2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)單元速記·巧練（北師大版）第1章 特殊平行四邊形（知識(shí)歸納+題型突破）（原卷版）

第1章特殊平行四邊形（知識(shí)歸納+題型突破）1.掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念,了解它們之間的關(guān)系.2.探索并掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的有關(guān)性質(zhì)和常用判別方法,并能運(yùn)用這些知識(shí)進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算.一、菱形1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2．性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)；（2）四條邊相等；（3）兩條對(duì)角線互相平分且垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；（4）中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形.3．面積：4．判定：（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四邊相等的四邊形是菱形.二、矩形1．定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.2．性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；（2）四個(gè)角都是直角；（3）對(duì)角線互相平分且相等；（4）中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形.3．面積：４．判定：（1)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.（2）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.（3）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.要點(diǎn)：由矩形得直角三角形的性質(zhì)：（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（2）直角三角形中，30度角所對(duì)應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半．三、正方形1.定義：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.2．性質(zhì)：（1）對(duì)邊平行；（2）四個(gè)角都是直角；（3）四條邊都相等；（4）對(duì)角線互相垂直平分且相等，對(duì)角線平分對(duì)角；（5)兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；（6）中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形.3．面積：邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)＝×對(duì)角線×對(duì)角線4．判定：（1）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；（2）一組鄰邊相等的矩形是正方形；（3）對(duì)角線相等的菱形是正方形；（4）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形；（5）對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；（6）四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形.題型一菱形、矩形、正方形的性質(zhì)與判定的有關(guān)概念【例1】下列選項(xiàng)中，矩形一定具有的性質(zhì)是（

）A．對(duì)角線相等 B．對(duì)角線互相垂直C．鄰邊相等 D．一條對(duì)角線平分一組對(duì)角鞏固訓(xùn)練：下列性質(zhì)中，菱形不一定具備的性質(zhì)是（）A．四邊相等 B．對(duì)角線相等C．對(duì)角線相互垂直 D．對(duì)邊平行2．下列四邊形：①平行四邊形、②矩形、③菱形、④正方形，對(duì)角線一定相等的是（

）A．①② B．①③ C．②④ D．①②③④3．下列四個(gè)命題中，假命題是（

）A．有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形 B．對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形C．四條邊都相等的四邊形是菱形 D．對(duì)角線互相垂直的四邊形是平行四邊形4．已知四邊形為矩形，下列條件中，不能判定四邊形為正方形的是（

）A．B．C． D．題型二根據(jù)菱形、矩形、正方形的性質(zhì)求長(zhǎng)度、角度面積等問(wèn)題【例2】矩形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，如果，那么的度數(shù)是（）

A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：1．已知菱形的對(duì)角線的長(zhǎng)分別是6和8，則這個(gè)菱形的面積是；2．矩形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)O．若，，則的長(zhǎng)為（）A．4 B． C．3 D．53．如圖，菱形的對(duì)角線與交于點(diǎn)O，，，則．4．如圖，在中，，，，以AB為一條邊向三角形外部作正方形，則正方形的面積是（

）A．13 B．12 C．6 D．35．如圖，正方形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，、分別為、的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．6．在正方形ABCD中，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，且AE=AB，則∠EBC的度數(shù)是．7．如圖，四邊形是菱形，對(duì)角線，，于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．8．如圖，在矩形中，，，過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，則的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．9．如圖，在正方形中，點(diǎn)、分別是邊、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)不與頂點(diǎn)、、重合，在運(yùn)動(dòng)中始終保持，與交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為(

)

A． B． C． D．題型三菱形、矩形、正方形的性質(zhì)與判定【例3】如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AO的中點(diǎn)，連接EF，若EF=3，則BD的長(zhǎng)為()A．6 B．9 C．12 D．15鞏固訓(xùn)練：如圖中，是角平分線，交于E，交于F，若，那么四邊形的周長(zhǎng)為．

2．如圖，兩張寬均為的矩形紙條交叉重疊在一起，重疊的部分為四邊形．若測(cè)得，則四邊形的周長(zhǎng)為cm．3．如圖，已知四邊形和四邊形均為正方形，且是的中點(diǎn)，連接，若，則的長(zhǎng)為．

4．如圖，菱形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，，，與交于點(diǎn)F．若，，則菱形的面積為．5．如圖，矩形中，，，是對(duì)角線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別從同時(shí)出發(fā)，相向而行，速度均為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，若分別是的中點(diǎn)，且，當(dāng)為頂點(diǎn)的四邊形為矩形時(shí)，的值為．6．如圖，在中，，以斜邊為邊向外作正方形，且對(duì)角線交于點(diǎn)O，連接．若，則另一條直角邊的長(zhǎng)為．7．如圖，在正方形中，點(diǎn)在對(duì)角線上，分別為垂足，連結(jié)，若，則（）A． B． C． D．8．如圖，在中，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與、兩點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)作直線，直線與的平分線相交于點(diǎn)，與（的外角）的平分線相交于點(diǎn)．(1)與相等嗎？為什么？(2)探究：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形是矩形？并證明你的結(jié)論．(3)在（2）中當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r(shí)，四邊形為正方形（不要求說(shuō)理由）題型四特殊平行四邊形的解答證明題【例4】．如圖，已知平行四邊形ABCD中，M，N是BD上的兩點(diǎn)，且，．(1)求證：四邊形AMCN是矩形；(2)若，，AB⊥AC，求四邊形ABCD的面積．鞏固訓(xùn)練：1．如圖，四邊形ABCD是正方形，E、F分別是DC和CB的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且DE＝BF，連接AE，AF，EF．(1)求證：△ADE≌△ABF；(2)若BC＝8，DE＝6，求EF的長(zhǎng)．2．如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對(duì)角線BD平分∠ABC，P是BD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M、N．（1）求證：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求證：四邊形MPND是正方形．3．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BC至F，使CF＝BE，連接DF．（1）求證：四邊形AEFD是矩形；（2）若AC＝10，∠ABC＝60°，則矩形AEFD的面積是．4．如圖，矩形ABCD和正方形ECGF，其中E、H分別為AD、BC中點(diǎn)，連結(jié)AF、HG、AH.（1）求證：；（2）求證：；題型五特殊平行四邊形與坐標(biāo)系【例5】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）A．（3，4） B．（4，3） C．（2，3） D．（2，4）鞏固訓(xùn)練：1．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)、分別在軸、軸上，且，若點(diǎn)坐標(biāo)為，則（用含的代數(shù)式表示）．2．如圖，四邊形中，，．點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)，以的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)或時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，四邊形的最大面積為3．如圖，菱形ABDC的頂點(diǎn)A(1，1)，B(3，1)，∠BAC=60°，規(guī)定把菱形ABDC“先沿y軸翻折，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度”為1次變換，如果這樣連續(xù)經(jīng)過(guò)2022次變換后，頂點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為．4．如圖1，在菱形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿C→A→D運(yùn)動(dòng)至終點(diǎn)D．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x，△BCP的面積為y，若y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則圖中a的值為．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在軸的正半軸上，且，將菱形繞原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到四邊形點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)的坐標(biāo)是(

)

A． B． C． D．6．如果點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為．這是小白在一本課外書(shū)上看到的一種求線段中點(diǎn)坐標(biāo)的方法，請(qǐng)你利用這種方法解決下面的問(wèn)題：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為，四邊形是菱形，D的坐標(biāo)為．若直線l把矩形和菱形組成的圖形的面積分成相等的兩部分，則直線l的解析式為（

）．

A．y=2x+11 B．y=-2x+12C． D．7．如圖，直線與軸交于，與軸交于，點(diǎn)在經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線上，當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是．題型六特殊平行四邊形與方程【例6】．如圖，在矩形ABCD中，cm，cm，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到A停止，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C即停止，點(diǎn)P，Q的速度都是1cm/s．連接PQ，AQ，CP．設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．(1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ABQP是矩形；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形AQCP是菱形；(3)分別求出（2）中菱形AQCP的周長(zhǎng)和面積．鞏固訓(xùn)練：1．如圖，已知中，，，將沿射線方向平移m個(gè)單位得到，頂點(diǎn)A，B，C分別與D，E，F(xiàn)對(duì)應(yīng)，若以A，D，E為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則m的值是．題型七最值、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題【例7】．如圖，在中，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，于于，則的最小值為（

）

A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：1．如圖，矩形的面積為12，，與交于點(diǎn)O．分別過(guò)點(diǎn)C，D作，的平行線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是四邊形邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）

A．1 B． C． D．32．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，分別是邊上一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)，則線段的最小值為

3．如圖，在中，，P為邊上一動(dòng)點(diǎn)（P不與B、C重合），于E，于F，M為中點(diǎn)，則的取值范圍是（）

A． B． C． D．題型八特殊平行四邊形動(dòng)態(tài)問(wèn)題【例8】．如圖，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，連接ED，將△EDB沿DE翻折，得到△DEP，連接PC，PB，PA，若DP經(jīng)過(guò)AC的中點(diǎn)F，且PC＝2，則△AFP的面積是．鞏固訓(xùn)練：1．如圖，矩形ABCD與菱形EFGH的對(duì)角線均交于點(diǎn)O，且EG∥BC，將矩形折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)O重合，折痕MN恰好