蘇科版八年級數(shù)學上冊專題1.7全等三角形章末八大題型總結(jié)(拔尖篇)同步特訓(學生版+解析)

專題1.7全等三角形章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由全等三角形的判定與性質(zhì)求最值】 1【題型2由全等三角形的判定與性質(zhì)探究線段的和差關(guān)系】 2【題型3由全等三角形的判定與性質(zhì)求面積】 4【題型4尺規(guī)作圖與全等三角形的綜合】 5【題型5三角形的三邊關(guān)系與全等三角形的綜合】 8【題型6全等三角形的動態(tài)問題】 10【題型7全等三角形與坐標系的綜合運用】 12【題型8全等三角形中的多結(jié)論問題】 14【題型1由全等三角形的判定與性質(zhì)求最值】【例1】（2023春·北京朝陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D，E為AB邊上的兩個動點，且AD=BE，連接CD，CE，若AC=2，則CD+CE的最小值為．【變式1-1】（2023春·八年級課時練習）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，M為BC的中點，H為AB上一點，過點C作CG∥AB，交HM的延長線于點G，若AC=8，AB=6，則四邊形ACGH周長的最小值是．【變式1-2】（2023春·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=3，連接BD，BD⊥CD，BD平分∠ABC．若P是BC邊上一動點，則DP長的最小值為．【變式1-3】（2023春·八年級課時練習）如圖，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，AD平分∠BAC，N是AC上一動點（不與A,C重合），M是AD上一動點（不與A,D重合），則CM+MN的最小值為．【題型2由全等三角形的判定與性質(zhì)探究線段的和差關(guān)系】【例2】（2023春·河南鄭州·七年級統(tǒng)考期末）回答問題（1）【初步探索】如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點，且EF=BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系，小王同學探究此問題的方法是：延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，先證明（2）【靈活運用】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分別是BC、CD上的點，且（3）【拓展延伸】已知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD，若點E在CB的延長線上，點F在CD的延長線上，如圖3，仍然滿足EF=BE+FD，請直接寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系．【變式2-1】（2023春·上海·七年級期末）已知：等邊△ABC邊長為3，點D、點E分別在射線AB、射線BC上，且BD＝CE＝a（0＜a＜3），將直線DE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到直線EF交直線AC于點F．(1)如圖1，當點D在線段AB上，點E在線段BC上時，說明BD+CF＝3的理由．(2)如圖2，當點D在線段AB上，點E在線段BC的延長線上時，請判斷線段BD，CF之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．(3)當點D在線段AB延長線上時，線段BD，CF之間的數(shù)量關(guān)系又如何？請在備用圖中畫圖探究，并直接寫出線段BD，CF之間的數(shù)量關(guān)系．【變式2-2】（2023春·陜西西安·八年級西安益新中學?？茧A段練習）（1）某學習小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線l經(jīng)過點A，BD⊥直線l，CE⊥直線l，垂足分別為點D、E．證明：DE=BD+CE．（2）組員小劉想，如果三個角不是直角，那結(jié)論是否會成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線l上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）數(shù)學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3，過△ABC的邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高，延長HA交EG于點I，求證：I是EG的中點．【變式2-3】（2023春·上海靜安·八年級校考期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=10.5°，AD是∠BAC的平分線，過點A作DA的垂線交BC延長線于點M，若BM=BA+AC，則∠ABC的度數(shù)是

【題型3由全等三角形的判定與性質(zhì)求面積】【例3】（2023春·廣東深圳·八年級校考階段練習）如圖，△ABC中，BC=10，AC?AB=5，AD是∠BAC的角平分線，CD⊥AD，則S△BDC的最大值為

【變式3-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知四邊形ABCD，連接AC、BD，∠BAC=∠ADC=90°，AB=AC，若AD=5，則△ABD的面積等于．

【變式3-2】（2023春·江蘇南京·八年級南京市科利華中學?？计谥校┤鐖D，Rt△ABC中，∠C=90°，分別以AB、AC、BC為邊在AB同側(cè)作正方形ABDE、ACPQ、BCMN，四塊陰影部分面積分別為S1、S2、S3、S4，若【變式3-3】（2023春·江蘇鹽城·八年級景山中學?？计谀┮阎骸鰽BC中，∠ACB=90°，AC=CB，D為射線CB上一動點，連接AD，在直線AC右側(cè)作AE⊥AD，且AE=AD．連接BE交直線AC于M，若2AC=7CM，則S△ADBS△AEM

【題型4尺規(guī)作圖與全等三角形的綜合】【例4】（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，點B在直線l上，分別以線段BA的端點為圓心，以BC（小于線段BA）長為半徑畫弧，分別交直線l，線段BA于點C，D，E，再以點E為圓心，以CD長為半徑畫弧交前面的弧于點F，畫射線AF．若∠BAF的平分線AH交直線l于點H，∠ABC=70°，則∠AHB的度數(shù)為．【變式4-1】（2023·全國·八年級專題練習）我們通過“三角形全等的判定”的學習，可以知道“兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等”是一個基本事實，用它可以判定兩個三角形全等；而滿足條件“兩邊和其中一邊所對的角分別相等”的兩個三角形卻不一定全等．下面請你來探究“兩邊和其中一邊所對的角分別相等的兩個三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一個△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即兩邊和其中一邊所對的角分別相等）．(1)動手畫圖：請依據(jù)下面的步驟，用尺規(guī)完成作圖過程（保留作圖痕跡）：①畫EF=BC；②在線段EF的上方畫∠F=∠C；③畫DE=AB；④順次連接相應(yīng)頂點得所求三角形．(2)觀察：觀察你畫的圖形，你會發(fā)現(xiàn)滿足條件的三角形有____個；其中三角形____（填三角形的名稱）與△ABC明顯不全等；(3)小結(jié)：經(jīng)歷以上探究過程，可得結(jié)論：______．【變式4-2】（2023春·山西·八年級統(tǒng)考階段練習）綜合與實踐：在綜合實踐課上，老師讓同學們在已知三角形的基礎(chǔ)上，經(jīng)過畫圖，探究三角形邊之間存在的關(guān)系．如圖，已知點D在ΔABC的邊BC的延長線上，過點D作∠BDM=∠B且DM//AB，在DM上截取DE=AB，再作∠DEF=∠A交線段BC于點

實踐操作（1）尺規(guī)作圖：作出符合上述條件的圖形；探究發(fā)現(xiàn)（2）勤奮小組在作出圖形后，發(fā)現(xiàn)AC//EF，探究應(yīng)用（3）縝密小組在勤奮小組探究的基礎(chǔ)上，測得DF=5，CF=1，求線段BD的長．【變式4-3】（2023春·北京·八年級校考期中）尺規(guī)作圖之旅下面是一副純手繪的畫作，其中用到的主要工具就是直尺和圓規(guī)，在數(shù)學中，我們也能通過尺規(guī)作圖創(chuàng)造出許多帶有美感的圖形．尺規(guī)作圖起源于古希臘的數(shù)學課題，只允許使用圓規(guī)和直尺，來解決平面幾何作圖問題．【作圖原理】在兩年的數(shù)學學習里中，我們認識了尺規(guī)作圖，并學會用尺規(guī)作圖完成一些作圖問題，請仔細思考回顧，判斷以下操作能否通過尺規(guī)作圖實現(xiàn)，可以實現(xiàn)的畫√，不能實現(xiàn)的畫×．（1）過一點作一條直線．()（2）過兩點作一條直線．()（3）畫一條長為3㎝的線段．()（4）以一點為圓心，給定線段長為半徑作圓．()【回顧思考】還記得我們用尺規(guī)作圖完成的第一個問題嗎？那就是“作一條線段等于已知線段”，接著，我們學習了使用尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線，作角平分線，過直線外一點作垂線……而這些尺規(guī)作圖的背后都與我們學習的數(shù)學原理密切相關(guān)，下面是用尺規(guī)作一個角等于已知角的方法及說理，請補全過程．已知：∠AOB．求作：∠A'作法：（1）如圖，以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C，D；（2）畫一條射線O'A'，以點O'為圓心，OC長為半徑畫弧，交（3）以點C'（4）過點D'畫射線O'B說理：由作法得已知：OC=求證：∠證明：∵∴ΔOCD?ΔO所以∠A【小試牛刀】請按照上面的范例，完成尺規(guī)作圖并說理：過直線外一點作已知直線的平行線．已知：直線l與直線外一點A．求作：過點A的直線l'，使得l//【創(chuàng)新應(yīng)用】現(xiàn)實生活中許多圖案設(shè)計都蘊含著數(shù)學原理，下面是一個常見商標的設(shè)計示意圖．假設(shè)你擁有一家書店，請利用你手中的刻度尺和圓規(guī)，為你的書店設(shè)計一個圖案．要求保留作圖痕跡，并寫出你的設(shè)計意圖．【題型5三角形的三邊關(guān)系與全等三角形的綜合】【例5】（2023春·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期中）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC(1)如圖1，若BC＝4，則S(2)如圖2，點M在BE上，且CM⊥BE于M，過點A作AF⊥BE于F，D為AC中點，連接FD并延長，交CM于點H．求證：MF＝(3)如圖3，連接BM，EM，過點B作BM'⊥BM于點B，且滿足BM'＝BM，連接AM'，MM'，過點B作BG⊥CE于點【變式5-1】（2023春·四川樂山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，BC=12，AD平分∠BAC，點E為AC中點，AD與BE相交于點F．(1)若∠ABC=40°，∠C=80°，求∠ADB的度數(shù)；(2)如圖1，若AB=10，求線段BE的長的取值范圍；(3)如圖2，過點B作BH⊥AD交AD延長線于點H，設(shè)△BFH，△AEF的面積分別為S1，S2，若AB?AC=4，試求S【變式5-2】（2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊．(1)如圖1，線段AD，BC交于點E，連接AB，CD，判斷AD+BC與AB+CD的大小關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，OC平分∠AOB，P為OC上任意一點，在OA，OB上截取OE=OF，連接PE，PF．求證：PE=PF；(3)如圖3，在△ABC中，AB>AC，P為角平分線AD上異于端點的一動點，求證：PB?PC>BD?CD．【變式5-3】（2023春·湖南長沙·八年級統(tǒng)考期中）閱讀理解：課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題:在△ABC中，AB=7，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．(1)小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）:①延長AD到Q使得DQ=AD；②再連接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得4<AQ<10，則AD的取值范圍是___________．感悟：解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”等條件，可以考慮倍長中線，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中．(2)請寫出圖1中AC與BQ的位置關(guān)系并證明；(3)思考：已知，如圖2，AD是△ABC的中線，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠FAC=90°，試探究線段AD與EF的數(shù)量和位置關(guān)系，并加以證明．【題型6全等三角形的動態(tài)問題】【例6】（2023春·江蘇蘇州·八年級蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學校校考階段練習）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．點P從A點出發(fā)沿A→C→B路徑向終點運動，終點為B點；點Q從B點出發(fā)沿B→C→A路徑向終點運動，終點為A點．點P和Q分別以每秒1和3的運動速度同時開始運動，兩點都要到相應(yīng)的終點時才能停止運動，在某時刻，分別過P和Q作PE⊥l于E、作QF⊥l于F，當點P運動秒時，以P、E、C為頂點的三角形和以Q、F、C為頂點的三角形全等．【變式6-1】（2023春·八年級課時練習）如圖，CAAB，垂足為點A，AB=24cm，AC=12cm，射線BMAB，垂足為點B，一動點E從A點出發(fā)以3cm/s沿射線AN運動，點D為射線BM上一動點，隨著E點運動而運動，且始終保持ED=CB，當點E經(jīng)過(

)秒時，△DEB與△BCA全等．（注：點E與A不重合）（

）A．4 B．4、8 C．4、8、12 D．4、12、16【變式6-2】（2023春·安徽合肥·八年級合肥市第四十五中學校考階段練習）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9cm，AC=12cm，AB=15cm，現(xiàn)有一動點P，從點A出發(fā)沿著三角形的邊AC→CB→BA運動回到點A停止，速度為3cm/（1）如上圖，當t=時，△APB的面積等于△ABC面積的一半；（2）如圖，在△DEF中，∠E=90°，DE=4cm，DF=5cm，∠D=∠A．在△ABC的邊上，若另外有一個動點Q，與點P同時從點A出發(fā)，沿著邊AB→BC→CA運動回到點A停止，在兩點運動過程中的某一時刻，恰好△APQ與△DEF全等，則點Q的運動速度是cm/s．【變式6-3】（2023春·江蘇蘇州·八年級蘇州市立達中學校校考期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC=16，BD=24，點E從點D出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿DA向點A勻速移動，點F從點C出發(fā)，以每秒6個單位的速度，沿C→B→C做勻速移動，點G從點B出發(fā)沿BD向點D勻速移動，三個點同時出發(fā)，當有一個點到達終點時，其余兩點也隨之停止運動，假設(shè)移動時間為t秒．△DEG與△BFG全等，t=【題型7全等三角形與坐標系的綜合運用】【例7】（2023春·八年級課時練習）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A、B分別為x軸和y軸上一點，且OA=OB，過點B作BE⊥AC于點E，延長BE至點D，使得BD=AC，連接OC、OD，若點C在第一象限，點C的坐標為2,1.5，連接CD，AC與OD交于點F，則點D的坐標為．【變式7-1】（2023春·湖北黃岡·八年級?？茧A段練習）如圖所示，在平面直角坐標系中，P(4,4)，(1)點A在x的正半軸運動，點B在y的正半軸上，且PA=PB，①求證：PA⊥PB：②求OA+OB的值；(2)點A在x的正半軸運動，點B在y的負半軸上，且PA=PB，①求OA-OB的值；②點A的坐標為(10,0)，求點B的坐標．【變式7-2】（2023春·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期末）已知：如圖1，OA=2，OB=4，以A點為直角頂點、AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC

(1)求C點的坐標：(2)如圖2，OA=2，P為y軸負半軸上一個動點，若以P為直角頂點，PA為腰作等腰Rt△APD，過D作DE⊥x軸于E點，求(3)如圖3，點F坐標為?3,?3，點G0,m在y軸負半軸，點Hn,0在x軸的正半軸上，且FH⊥FG，求【變式7-3】（2023春·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A(0，m)、點B(n,0)分別在y軸、x軸的正半軸上，若m、n滿足(1)填空：m=，n=；(2)如圖，點P是第一象限內(nèi)一點，連接AP、OP，使∠APO=45°．過點B作BC⊥OP于點D，交y軸于點C，證明：DP=DB．(3)若在線段OA上有一點M（0，t），連接BM，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到BN，連接AN交x軸于點E，請直接寫出點E的坐標（用含有【題型8全等三角形中的多結(jié)論問題】【例8】（2023春·四川巴中·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，AD<AB，∠BAC=∠DAE=49°，連接CE，BD，延長BD交CE于點F，連接AF．下列結(jié)論：①BD=CE；②AD=BD；③∠BFC=49°；④AF平分∠BFE．其中正確的結(jié)論個數(shù)有（

）個．A．4 B．3 C．2 D．1【變式8-1】（2023春·全國·八年級期中）如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC<60°，三條角平分線AD、BE、CF交于O，OH⊥BC于H．下列結(jié)論：①∠BOC=120°；②∠DOH=∠OCB?∠OBC；③OD平分∠BOC；④BF+CE=BC．其中正確的結(jié)論個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式8-2】（2023春·湖北武漢·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分線AD、BE相交于點O，過點O作OF⊥AD交BC的延長線于點F，交AC于點G，下列結(jié)論：①∠BOD=45°；②AD=OE+OF；③若BD=3，AG=8，則AB=11；④S△ACD:S

【變式8-3】（2023春·湖南衡陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在ΔABC中，AD是BC邊上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG．連接FG，交DA的延長線于點E，連接BG，CF．則下列結(jié)論：①BG=CF；②BG⊥CF；③EF=EG；④BC=2AE；⑤S專題1.7全等三角形章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由全等三角形的判定與性質(zhì)求最值】 1【題型2由全等三角形的判定與性質(zhì)探究線段的和差關(guān)系】 5【題型3由全等三角形的判定與性質(zhì)求面積】 15【題型4尺規(guī)作圖與全等三角形的綜合】 22【題型5三角形的三邊關(guān)系與全等三角形的綜合】 30【題型6全等三角形的動態(tài)問題】 40【題型7全等三角形與坐標系的綜合運用】 47【題型8全等三角形中的多結(jié)論問題】 57【題型1由全等三角形的判定與性質(zhì)求最值】【例1】（2023春·北京朝陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D，E為AB邊上的兩個動點，且AD=BE，連接CD，CE，若AC=2，則CD+CE的最小值為．【答案】4【分析】過點A，B分別作AC的垂線和BC的垂線交于點M，連接MC，ME，先證△ACB≌△MBC，得AB=MC，再證△CAD≌△MBE，得CD=ME，進而得出CD+CE=ME+CE，當C，E，M三點不共線時，ME+CE>MC；當C，E，M三點共線時，ME+CE=MC，然后根據(jù)直角三角形中，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AB的值，從而得出結(jié)果．【詳解】過點A，B分別作AC的垂線和BC的垂線交于點M，連接MC，ME，∵∠ACB=90°，MA⊥AC，∴AM∥∵MB⊥BC∴AC∥MB，∴∠CAB=∠MBA，∵BC=CB，∠ACB=∠MBC=90°，∴△ACB≌△MBC，∴AB=MC，∵AD=BE，∴△CAD≌△MBE，∴CD=ME，∴CD+CE=ME+CE，當C，E，M三點不共線時，ME+CE>MC；當C，E，M三點共線時，ME+CE=MC．∴CD+CE的最小值是MC的長，∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴AB=2AC，∵AC=2，∴AB=4，∴MC=AB=4，∴CD+CE的最小值是4．故答案為：4．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線找出恰當?shù)娜热切问墙獗绢}的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·八年級課時練習）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，M為BC的中點，H為AB上一點，過點C作CG∥AB，交HM的延長線于點G，若AC=8，AB=6，則四邊形ACGH周長的最小值是．【答案】22【分析】通過證明△BMH?△CMG可得BH=CG，可得四邊形ACGH的周長即為AC+AB+GH，進而可確定當MH⊥AB時，四邊形ACGH的周長有最小值，通過證明四邊形ACGH為矩形可得HG的長，進而可求解．【詳解】解：∵CG∥AB，∴∠B=∠MCG，∵M是BC的中點，∴BM=CM，在△BMH和△CMG中，∠B=∠MCGBM=CM∴△BMH?△CMG（ASA），∴HM=GM，BH=CG，∵AC=8，AB=6，∴四邊形ACGH的周長=AC+CG+AH+=GH=AB+AC+GH=14+GH，∴當GH最小時，即MH⊥AB時四邊形ACGH的周長有最小值，∵∠A=90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四邊形ACGH為矩形，∴GH=AC=8，∴四邊形ACGH的周長最小值為14+8=22，故答案為：22．【點睛】本題主要考查軸對稱﹣最短路徑問題，全等三角形的判定與性質(zhì)，確定HG的最小值是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=3，連接BD，BD⊥CD，BD平分∠ABC．若P是BC邊上一動點，則DP長的最小值為．【答案】3【分析】過D作DE⊥BC于E，DE即為DP長的最小值，由題意可以得到△BAD≌△BED，從而得到DE的長度．【詳解】解：如圖，過D作DE⊥BC于E，DE即為DP長的最小值，由題意知在△BAD和△BED中，∠A=∠DEB∠ABD=∠EBD∴△BAD≌△BED，∴ED=AD=3，故答案為3．【點睛】本題考查三角形全等的應(yīng)用，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·八年級課時練習）如圖，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，AD平分∠BAC，N是AC上一動點（不與A,C重合），M是AD上一動點（不與A,D重合），則CM+MN的最小值為．【答案】12【分析】在AB取點E，使AE=AN，連接ME，過點C作CF⊥AB于點F，證明△AMN≌△AME，可得CM+MN=CM+MF≤CE，即當點C，M，E三點共線時，CM+MN的值最小，再由點到直線，垂線段最短，可得當點E與點F重合時，CE的值最小，即CM+MN的最小值為CF的長，然后根據(jù)S△ABC【詳解】解：如圖，在AB取點E，使AE=AN，連接ME，過點C作CF⊥AB于點F，∵AD平分∠BAC，∴∠MAN=∠MAE，∵AM=AM，∴△AMN≌△AME，∴EM=MN，∴CM+MN=CM+MF≤CE，即當點C，M，E三點共線時，CM+MN的值最小，∵點到直線，垂線段最短，∴當點E與點F重合時，CE的值最小，即CM+MN的最小值為CF的長，∵S△ABC即12解得：CF=125，即CM+MN的最小值為故答案為：12【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，最短距離問題，證明△AMN≌△AME，得到當點C，M，E三點共線時，CM+MN的值最小是解題的關(guān)鍵．【題型2由全等三角形的判定與性質(zhì)探究線段的和差關(guān)系】【例2】（2023春·河南鄭州·七年級統(tǒng)考期末）回答問題（1）【初步探索】如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點，且EF=BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系，小王同學探究此問題的方法是：延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，先證明（2）【靈活運用】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分別是BC、CD上的點，且（3）【拓展延伸】已知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD，若點E在CB的延長線上，點F在CD的延長線上，如圖3，仍然滿足EF=BE+FD，請直接寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF；（2）仍成立，理由見解析；（3）∠EAF=180°?1【分析】（1）根據(jù)SAS可判定△ABE≌△ADG，進而得出∠BAE=∠DAG,AE=AG，從而得到EF=DF+DG=FG，再根據(jù)SAS判定△AEF≌（2）延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，先根據(jù)SAS可判定△ABE≌△ADG，進而得出∠BAE=∠DAG,AE=AG，從而得到EF=DF+DG=FG，再根據(jù)SAS判定△AEF≌（3）在DC延長線上取一點G，使得DG=BE，連接AG，先根據(jù)SAS可判定△ABE≌△ADG，再根據(jù)SAS判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根據(jù)【詳解】解：（1）結(jié)論：∠BAE+∠FAD=∠EAF．如圖1，延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，在△ABE和△ADG中，AB=AD∠B=∠ADG=90°∴△ABE≌∴∠BAE=∠DAG,AE=AG，∵EF=BE+DF，∴EF=DF+DG=FG，在△AEF和△AGF中，AE=AGAF=AF∴△AEF≌∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF．故答案為：∠BAE+∠FAD=∠EAF；（2）仍成立，理由：如圖2，延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，∵∠B+∠ADF=180°,∠ADG+∠ADF=180°，∴∠B=∠ADG，在△ABE和△ADG中，AB=AD∠B=∠ADG=90°∴△ABE≌∴∠BAE=∠DAG,AE=AG，∵EF=BE+DF，∴EF=DF+DG=FG，在△AEF和△AGF中，AE=AGAF=AF∴△AEF≌∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；（3）結(jié)論：∠EAF=180°?1如圖3，在DC延長線上取一點G，使得DG=BE，連接AG，∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE，在△ABE和△ADG中，AB=AD∠ABE=∠ADG=90°∴△ABE≌∴∠BAE=∠DAG,AE=AG，∵EF=BE+DF，∴EF=DF+DG=FG，在△AEF和△AGF中，AE=AGAF=AF∴△AEF≌∴∠FAE=∠FAG，∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，∴2∠FAE+∠GAB+∠BAE∴2∠FAE+∠GAB+∠DAG即2∠FAE+∠DAB=360°，∴∠EAF=180°?1【點睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等進行推導變形．【變式2-1】（2023春·上?！て吣昙壠谀┮阎旱冗叀鰽BC邊長為3，點D、點E分別在射線AB、射線BC上，且BD＝CE＝a（0＜a＜3），將直線DE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到直線EF交直線AC于點F．(1)如圖1，當點D在線段AB上，點E在線段BC上時，說明BD+CF＝3的理由．(2)如圖2，當點D在線段AB上，點E在線段BC的延長線上時，請判斷線段BD，CF之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．(3)當點D在線段AB延長線上時，線段BD，CF之間的數(shù)量關(guān)系又如何？請在備用圖中畫圖探究，并直接寫出線段BD，CF之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)BD＝CF﹣3，理由見解析(3)若E在線段BC上，BD+CF＝3；若E在BC延長線上，CF﹣BD＝3【分析】（1）根據(jù)AAS證△DBE≌△ECF，得BD+CF＝CE+BE＝BC＝3即可；（2）根據(jù)AAS證△DBE≌△ECF，得BD＝CE＝BE﹣BC＝CF﹣BC，即可得出BD＝CF﹣3；（3）分點E在線段BC上和在BC延長線上兩種情況討論即可．【詳解】解：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵∠DEC＝∠DEF+∠FEC＝∠B+∠BDE且∠DEF﹣60°＝∠B，∴∠BDE＝∠FEC，又∵BD＝CE，∴△DBE≌△ECF（AAS），∴CF＝BE，∴BD+CF＝CE+BE＝BC＝3；（2）如下圖，設(shè)G點在FE的延長線，AF與DE交點為H，∴∠DEG＝∠F+∠FHE＝60°，∠BCA＝∠FHE+∠BED＝60°，∴∠F＝∠BED，又∵∠B＝∠FCE＝60°，CE＝BD，∴△DBE≌△ECF（AAS），∴CF＝BE，∴BD＝CE＝BE﹣BC＝CF﹣BC，即BD＝CF﹣3；（3）①若E在線段BC上，設(shè)DE延長線交AC于點I，∵∠ABC＝∠BDE+∠BED＝60°，∠IEF＝∠IEC+∠CEF＝60°，∠BED＝∠IEC，∴∠BDE＝∠CEF，又∵∠DBE＝∠ECF＝120°，CE＝BD，∴△DBE≌△ECF（AAS），∴CF＝BE，∴BD+CF＝CE+BE＝BC＝3；②若E在BC延長線上，∵∠ABC＝∠BDE+∠BED＝60°，∠FED＝∠FEC+∠BED＝60°，∴∠BDE＝∠FEC，又∵∠DBE＝∠FCE＝120°，BD＝CE，∴△DBE≌△ECF（AAS），∴CF＝BE，∴CF﹣BD＝BE﹣CE＝BC＝3；綜上，若E在線段BC上，BD+CF＝3；若E在BC延長線上，CF﹣BD＝3．【點睛】本題主要考查幾何變換綜合題，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023春·陜西西安·八年級西安益新中學?？茧A段練習）（1）某學習小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線l經(jīng)過點A，BD⊥直線l，CE⊥直線l，垂足分別為點D、E．證明：DE=BD+CE．（2）組員小劉想，如果三個角不是直角，那結(jié)論是否會成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線l上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）數(shù)學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3，過△ABC的邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高，延長HA交EG于點I，求證：I是EG的中點．【答案】（1）見解析；（2）成立，證明見解析；（3）見解析【分析】（1）由條件可證明△ADB≌△CEAAAS，可得AE=BD，AD=CE（2）由條件可知∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°?α，可得∠DBA=∠CAE，結(jié)合條件可證明△ADB≌△CEAAAS（3）過E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延長線于N．由條件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，結(jié)合條件可證明△EMI≌△GNIAAS，可得出結(jié)論I是EG【詳解】解：（1）如圖1，∵BD⊥直線l，CE⊥直線l，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEA∴△ADB≌△CEAAAS∴AE=BD，∴DE=AE+AD=BD+CE；（2）DE=BD+CE．如圖2，證明如下：∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°?α，∴∠DBA=∠CAE，在△ADB和△CEA中．∠BDA=∠AEC∠DBA=∠CAE∴△ADB≌△CEAAAS∴AE=BD，∴DE=AE+AD=BD+CE；（3）證明：過E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延長線于N．∴∠EMI=GNI=90°，由（1）和（2）的結(jié)論可知EM=AH=GN，∴EM=GN，在△EMI和△GNI中，∠EIM=∠GIN∠EMI=∠GNI∴△EMI≌△GNIAAS∴EI=GI，∴I是EG的中點．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023春·上海靜安·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠BAC=10.5°，AD是∠BAC的平分線，過點A作DA的垂線交BC延長線于點M，若BM=BA+AC，則∠ABC的度數(shù)是

【答案】53°【分析】延長BA至點E，使AE=AC，先求得∠DAC=∠BAD，進而證得△CAM=△EAM，得到∠ACM=∠AEM=∠BME，結(jié)合∠ACM+∠AEM+∠BME+∠CAM+∠EAM=360°即可求得答案．【詳解】如圖所示，延長BA至點E，使AE=AC．

∵BE=BA+AE，BM=BA+AC，∴BE=BM．∴∠AEM=∠BME．∵∠BAC=10.5°，AD是∠BAC的平分線，∴∠DAC=∠BAD=1∴∠CAM=∠DAM?∠DAC=90°?5.25°=84.75°，∠EAM=180°?∠BAD?∠DAM=180°?5.25°?90°=84.75°．∴∠CAM=∠EAM=84.75°．在△CAM和△EAM中AE=AC∴△CAM=△EAM．

∴∠ACM=∠AEM．∴∠ACM=∠AEM=∠BME．∵∠ACM+∠AEM+∠BME+∠CAM+∠EAM=360°，∴3∠AEM+84.75°+84.75°=360°．∴∠AEM=63.5°．∴∠ABC=180°?∠AEM?∠BME=180°?63.5°?63.5°=53°．故答案為：53°．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)、角平分線的定義、多邊形內(nèi)角和等，能根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．【題型3由全等三角形的判定與性質(zhì)求面積】【例3】（2023春·廣東深圳·八年級?？茧A段練習）如圖，△ABC中，BC=10，AC?AB=5，AD是∠BAC的角平分線，CD⊥AD，則S△BDC的最大值為

【答案】12.5【分析】延長AB，CD交點于E，可證△ADE≌△ADCASA，得出AC=AE，DE=CD，則S△BDC=12S△BCE【詳解】解：如圖：延長AB，CD交點于E，

∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠EAD，∵CD⊥AD，∴∠ADC=∠ADE=90°，在△ADE和△ADC中，∠ADE=∠ADCAD=AD∴△ADE≌△ADCASA∴AC=AE，DE=CD；∵AC?AB=5，∴AE?AB=5，即BE=5；

∵DE=DC，∴S∴當BE⊥BC時，S△BEC取最大值，即SS△BDC=故答案為：12.5．【點睛】本題考查了角平分線定義、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是利用三角形中線的性質(zhì)得到S△BDC【變式3-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知四邊形ABCD，連接AC、BD，∠BAC=∠ADC=90°，AB=AC，若AD=5，則△ABD的面積等于．

【答案】25【分析】如圖，將AD逆時針旋轉(zhuǎn)90°到AE，連接DE、CE，則AE=AD=5，∠EAD=∠ADC，CD∥AE，證明△ABD≌△ACESAS，根據(jù)S【詳解】解：如圖，將AD逆時針旋轉(zhuǎn)90°到AE，連接DE、CE，

∴AE=AD=5，∠EAD=∠ADC，∴CD∥AE，∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠EAD，即∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACESAS∴S△ABD故答案為：252【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的判定，平行線間距離相等，全等三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于正確的添加輔助線構(gòu)造全等三角形．【變式3-2】（2023春·江蘇南京·八年級南京市科利華中學?？计谥校┤鐖D，Rt△ABC中，∠C=90°，分別以AB、AC、BC為邊在AB同側(cè)作正方形ABDE、ACPQ、BCMN，四塊陰影部分面積分別為S1、S2、S3、S4，若【答案】6【分析】把圖中四塊陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為三角形面積，通過三角形全等即可轉(zhuǎn)化為S2【詳解】解：連接PE，過點E作EF⊥AM于點F，記DE,AM的交點為K，AE,CP的交點為T，∵AB=BD,∠ACB=BND=90°，而∠CBA+∠CBD=∠CBD+∠DBN=90°，∴∠CBA=∠NBD，∴△CBA≌△NBD，故S4又∵EA=AB,∠AEK=∠BAE=90°，而∠EAK+∠CAB=90°=∠CAB+∠ABC，∴∠EAK=∠ABC，∴△EAK≌△ABT，∴EK=AT,S而AE=DE，則ET=DK，∵∠MKD=∠AKE,∠AKE+∠ETC=180°=∠ETC+∠PTE，∴∠PTE=∠MKD，而∠EPT=∠M=90°，∴△EPT≌△DMK，同理可證△EQA≌△BCA，∴S1∵S1∴2S∴S4故答案為：6.【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，利用AAS（或ASA）證明三角形全等是解本題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023春·江蘇鹽城·八年級景山中學?？计谀┮阎骸鰽BC中，∠ACB=90°，AC=CB，D為射線CB上一動點，連接AD，在直線AC右側(cè)作AE⊥AD，且AE=AD．連接BE交直線AC于M，若2AC=7CM，則S△ADBS△AEM

【答案】45或【分析】添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出線段間的數(shù)量關(guān)系，最后進行分類討論即可求解．【詳解】①如圖，過E作EG⊥AC于點G，

∴∠ACB=∠AGE=∠CGE=90°，∴∠DAC+∠ADC=90°，∵AE⊥AD，∴∠DAE=90°，即：∠DAC+∠GAE=90°，∴∠ADC=∠GAE，在△ADC和△EAG中，∠ACD=∠AGE∠ADC=∠GAE∴△ADC≌△EAGAAS∴AC=GE，CD=AG，∴△BMC≌△EMGAAS∴GM=MC，設(shè)CM=2a，則AC=7a，∴GM=CM=2a，BC=AC=7a，∴AG=CD=AC?GM?CM=7a?2a?2a=3a，∴BD=BC?CD=7a?3a=4a，AM=AG+GM=3a+2a=5a，則S△ADB②如圖，過E作EH⊥AC交AC延長線于點H，

∴∠ACB=∠AHE=90°，∴∠DAC+∠ADC=90°，∵AD⊥AE，∴∠DAE=90°，即：∠DAC+∠HAE=90°，∴∠ADC=∠HAE，在△ADC和△EAH中，∠ACD=∠AHE∠ADC=∠HAE∴△ADC≌△EAHAAS∴AC=HE，CD=AH，∴AC=CB=HE，在△BMC和△EMH中，∠BMC=∠EMH∠BCM=∠EHM∴△BMC≌△EMHAAS∴HM=MC，設(shè)CM=2m，則AC=7m，∴HM=CM=2m，BC=AC=7m，∴AH=CD=AC+GM+CM=7m+2m+2m=11m，∴BD=CD?BC=11m?7m=4m，AM=AC+CM=7m+2m=9m，則S△ADB故答案為：45或4【點睛】此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，同角的余角相等，全等三角形的判定與性質(zhì)，有關(guān)三角形的面積的求解，解題的關(guān)鍵是正確作出所需要的輔助線．【題型4尺規(guī)作圖與全等三角形的綜合】【例4】（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，點B在直線l上，分別以線段BA的端點為圓心，以BC（小于線段BA）長為半徑畫弧，分別交直線l，線段BA于點C，D，E，再以點E為圓心，以CD長為半徑畫弧交前面的弧于點F，畫射線AF．若∠BAF的平分線AH交直線l于點H，∠ABC=70°，則∠AHB的度數(shù)為．【答案】35°【分析】連接CD，EF．由題目中尺規(guī)作圖可知：BD=BC=AE=AF，CD=EF．可證△CDB≌△FAE，所以∠CBA=∠BAF=70°，可得AF//CB．所以∠FAH=∠AHB．由于AH平分∠BAF【詳解】解：連接CD，EF由題目中尺規(guī)作圖可知：BD=BC=AE=AF在△CDB和△FAE中CD=EF∴△CDB∴∠CBA=∠EAF=70°∴AF∴∠FAH=∠AHB∵AH平分∠BAF∴∠FAH=∠BAH=∵∠AHB∴∠AHB故答案為：35°．【點睛】本題主要考查知識點為，全等三角形的性質(zhì)及判定、定點為圓心定長為半徑的性質(zhì)、平行線的判定及性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)．能看懂尺規(guī)作圖，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)及判定、平行線的性質(zhì)及判定，角平分線的性質(zhì)，是解決本題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023·全國·八年級專題練習）我們通過“三角形全等的判定”的學習，可以知道“兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等”是一個基本事實，用它可以判定兩個三角形全等；而滿足條件“兩邊和其中一邊所對的角分別相等”的兩個三角形卻不一定全等．下面請你來探究“兩邊和其中一邊所對的角分別相等的兩個三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一個△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即兩邊和其中一邊所對的角分別相等）．(1)動手畫圖：請依據(jù)下面的步驟，用尺規(guī)完成作圖過程（保留作圖痕跡）：①畫EF=BC；②在線段EF的上方畫∠F=∠C；③畫DE=AB；④順次連接相應(yīng)頂點得所求三角形．(2)觀察：觀察你畫的圖形，你會發(fā)現(xiàn)滿足條件的三角形有____個；其中三角形____（填三角形的名稱）與△ABC明顯不全等；(3)小結(jié)：經(jīng)歷以上探究過程，可得結(jié)論：______．【答案】(1)見解析(2)2，D'(3)兩邊和其中一邊所對的角分別相等的兩個三角形不一定全等【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作線段，作一個角等于已知角的步驟作圖即可；（2）根據(jù)所畫圖形填空即可；（3）根據(jù)探究過程結(jié)合全等三角形的判定可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）觀察所畫的圖形，發(fā)現(xiàn)滿足條件的三角形有2個；其中三角形D'EF（填三角形的名稱）與△故答案為：2，D'（3）經(jīng)歷以上探究過程，可得結(jié)論：兩邊和其中一邊所對的角分別相等的兩個三角形不一定全等，故答案為：兩邊和其中一邊所對的角分別相等的兩個三角形不一定全等．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，全等三角形的判定，熟練掌握尺規(guī)作圖的方法和全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023春·山西·八年級統(tǒng)考階段練習）綜合與實踐：在綜合實踐課上，老師讓同學們在已知三角形的基礎(chǔ)上，經(jīng)過畫圖，探究三角形邊之間存在的關(guān)系．如圖，已知點D在ΔABC的邊BC的延長線上，過點D作∠BDM=∠B且DM//AB，在DM上截取DE=AB，再作∠DEF=∠A交線段BC于點

實踐操作（1）尺規(guī)作圖：作出符合上述條件的圖形；探究發(fā)現(xiàn)（2）勤奮小組在作出圖形后，發(fā)現(xiàn)AC//EF，探究應(yīng)用（3）縝密小組在勤奮小組探究的基礎(chǔ)上，測得DF=5，CF=1，求線段BD的長．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）線段BD的長為9【分析】（1）以B為圓心，任意為半徑畫弧，交AB,BD于G,H,以D為圓心，同等長為半徑畫弧,交DC于L,以L為圓心，GH為半徑，與前弧交于K,連接DK并延長至M,以D為圓心，AB長為半徑，與DM交于E，以A為圓心，任意長為半徑畫弧交AB,AC于點I,J,以E為圓心，同等長為半徑，交EF于N，以N為圓心，IJ長為半徑交前弧于M,連接EM并延長交BC于F;（2）根據(jù)平行和（1）中作的圖證明ΔABC≌ΔEDFASA（3）由（2）的全等得出DF=BC，再根據(jù)線段之間的關(guān)系算出BD．【詳解】（1）以B為圓心，任意為半徑畫弧，交AB,BD于G,H,以D為圓心，同等長為半徑畫弧,交DC于L,以L為圓心，GH為半徑，與前弧交于K,連接DK并延長至M,以D為圓心，AB長為半徑，與DM交于E，以A為圓心，任意長為半徑畫弧交AB,AC于點I,J,以E為圓心，同等長為半徑，交EF于N，以N為圓心，IJ長為半徑交前弧于M,連接EM并延長交BC于F，如圖為所求圖形：

（2）理由如下：在ΔABC和ΔEDF中，∠A=∠DEF,∴ΔABC≌ΔEDFASA∴AC=EF，∠ACB=∠DFE．∴AC//（3）由（2）得，ΔABC≌ΔEDF．∴DF=BC．∵DF=5，∴BC=5．∵CF=1，∴BD=BC+DF?CF=5+5?1=9．∴線段BD的長為9．【點睛】本題考查尺規(guī)作圖和全等三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握尺規(guī)作圖和全等三角形的邊角代換是解題關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春·北京·八年級校考期中）尺規(guī)作圖之旅下面是一副純手繪的畫作，其中用到的主要工具就是直尺和圓規(guī)，在數(shù)學中，我們也能通過尺規(guī)作圖創(chuàng)造出許多帶有美感的圖形．尺規(guī)作圖起源于古希臘的數(shù)學課題，只允許使用圓規(guī)和直尺，來解決平面幾何作圖問題．【作圖原理】在兩年的數(shù)學學習里中，我們認識了尺規(guī)作圖，并學會用尺規(guī)作圖完成一些作圖問題，請仔細思考回顧，判斷以下操作能否通過尺規(guī)作圖實現(xiàn)，可以實現(xiàn)的畫√，不能實現(xiàn)的畫×．（1）過一點作一條直線．()（2）過兩點作一條直線．()（3）畫一條長為3㎝的線段．()（4）以一點為圓心，給定線段長為半徑作圓．()【回顧思考】還記得我們用尺規(guī)作圖完成的第一個問題嗎？那就是“作一條線段等于已知線段”，接著，我們學習了使用尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線，作角平分線，過直線外一點作垂線……而這些尺規(guī)作圖的背后都與我們學習的數(shù)學原理密切相關(guān)，下面是用尺規(guī)作一個角等于已知角的方法及說理，請補全過程．已知：∠AOB．求作：∠A'作法：（1）如圖，以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C，D；（2）畫一條射線O'A'，以點O'為圓心，OC長為半徑畫弧，交（3）以點C'（4）過點D'畫射線O'B說理：由作法得已知：OC=求證：∠證明：∵∴ΔOCD?ΔO所以∠A【小試牛刀】請按照上面的范例，完成尺規(guī)作圖并說理：過直線外一點作已知直線的平行線．已知：直線l與直線外一點A．求作：過點A的直線l'，使得l//【創(chuàng)新應(yīng)用】現(xiàn)實生活中許多圖案設(shè)計都蘊含著數(shù)學原理，下面是一個常見商標的設(shè)計示意圖．假設(shè)你擁有一家書店，請利用你手中的刻度尺和圓規(guī)，為你的書店設(shè)計一個圖案．要求保留作圖痕跡，并寫出你的設(shè)計意圖．【答案】【作圖原理】（1）√；（2）√；（3）×；（4）√；【回顧思考】作法：以點C'為圓心，以CD為半徑畫弧，與第二步中所畫的弧相交于D【分析】[作圖原理]根據(jù)五種基本作圖判斷即可；[回顧思考]利用全等三角形的判定解決問題即可；[小試牛刀]利用同位角相等兩直線平行解決問題即可；[創(chuàng)新應(yīng)用]答案不唯一，畫出圖形，說明設(shè)計意圖即可．【詳解】解：[作圖原理]：（1）過一點作一條直線．可以求作；（2）過兩點作一條直線．可以求作；（3）畫一條長為3cm的線段．不可以求作；（4）以一點為圓心，給定線段長為半徑作圓．可以求作；故答案為：√，√，×，√；[回顧思考]：作法：（1）如圖，以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C，D；（2）畫一條射線O'A'，以點O'為圓心，OC長為半徑畫弧，交O'A'于點C'；（3）以點C'為圓心，以C′為圓心，CD長為半徑畫弧與第二步中所畫的弧交于點D′；（4）過點D'畫射線O'B'，則∠A'O'B'＝∠AOB．說理：由作法得已知：OC＝O'C'，OD＝O'D'，CD＝C'D'，求證：∠A'O'B'＝∠AOB．證明：在△OCD和△O'C'D'中{OC＝O'C'∴△OCD≌△O'C'D'（SSS），∴∠A'O'B'＝∠AOB（全等三角形的對應(yīng)角相等），故答案為：以C′為圓心，CD長為半徑畫弧與第二步中所畫的弧交于點D′，SSS，全等三角形的對應(yīng)角相等；[小試牛刀]：如圖，直線l′即為所求（方法不唯一），；

[創(chuàng)新應(yīng)用]：如圖所示（答案不唯一），設(shè)計意圖：書架中隱藏著無限寶藏，．【點睛】本題考查作圖?應(yīng)用與設(shè)計作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．【題型5三角形的三邊關(guān)系與全等三角形的綜合】【例5】（2023春·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期中）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC(1)如圖1，若BC＝4，則S(2)如圖2，點M在BE上，且CM⊥BE于M，過點A作AF⊥BE于F，D為AC中點，連接FD并延長，交CM于點H．求證：MF＝(3)如圖3，連接BM，EM，過點B作BM'⊥BM于點B，且滿足BM'＝BM，連接AM'，MM'，過點B作BG⊥CE于點【答案】(1)8(2)見解析(3)6≤AM'≤12【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得S△AEC（2）由“AAS”可證△ABF≌△BCM，利用全等三角形的性質(zhì)可得AF=BM，BF=CM，由“ASA”可證△ADF≌△CDH，利用相似三角形的性質(zhì)可得（3）由“SAS”可證△CBM≌△ABM'，可得CM=AM'，由三角形的三邊關(guān)系定理可求解．【詳解】（1）解：∵∠ABC=90°，∴S△ABC∵AE⊥AB，∴AE∥BC，∴S△EBC故答案為：8；（2）∵∠ABC=90°=∠AFB=∠CMB，∴∠ABF+∠CBM=90°，∴∠BAF=∠CBM，在△ABF和△BCM中，∠BAF=∠CBM∠AFB=∠BMC=∴△ABF≌△BCMAAS∴AF=BM，∵AF⊥BE，∴AF∥CM，∴∠FAD=∠HCD，∵D為AC中點，∴AD=CD，又∵∠ADF=∠CDH，在△ADF和△CDH中，∠ADF=∠CDH∠FAD=∠HCD∴△ADF≌△CDHAAS∴AF=HC，∴BF?BM=CM?AF=CM?CH，∴MF=MH；（3）連接CM，如圖，∵BM'⊥BM，∴∠MBM'=∠ABC=90°，∴∠ABM'=∠CBM，在△CBM和△ABM'中，CB=AB∠CBM=∠AB∴△CBM≌△ABM'SAS∴AM'=CM，∵AE∥BC，∴S△ABC∴12∴EC=18×2在△EMC中，EC?EM＜∴6＜∴6＜∴當點E，點M，點C共線時，CM最大值為12，最小值為6，∴6≤AM'≤12．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，以及三角形的三邊關(guān)系，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·四川樂山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，BC=12，AD平分∠BAC，點E為AC中點，AD與BE相交于點F．(1)若∠ABC=40°，∠C=80°，求∠ADB的度數(shù)；(2)如圖1，若AB=10，求線段BE的長的取值范圍；(3)如圖2，過點B作BH⊥AD交AD延長線于點H，設(shè)△BFH，△AEF的面積分別為S1，S2，若AB?AC=4，試求S【答案】(1)110°(2)1<BE<11(3)12【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理可求∠BAC=60°，由角平分線的性質(zhì)和外角的性質(zhì)可求解；（2）過點A作AM∥BC，交BE的延長線于M，由“AAS”可證△AEM?△CEB，可得AM=BC=12，（3）延長AC，BH交于點G，由“SAS”可證△ABH?△AGH，可得AB=AG，BH=HG，由面積的和差關(guān)系可求解．【詳解】（1）∵∠ABC=40°，∠C=80°，∴∠BAC=60°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴∠ADB=∠DAC+∠C=30°+80°=110°；（2）如圖1，過點A作AM∥BC，交BE的延長線于∴∠M=∠CBE，∠MAE=∠BCE，∵點E為AC中點，∴AE=CE，∴△AEM?△CEB(AAS∴AM=BC=12，BE=EM，在△ABM中，AB=10，AM?AB<BM<AB+AM，∴2<2BE<22，∴1<BE<11；（3）如圖2，延長AC，BH交于點G，∵∠BAH=∠CAH，AH=AH，∠AHB=∠AHG=90°，∴△ABH?△AGH(SAS∴AB=AG，BH=HG，∵S∴S∵AB?AC=4，∴AG?AC=CG=4，∴當BC⊥AC時，S△BCG有最大值，即S∴S1?【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，靈活運用這些性質(zhì)進行推理是本題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊．(1)如圖1，線段AD，BC交于點E，連接AB，CD，判斷AD+BC與AB+CD的大小關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，OC平分∠AOB，P為OC上任意一點，在OA，OB上截取OE=OF，連接PE，PF．求證：PE=PF；(3)如圖3，在△ABC中，AB>AC，P為角平分線AD上異于端點的一動點，求證：PB?PC>BD?CD．【答案】(1)AD+BC>AB+CD；理由見詳解(2)證明見詳解(3)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊知，AE+BE>AB，CE+ED>CD，兩式相加即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)SAS證△OEP≌△OFP即可得出結(jié)論；（3）在AB上取一點E，使AE=AC，連接DE交BP于點F，證△APE≌△APC，即PC=PE，同理證CD=DE，然后同理（1）得PB+CD>PC+BD，變形不等式即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：AD+BC>AB+CD，理由如下：∵AE+BE>AB，CE+ED>CD，∴AE+BE+CE+ED>AB+CD，即AD+BC>AB+CD；（2）證明：∵OC平分∠AOB，∴∠EOP=∠FOP，在△OEP和△OFP中，OE=OF∠EOP=∠FOP∴△OEP≌△OFP(SAS∴PE=PF；（3）證明：在AB上取一點E，使AE=AC，連接DE交BP于點F，∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠EAP=∠CAP，在△APE和△APC中，AE=AC∠EAP=∠CAP∴△APE≌△APC(SAS∴PE=PC，同理可證DE=DC，∵EF+PF>EP，BF+FD>BD，∴EF+PF+BF+FD>EP+BD，即PB+DE>EP+BD，∴PB+CD>PC+BD，∴PB?PC>BD?CD．【點睛】本題主要考查三角形的綜合題，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系和全等三角形的判定和性質(zhì)等知識是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·湖南長沙·八年級統(tǒng)考期中）閱讀理解：課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題:在△ABC中，AB=7，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．(1)小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）:①延長AD到Q使得DQ=AD；②再連接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得4<AQ<10，則AD的取值范圍是___________．感悟：解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”等條件，可以考慮倍長中線，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中．(2)請寫出圖1中AC與BQ的位置關(guān)系并證明；(3)思考：已知，如圖2，AD是△ABC的中線，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠FAC=90°，試探究線段AD與EF的數(shù)量和位置關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)2<AD<5(2)AC∥BQ，理由見解析(3)EF=2AD，AD⊥EF，證明見解析【分析】（1）由題意可得AQ=2AD及三角形三邊關(guān)系，即可求解；（2）通過證明△QDB≌△ADC(SAS)，得出（3）同（2）得△QDB≌△ADC(SAS)，則∠DBQ=∠ACD，BQ=AC，進而判斷出∠ABQ=∠EAF，進而判斷出△ABQ≌△EAF，得出AQ=EF，【詳解】（1）解：由題意可得：AQ=2AD∵4<AQ<10，∴2<AD<5，故答案為2<AD<5；（2）AC∥BQ，理由如下延長AD到Q使DQ=AD，連接BQ∵AD是△ABC的中線∴BD=CD在△QDB和△ADC中BD=CD∴△QDB≌△ADC∴∠BQD=∠CAD∴AC∥BQ（3）EF=2AD，AD⊥EF，理由如下在下圖中，延長AD到Q使得DQ=AD，連接BQ由（2）知，△QDB≌△ADC∴∠DBQ=∠ACD，BQ=AC∵AC=AF∴BQ=AF在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°∴∠BAC+∠ABC+∠DBQ=180°∴∠BAC+∠ABQ=180°∵∠BAE=∠FAC=90°∴∠BAC+∠EAF=180°∴∠ABQ=∠EAF在△ABQ和△EAF中AB=AE∴△ABQ≌△EAF∴AQ=EF，∠BAQ=∠AEF延長DA交EF于點P∵∠BAE=90°∴∠BAQ+∠EAP=90°∴∠AEF+∠EAP=90°∴∠APE=90°∴AD⊥EF∵AD=DQ∴AQ=2AD∵AQ=EF∴EF=2AD綜上：EF=2AD，AD⊥EF【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，倍長中線法，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【題型6全等三角形的動態(tài)問題】【例6】（2023春·江蘇蘇州·八年級蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學校校考階段練習）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．點P從A點出發(fā)沿A→C→B路徑向終點運動，終點為B點；點Q從B點出發(fā)沿B→C→A路徑向終點運動，終點為A點．點P和Q分別以每秒1和3的運動速度同時開始運動，兩點都要到相應(yīng)的終點時才能停止運動，在某時刻，分別過P和Q作PE⊥l于E、作QF⊥l于F，當點P運動秒時，以P、E、C為頂點的三角形和以Q、F、C為頂點的三角形全等．【答案】1或72【分析】根據(jù)題意分為五種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CP=CQ，代入得出關(guān)于t的方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)點P運動t秒時，以P、E、C為頂點的三角形和以Q、F、C為頂點的三角形全等，分為五種情況：①如圖1，P在AC上，Q在BC上，則PC=6?t，QC=8?3t，∵PE⊥l，QF⊥l，∴∠PEC=∠QFC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠EPC+∠PCE=90°，∠PCE+∠QCF=90°，∴∠EPC=∠QCF，∵△PCE≌△CQF，∴PC=CQ，即6?t=8?3t，∴t=1；②如圖2，P在BC上，Q在AC上，則PC=t?6，QC=3t?8，∵由①知：PC=CQ，∴t?6=3∴t=1；因為此時t?6<0，所以此種情況不符合題意；③當P、Q都在AC上時，如圖3，PC=6?t=3t=④當Q到A點停止，P在BC上時，如圖4，AC=PC，t?6=6時，解得t=12．t=12<6+8，符合題意；⑤因為P的速度是每秒1，Q的速度是每秒3，P和Q都在BC上的情況不存在；綜上，點P運動1或72或12秒時，以P、E、C為頂點的三角形上以Q、F、C故答案為：1或72【點睛】本題主要考查對全等三角形的性質(zhì)，解一元一次方程等知識點的理解和掌握，能根據(jù)題意得出方程是解此題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023春·八年級課時練習）如圖，CAAB，垂足為點A，AB=24cm，AC=12cm，射線BMAB，垂足為點B，一動點E從A點出發(fā)以3cm/s沿射線AN運動，點D為射線BM上一動點，隨著E點運動而運動，且始終保持ED=CB，當點E經(jīng)過(

)秒時，△DEB與△BCA全等．（注：點E與A不重合）（

）A．4 B．4、8 C．4、8、12 D．4、12、16【答案】A【分析】首先分兩種情況：當E在線段AB上和當E在BN上，然后再分成兩種情況：AC＝BE和AB＝EB，分別進行計算，即可得出結(jié)果．【詳解】解：①當E在線段AB上，AC＝BE時，△ACB≌△BED，∵AC＝12cm，∴BE＝12cm，∴AE＝24﹣12＝12cm，∴點E的運動時間為12÷3＝4（秒）；②當E在BN上，AC＝BE時，△ACB≌△BED，∵AC＝12cm，∴BE＝12cm，∴AE＝24+12＝36cm，∴點E的運動時間為36÷3＝12（秒）；③當E在BN上，AB＝EB時，△ACB≌△BDE，∵AB＝24cm，∴BE＝24cm，∴AE＝24+24＝48cm，∴點E的運動時間為48÷3＝16（秒），綜上所述t的值為：4，12，16．共3種情況．故選D．【點睛】本題考查了全等三角形的綜合問題，分類討論，找到所有符合題意的情況是解本題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023春·安徽合肥·八年級合肥市第四十五中學?？茧A段練習）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9cm，AC=12cm，AB=15cm，現(xiàn)有一動點P，從點A出發(fā)沿著三角形的邊AC→CB→BA運動回到點A停止，速度為3cm/（1）如上圖，當t=時，△APB的面積等于△ABC面積的一半；（2）如圖，在△DEF中，∠E=90°，DE=4cm，DF=5cm，∠D=∠A．在△ABC的邊上，若另外有一個動點Q，與點P同時從點A出發(fā)，沿著邊AB→BC→CA運動回到點A停止，在兩點運動過程中的某一時刻，恰好△APQ與△DEF全等，則點Q的運動速度是cm/s．【答案】2s或5.5s154或125【分析】（1）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)，分P點運動到BC邊上時和P點運動到AB邊上時兩種情況分別討論即可；（2）根據(jù)題意分四種情況進行分析，利用全等三角形的性質(zhì)得出點P、Q所走的路程，進而可求出P的運動時間，即【詳解】解：∵△APB的面積等于△ABC面積的一半，∴P點運動到BC的中點，此時t=12+4.5當P點運動到AC邊上時，此時S△APC∴此時P點在AC邊的中點，此時t=6綜上所述，當t=2或5.5s時，△APB的面積等于△ABC（2）設(shè)點Q的運動速度為xcm①當點P在AC上，點Q在AB上，△APQ≌AP=DE=4cm，∴4÷3=5÷x解得x=154②當點P在AC上，點Q在AB上，△APQ≌AP=DF=5cm，∴5÷3=4÷x，解得x=125③當點P在AB上，點Q在AC上，△AQP≌AP=DF=5cm，∴點P的路程為9+12+15?5=31cm，點Q的路程為9+12+15?4=32∴31÷3=32÷x解得x=9631④當點P在AB上，點Q在AC上，△APQ≌AP=DE=4cm，∴點P的路程為9+12+15?4=32cm，點Q的路程為9+12+15?5=31∴32÷3=31÷x解得x=9332∴Q運動的速度為154cm/s或125cm/s或9631cm/s或93故答案為：154或125或9631【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)及三角形面積，分類討論思想，掌握全等三角形的性質(zhì)及分情況討論是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·江蘇蘇州·八年級蘇州市立達中學校?？计谀┤鐖D，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC=16，BD=24，點E從點D出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿DA向點A勻速移動，點F從點C出發(fā)，以每秒6個單位的速度，沿C→B→C做勻速移動，點G從點B出發(fā)沿BD向點D勻速移動，三個點同時出發(fā)，當有一個點到達終點時，其余兩點也隨之停止運動，假設(shè)移動時間為t秒．△DEG與△BFG全等，t=【答案】2或4或5【分析】設(shè)點E的移動時間為t，點G的運行距離為y，當△DEG與△BFG全等時，分DE=BF,DG=BG,或DE=BG,DG=BF,分別列方程計算即可得解．【詳解】設(shè)點E的移動時間為t，點G的運行距離為y，∵AD∥∴∠EDG=∠GBF,∵△DEG與△BFG全等，∴EG=FG，∴DE=BF,DG=BG,或DE=BG,DG=BF,∵BC=16,166=83∴0≤t≤16①當點F由點C到點B，即0<t≤8由DE=BF得2t=16?6t，解得；t=2，由DE=BG,DG=BF得y=2t16?6t=24?y解得：t=?2（舍去），②當點F由點C到點B，即2<t≤16由DE=BF得2t=6t?16，解得：t=4，由DE=BG,DG=BF得y=2t6t?16=24?y解得：t=5y=10綜上，t=2或t=4或t=5，故答案為：2或4或5【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，分類討論，解方程和方程組等知識，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型7全等三角形與坐標系的綜合運用】【例7】（2023春·八年級課時練習）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A、B分別為x軸和y軸上一點，且OA=OB，過點B作BE⊥AC于點E，延長BE至點D，使得BD=AC，連接OC、OD，若點C在第一象限，點C的坐標為2,1.5，連接CD，AC與OD交于點F，則點D的坐標為．【答案】(?1.5【分析】如圖，先證明∠1=∠2再根據(jù)SAS證明△AOC≌△BOD，即得OC=OD，∠AOC=∠BOD，接著再證明△DKO≌△OLC(AAS)，即可得出【詳解】解：過點D作DK⊥x軸于點K，過點C作CL⊥x于點L，BD與x軸相交于點H，如圖所示：∵BE⊥AC，∴∠AEH=90°，在Rt△AEH中，∠1=90°?∠AHE，在Rt△BOH中，∠2=90°?∠BHO，∵∠AHE=∠BHO，∴∠1=∠2，在△AOC和△BOD中，AO=BO∴△AOC≌△BOD(SAS∴OC=OD，又∵∠AOC=90°+∠3，∴∠3=∠4，∵∠4+∠5=90°∴∠3+∠5=90°，即∠DOC=90°，∴∠4+∠COL=90°，∵∠4+∠KDO=90°，∴∠COL=∠KDO，在△DKO和△OLC中，∠DKO=∠OLC∠COL=∠KDO∴△DKO≌△OLC(AAS∴DK=OL，∵點C的坐標為2,1.5，即OL=2，∴DK=2，∴D(?1.5，故答案為：(?1.5，【點睛】本題屬于三角形的綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是會添加輔助線，構(gòu)造全等三角形．【變式7-1】（2023春·湖北黃岡·八年級?？茧A段練習）如圖所示，在平面直角坐標系中，P(4,4)，(1)點A在x的正半軸運動，點B在y的正半軸上，且PA=PB，①求證：PA⊥PB：②求OA+OB的值；(2)點A在x的正半軸運動，點B在y的負半軸上，且PA=PB，①求OA-OB的值；②點A的坐標為(10,0)，求點B的坐標．【答案】(1)①見解析；②8(2)①8；②點B的坐標為(0,?2)【分析】（1）①過點P作PE⊥x軸于E，作PF⊥y軸于F，根據(jù)點P的坐標可得PE=PF=4，然后利用“HL”證明Rt△APE和Rt△BPF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠APE=∠BPF，然后求出∠APB=∠EPF=90°，再根據(jù)垂直的定義證明；②根據(jù)全等三角