特殊值法是解不等式類選擇題的首選方法

PAGEPAGE4特殊值法是解不等式類選擇題的首選方法——以教材及近三年高考試題為例金臺區(qū)教研室吳曉英特殊值法是解答選擇題的一種重要方法，特別是對于選擇題中求不等式（或不等式組）的解這一類的題目來說，特殊值法以其計(jì)算量小、解題速度快的優(yōu)勢，應(yīng)當(dāng)成為解此類問題的首選方法.以下以北師大版高中數(shù)學(xué)必修5中的習(xí)題及近三年全國高考的部分試題為例，對以上觀點(diǎn)加以說明.1利用特殊值法解北師大版高中數(shù)學(xué)必修5中的習(xí)題1.1北師大版高中數(shù)學(xué)必修5第三章第二小節(jié)“一元二次不等式”中練習(xí)2的兩道題目題目1若，則（）A． B． C． D．或解析：x取最特殊的一個(gè)數(shù)字0,代入所給不等式，顯然其不是解，故排除A、B、C，選D.本題只要會(huì)算0的平方，會(huì)比較兩個(gè)數(shù)的大小即可，不必移項(xiàng)，不必按照解一元二次不等式的一套程序去解，雖然是高二學(xué)習(xí)的內(nèi)容，恐怕初中生也能做對.題目2不等式的解集為()A． B． C． D．解析：本題已經(jīng)夠簡單了，但是由于在順序上的變化，學(xué)生按照常規(guī)解法還是容易出錯(cuò)，用特殊值法則可以避免出錯(cuò).從四個(gè)選項(xiàng)所給的范圍出發(fā)，選取0，可以排除A、B、D，選C.原因很簡單，A、B、D中均包含0，但是0顯然不是所給不等式的解，故這三個(gè)選項(xiàng)都是錯(cuò)誤的，只有選C.這種方法似乎與一元二次不等式的解法相距甚遠(yuǎn)，但是相比較而言，計(jì)算量、書寫量是否也是相距甚遠(yuǎn)?值得思考.1.2北師大版高中數(shù)學(xué)必修5第三章復(fù)習(xí)題中的兩道題目題目3已知集合},,則（）A． B． C．D．解析：求出集合M的解集再求兩個(gè)集合的交集，這是常規(guī)的解法,但是稍微麻煩了一點(diǎn).用特殊值法則心算可得答案，本題顯然沒有必要考慮0，因?yàn)槿齻€(gè)選項(xiàng)都有0，為了好算，只要檢驗(yàn)1和2即可，且，符合要求；但，故選C.這種解法回避了一元二次方程的求根公式，降低了題目難度.題目4已知，則下列不等式成立的是（）A． B． C．D．解析：本題原意應(yīng)該是為了復(fù)習(xí)鞏固基本不等式及不等式的性質(zhì)而設(shè)置的，直接推導(dǎo)，逐一驗(yàn)證是常規(guī)解法，但是，如果利用特殊值法，本題只需進(jìn)行簡單的計(jì)算即可.由已知條件，不妨設(shè)，，問題迎刃而解.當(dāng)然，需要思考為什么選這兩個(gè)數(shù)而不選其它數(shù)，選，也可以，如果不選1，則計(jì)算量就會(huì)增加.雖然本題不是解不等式的問題，但是用特殊值法依然可以快速求解.2利用特殊值法解近三年全國高考的部分試題2.1解一元二次不等式及分式不等式問題例1（2011廣東文科）不等式的解集是（） A． B．（1，+） C．（－，1）∪（2，+） D．解析：這是一道容易題，注意到題目的特征，此類不等式假如有解，其解的形式必然與選項(xiàng)C或D相同，不可能是A或B，選最特殊的數(shù)字0檢驗(yàn)，顯然0不是所給不等式的解，排除C，選D.本題直接求解計(jì)算量不是太大.不過還是要比特殊值法慢一點(diǎn).例2.（2010年全國卷2）不等式的解集為A．B．C．D．解析：選最特殊的數(shù)字0代入檢驗(yàn)，顯然0是所給不等式的解，排除A和B，x再選2檢驗(yàn)可以排除D，故選C．本題大概想考查學(xué)生對“穿針引線法”的掌握情況，使用特殊值法后心算可得結(jié)果.例3（2011江西理科）若集合，則 A．B．C． D．解析：顯然0不是集合B的元素，可以排除C和D；而－1也不是集合B的元素，因此只能選擇選項(xiàng)B．如果將兩個(gè)集合都化簡以后再求交集，既麻煩，也沒有必要，而且容易出錯(cuò).本題直接解與用特殊值法求解在時(shí)間上的差異是比較大的.例4（2011江西理科）若，則的解集為 A． B． C． D．解析：∵,本題轉(zhuǎn)化為求不等式的解集.給x分別選4和，即可排除D、A和C.2.2解指數(shù)不等式、對數(shù)不等式問題例5（2011北京文科）如果那么A．y<x<1 B．x<y<1 C．1<x<y D．1<y<x解析：此題不難，將化為，利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可以得出答案為D.如果忘記了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用特殊值檢驗(yàn)也可求解，只是根據(jù)題目的特征，x、y的值可以選為，或者2和4.例6（2011遼寧理科）設(shè)函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是 A．，2] B．[0，2] C．[1，+] D．[0，+]解析：本題如果使用特殊值法，就變成了一道分段函數(shù)求值的問題.若x為－1，則＝4，不符合條件，選項(xiàng)A可排除；x選0，＝2，符合條件，選項(xiàng)C可排除；x選4，＝－1，符合條件，選項(xiàng)B可排除，答案為D.本題如果通過分類討論求解，就走入了“小題大做”的誤區(qū)，既費(fèi)力，也容易出錯(cuò).2.3解基本不等式問題例7（2011上海）若，且，則下列不等式中，恒成立的是（）A.B.C.D.解析：抓住這一條件，選代入檢驗(yàn)，顯然A、B、C三個(gè)選型均可排除.本題似乎要考查基本不等式成立的條件，用特殊值法則回避了這個(gè)知識點(diǎn).2.4解絕對值不等式問題解絕對值不等式在教材中沒有出現(xiàn)選擇題，近幾年全國卷及部分省的高考題中以選擇題的形式出現(xiàn)了解絕對值不等式的問題.北師大版高中數(shù)學(xué)選修4—5解絕對值不等式時(shí)使用的方法是分類討論或利用絕對值的幾何意義求解，這兩種方法如果用在解選擇題上恐怕是吃力不討好的.例8．（2010年江西高考題）不等式的解集是A． B． C． D．解析：選x=1代入檢驗(yàn)，可知x=1是所給不等式的解，可排除選項(xiàng)B、C，再選x=－1可排除選項(xiàng)D.例9.（2010年全國新課程卷）已知集合},,則A．(0,2)B．[0,2]C．{0,2]D．{0,1,2}解析：注意到，可排除選項(xiàng)A、B，再檢驗(yàn)1是否滿足題意即可選項(xiàng)C.如此一來，兩個(gè)集合中的不等式都不需要解了.例10.（2010年山東高考題）已知全集U=R，集合，則 A． B． C． D．解析：本題求的是集合M的補(bǔ)集，所以選的值必須滿足，給x取0可排除前兩個(gè)選項(xiàng)，x?。?或3均不符合題意，故排除選項(xiàng)D.例11.（2009年安徽高考題）若集合則A∩B是A．B．C．D．解析：本題如果用特殊值法，在選擇特殊值時(shí)要注意集合A和集合B所給不等式的特征，以方便計(jì)算，在代入集合B所給不等式檢驗(yàn)時(shí)，只需判斷符號，不必求出最終結(jié)果.顯然，，可排除選項(xiàng)C；及均屬于集合A和集合B，所以正確選項(xiàng)只能是A.例12.（2009年全國高考）不等式＜1的解集為A．｛xB．C．D．解析：本題如果通過分類討論直接求解將比較麻煩.給x取可排除前兩個(gè)選項(xiàng)，再取－2可排除選項(xiàng)C，答案只能是D.例13（2011山東理科）不等式的解集是 A．[－5，7] B．[－4，6] C． D．解析：給x取0可排除前兩個(gè)選項(xiàng),再取6可以肯定選項(xiàng)D是正確的.3利用特殊值法解與不等式有關(guān)的選擇題時(shí)的基本思路由以上教材中以及高考中的題目可以得出一個(gè)結(jié)論，我們在解與不等式有關(guān)的選擇題時(shí)，應(yīng)該把特殊值法作為首選方法.總體來說，利用特殊值法可以達(dá)到快速求解、小題小做的目的，特別是在高考的時(shí)候.全國研究高考數(shù)學(xué)命題的權(quán)威專家、陜西師范大學(xué)羅增儒教授曾提出建議：“為了給難度較大、分值較高的解答題留下較多的思考時(shí)間，每道選擇題應(yīng)爭取在1或2分鐘內(nèi)完成”.我們可以發(fā)現(xiàn)，利用特殊值法，上面這16道題目的解題時(shí)間都會(huì)控制在1分鐘左右，絕不會(huì)超過2分鐘.利用特殊值法解與不等式有關(guān)的選擇題時(shí)的基本思路大致可以歸納為以下三點(diǎn)：一是分析所給選項(xiàng)特征，把選項(xiàng)作為重要的已知條件；二是選取特殊值代入計(jì)算，特殊值視題目條件而定，以好算為原則，最好可以心算，不要?jiǎng)庸P；三是排除或肯定,由于數(shù)學(xué)試題中的選擇題均為四選一的單選題，因此能排除掉三個(gè)選項(xiàng)，則剩余的選項(xiàng)必然是正確選項(xiàng).需要注意的是，如果一個(gè)特殊值同時(shí)在兩個(gè)選項(xiàng)中，那么可以同時(shí)排除掉兩個(gè)選項(xiàng)，但是不能同時(shí)肯定兩個(gè)選項(xiàng)，還必須再選一個(gè)特殊值進(jìn)行檢驗(yàn).4題外話：雖然本文就題目而言可以告一段落，但在完成這篇文章的過程中產(chǎn)生了一些感想，可能對高三教學(xué)及高中數(shù)學(xué)命題有一些參考價(jià)值.4.1高三教學(xué)要回歸課本.從近三年高考試題不等式部分的選擇題來看，所考查的知識點(diǎn)和方法沒有超出教材范圍，在教材中可以找出其原型或所謂的影子,其中絕對值不等式屬于自選內(nèi)容，有關(guān)試題也沒有超出教材的范圍.按照羅增儒教授的說法，“課本是高考命題的基本依據(jù)，有的試題直接取自教材，或?yàn)樵}，或?yàn)轭愵}；有的試題是課本概念、例題、習(xí)題的改編；有的試題是幾個(gè)題目、幾種方法的串聯(lián)、并聯(lián)、綜合與開拓”.本文中的12道高考題可以充分地證明羅增儒教授這個(gè)說法的正確性.因此，高三教學(xué)一定要回歸課本、抓住課本,特別應(yīng)該在課本題目的變式及解法多樣化上多想辦法.4.2選擇題中不宜出現(xiàn)與不等式有關(guān)的題目.從本文的解答可以發(fā)現(xiàn)，與不等式有關(guān)的選擇題不宜做為教材