AB得分相同第四章理論習(xí)題參考答案5.設(shè)有k個處理和n個區(qū)組的完全區(qū)組設(shè)計，第i個處理的n個觀測的秩為Ri1（1）寫出這k個組之間的組間平方和表達(dá)式（用含Rij（2）給出Friedman檢驗統(tǒng)計量與（1）的組內(nèi)平方和的關(guān)系。解：首先明確k個處理和n個區(qū)組的完全區(qū)組設(shè)計的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：表1處理1處理2?處理k區(qū)組1xx?x區(qū)組2xx?x?????區(qū)組nxx?x如果換成秩，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如下：表2處理1處理2?處理k秩和區(qū)組1RR?Rk區(qū)組2RR?Rk?????k區(qū)組nRR?Rk秩和RR?Rn（1）對于表2，設(shè)第j列的平均秩為

Rj，則

Rj=RjSSB=n（2）Friedman檢驗統(tǒng)計量χr6.基于表4-9的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，寫出含秩的組間平方和表達(dá)式，推導(dǎo)該組間平方和與Kruskal-Wallis檢驗統(tǒng)計量的關(guān)系。解：將表4-9的數(shù)據(jù)換成秩，得到表3XX?XRR?RRR?R????RR?RRR?R表4-9的總平均秩為1+2+SSB=Kruskal-Wallis檢驗統(tǒng)計量H=12第五章理論習(xí)題參考答案2.嚴(yán)格證明斯皮爾曼秩相關(guān)系數(shù)與皮爾遜相關(guān)系數(shù)的關(guān)系。證明：x1,?,xRU1,?,Uρ注意到i=1故有ρ注意到Rn6=6從而有n即R=ρ.4.設(shè)X和Y是兩個獨立的連續(xù)總體，X1,X2,?,Xn和Y1,Y2,?,Yn分別是來自X和Y的簡單隨機樣本，Xi在證明：設(shè)i=1nRP對于左邊，由全概率公式P其中，r1,r2,?,rn是P由X和Y獨立知，Qi和Ri也獨立，P故有P5.在第4題的條件下，證明斯皮爾曼秩相關(guān)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望為0，方差為1n-1證明：先求期望。R由第4題的結(jié)論可知E故E再求方差。VarVarCov故有Var最終有Var第六章理論習(xí)題參考答案2.對于表6-4，在H0:（1）寫出pi?,（2）證明pi?,p解：（1）當(dāng)原假設(shè)成立時，每個格子發(fā)生的概率是pi?×p?jfij，第i行的邊緣概率是pi?p似然函數(shù)為L對數(shù)似然函數(shù)為l（2）注意到pr?=1-p1?00利用上述方程組以及i=1rp3.對于四格表（表6-8），（1）證明：χ2檢驗統(tǒng)計量為Q=（2）證明：行與列獨立?ad=bc（1）證明：將四格表的情形代入Q的公式直接化簡即可。（2）證明：只要證pij=pi?×pp右邊經(jīng)過化簡就是ad=bc。9.設(shè)X是定類變量，Y為定距變量，X的取值為x1,x2,?,xm，X=xj對應(yīng)的Y的樣本為y1j,y2j,?,ynjj，n=n1+?+nm。如果不考慮X，用Y解：由條件知，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如下表：X（定類）xx?xY（定距）yy?yyy?y???yy?y設(shè)第i組i=1,2,?,m對應(yīng)的Y觀測值數(shù)目為ni，總觀測值數(shù)為n=ni，由于Y是定距尺度變量，可以計算每一組的均值yiE如果知道Y與X的關(guān)系，應(yīng)用每組的X的條件均值預(yù)測該組的Y，則誤差為E由PRE準(zhǔn)則，Y與X的相關(guān)系數(shù)為η從方差分析的角度看，η=SST-SSESST=SSASST，而10.設(shè)二維連續(xù)總體(Y,X)的簡單隨機樣本為y1（1）如果用Y樣本的均值預(yù)測Y的值，寫出均方誤差e1（2）如果以X為自變量，Y為因變量建立一元線性回歸模型，寫出模型的均方誤差e2（3）請利用PRE準(zhǔn)則，求出基于（1）（2）結(jié)果的相關(guān)系數(shù)，并指出該相關(guān)系數(shù)與Pearson相關(guān)系數(shù)之間的聯(lián)系。解：（1）e（2）e（3）由PRE準(zhǔn)則，e其中r2為(Y,X)樣本的第八章理論習(xí)題參考答案2.對于樣本X1證明：由Bootstrap抽樣的要求可知，每次抽樣，要滿足有放回、等概率、等規(guī)模三個要求，故每