人教版八年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三15.3分式方程【十大題型】(舉一反三)(學(xué)生版+解析)

專題15.3分式方程【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1分式方程的定義】 ④作答【題型2分式方程的一般方法】【例2】（2023上·北京·八年級校考期末）解分式方程：①x②1【答案】①x=?2，②x=2是原方程的增根，原方程無解【分析】①觀察可得最簡公分母是x(x?3)，方程兩邊乘以最簡公分母，可以把分式方程化為整式方程，再求解．②觀察可得最簡公分母是(x?2)，方程兩邊乘以最簡公分母，可以把分式方程化為整式方程，再求解．【詳解】解：①方程兩邊同乘x(x?3)，得x2解得x=?2檢驗x=?2時，x(x?3)≠0∴x=?2是原方程的解．②整理得1方程兩邊同乘(x?2)，得1+1?x=?4(x?2)，?x+4x=8?2，解得x=2檢驗：x=2時x?2=0，∴x=2是原方程的增根，原方程無解．【點睛】本題主要考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要驗根，（3）分式中有常數(shù)項的注意不要漏乘常數(shù)項．【變式2-1】（2023上·湖北恩施·八年級統(tǒng)考期末）解下列方程：(1)2x?3(2)xx?1【答案】(1)x=9(2)原方程無解【分析】（1）先去分母，解方程，再進行檢驗即可解答；（2）先去分母，解方程，再進行檢驗即可解答．【詳解】（1）解：原方程得：2x=3x?9，解得x=9，經(jīng)檢驗x=9是原方程的解；（2）解：由原方程得：xx+2整理得x2解得x=1，經(jīng)檢驗，當(dāng)x=1時，x?1x+2∴原方程無解．【點睛】本題考查了解分式方程，記得檢驗計算的結(jié)果對分式是否有意義是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023下·寧夏銀川·八年級銀川一中?？计谥校╅喿x下列解題過程，回答所提出的問題：題目：解分式方程：3解：方程兩邊同時乘以(x+2)(x?2)??A得：3去括號得：3x+6?2x+4=8??C解得：x=?2??D所以原分式方程的解是：x=?2??E(1)上述計算過程中，哪一步是錯誤的？請寫出錯誤步驟的序號：；(2)錯誤的原因是；(3)訂正錯誤．【答案】(1)E(2)沒有驗根(3)訂正錯誤：經(jīng)檢驗x=?2使原分式方程分母等于0，所以x=?2是增根，原分式方程無解【分析】根據(jù)分式方程的解法步驟，即可判斷哪一步是錯誤的，再寫出正確解題步驟即可．【詳解】（1）解：根據(jù)分式方程的解法步驟，判斷出步驟E是錯誤的，故答案為：E；（2）解：根據(jù)分式方程的解法步驟，得步驟E錯誤的原因是沒有驗根，故答案為：沒有驗根；（3）解：訂正錯誤：經(jīng)檢驗x=?2使原分式方程分母等于0，所以x=?2是增根，∴原分式方程無解．【點睛】本題考查了分式方程的解法，解題的關(guān)鍵是注意解出x的值后需要檢驗，防止出現(xiàn)增根．【變式2-3】（2023上·河北秦皇島·八年級統(tǒng)考期中）對于任意的實數(shù)a，b，規(guī)定新運算：a※(1)計算：1m?1(2)若1m?1※?【答案】(1)m?3(2)7【分析】本題考查分式的化簡和分式方程的解法，掌握相關(guān)的運算法則是解題的關(guān)鍵．（1）利用所給算式運算即可，（2）利用（1）的結(jié)果，將原方程化為分式方程，再求解即可．【詳解】（1）解：1====m?3（2）由（1）可知：1m?1∴m?3方程兩邊同乘以6m?1，得3去括號，得3m?9+6m?6=m?1，移項、合并同類項，得8m=14，系數(shù)化為1，得m=7經(jīng)檢驗，m=7∴m的值為74【題型3換元法解分式方程】【例3】（2023下·陜西西安·八年級?？茧A段練習(xí)）閱讀下面材料，解答后面的問題．解方程：x?1x解：設(shè)y=x?1x，則原方程化為y?4y=0解得y=±2．經(jīng)檢驗：y=±2都是方程y?4當(dāng)y=2時，x?1x=2，解得x=?1；當(dāng)y經(jīng)檢驗：x=?1所以原分式方程的解為x=?1上述這種解分式方程的方法稱為換元法．用換元法解：x+12x?1【答案】答案見解析．【分析】按照材料中分式方程換元的方法，可設(shè)y=x+12x?1，原方程化為y?1y=0【詳解】解：設(shè)y=x+12x?1，則原方程化為方程兩邊同時乘y，得y2解得y=±1．經(jīng)檢驗：y=±1都是y?1當(dāng)y=1時，x+12x?1解得x=當(dāng)y=x+12x?1解得x=0．經(jīng)檢驗：x=2和x=0所以原分式方程的解為x=2和x=0【點睛】本題主要考查分式方程的解法，牢記分式方程的解題步驟是解答的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023下·上海楊浦·八年級上海同濟大學(xué)附屬存志學(xué)校校考期中）解分式方程x2?13x+5=6x+10x2【答案】y2-y-2=0【分析】先將原分式方程變形為x2?13x+5=2【詳解】解：∵x2∴x2若設(shè)y=x2?1∴y=2y∴y2-y-2=0，故答案為：y2-y-2=0．【點睛】本題考查用換元法解分式方程，設(shè)y=x2?13x+5，則1y【變式3-2】（2023上·河南三門峽·八年級統(tǒng)考期末）換元法解方程：x?1x+2－3【答案】x＝－12【分析】利用換元法解分式方程，設(shè)y＝x?1x+2【詳解】原方程可化為x?1x+2－x+2x方程兩邊同時乘y，得y2－1＝0，解得y1＝1，y2＝－1，經(jīng)檢驗，y1＝1，y2＝－1都是方程y－1y當(dāng)y＝1時，x?1x+2＝1，該方程無解；當(dāng)y＝－1時，x經(jīng)檢驗，x＝－12所以原分式方程的解為x＝－12【點睛】本題考查了分式方程的解法，關(guān)鍵是如何換元，題目比較好，有一定的難度．【變式3-3】（2023下·山西晉城·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）換元法解方程：x?1x+2【答案】x=?【分析】先把方程變形為x?1x+2【詳解】解：∵x?1x+2∴原方程為x?1x+2設(shè)y=x?1x+2，原方程可化為方程兩邊同時乘以y，得y2解得，y=±3，經(jīng)檢驗，y=±3都是原方程的解，當(dāng)y=3時，有x?1x+2=3，解得：當(dāng)y=?3時，有x?1x+2=?3，解得：經(jīng)檢驗：x=?7∴原分式方程的解為x=?72或【點睛】本題考查了用換元法解可化為一元二次方程的分式方程，解題的關(guān)鍵是正確使用換元法．【題型4裂項法解分式方程】【例4】（2023上·湖南婁底·八年級統(tǒng)考期中）觀察下列各式：11×2=1?12；請利用你所得的結(jié)論，解答下列問題：(1)計算：11×2(2)解方程1x+10(3)若11×4+1【答案】(1)n(2)x=?(3)n=5【分析】本題考查規(guī)律探索問題及解分式方程．（1）觀察各式可得1n（2）根據(jù)1n（3）類比所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可知13n+1結(jié)合已知條件總結(jié)出規(guī)律：1n【詳解】（1）解：觀察各式可得：1n原式=1?1（2）解：方程整理得：1x+10即1x+1去分母得：2x+2=1，解得：x=?1經(jīng)檢驗x=?1（3）類比所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可知：13n+1∵1∴1∴13×1?∴解得：n=5，∴經(jīng)檢驗，n=5是分式方程的解，故原方程的解為：n=5．【變式4-1】解方程：3【答案】x=7【分析】化簡方程，進而求出即可．【詳解】方程整理得：1x?4?1去分母得：x?1=2x?8，解得：x=7，經(jīng)檢驗x=7是分式方程的解.【點睛】本題考查了解分式方程，弄清拆項的方法是解本題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023上·廣西桂林·八年級校聯(lián)考期中）解方程：1【答案】x=21【分析】分式方程利用拆項法變形后，求出解即可．【詳解】解：分式方程整理得：1x?10?1即1x?10?∴∴x+1=2x?20∴x=21，經(jīng)檢驗：當(dāng)x=21時，分母不為0，∴該方程的解為x=21【點睛】本題考查了解分式方程，弄清拆項的方法是解本題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023上·廣東珠?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）解方程：13x【答案】x=【分析】首先根據(jù)“裂項”的方法化簡方程左邊，然后把分式方程化為整式方程，計算即可．【詳解】解：11x1x12x12x12x49x9x=4x+4，5x=4，x=4檢驗：x=4∴原方程的解為x=4【點睛】本題考查了解分式方程，解本題的關(guān)鍵在于充分利用運算規(guī)律計算．【題型5由分式方程有解或無解求字母的值】【例5】（2023下·四川遂寧·八年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的方程m(x+1)?52x+1=m?3無解，則m的值為（A．3 B．6或10 C．10 D．6【答案】B【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，整理后根據(jù)一元一次方程無解的條件求出m的值；由分式方程無解求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【詳解】解：分式方程去分母得：m整理得：mx+m?5=2mx+m?6x?3移項得：mx?2mx+6x=m?3?m+5合并同類項得：6?m當(dāng)6?m=0，即m=6時，方程無解；由分式方程無解，可得分式方程的分母2x+1=0，解得x=?把x=?12代入整式方程6?m綜上，m的值為6或10．故選：B．【點睛】此題考查了分式方程的解，弄清分式方程無解的條件是解本題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023上·湖南岳陽·八年級統(tǒng)考期中）關(guān)于x的分式方程3x+6x?1?【答案】k≠?3且k≠5【分析】本題考查了分式方程的含參問題，解題的關(guān)鍵重在結(jié)合題干的限定，同時不要忘記分母不能為0，故先去分母得到3x?1+6x?x+k【詳解】解：3x去分母得：3x?1去括號得：3x?3+6x?x?k=0，移項、合并同類項得：8x=k+3，解得：x=k+3∵該方程有解，∴x≠0且x≠1，∴k+3≠0且k+3≠8，∴k≠?3且k≠5，故答案為：k≠?3且k≠5．【變式5-2】（2023上·湖南邵陽·八年級統(tǒng)考期末）已知分式方程2x?1(1)若“■”表示的數(shù)為4，求分式方程的解；(2)小馬虎回憶說：由于抄題時等號右邊的數(shù)值抄錯，導(dǎo)致找不到原題目，但可以肯定的是“■”是?1或0，試確定“■”表示的數(shù)．【答案】(1)x=(2)0【分析】（1）根據(jù)題意列出分式方程，求出解即可；（2）把?1和0分別代入方程，求出解判斷即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：2x?1去分母得：2?x=4x?4，解得：x=6檢驗：把x=65代入得：∴分式方程的解為x=6（2）解：當(dāng)“■”是?1時，2x?1+x當(dāng)“■”是0時，2x?1+x1?x=0∴“■”表示的數(shù)是0．【點睛】本題考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法是解本題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023下·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）對于實數(shù)x，y定義一種新運算“※”：x※y=yx2?y，例如：1※2=212【答案】0或?1【分析】根據(jù)題中運算法則列出分式方程，然后化為整式方程，根據(jù)分式方程解的情況分類求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，?1※x=mxx?1?1化為整式方程為：mx=?1，當(dāng)m=0時，整式方程mx=?1無解，即原分式方程無解；當(dāng)m≠0時，整式方程mx=?1的解為x=?1∵當(dāng)x=1時，分式方程無解，∴?1m=1綜上，當(dāng)m=0或m=?1時，原分式方程無解，故答案為：0或?1．【點睛】本題考查解分式方程，理解題意新定義，熟練掌握分式方程無解的等價條件是解答的關(guān)鍵．【題型6由分式方程有增根求字母的值】【例6】（2023下·浙江嘉興·八年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的方程ax+bx?1=b，其中a，b均為整數(shù)且(1)若方程有增根，則a，b滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？(2)若x=a是方程的解，求b的值．【答案】(1)a+b=0(2)?1或8或9【分析】（1）由分式方程有增根，得到x?1=0，求出x的值即為增根；（2）將x=a代入ax+bx?1=b求得b=a+2+4a?2，根據(jù)題意可得a?2=±1或?2或【詳解】（1）解：由分式方程有增根，得到x?1=0，解得：x=1，將分式方程化為整式方程：ax+b=bx?1整理得：a?bx+2b=0將x=1代入a?bx+2b=0得：a+b=0即若方程有增根，則a+b=0．（2）解：∵x=a是方程的解，將x=a代入ax+bx?1=b得：整理得：a2∴b=a∴b=a2∵a，b均為整數(shù)且a≠0，∴a?2=±1或?2或±4，當(dāng)a?2=?1時，即a=1，b=a當(dāng)a?2=1時，即a=3，b=a當(dāng)a?2=2時，即a=4，b=a當(dāng)a?2=?4時，即a=?2，b=a當(dāng)a?2=4時，即a=6，b=a綜上，b的值為?1或8或9．【點睛】此題考查了分式方程的增根，求分式方程中字母的值，解題的關(guān)鍵是①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．【變式6-1】（2023下·山東棗莊·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程ax+1x?1?1=0有增根，則a的值為【答案】?1【分析】增根是將分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根．所以應(yīng)先確定增根的可能值，讓最簡公分母x?1=0，得到x=1，然后代入化為整式方程后的方程中算出未知字母的值．【詳解】解：方程兩邊都乘(x?1)，得ax+1?(x?1)=0，(a?1)x=?2，∵原方程有增根，∴最簡公分母x?1=0，即增根為x=1，把x=1代入整式方程，得a=?1；∴a=?1時，關(guān)于x的方程ax+1x?1故答案為：?1．【點睛】本題考查了分式方程的增根，增根問題可按如下步驟進行：①讓最簡公分母為0確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．【變式6-2】（2023上·湖北武漢·八年級?？计谀┤舴质椒匠?x?2+3=b?xA．1 B．0 C．?1 D．?2【答案】D【分析】首先根據(jù)解分式方程的一般方法得出方程的根，然后根據(jù)增根的定義將增根代入方程的解求出a的值．【詳解】解：∵分式方程1x?2∴x?2a+x∴x=2或?a，當(dāng)x=2時，a=?2，當(dāng)x=?a時不合題意，故選：D．【點睛】此題考查了分式增根，解題的關(guān)鍵是分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，根據(jù)分式方程有增根求出a的值．【變式6-3】（2023上·山東淄博·八年級山東省淄博第四中學(xué)?？计谀┓质椒匠蘹+kx?1?1=4x2【答案】1【分析】首先根據(jù)解分式方程的方法求出方程的解，再根據(jù)分式方程的增根是使最簡公分母等于0的未知數(shù)的值，求出增根，然后代入進行檢驗即可得解【詳解】解：x+kx?1x+kx?1公分母為：x+1x?1兩邊同時乘以x+1x?1x+kx+1解得：x=?k+3分式方程有增根，∴x+1∴x=1或x=?1，當(dāng)x=1時，?k+3k+1解得：k=1，此時方程有增根，當(dāng)x=?1時，?k+3k+1得：3=?1，無解，綜上所述，k=1，故答案為：1．【點睛】本題考查對分式方程增根的理解和掌握，理解分式方程的增根的意義是解題關(guān)鍵．【題型7由分式方程有整數(shù)解求字母的值】【例7】（2023下·山東濟南·八年級統(tǒng)考期中）若關(guān)于x的分式方程x+ax?2+2a2?x=5的解是非負(fù)整數(shù)解，且a滿足不等式a+2>1A．18 B．16 C．12 D．6【答案】B【分析】先求出分式方程的解，再利用分式方程的解為非負(fù)整數(shù)解，以及a滿足不等式a+2>1，求出?1＜a≤10，再利用x=10?a【詳解】解：由題意可知：x+a?2ax?2x?a=5x?2x=10?a∵分式方程的解是非負(fù)整數(shù)解，且a滿足不等式a+2>1，∴10?a4≥0a+2∵x=10?a當(dāng)10?a=0時，a=10，此時x=0，經(jīng)檢驗，當(dāng)10?a=4時，a=6，此時x=1，經(jīng)檢驗，當(dāng)10?a=8時，a=2，此時x=2，經(jīng)檢驗，∴滿足條件的整數(shù)a的值之和是16．故選：B【點睛】本題考查解分式方程，不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出?1＜a≤10，再利用x=10?a【變式7-1】（2023上·北京·八年級清華附中?？计谀┤絷P(guān)于x的分式方程1?axx?2+3=12?x【答案】2或?1【分析】先去分母解整式方程得x=43?a，根據(jù)分式方程有正整數(shù)解，得到3?a的值為1或2或4，且【詳解】解：去分母得，1?ax+3x?2整理得，3?ax=4解得x=4∵分式方程有正整數(shù)解，∴3?a的值為1或2或4，且43?a解得a=2或?1，故答案為：2或?1．【點睛】此題考查了根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，正確掌握解分式方程的步驟及法則是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023下·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的分式方程2x?1=mx有正整數(shù)解，則整數(shù)【答案】3或4.【分析】先解分式方程，當(dāng)m≠2時，可得x=1+2m?2,再根據(jù)x為正整數(shù)，且x≠1,x≠0,【詳解】解：∵2x?1∴2x=m(x?1),∴(2?m)x=?m,當(dāng)m≠2時，x=?m∵x為正整數(shù)，且x≠1,x≠0,m為整數(shù)，∴m?2是2的因數(shù)，∴m?2=±1,m?2=±2,∴m=3,m=1,m=4,m=0,當(dāng)m=3時，x=3,當(dāng)m=1時，x=1+(?2)=?1，舍去，當(dāng)m=4時，x=2,當(dāng)m=0時，x=0，舍去，所以m的值為：m=3或m=4，故答案為：3或4.【點睛】本題考查的是解分式方程，根據(jù)分式方程的解為正整數(shù)求解字母系數(shù)的值，正確分析各個限制性的條件，理解題意是解題的關(guān)鍵.【變式7-3】（2023下·重慶·八年級重慶一中校考期中）已知關(guān)于x的不等式組x?66+2x+13≤724(x+a)+1<3(2x+1)無解，關(guān)于A．6 B．9 C．10 D．13【答案】B【分析】先根據(jù)一元一次不等式組無解可得a≥3，再解分式方程得y＝2?4a?2，且y≠0，y≠2，求得a＝3或【詳解】解：x?66由①得，x≤5，由②得，x＞2a﹣1，∵不等式組無解，∴2a﹣1≥5，∴a≥3，ay方程的兩邊同時乘y（y﹣2），得，a（y﹣2）﹣2y＝﹣8，整理得，（a﹣2）y＝2a﹣8，∵方程有整數(shù)解，∴y=2a?8∴a﹣2＝±1，a﹣2＝±2，a﹣2＝±4，∴a＝3或a＝1或a＝4或a＝0或a＝6或a＝﹣2，∵a≥3，∴a＝3或a＝4或a＝6，∵y≠0，y≠2，∴a≠4，∴所有a的和為9，故選：B．【點睛】本題主要考查含參數(shù)的分式方程以及一元一次不等式組，把分式方程和一元一次不等式組進行化簡，是解題的關(guān)鍵．【題型8由分式方程解的取值范圍求字母的范圍】【例8】（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的分式方程m?2x+1A．m≤3 B．m≤3且m≠2 C．m＜3 D．m＜3且m≠2【答案】D【分析】解方程得到方程的解，再根據(jù)解為負(fù)數(shù)得到關(guān)于m的不等式結(jié)合分式的分母不為零，即可求得m的取值范圍.【詳解】m?2x+1解得：x=m﹣3，∵關(guān)于x的分式方程m?2x+1∴m﹣3＜0，解得：m＜3，當(dāng)x=m﹣3=﹣1時，方程無解，則m≠2，故m的取值范圍是：m＜3且m≠2，故選D．【點睛】本題考查了分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法以及分式方程的分母不為零是解題關(guān)鍵．【變式8-1】（2023·山東日照·日照市新營中學(xué)?？家荒＃┮阎P(guān)于x的分式方程m+32x?1=1的解不大于2，則m的取值范圍是【答案】m≤0，且m≠-3【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，表示出整式方程的解，根據(jù)解不大于2且最簡公分母不為0，求出m的范圍即可．【詳解】解：m+3去分母得：m+3=2x-1，解得：x=m+42，且2x-1≠0，即x≠1根據(jù)題意得：m+42≤2，且x≠解得：m≤0，且m≠-3，故答案為：m≤0，且m≠-3．【點睛】此題考查了分式方程的解，需注意在任何時候都要考慮分母不為0．【變式8-2】（2023下·山西晉城·八年級?？计谥校┮阎P(guān)于x的分式方程1x?1(1)若分式方程的解為x=2，求k的值．(2)若分式方程有正數(shù)解，求k的取值范圍．【答案】(1)k=?2(2)k<2且k≠0【分析】（1）將x=2代入方程，即可求出k的值；（2）先解分式方程，得x=?k+22，再根據(jù)方程有正數(shù)解以及分母不為0，即可求出【詳解】（1）解：將x=2代入1x?1得12?1即1+2=?k?1解得k=?2；（2）解：將1x?1得1+2x?1解得x=?k+2因為分式方程有正數(shù)解，則x>0，即?k+22所以k<2，又因為分母不為0，即x≠1，那么?k+22所以k≠0，故k<2且k≠0．【點睛】本題考查了分式方程的解，熟練掌握解分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023上·江蘇南通·八年級啟東市長江中學(xué)校考期末）若關(guān)于x的分式方程2x?3=1?m3?x的解為非負(fù)數(shù)，則【答案】m≤5且m≠2【分析】先解分式方程可得x=5?m，再根據(jù)分式方程的解為非負(fù)數(shù)建立不等式組即可得到答案．【詳解】解：2x?3去分母得：2=x?3+m，整理得：x=5?m，∵關(guān)于x的分式方程xx?3∴5?m≥05?m≠3解得：m≤5且m≠2．故答案為：m≤5且m≠2．【點睛】本題考查的是分式方程的解法，分式方程的解，不等式組的解法，掌握“解分式方程的步驟與方法，以及分式方程的解的含義”是解本題的關(guān)鍵．【題型9分式方程的規(guī)律問題】【例9】（2023下·江蘇常州·八年級校考期中）先閱讀下面的材料，然后回答問題：方程x+1x=2+12方程x+1x=3+13方程x+1x=4+14…(1)根據(jù)上面的規(guī)律，猜想關(guān)于x的方程x+1x=a+(2)解方程：y+2y+5y+2=(3)方程2x?3x+1+x+1【答案】(1)x1=a(2)y1=2，(3)x1=?【分析】（1）從數(shù)字找規(guī)律，即可解答；（2）先將原方程進行變形可得：(y+2)+1y+2=4+（3）利用換元法將原方程化為：m+1m=6+【詳解】（1）解：根據(jù)上面的規(guī)律，猜想關(guān)于x的方程x+1x=a+1a故答案為：x1=a，（2）解：y+2y+5y+y+2(y+2)(y+2)+1∴y+2=4或y+2=1∴y1=2經(jīng)檢驗：y1=2，（3）解：令2x?3x+1=m，則原方程可化為：∴m+1∴m1=6∴2x?3x+1=6或解得：x1=?9經(jīng)檢驗：x1=?9故答案為：x1=?9【點睛】本題考查了解分式方程，分式方程的解，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，準(zhǔn)確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2023下·八年級課時練習(xí)）閱讀下列材料：方程1x+1方程1x方程1x?1…(1)請你觀察上述方程與解的特征，寫出能反映上述方程一般規(guī)律的方程，并猜出這個方程的解；(2)根據(jù)(1)中所得的結(jié)論，寫出一個解為－5的分式方程．【答案】（1）1x?a?1【分析】（1）觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)所給式子可得答案；（2）根據(jù)規(guī)律，可得方程．【詳解】解：(1)方程可以是1x?a(2)1x+7【點睛】本題考查了解分式方程，細心觀察并總結(jié)出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵.【變式9-2】（2023上·山東淄博·八年級統(tǒng)考期末）已知：①x+2x=3可轉(zhuǎn)化為x+②x+6x=5可轉(zhuǎn)化為x+③x+12x=7可轉(zhuǎn)化為x+??根據(jù)以上規(guī)律，關(guān)于x的方程x+m2+4m?12x+5=2m?1【答案】x1=m+1【分析】根據(jù)已知數(shù)列找出規(guī)律進而得出x+m【詳解】解：∵①x+2x=3可轉(zhuǎn)化為x+②x+6x=5可轉(zhuǎn)化為x+③x+12x=7可轉(zhuǎn)化為x+??∴規(guī)律為：x+mnx=m+n∴關(guān)于x的方程x+m2+4m?12∴x+5+m(x+5∴x1+5=m?2，∴x1=m+1，故答案為：x1=m+1，【點睛】本題考查了分式方程，利用轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵【變式9-3】（2023·陜西·八年級統(tǒng)考期末）解方程：①1x+1=2②2x+1=4③3x+1=6④4x+1=8…（1）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫出⑤，⑥個方程及它們的解．（2）請你用一個含正整數(shù)n的式子表示上述規(guī)律，并求出它的解．【答案】①x=0②x=1③x=2④x=3（1）x=4，x=5（2）x=n﹣1【詳解】試題分析：（1）等號左邊的分母都是x+1，第一個式子的分子是1，第二個式子的分子是2，那么第5個式子的分子是5，第6個式子的分子是6．等號右邊被減數(shù)的分母是x+1，分子的等號左邊的分子的2倍，減數(shù)是1，第一個式子的解是x=0，第二個式子的解是x=1，那么第5個式子的解是x=4．第6個式子的解是x=5．．（2）由（1）得第n個式子的等號左邊的分母是x+1，分子是n，等號右邊的被減數(shù)的分母是x+1，分子是2n，減數(shù)是1，結(jié)果是x=n?1．試題解析：①x=0，②x=1，③x=2，④x=3．（1）第⑤個方程：5x+1=10第⑥個方程：6x+1=12（2）第n個方程：nx+1=2n方程兩邊都乘x+1，得n=2n?x+1解得x=n?1．【題型10分式方程的新定義問題】【例10】（2023上·北京延慶·八年級統(tǒng)考期中）給出如下的定義：如果兩個實數(shù)a，b使得關(guān)于x的分式方程ax+1=b的解是x=1a+b成立，那么我們就把實數(shù)a，b稱為關(guān)于x的分式方程ax+1=b的一個“方程數(shù)對”，記為[a，b]．例如：a=2，b=(1)判斷數(shù)對①[3，?5]，②[?2，4]中是關(guān)于x的分式方程ax+1=b的“方程數(shù)對”的是(2)若數(shù)對[n，3?n]是關(guān)于x的分式方程ax+1=b的“方程數(shù)對”，求(3)若數(shù)對[m?k，k]（m≠?1且m≠0，k≠1）是關(guān)于x的分式方程ax+1=b的“方程數(shù)對”，用含【答案】(1)①(2)n=(3)k=【分析】（1）根據(jù)題中運算方法計算判斷即可；（2）根據(jù)題意，x=13是關(guān)于x的分式方程nx（3）根據(jù)題意，x=1m是關(guān)于x的分式方程m?kx+1=k的解，將【詳解】（1）解：①當(dāng)a=3，b=?5時，解方程3x+1=?5得經(jīng)檢驗，x=?12是該分式方程的解，又∴3,?5是關(guān)于x的分式方程ax②當(dāng)a=?2，b=4時，解方程?2x+1=4經(jīng)檢驗，x=?23是該分式方程的解，又故?2,4不是關(guān)于x的分式方程ax故答案為：①；（2）解：∵數(shù)對n,3?n是關(guān)于x的分式方程ax∴x=1n+3?n=1將x=13代入分式方程nx解得n=1（3）解：∵數(shù)對m?k,k（m≠?1且m≠0，k≠1）是關(guān)于x的分式方程ax∴x=1m?k+k=1m將x=1m代入分式方程m?kx則m+1k=∵m≠?1，∴k=m【點睛】本題考查解分式方程、分式方程的解，理解題中定義，掌握分式方程的解滿足分式方程是解答的關(guān)鍵．【變式10-1】（2023上·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末）當(dāng)a≠b時，定義一種新運算：F(a,b)=2a?b,a>b2bb?a（1）直接寫出F(a+1,a)=_______________；（2）若F(m,2)?F(2,m)=1，求出m的值．【答案】（1）2；（2）m=0.【分析】（1）根據(jù)題目所給條件代值進去計算即可求出，（2）根據(jù)m與2的大小關(guān)系進行分類討論求解分式方程即可求出m的值．【詳解】解：（1）因為a+1>a，所以F(a+1,a)=2（2）m>2時，F(xiàn)(m,2)?F(2,m)=2解得m=4m<2時，F(xiàn)(m,2)?F(2,m)=2×2解得m=0．綜上，m=0．【點睛】本題主要考查新定義與分式