2023-2024學年八年級數(shù)學下冊同步學與練（浙教版）第02講 二次根式的運算（7個知識點+14類題型）（原卷版）

第02講二次根式的運算（7個知識點+14類題型）課程標準學習目標1.二次根式的乘法法則和除法法則；2.最簡二次根式與同類二次根式；3.二次根式的加法法則和減法法則；1.掌握二次根式的乘法法則和除法法則；2.掌握最簡二次根式與同類二次根式的概念與應用；3.掌握二次根式的加法法則和減法法則；知識點01：二次根式的乘法法則1、二次根式的乘法法則：（二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變）2.二次根式的乘法法則的推廣，即當二次根式前面有系數(shù)時，可類比單項式乘單項式的法則進行計算，即將系數(shù)之積作為系數(shù)，被開方數(shù)之積作為被開方數(shù)?！炯磳W即練1】1．（2023下·浙江·八年級專題練習）計算（）A． B．4 C．2 D．1知識點02：二次根式的乘法法則的逆用1.二次根式的乘法法則的逆用（二次根式的乘法法則的逆用實為積的算數(shù)平方根的性質）2.二次根式的乘法法則的逆用的推廣知識點03：二次根式的除法法則1.二次根式的除法法則（二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變）2.二次根式的除法法則的推廣注意：a≥0，b＞0時，a≥0，b＞0時，才有意義；如果被開方數(shù)時帶分數(shù)，應先化成假分數(shù)【即學即練2】2．（2023下·浙江杭州·八年級?？计谥校┫铝杏嬎阏_的是（

）A． B． C． D．知識點04：最簡二次根式最簡二次根式的概念被開方數(shù)不含分母被開方數(shù)中不含能開方開得盡得因數(shù)或因式化簡二次根式的一般方法方法舉例將被開方數(shù)中能開得盡得因數(shù)或因式進行開方化去根號下的分母若被開方數(shù)中含有帶分數(shù)，先將被開方數(shù)化成假分數(shù)若被開方數(shù)中含有小數(shù)，先將小數(shù)化成分數(shù)若被開方數(shù)時分式，先將分式分母化成能轉化為平方的形式，再進行開方運算(a＞0，b＞0，c＞0）被開方數(shù)時多項式的要先因式分解（x≥0，y≥0）3.分母有理化分母有理化：當分母含有根式時，依據(jù)分式的基本性質化去分母中的根號。方法：根據(jù)分式的基本性質，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號?！炯磳W即練3】3．（2023下·浙江·八年級專題練習）已知最簡二次根式與二次根式可以合并成項，則整數(shù)，的值分別為（

）A．， B．，C．， D．，知識點05：同類二次根式同類二次根式概念：化簡后被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式。合并同類二次根式的方法：把根號外的因數(shù)（式）相加，根指數(shù)和被開方數(shù)不變，合并的依據(jù)式乘法分配律，如【即學即練4】4．（2023下·浙江·八年級階段練習）與是同類二次根式的是（

）A． B． C． D．知識點06：二次根式的加減二次根式加減法則：先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并。二次根式加減運算的步驟：①化：將各個二次根式化成最簡二次根式；②找：找出化簡后被開方數(shù)相同的二次根式；③合：合并被開方數(shù)相同的二次根式——將”系數(shù)”相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變?！炯磳W即練5】5．（2023下·浙江杭州·八年級杭州市十三中教育集團（總校）校考期中）下列計算正確的是（）A． B． C． D．知識點07：二次根式的混合運算二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）【即學即練6】6．（2022·浙江·九年級自主招生）已知，則a的值為（

）A． B．5 C． D．3題型01二次根式的乘法1．（2024上·陜西榆林·八年級統(tǒng)考期末）下列運算正確的是（

）A． B． C． D．2．（2024上·山西太原·八年級?？茧A段練習）計算的結果為．3．（2023上·甘肅隴南·九年級統(tǒng)考期末）計算：．題型02二次根式的除法1．（2023上·江西南昌·八年級校考期末）下列二次根式運算正確的是（

）A． B．C． D．2．（2023上·吉林長春·九年級統(tǒng)考期末）計算：．3．（2024上·山西太原·八年級?？茧A段練習）計算下列各題：(1)；(2)；(3)；(4)．題型03二次根式的乘除混合運算1．（2023上·河南南陽·九年級統(tǒng)考期中）下列運算正確的是（

）A． B． C． D．2．（2024下·全國·八年級假期作業(yè)）計算：（1）．（2）．3．（2023上·甘肅張掖·八年級?？茧A段練習）計算：(1)(2)(3)(4)(5)(6)題型04最簡二次根式的判斷1．（2023上·甘肅蘭州·八年級?？计谥校┫铝卸胃街校?，，，，，屬于最簡二次根式的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023上·上海青浦·八年級校考期中）在、、、中最簡二次根式是．3．（2021上·福建三明·八年級統(tǒng)考期中）已知二次根式．（1）如果該二次根式，求的值；（2）已知為最簡二次根式，且與能夠合并，求的值，并求出這兩個二次根式的積．題型05化為最簡二次根式1．（2023上·上海奉賢·八年級?？计谥校┫铝卸胃街校亲詈喍胃降氖牵?/p>

）A． B． C． D．2．（2023上·河北承德·八年級統(tǒng)考期末）已知是最簡二次根式，請寫出一個滿足條件的m的整數(shù)值：．3．（2023上·云南文山·八年級統(tǒng)考階段練習）化簡：(1)；(2)．題型06已知最簡二次根式求參數(shù)1．（2023下·四川德陽·八年級統(tǒng)考期末）若最簡二次根式與能夠合并，則a的值是（）A． B．0 C．1 D．22．（2023上·吉林長春·八年級?？茧A段練習）已知最簡二次根式和是同類二次根式，則的值是．3．（2023上·陜西西安·八年級統(tǒng)考階段練習）已知是最簡二次根式，且與可以合并，求的值．題型07同類二次根式1．（2024上·上海普陀·八年級統(tǒng)考期末）下列二次根式中，如果與是同類二次根式，那么這個根式是（

）A． B． C． D．2．（2023上·安徽宿州·八年級?？茧A段練習）如果最簡二次根式與是同類二次根式，那么的值為.3．（2023上·陜西西安·八年級?？计谥校┤糇詈喍胃脚c可以合并，求的值．題型08二次根式的加減運算1．（2023下·四川德陽·八年級統(tǒng)考期中）已知，，則a，b的關系正確的是（

）A． B． C． D．2．（2023下·全國·八年級專題練習）．3．（2024上·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）計算：(1)；(2)．題型09二次根式的混合運算1．（2023上·重慶·九年級校考期中）估計的值應在（

）A．和之間 B．和之間 C．和之間 D．和之間2．（2024下·全國·八年級假期作業(yè)）計算：（1）；（2）；（3）．3．（2023上·山西太原·八年級統(tǒng)考階段練習）計算(1)(2)題型10分母有理化1．（2023上·河北邢臺·八年級校考階段練習）甲、乙兩位同學對式子分別作了如下變形：甲：．乙：．下列關于甲、乙兩位同學作的變形過程，說法正確的是（）A．甲、乙都正確 B．甲、乙都不正確 C．甲正確，乙不正確 D．甲不正確，乙正確2．（2023上·河南周口·九年級校聯(lián)考期中）已知，，則．3．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級校聯(lián)考期末）問題1：計算：（1）；

（2）問題2：觀察上面運算的結果，可以看出，若一個式子乘以另一個式子其積是有理式，則其中的一個式子叫做另一個式子的有理化因式．將式子的分母進行有理化處理．題型11已知字母的值化簡求值1．（2021下·湖北武漢·八年級?？茧A段練習）已知，，則和的值分別是（

）．A．10、 B．10、2 C．12、2 D．12、2．（2023上·重慶渝中·八年級重慶巴蜀中學?？计谥校┤簦瑒t．3．（2023上·江西南昌·八年級?？计谀┱堥喿x下列材料：問題：已知，求代數(shù)式的值．小敏的做法是：根據(jù)得，∴，得：.把作為整體代入：得即：把已知條件適當變形，再整體代入解決問題．請你用上述方法解決下面問題：(1)己知，求代數(shù)式的值；(2)已知，求代數(shù)式的值．題型12已知條件式化簡求值1．（2023下·湖北武漢·八年級武漢市武珞路中學?？计谥校┮阎?，則的值是（

）A． B． C． D．2．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預測）如果，那么的值是．3．（2023上·福建泉州·八年級?？茧A段練習）已知，，求下列代數(shù)式的值.(1)；(2).題型13比較二次根式的大小1．（2021上·八年級?？紗卧獪y試）2、、15三個數(shù)的大小關系是（

）A．2＜15＜ B．＜15＜2C．2＜＜15 D．＜2＜152．（2023下·山東臨沂·八年級?？茧A段練習）比較大小：；．（填“”“”或“”）3．（2023下·浙江嘉興·八年級統(tǒng)考期末）已知，．(1)比較a，b的大小，并寫出比較過程；(2)求代數(shù)式的值．題型14二次根式的應用1．（2023上·浙江溫州·七年級?？计谥校┤鐖D，在一個正方形的內部放置大小不同的兩個小正方形，其中較大的正方形的面積為15，重疊部分的面積為1，空白部分的面積為，則較小的正方形面積為（

）A．4 B． C．9 D．2．（2023上·陜西咸陽·八年級咸陽市實驗中學?？计谥校┪覈纤沃麛?shù)學家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》一書中，給出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求積公式，即如果一個三角形的三邊長分別為，，，則該三角形的面積為，現(xiàn)已知的三邊長分別為1，，，則的面積為．3．（2023上·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）秦九韶（1208年-1268年），字道古，南宋著名數(shù)學家．與李冶、楊輝、朱世杰并稱宋元數(shù)學四大家．他精研星象、音律、算術、詩詞、弓劍、營造之學．他于1247年完成的著作《數(shù)學九章》中關于三角形的面積公式與古希臘幾何學家海倫的成果并稱“海倫一秦九韶公式”．它的主要內容是，如果一個三角形的三邊長分別是，記為三角形的面積，那么．(1)在中，，請用上面的公式計算的面積；(2)如圖，在中，，垂足為，求的長；(3)一個三角形的三邊長分別為，求的值．A夯實基礎1．（2024上·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．2．（2024上·上海普陀·八年級統(tǒng)考期末）的有理化因式是（

）A． B． C． D．3．（2023上·河南南陽·九年級?？计谀┗啠?．（2023上·河南周口·九年級校聯(lián)考階段練習）已知最簡二次根式和是同類二次根式，則．5．（2023上·陜西咸陽·八年級咸陽市實驗中學校考階段練習）先化簡，再求值：，其中．6．（2023下·七年級課時練習）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．B能力提升1．（2024上·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．2．（2024上·廣東湛江·九年級統(tǒng)考期末）設的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則的值是（

）A．1 B．2 C． D．3．（2024上·廣東佛山·八年級?？计谀┯嬎悖?．（2024上·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）已知，則代數(shù)式．5．（2024上·甘肅酒泉·八年級校聯(lián)考期末）計算：(1)(2)6．（2024上·遼寧阜新·八年級統(tǒng)考期末）計算：(1)(2)．(3)．C綜合素養(yǎng)1．（2023上·遼寧丹東·八年級?？计谥校┰O的整數(shù)部分是m，小數(shù)部分是n，則n的值是（

）A． B． C． D．2．（2023上·湖南長沙·八年級校聯(lián)考期末）已知，，，那么，，的大小關系是（

）A． B． C． D．3．（2023上·四川成都·八年級?？计谥校┮阎瑒t化簡的結果為．4．（2023上·山東淄博·九年級?？计谀┤鐖D，從一個大正