人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)28.1銳角的三角函數(shù)【十大題型】(學(xué)生版+解析)

專題28.1銳角的三角函數(shù)【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1銳角的三角函數(shù)概念辨析】 1【題型2直接根據(jù)定義求銳角的三角函數(shù)值】 2【題型3構(gòu)造直角三角形求銳角的三角函數(shù)值】 4【題型4根據(jù)銳角的三角函數(shù)值求邊長】 5【題型5根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)】 6【題型6求特殊角的三角函數(shù)值】 7【題型7同角的三角函數(shù)值的證明或求值】 8【題型8互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系的計(jì)算】 8【題型9利用增減性判斷三角函數(shù)的取值范圍】 9【題型10三角函數(shù)在等腰直角三角形中的應(yīng)用】 10【知識(shí)點(diǎn)1銳角三角函數(shù)】在中，，則的三角函數(shù)為定義表達(dá)式取值范圍關(guān)系正弦(∠A為銳角)余弦(∠A為銳角)正切(∠A為銳角)【知識(shí)點(diǎn)2特殊角的三角函數(shù)值】三角函數(shù)30°45°60°1【題型1銳角的三角函數(shù)概念辨析】【例1】（2022·廣東·佛山市南海區(qū)金石實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）在△ABC中，∠C＝90°，BCAB=3A．cosA＝35 B．sinB＝35 C．tanA＝43 D．【變式1-1】（2022·上?！ぞ拍昙?jí)單元測試）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠A≠45°，則下列比值中不等于cosBA．CDAC B．BDCB C．CDCB【變式1-2】（2022·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，下列結(jié)論正確的是（）A．b＝a?sinA B．b＝a?tanA C．c＝a?sinA D．a(chǎn)＝c?cosB【變式1-3】（2022·黑龍江·哈爾濱市風(fēng)華中學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）圖①、圖②是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上.請(qǐng)?jiān)趫D①、圖②中各畫一個(gè)圖形，滿足以下要求：(1)在圖①中以AB和BC為邊畫四邊形ABCE，點(diǎn)E在小正方形的頂點(diǎn)上，且此四邊形有兩組對(duì)邊相等．(2)在圖②中以AB為邊畫△ABD，使tan∠ADB=【題型2直接根據(jù)定義求銳角的三角函數(shù)值】【例2】（2022·山東·肥城市湖屯鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，點(diǎn)E在DC上，將矩形ABCD沿AE折疊，點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，那么sin∠EFC的值為()．A．13 B．45 C．23【變式2-1】（2022·河南南陽·九年級(jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=35，BE＝2，則tanA．12 B．2 C．52 【變式2-2】（2022·廣東·惠州一中二模）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC=6,BC=8，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，則cos∠BDE的值等于（

A．52 B．53 C．23【變式2-3】（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在長方形ABCD中，AB=5，AD=3，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在BC上．若AE=2，CF=1，則sin∠1+∠2=（A．12 B．22 C．32【題型3構(gòu)造直角三角形求銳角的三角函數(shù)值】【例3】（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，A，B，C，D均為網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)，線段AB與CD相交于點(diǎn)P，則∠APD的正切值為（

）A．3 B．2 C．22 D．3【變式3-1】（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，在Rt△ABC中，斜邊AB=3，BC=1，點(diǎn)D在AB上，且BDAD=13A．13 B．1 C．223【變式3-2】（2022·浙江·寧波市興寧中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，將△ABC沿著CE翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，CD與AB交于點(diǎn)F，恰好有CE＝CF，若DF＝42，AF＝12，則tan∠CEF＝___．【變式3-3】（2022·江蘇·陽山中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB的延長線上，連接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝12，則ACBC的值為【題型4根據(jù)銳角的三角函數(shù)值求邊長】【例4】（2022·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD為△ABC的角平分線，若CD=2，則AB的長為（

）A．3 B．22+2 C．4 【變式4-1】（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，菱形ABCD中，AB＝23，∠ABC＝60°，矩形BEFG的邊EF經(jīng)過點(diǎn)C，且點(diǎn)G在邊AD上，若BG＝4，則BE的長為（）A．32 B．332 C．【變式4-2】（2022·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC．點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部，AD⊥CD，且∠ADB【變式4-3】（2022·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC≌△ABD，點(diǎn)E在邊AB上，CE∥BD，連接(1)求證：四邊形BCED是菱形．(2)已知點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，過點(diǎn)F作GF⊥BC交AB于點(diǎn)G，BG=5，cos∠ABC=0.6，請(qǐng)直接寫出BE【題型5根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)】【例5】（2022·安徽·桐城市第二中學(xué)九年級(jí)期末）已知△ABC中，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，則下列四個(gè)說法中，一定正確的有（

）①連接AD，若D為BC中點(diǎn)，且AD平分∠BAC，則AB=AC；②若∠BAC=90°，且BC=2AC，則∠B=30°；③若∠B=30°，且BC=2AC，則∠BAC=90°；④若AB=BC，∠C=60°，且AD平分∠BAC，則△ABC的重心在AD上．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式5-1】（2022·黑龍江·綏棱縣克音河鄉(xiāng)學(xué)校一模）在△ABC中，若，sinB?12【變式5-2】（2022·湖南·長沙市雅禮實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）若菱形的周長為82，高為2，則菱形兩鄰角的度數(shù)比為（

A．6：1 B．5：1 C．4：1 D．3：1【變式5-3】（2022·山東日照·三模）如圖，直線AB=?33x+3與坐標(biāo)軸相交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，動(dòng)點(diǎn)Q在線段OA上，連接OP，且滿足∠BOP=∠OQP，則當(dāng)【題型6求特殊角的三角函數(shù)值】【例6】（2022·廣東·東莞市東華初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）由4個(gè)形狀相同，大小相等的菱形組成如圖所示的網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，∠O=60°，則tan∠ABC=（

）A．13 B．12 C．33【變式6-1】（2022·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測）計(jì)算：(1)3tan(2)cos2【變式6-2】（2022·江蘇·漣水縣麻垛中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A＝60°，AC＝6，則sin∠ABC【變式6-3】（2022·河南·油田十中九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A、B、O都在格點(diǎn)上，則∠AOB的正切值是______．

【題型7同角的三角函數(shù)值的證明或求值】【例7】（2022·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列結(jié)論中（其中α，β均為銳角），正確的是___________．（填序號(hào)）①sin2α+cos2α=1；②cos2α=2cos【變式7-1】（2022·江蘇·鎮(zhèn)江市外國語學(xué)校一模）已知sinα?cosα=18【變式7-2】（2022·福建莆田·一模）求證：若α為銳角，則sin2α+cos2α＝1．要求：①如圖，銳角α和線段m用尺規(guī)作出一個(gè)以線段m為直角邊，α為內(nèi)角的Rt△ABC保留作圖痕跡，不寫作法）②根據(jù)①中所畫圖形證明該命題．【變式7-3】（2022·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知sinα，cosα為方程x2【題型8互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系的計(jì)算】【例8】（2022·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，∠C＝90°，sinA=35，則sinB等于(

A．25 B．35 C．45【變式8-1】（2022·全國·九年級(jí)單元測試）若α為銳角，且cosα＝1213A．513 B．1213 C．512【變式8-2】（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知α，β都是銳角，且α+β=90°，sinα+cosβ=【變式8-3】（2022·福建·龍海二中九年級(jí)階段練習(xí)）李華在作業(yè)中得到如下結(jié)果：tantantantantan根據(jù)以上，李華猜想：對(duì)于任意銳角α，均有tan（1）當(dāng)α=30°時(shí)，驗(yàn)證tanα?（2）李華的猜想是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)舉出一個(gè)反例．（3）小明發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)解析式中的k值（一次項(xiàng)系數(shù)的值）其實(shí)就是該一次函數(shù)圖像與x軸所形成的夾角的正切值，已知平面直角坐標(biāo)系中有兩條直線互相垂直，l1：y1=k1x+b1，l2【題型9利用增減性判斷三角函數(shù)的取值范圍】【例9】（2022·福建省泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）三角函數(shù)sin40°、cos16°、A．tan50°>cos16°>C．cos16°>tan50°>【變式9-1】（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）已知△ABC是銳角三角形，若AB>AC，則（）A．sinA<sinB B．sinB<sinC【變式9-2】（2022·四川·西昌市俊波學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）已知32<cosA．30°<A<B B．60°<A<B C．B<A<60° D．B<A<30°【變式9-3】（2022·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，梯子地面的夾角為∠A，關(guān)于∠A的三角函數(shù)值與梯子的傾斜程度之間的關(guān)系，下列敘述正確的是（

）A．sinAB．cosAC．梯子的長度決定傾斜程度D．梯子傾斜程度與∠A的函數(shù)值無關(guān)【題型10三角函數(shù)在等腰直角三角形中的應(yīng)用】【例10】（2022·河北·順平縣腰山鎮(zhèn)第一初級(jí)中學(xué)一模）如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝102cm，D為AB邊上一點(diǎn)，tan∠ACD＝15，點(diǎn)P由C點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連接PD，將PD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段DQ，連接PQ(1)填空：BC＝，BD＝；(2)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)幾秒，DQ最短；(3)如圖2，當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到直線AB下方時(shí)，連接BQ，若S△BDQ＝8，求tan∠BDQ；(4)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，若∠BPQ＝15°，請(qǐng)直接寫出BP的長．【變式10-1】（2022·黑龍江佳木斯·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1的坐標(biāo)是(0,?1)，點(diǎn)A1，A2，A3，A4，A5…所在直線與x軸交于點(diǎn)B0(?2,0)，點(diǎn)B1，B2，B3，B4…都在【變式10-2】（2022·廣東深圳·九年級(jí)期末）如圖1，分別以ΔABC的AB、AC為斜邊間外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACF，點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，連接DG、BF．（1）求證：ΔADG∽ΔABF；（2）如圖2，若∠BAC=90°，AB=22，AC=32，求（3）如圖3，以ΔABC的BC邊為斜邊問外作等腰直角三角形BCE，連接EG，試探究線段DG、EG的關(guān)系，并加以證明．【變式10-3】（2022·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)教育集團(tuán)樹人學(xué)校一模）（1）【問題情境】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，AE⊥MN，垂足為E，BF⊥MN，垂足為F，則AE與CF的數(shù)量關(guān)系是．（2）【拓展探究】如圖2，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，AE⊥MN，垂足為E，BF⊥MN，垂足為F，試猜想AE與CF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．（3）【遷移應(yīng)用】如圖3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，E為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊BC上一點(diǎn)，CE＝CF，P為AB上一點(diǎn)（不與A、B重合），D為射線EF上一點(diǎn)，當(dāng)△CDP為等腰直角三角形時(shí)．①tan∠EFC＝．②求出BP的長度．專題28.1銳角的三角函數(shù)【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1銳角的三角函數(shù)概念辨析】 2【題型2直接根據(jù)定義求銳角的三角函數(shù)值】 5【題型3構(gòu)造直角三角形求銳角的三角函數(shù)值】 9【題型4根據(jù)銳角的三角函數(shù)值求邊長】 14【題型5根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)】 20【題型6求特殊角的三角函數(shù)值】 24【題型7同角的三角函數(shù)值的證明或求值】 27【題型8互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系的計(jì)算】 30【題型9利用增減性判斷三角函數(shù)的取值范圍】 33【題型10三角函數(shù)在等腰直角三角形中的應(yīng)用】 35【知識(shí)點(diǎn)1銳角三角函數(shù)】在中，，則的三角函數(shù)為定義表達(dá)式取值范圍關(guān)系正弦(∠A為銳角)余弦(∠A為銳角)正切(∠A為銳角)【知識(shí)點(diǎn)2特殊角的三角函數(shù)值】三角函數(shù)30°45°60°1【題型1銳角的三角函數(shù)概念辨析】【例1】（2022·廣東·佛山市南海區(qū)金石實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）在△ABC中，∠C＝90°，BCABA．cosA＝35 B．sinB＝35 C．tanA＝43 D．【答案】D【分析】設(shè)AB=5a，BC=3a，則AC=4a，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義逐項(xiàng)排查即可．【詳解】解：設(shè)AB=5a，BC=3a，則AC=4a，則cosA＝ACAB＝4a5a=sinB＝BCAB＝4a5a=tanA＝BCAC=3atanB＝ACBC=4k3k＝故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義和勾股定理，掌握并靈活運(yùn)用三角函數(shù)的定義成為解答本題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2022·上海·九年級(jí)單元測試）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠A≠45°，則下列比值中不等于cosBA．CDAC B．BDCB C．CDCB【答案】C【分析】根據(jù)已知可得∠B=∠ACD，然后利用銳角三角函數(shù)的定義判斷即可．【詳解】A．∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠ADB=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD，在Rt△ACD中，cos∠ACD=CDAC∴cosB=CDAC故A不符合題意；B．在Rt△DBC中，cosB=BDCB，故BC．在Rt△DBC中，cos∠BCD=CDCB∵∠A≠45°，∴∠B≠45°，∴∠B≠∠BCD，∴cosB≠CDCB故C符合題意；D．在Rt△ABC中，cosB=CBAB故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，熟練掌握銳角三角函數(shù)只與角度大小有關(guān)與角度位置無關(guān)是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，下列結(jié)論正確的是（）A．b＝a?sinA B．b＝a?tanA C．c＝a?sinA D．a(chǎn)＝c?cosB【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義：（1）正弦：我們把銳角A的對(duì)邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．（2）余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA．（3）正切：銳角A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．分別進(jìn)行分析即可．【詳解】解：在直角△ABC中，∠C＝90°，則sinA＝ac，則a=c·tanA＝ab，則b＝acosB＝ac，則a＝ccosB故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義．【變式1-3】（2022·黑龍江·哈爾濱市風(fēng)華中學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）圖①、圖②是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上.請(qǐng)?jiān)趫D①、圖②中各畫一個(gè)圖形，滿足以下要求：(1)在圖①中以AB和BC為邊畫四邊形ABCE，點(diǎn)E在小正方形的頂點(diǎn)上，且此四邊形有兩組對(duì)邊相等．(2)在圖②中以AB為邊畫△ABD，使tan∠ADB=【答案】(1)作圖見解析；(2)作圖見解析．【分析】（1）根據(jù)該四邊形有兩組對(duì)邊相等可知這個(gè)四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊互相平行即可作出；（2）根據(jù)正切值的定義即可作出△ABD．（1）解：作圖如下：根據(jù)該四邊形有兩組對(duì)邊相等可知這個(gè)四邊形是平行四邊形，再由平行四邊形的對(duì)邊互相平行可知，AD∥BC，由BC平移可以得到AD，∵點(diǎn)B向上平移三個(gè)單位，向右平移一個(gè)單位，得到點(diǎn)A，∴點(diǎn)C向上平移三個(gè)單位，向右平移一個(gè)單位，即可得到點(diǎn)D．（2）△ABD如下圖，BE=3，DE=4，∠BED=90°，tan∠ADB=【點(diǎn)睛】本題考查在網(wǎng)格中作圖，需要熟練掌握平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，正切值的定義．【題型2直接根據(jù)定義求銳角的三角函數(shù)值】【例2】（2022·山東·肥城市湖屯鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，點(diǎn)E在DC上，將矩形ABCD沿AE折疊，點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，那么sin∠EFC的值為()．A．13 B．45 C．23【答案】B【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得AF=AD=5，EF=DE，由勾股定理得BF=4，進(jìn)而得CF=1，設(shè)CE=x，則DE=EF=3?x，根據(jù)勾股定理，列出方程，求出x的值，即可得到答案．【詳解】∵四邊形ABCD為矩形，∴AD=BC=5，AB=CD=3．∵矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上的F處，∴AF=AD=5，EF=DE，∵在Rt△ABF中，BF=A∴CF=BC?BF=5?4=1，設(shè)CE=x，則DE=EF=3?x，∵在Rt△ECF中，CE∴x2+1∴EF=3?x=5∴sin∠EFC=故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形中折疊的性質(zhì)以及勾股定理和正弦三角函數(shù)的定義，掌握勾股定理，列方程，是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·河南南陽·九年級(jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=35，BE＝2，則tanA．12 B．2 C．52 【答案】B【分析】在直角三角形ADE中，cosA=【詳解】設(shè)菱形ABCD邊長為t．∵BE＝2，∴AE＝t?2．∴cosA=∴35∴t＝5．∴AE＝5?2＝3．∴DE＝AD2?AE∴tan∠DBE＝DEBE故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用，要熟練掌握邊角之間的關(guān)系．【變式2-2】（2022·廣東·惠州一中二模）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC=6,BC=8，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，則cos∠BDE的值等于（

A．52 B．53 C．23【答案】B【分析】如圖所示，連接AD，由D為BC中點(diǎn)得出BD=DC=4，AD⊥BC，從而根據(jù)勾股定理得出AD=25，然后由∠B+∠BDE=90°，∠B+∠BAD=90°得出∠BDE=∠BAD【詳解】如圖所示，連接AD，∵AB=AC=6，BC=8，D為BC中點(diǎn)，∴AD⊥BC，BD=DC=4，∴AD=A∵∠B+∠BDE=90°，∠B+∠BAD=90°，∴∠BDE=∠BAD，∴cos故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理及三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是通過等量代換得出∠BDE=∠BAD，進(jìn)而得出答案．【變式2-3】（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在長方形ABCD中，AB=5，AD=3，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在BC上．若AE=2，CF=1，則sin∠1+∠2=（A．12 B．22 C．32【答案】B【分析】連接EF，求證△DEF是等腰直角三角形，得∠EDF=45°，所以∠1+【詳解】解：連接EF，∵四邊形ABCD是長方形，∴∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，BC=AD=3，CD=AB=5，在Rt△ADE中，AD=3，AE=2，∴DE∵AB=5，∴BE=AB-AE=3，∵CF=1，∴BF=BC-CF=2，在在Rt△EBF中，∴EF∴EF=DE在Rt△CDF中，∴DF∵26=13+13，即：DF∴∠DEF=90°，∴∠EDF=∠DFE=45°，∴∠1+∴sin∠1+∠2故選B．【點(diǎn)睛】本題考查長方形的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、正弦函數(shù)，根據(jù)勾股定理的逆定理證明出△DEF是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．【題型3構(gòu)造直角三角形求銳角的三角函數(shù)值】【例3】（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，A，B，C，D均為網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)，線段AB與CD相交于點(diǎn)P，則∠APD的正切值為（

）A．3 B．2 C．22 D．3【答案】A【分析】過C作CM∥AB，過D作DN⊥MC于N，從而可得∠APD＝∠NCD，然后利用勾股定理求出CN、DN的值，最后再利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】：連接CM，DN，由題意得：CM∥AB，∴∠APD＝∠NCD，由題意得：CN2＝12+12＝2，DN2＝32+32＝18，∴CN=2∴tan∠DCN＝DNCN＝3∴∠APD的正切值為：3，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)與勾股定理的綜合應(yīng)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、正切函數(shù)的概念是解題關(guān)鍵．【變式3-1】（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，在Rt△ABC中，斜邊AB=3，BC=1，點(diǎn)D在AB上，且BDAD=13A．13 B．1 C．223【答案】C【分析】過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，構(gòu)造含∠BCD的Rt△CDE，分別算出DE、CE的長，利用正切的定義計(jì)算即可．【詳解】如圖，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，∵∠ACB=∠DEB=90°，∴AC∥DE∴∠A=∠EDB∴△ACB∽△DEB（AA）∵BDAD∴BD又∵AB=3，BC=1∴BE=14，CE=∵Rt△BDE∴DE=∵BC=1∴CE=BC?BE=∴tan故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了正切的定義，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，正切值定義的成立條件是在直角三角形中，這點(diǎn)是容易被忽略的易錯(cuò)點(diǎn)．【變式3-2】（2022·浙江·寧波市興寧中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，將△ABC沿著CE翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，CD與AB交于點(diǎn)F，恰好有CE＝CF，若DF＝42，AF＝12，則tan∠CEF＝___．【答案】7【分析】如圖，作CH⊥AB于H．設(shè)CF=EC=x．由CF=CE，CH⊥EF，推出FH=EH，設(shè)FH=EH=y，根據(jù)勾股定理可得x2?y2=(x+42【詳解】解：如圖，作CH⊥AB于H．設(shè)CF=EC=x，∵CF=CE，CH⊥EF，∴FH=EH，設(shè)FH=EH=y，則有x整理得2x+3y=14∵∠CFE=∠CEF，∠CFE=∠D+∠FED，∠CEF=∠A+∠ECA，∠A=∠D，∴∠FED=∠ECA，∴△EFD∽△CEA，∴DFAE∴4212?2y=由①②可得x=42，y=2，∴CH=x∴tan∠CEF=故答案為7．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、求正切、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程組解決問題【變式3-3】（2022·江蘇·陽山中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB的延長線上，連接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝12，則ACBC的值為【答案】3【分析】過點(diǎn)D作DM⊥CM，交CB的延長線于點(diǎn)M，可得∠DMC＝90°，在Rt△DMC中，利用銳角三角函數(shù)的定義可設(shè)DM＝a，則CM＝2a，然后證明8字模型相似三角形△ACB∽△DMB，從而利用相似三角形的性質(zhì)可得ABBD＝ACDM＝CBBM＝2，進(jìn)而可得AC＝2a，CB＝【詳解】解：過點(diǎn)D作DM⊥CM，交CB的延長線于點(diǎn)M，∴∠DMC＝90°，在Rt△DMC中，tan∠BCD＝12∴tan∠DCM＝DMCM＝1設(shè)DM＝a，則CM＝2a，∵∠ACB＝∠DMC＝90°，∠ABC＝∠DBM，∴△ACB∽△DMB，∴ABBD＝ACDM＝CBBM∴AC＝2DM＝2a，∴CB=∴ACBC＝2a4故答案為：32【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【題型4根據(jù)銳角的三角函數(shù)值求邊長】【例4】（2022·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD為△ABC的角平分線，若CD=2，則AB的長為（

）A．3 B．22+2 C．4 【答案】D【分析】過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，設(shè)AB=AC=x，則AD=x-2，根據(jù)等腰Rt△ABC中，∠A=90°,AB=AC，得到∠C=45°，根據(jù)BD為△ABC的角平分線，∠A=90°，DE⊥BC，推出DE=AD=x-2，運(yùn)用∠C的正弦即可求得．【詳解】解：過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，則∠DEB=∠DEC=90°，設(shè)AB=AC=x，則AD=x-2，∵等腰Rt△ABC中，，∠A=90°，AB=AC，，∴∠C=（180°-∠A）=45°，∵BD為△ABC的角平分線，∴DE=AD=x-2，∵sinC=∴x?22∴x=2+2，即故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形，角平分線，解直角三角形，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正弦的定義和45°的正弦值，是解決問題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，菱形ABCD中，AB＝23，∠ABC＝60°，矩形BEFG的邊EF經(jīng)過點(diǎn)C，且點(diǎn)G在邊AD上，若BG＝4，則BE的長為（）A．32 B．332 C．【答案】B【分析】過點(diǎn)G作GM⊥BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥AD于點(diǎn)N，由菱形的性質(zhì)得出AB＝BC＝CD＝23，AD＝BC，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC，由直角三角形的性質(zhì)求出MG＝3，證明△GBM∽△BCE，由相似三角形的性質(zhì)得出BG【詳解】解：過點(diǎn)G作GM⊥BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥AD于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝BC＝CD＝23，AD＝BC，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC∴∠MGN＝90°，∴四邊形GMCN為矩形，∴GM＝CN，在△CDN中，∠D＝60°，CD＝23∴CN＝CD?sin60°＝23∴MG＝3，∵四邊形BEFG為矩形，∴∠E＝90°，BG∥EF，∴∠BCE＝∠GBM，又∵∠E＝∠BMG，∴△GBM∽△BCE，∴BGBC∴42∴BE＝32故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC．點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部，AD⊥CD，且∠ADB【答案】41【分析】取點(diǎn)H在AD上，使AH=BD，連接CH，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定和性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用求解即可解答．【詳解】解：取點(diǎn)H在AD上，使AH=BD，連接CH，∵AB=AC，∠ADB=2∠ACB，∴∠BAD+∠ABD=∠BAC，∴∠ABD=∠DAC，在△ABD和△AB=∴△ABD?△∴∠BAD=∠ACH，∠BAC=∠BAD+∠DAC，∴∠BAC=∠ACH+∠DAC，又∵∠DHC=∠ACH+∠DAC，∴∠DHC=∠BAC，∴tan∠DHC又∵AD⊥∴DCHD∴HD=∴AD=HC=2+34∵HD∴34解得：DC=4，∴AD=5，∴AC=【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定和性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線．【變式4-3】（2022·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC≌△ABD，點(diǎn)E在邊AB上，CE∥BD，連接(1)求證：四邊形BCED是菱形．(2)已知點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，過點(diǎn)F作GF⊥BC交AB于點(diǎn)G，BG=5，cos∠ABC=0.6，請(qǐng)直接寫出BE【答案】(1)見解析(2)7.2【分析】（1）通過三角形全等證明相應(yīng)角和相應(yīng)邊相等，再根據(jù)CE∥BD證明內(nèi)錯(cuò)角相等，從而得到CE=BD，從而證明四邊形（2）先連接CD，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的比值求出BF的長度，從而求出BC的長度，再求出BH的長度，從而求出BE的長度．(1)解：∵△ABC≌△ABD∴∠ABC=∠ABD，CB=BD∵CE∴∠CEB=∠ABD∴∠CEB=∠ABC∴CE=BC∴CE=BD∵CE=BD，CE∴四邊形BCED為平行四邊形∵CB=BD∴四邊形BCED為菱形(2)解：連接CD交AB與點(diǎn)H，如圖所示∵四邊形BCED為菱形∴BH=EH，BE⊥CD∴∠CHB=90°∵GF⊥BC∴∠GFB=90°∵BG=5，cos∴BF∴BF=3∵點(diǎn)F為BC中點(diǎn)∴BC=6∵cos∴BH=3.6∴EH=3.6∴BE=7.2【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的運(yùn)用，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的運(yùn)用是解答本題的關(guān)鍵．【題型5根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)】【例5】（2022·安徽·桐城市第二中學(xué)九年級(jí)期末）已知△ABC中，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，則下列四個(gè)說法中，一定正確的有（

）①連接AD，若D為BC中點(diǎn)，且AD平分∠BAC，則AB=AC；②若∠BAC=90°，且BC=2AC，則∠B=30°；③若∠B=30°，且BC=2AC，則∠BAC=90°；④若AB=BC，∠C=60°，且AD平分∠BAC，則△ABC的重心在AD上．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】①根據(jù)三角形的中線性質(zhì)，可得S△ABD=S△ACD，再利用角平分線性質(zhì)得到AB=AC；②因?yàn)锽C=2AC根據(jù)直角三角形特殊三角函數(shù)值即可解答；③∠B=30°，且BC=2AC，根據(jù)三角形中的特殊角的角邊關(guān)系即可確定∠BAC=90°；④三角形重心在三角形中線上，根據(jù)等腰三角形三線合一可確定【詳解】①因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，所以S△ABD=S△ACD,又因?yàn)锳D平分∠BAC，則點(diǎn)D到線段AB、②若∠BAC=90°，且BC=2AC，則∠B的正弦值為12，則∠B=30°③若∠B=30°，且BC=2AC，過點(diǎn)C作線段AB的垂線段恰好與AC重合，則∠BAC=90°，故③正確；④若AB=BC，∠C=60°，且AD平分∠BAC，根據(jù)三線合一，AD為BC邊中線，則△ABC的重心在AD上．故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，特殊角三角行的角邊關(guān)系，熟練掌握三角形的角平分線性質(zhì)，中線性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角形角邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022·黑龍江·綏棱縣克音河鄉(xiāng)學(xué)校一模）在△ABC中，若，sinB?12【答案】90【分析】用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值解答．【詳解】∵sinB?∴sinB?12sinB=12∠B=30°，∠A=60°，∠C=180-（∠A+∠B）=90°．故答案為90．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)，熟練掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值，是解決此類問題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022·湖南·長沙市雅禮實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）若菱形的周長為82，高為2，則菱形兩鄰角的度數(shù)比為（

A．6：1 B．5：1 C．4：1 D．3：1【答案】D【分析】如圖，AH為菱形ABCD的高，AH=2，利用菱形的性質(zhì)得到AB=22，利用正弦的定義得到∠B=45°，則∠C=135°，從而得到∠C:∠B【詳解】解：如圖，AH為菱形ABCD的高，AH=2，∵菱形的周長為82∴AB=22在RtΔABH中，sinB=∴∠B=45°，∵AB//CD，∴∠C=135°，∴∠C:∠B=3:1．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．【變式5-3】（2022·山東日照·三模）如圖，直線AB=?33x+3與坐標(biāo)軸相交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，動(dòng)點(diǎn)Q在線段OA上，連接OP，且滿足∠BOP=∠OQP，則當(dāng)【答案】

30

2【分析】過點(diǎn)P作PM⊥OA于點(diǎn)M，設(shè)P(t,?33t+3)，由三角形相似可得MQ【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作PM⊥OA于點(diǎn)M，∵動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，∴設(shè)P(t,?3∴PM=?33t+∵∠BOP+∠POM=90°,∠MQP+∠QPM=90°，∠BOP=∠OQP，∴∠POM=∠QPM，∵∠OMP=∠PMQ=90°，∴△OPM∽△PQM，∴PM∴MQ=P設(shè)OQ=m，∵OQ=OM+MQ，∴m=t+(?整理得：4t∴Δ整理可得：m2設(shè)y=m則其與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(?6,0),(2,0)，∵a=1＞∴當(dāng)y=m2+4m?12≥0時(shí)m≤?6∵OQ=m≥0，∴m≥2，∴OQ的最小值為2，將m=2代入4t可得：4t解得t=3∴PM=?33t+在Rt△POM中，tan∠POM=∴∠POM=30°，即∠POQ=30°．故答案為：30，2．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系等知識(shí)，牢固掌握以上知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【題型6求特殊角的三角函數(shù)值】【例6】（2022·廣東·東莞市東華初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）由4個(gè)形狀相同，大小相等的菱形組成如圖所示的網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，∠O=60°，則tan∠ABC=（

）A．13 B．12 C．33【答案】C【分析】證明四邊形ADBC為菱形，求得∠ABC=30°，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求解．【詳解】解：連接AD，如圖：∵網(wǎng)格是有一個(gè)角60°為菱形，∴△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等邊三角形，∴AD=BD=BC=AC，∴四邊形ADBC為菱形，且∠DBC=60°，∴∠ABD=∠ABC=30°，∴tan∠ABC=tan30°=33故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，證明四邊形ADBC為菱形是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2022·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測）計(jì)算：(1)3tan(2)cos2【答案】(1)3+(2)1【分析】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解決此題．（2）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值及二次根式的乘法進(jìn)行計(jì)算即可解決此題．（1）解：原式＝3×33=3=3+（2）解：原式＝322=3=1【點(diǎn)睛】本題主要考查特殊角的三角函數(shù)值及二次根式的運(yùn)算，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解決本題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2022·江蘇·漣水縣麻垛中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A＝60°，AC＝6，則sin∠ABC【答案】12【分析】利用直角三角形的兩銳角互余求得∠ABC的度數(shù)，再利用特殊角的三角函數(shù)即可求得sin∠ABC【詳解】解：依照題意畫出圖形，如圖所示．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠ABC=90°?∠A=30，∴sin∠ABC=故答案為∶12【點(diǎn)睛】考查了直角三角形的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2022·河南·油田十中九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A、B、O都在格點(diǎn)上，則∠AOB的正切值是______．

【答案】1【分析】連接AB，由勾股定理求得AB、AO、BO的長，判斷△ABO是等腰直角三角形，即可求得答案．【詳解】解：連接AB，由勾股定理得：AB＝12+32=10，AO＝∴AB＝AO，OA∴△ABO是以O(shè)B為斜邊的等腰直角三角形，∴tan∠AOB故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理在網(wǎng)格中的應(yīng)用、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．【題型7同角的三角函數(shù)值的證明或求值】【例7】（2022·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列結(jié)論中（其中α，β均為銳角），正確的是___________．（填序號(hào)）①sin2α+cos2α=1；②cos2α=2cos【答案】①③④【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系及銳角三角函數(shù)的增減性進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①如圖，在Rt△ABC中，∵sinα=BCAB∴sin2②若α=30°，則cosα=2α=60°，cos∴cos∴cos2α≠2③當(dāng)0°<α<β<90°時(shí)，sinα=∴α越大，對(duì)邊越大，且越接近斜邊，∴sinα∴當(dāng)0°<α<β<90°時(shí)，0<sin④∵sinα=對(duì)邊斜邊，cos∴sinα=故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系及銳角三角函數(shù)的增減性，掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2022·江蘇·鎮(zhèn)江市外國語學(xué)校一模）已知sinα?cosα=18【答案】3【分析】首先證明sin2α+cos2α=1，把已知條件兩邊都乘以2，然后再根據(jù)cos2α+【詳解】解：如圖，△ABC中，∠C=90°，∵sinA=a而a2∴sin即sin2∵sin∴2sin∴cos即(cos∵0°<α<45°，∴22<cos∴cos∴cos故答案為：32【點(diǎn)睛】本題考查了同角的三角函數(shù)的關(guān)系，利用好cos2α+sin【變式7-2】（2022·福建莆田·一模）求證：若α為銳角，則sin2α+cos2α＝1．要求：①如圖，銳角α和線段m用尺規(guī)作出一個(gè)以線段m為直角邊，α為內(nèi)角的Rt△ABC保留作圖痕跡，不寫作法）②根據(jù)①中所畫圖形證明該命題．【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析【分析】①點(diǎn)A為圓心，m長為半徑，在射線AM上截取AC=m；以點(diǎn)C為圓心作弧，與射線AM交于兩點(diǎn)，分別以這兩點(diǎn)為圓心，大于其距離的一半為半徑作兩條弧，交于一點(diǎn)，連接點(diǎn)C與這一點(diǎn)，得到過點(diǎn)C的AM的垂線，該垂線交AN于點(diǎn)B，RtΔABC即為所求．

②根據(jù)三角函數(shù)的定義以及勾股定理證明即可．【詳解】解：①如圖，Rt△ABC即為所求．②∵在RtΔABC中，∠ACB=90°,∴sinα=BCAB，cosα=AC∴sin【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．【變式7-3】（2022·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知sinα，cosα為方程x2【答案】p【分析】由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系可得sinα+cosα=-p①，sinαcosα=q②，①兩邊平方，代入②和sin2α+cos2α=1即可得到結(jié)論.【詳解】解：∵sinα，cosα為方程x2+px+q=0的兩個(gè)根，∴sinα+cosα=-p①，sinαcosα=q②，①兩邊平方得：(sinα+cosα)2=p2，∴sin2α+cos2α+2sinαcosα=p2，∵sin2α+cos2α=1，sinαcosα=q，∴1+2q=p2，即p2-2q-1=0.故答案為p2-2q-1=0.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系和同角三角函數(shù)的關(guān)系，熟記根與系數(shù)的關(guān)系和同角正弦和正切的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵.【題型8互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系的計(jì)算】【例8】（2022·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，∠C＝90°，sinA=35，則sinB等于(

A．25 B．35 C．45【答案】C【分析】根據(jù)互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系：sin2A+sin2B=1解答．【詳解】∵在Rt△ABC,∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴sin2A+sin2B=1，sinB>0，∵sinA=35∴sinB=1?(35故選C.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角函數(shù)，熟練掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.【變式8-1】（2022·全國·九年級(jí)單元測試）若α為銳角，且cosα＝1213A．513 B．1213 C．512【答案】B【分析】根據(jù)：若α+β=【詳解】由銳角三角函數(shù)性質(zhì)可知：sin(90°－α)=cosα＝12故選B【點(diǎn)睛】本題考查兩角和的余弦公式的應(yīng)用，利用已知條件對(duì)角進(jìn)行分解是解題關(guān)鍵．【變式8-2】（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知α，β都是銳角，且α+β=90°，sinα+cosβ=【答案】60°【分析】根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系得出cosβ=sinα【詳解】解：∵α+β=90°，∴cosβ=∵sinα+2sinα=3∴銳角α=60°.故答案為：60°.【點(diǎn)睛】本題考查了互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系，特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出sinα【變式8-3】（2022·福建·龍海二中九年級(jí)階段練習(xí)）李華在作業(yè)中得到如下結(jié)果：tantantantantan根據(jù)以上，李華猜想：對(duì)于任意銳角α，均有tan（1）當(dāng)α=30°時(shí)，驗(yàn)證tanα?（2）李華的猜想是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)舉出一個(gè)反例．（3）小明發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)解析式中的k值（一次項(xiàng)系數(shù)的值）其實(shí)就是該一次函數(shù)圖像與x軸所形成的夾角的正切值，已知平面直角坐標(biāo)系中有兩條直線互相垂直，l1：y1=k1x+b1，l2【答案】（1）成立，見解析；（2）成立，見解析；（3）k1【分析】（1）通過直角三角形兩銳角互余求出另一角為60°，再利用特殊角三角函數(shù)值即可得證；（2）作直角三角形，利用正切的定義用線段比表示互余兩角的正切值，發(fā)現(xiàn)其互為倒數(shù)，即可得證；（3）在直角坐標(biāo)系中作兩條直線相互垂直且垂足不在坐標(biāo)軸上，一直線k>0,一直線k<0，在兩直線與x軸圍成的直角三角形中同（2）的方法即可得證．【詳解】（1）當(dāng)α=30°時(shí)，90°?α=60°，tanα?∴當(dāng)α=30°時(shí)tanα?（2）答：成立．證明：如右圖，作Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AC為斜邊，BA，BC設(shè)∠A=α則∠C=90°?α，tanα=tanA=tanα?∴tan（3）作如圖平面直角坐標(biāo)系xOy，l1⊥l設(shè)l1交x軸于B，y軸于D，l2交x軸于C，y軸于∵l1⊥l2∴∠ABC+∠ACB=90°，∴∠ABC=90°?∠ACB依題意得k1=tank1?=?tan由（2）知tanα?∴k【點(diǎn)睛】本題主要考查了正切的概念、一次函數(shù)增減性求參數(shù)、互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系．充分理解正切的概念和一次函數(shù)的系數(shù)與圖像的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．【題型9利用增減性判斷三角函數(shù)的取值范圍】【例9】（2022·福建省泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）三角函數(shù)sin40°、cos16°、A．tan50°>cos16°>C．cos16°>tan50°>【答案】A【分析】首先把sin40°、cos16°轉(zhuǎn)換成相同的銳角三角函數(shù)；再根據(jù)正弦值是隨著角的增大而增大，進(jìn)行分析，可以知道1【詳解】解：∵sinα=cos90°?α∴cos16°=sin∴1＞sin∵tan50°∴tan50°>∴tan50°>故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)值的大小比較，掌握正余弦的轉(zhuǎn)換方法：一個(gè)角的正弦值等于它的余角的余弦值；以及正余弦值、正切值的變化規(guī)律是本題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）已知△ABC是銳角三角形，若AB>AC，則（）A．sinA<sinB B．sinB<sinC【答案】B【分析】大邊對(duì)大角，可得∠C＞∠B，當(dāng)角度在0°～90°間變化時(shí)，正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。?；依此即可求解．【詳解】解：△ABC是銳角三角形，若AB＞AC，則∠C＞∠B，則sinB＜sinC．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性，當(dāng)角度在0°～90°間變化時(shí)，①正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?；②余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p小（或增大）；③正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。咀兪?-2】（2022·四川·西昌市俊波學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）已知32<cosA．30°<A<B B．60°<A<B C．B<A<60° D．B<A<30°【答案】D【分析】首先明確32【詳解】∵32∵32當(dāng)0<α<90°，α越大，cosα故B<A<30°．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握銳角三角函數(shù)的增減性及特殊角三角函數(shù)值．【變式9-3】（2022·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，梯子地面的夾角為∠A，關(guān)于∠A的三角函數(shù)值與梯子的傾斜程度之間的關(guān)系，下列敘述正確的是（

）A．sinAB．cosAC．梯子的長度決定傾斜程度D．梯子傾斜程度與∠A的函數(shù)值無關(guān)【答案】B【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的增減性即可得到答案．【詳解】解：A選項(xiàng)，sinA的值越小，∠A越小，梯子越平緩，故錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，cosA的值越小，∠A就越大，梯子越陡，故正確；C選項(xiàng)，梯子的長度不能決定傾斜程度，故錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，梯子傾斜程度與∠A的函數(shù)值有關(guān)，故錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性：對(duì)于正弦和正切函數(shù)，函數(shù)值隨角度的增大而增大；對(duì)于余弦函數(shù)，函數(shù)值隨角度的增大而減?。绢}型10三角函數(shù)在等腰直角三角形中的應(yīng)用】【例10】（2022·河北·順平縣腰山鎮(zhèn)第一初級(jí)中學(xué)一模）如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝102cm，D為AB邊上一點(diǎn)，tan∠ACD＝15，點(diǎn)P由C點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連接PD，將PD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段DQ，連接PQ(1)填空：BC＝，BD＝；(2)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)幾秒，DQ最短；(3)如圖2，當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到直線AB下方時(shí)，連接BQ，若S△BDQ＝8，求tan∠BDQ；(4)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，若∠BPQ＝15°，請(qǐng)直接寫出BP的長．【答案】(1)20cm，82cm(2)4秒(3)1(4)8+83或8+8【分析】（1）利用勾股定理求出BC，利用三角函數(shù)求出AD，即可得到BD；（2）當(dāng)PD⊥BC時(shí)，PD最短，即DQ最短，利用面積求出PD，即可得到運(yùn)動(dòng)時(shí)間；（3）分別過點(diǎn)Q、P作AB的垂線，垂足分別為點(diǎn)G，H，證明△DGQ≌△PHD，推出QG=DH，DG=PH，利用面積求出DH=QG=2，求出DG即可求出結(jié)果；（4）過點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，則MD=MB=22BD=8，分兩種情況，①當(dāng)點(diǎn)Q在BC左側(cè)時(shí)，得∠BPD=30°，求出PM即可；②當(dāng)點(diǎn)Q在BC右側(cè)時(shí)，得到∠BPD=60°，求出PM（1）解：∵等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝102cm，∴BC=2AB=20cm，∵tan∠ACD＝15∴ADAC解得AD=22cm，∴BD=AB-AD=82cm，故答案為：20cm，82cm；（2）如圖，當(dāng)PD⊥BC時(shí)，PD最短，即DQ最短，∵S△BCD∴20PD=82得PD=8，∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)8÷2=4秒，∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)4秒時(shí)DQ最短；（3）分別過點(diǎn)Q、P作AB的垂線，垂足分別為點(diǎn)G，H，則BH=PH，∠QGD=∠PHD=90°，∵∠QDG+∠DQG=90°，∠QDG+∠PDH=90°，∴∠DQG=∠PDH，又∵PD=QD，∴△DGQ≌△PHD，∴QG=DH，DG=PH，∵S△BDQ=12BD?QG=8∴DH=QG=2，∵DG=PH=BH=BD-DH=72，∴tan∠BDQ=（4）過點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，則MD=MB=22BD分兩種情況，①當(dāng)點(diǎn)Q在BC左側(cè)時(shí)，如圖（1），由題意知∠QPD=45°，又∵BPQ=15°，∴∠BPD=30°，∴PM=3MD=83，∴BP=BM+PM=8+83；②當(dāng)點(diǎn)Q在BC右側(cè)時(shí)，如圖（2），∵∠QPD=45°，BPQ=15°，∴∠BPD=60°，∴PM=33MD=8∴BP=BM+PM=8+83故BP的長度為8+83或8+83【點(diǎn)睛】此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)及掌握銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式10-1】（2022·黑龍江佳木斯·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1的坐標(biāo)是(0,?1)，點(diǎn)A1，A2，A3，A4，A5…所在直線與x軸交于點(diǎn)B0(?2,0)，點(diǎn)B1，B2，B3，B4…都在【答案】3【分析】過點(diǎn)A2作A2C1⊥x軸，設(shè)∠OB0A1=α【詳解】解：∵B0(?2,0)，A∴O∴A∴設(shè)∠OB0∵△A∴∴A1B∴B1∴過點(diǎn)A2作A∵△A∴則tan即A2∴∴∴∴同理可得tanα=A3∴……∴An∴A2022故答案為：32022【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正切的定義，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式10-2】（2022·廣東深圳·九年級(jí)期末）如圖1，分別以ΔABC的AB、AC為斜邊間外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACF，點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，連接DG、BF．（1）求證：ΔADG∽ΔABF；（2）如圖2，若∠BAC=90°，AB=22，AC=32，求（3）如圖3，以ΔABC的BC邊為斜邊問外作等腰直角三角形BCE，連接EG，試探究線段DG、EG的關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)證明見詳解；(2)tan∠AGD=25；(3)結(jié)論是：DG=EG，且DG⊥【分析】（1）由ΔABD和ΔACF都是等腰直角三角形，可得∠DAB=∠CAF=45°，可證∠DAG=∠BAF，可求ADAB=AGAF=2（2）由∠BAC=90°，ΔABD和ΔACF都是等腰直角三角形，可得∠DAB=∠CAF=45°，可證點(diǎn)D，A，F(xiàn)三點(diǎn)共線，證△ADG∽△ABF；可得∠AGD=∠AFB，可求BD=AD=2，AF=3，DF==5，利用三角函數(shù)求tan∠AGD=tan∠AFB=DBDF（3）結(jié)論是：DG=EG，且DG⊥EG，證△ECG∽△BCF，可得BF=2EG，∠EGC=∠BFC，由△ADG∽△ABF得BF=2EG，∠AGD=∠AFB，可得DG=EG，∠DGE=90°