壓軸第23題30道-相似三角形綜合問題（二）（解析版）-2021學年上海初三數(shù)學一模（期末）壓軸題模擬匯編

壓軸第23題精選30道-相似三角形綜合問題（二）（解析版）

學校;姓名:班級:考號:

一、單選題

1.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=2x+8的圖象與x軸、y軸分別相交于點B、

點A,以線段AB為邊作矩形ABCD,且AB=2BC,點C在反比例函數(shù)y=&（x<0）

X

的圖象上，則k的值為（）

【答案】D

【分析】

過點C作CELx軸于與證明AAO3s△5EC,可得點C坐標，代入求解即可.

【詳解】

解：*.*當mO時，y=2x+8=8,

???A(0,8),

???OA=8；

當產0時，y=2x+8=0,

/.x=-4,

：.B(-4,0),

：.OB=4；

過點。作CEJ_x軸于E,

??,四邊形ABC。矩形，

JZABC=90°,

ZCBE+ZABO=90°,ZBAO+ZABO=9Q°,

：.ZCBE=ZBAO,

ZBEC=ZAOB=90°,

：.AAOBsABEC,

.CEBE_BC

**OB-OA-AB?

9

：AB=2BCf

.CEBE1

??==一，

482

OE=2,BE=4,

，c點坐標為(-8,2),

???點C在反比例函數(shù)y=A(x<0)的圖象上,

^=-8x2=-16.

故選：D.

【點睛】

本題考查了一次函數(shù)與坐標軸的交點、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、矩形的性質，以及三

角形相似的判定與性質，解答此題的關鍵是正確作出輔助線及數(shù)形結合思想的運用.

2.如圖，在等腰AAOB中，AO=AB,點A為反比例函數(shù)y=±（其中x>0）圖象上的

X

一點，點B在％軸正半軸上，過點B作BC-LOB,交反比例函數(shù)y="的圖象于點C,連

x

接0C交48于點。，若△BCD的面積為2,貝必的值為（）

【答案】A

【分析】

過點A作A廣，03交x軸于尸，交0C于點E,利用等腰三角形性質可得

。尸=P3=,再由AF//3C,可得^ADE^ABDC,BC=2EF，設Ob=a，則03=2a,

可得AF=25C=4EF,AE=3EF,應用相似三角形性質及三角形面積可由ABCD的面積

為2,求得AAOb的面積，應用1%1的幾何意義求上.

【詳解】

解：如圖，過點A作交無軸于尸，交OC于點E,

-OA=ABfAF±OBf

:.OF=FB=-OB,

2

\BCLOB,

/.AF/IBC,

OEEFOF1

..AADE^^BDC——=——=——=-,

fOCBCOB2

:.BC=2EF,

設。尸=〃，則05=2。，

kk

a2a

kk

AF=~,BC=J

a2Q

,\AF=2BC=4EF,AE=AF-EF=3EF,

,.AADE^ABDC,

.DE_AE_3EF_3

"DC-BC-2EF-2'

.S^ADE_（A￡）2_2

f

,?SXBDJBC~4

???ABCD的面積為2,

?s-

-2AADE-2，

,?,DE—_―3，

EC5

OE1

=9

，OC2

EC=OE,

?DE_3

,?=—,

OE5

.-AADE_己

SAAOE5，

..AF_4￡F_4

?~AE~3EF~3f

.SAA*-J4

SAAOEAE3

.o_4o=

萬網(wǎng)=1。，

k=20.

故選：A.

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、等腰三角形的性質、三角形面積以及相似

三角形的判定與性質，解題的關鍵是靈活運用等腰三角形的性質和相似三角形的性質.

3.如圖，在矩形ABCD中，AD=10,在BC邊上取一點E,連接AE、DE,使得DE

=AD,H為AE中點，連接DH,在DE上取一點F,連接AF,將AAEF沿著AF翻折

得到AAGF,且GF_LAD于M,連接GD,若AE=4百，則點F到直線DG的距離為

G

A.275B.述C.拽D.在

354

【答案】B

【分析】

根據(jù)三線合一得出。H_LAE,根據(jù)矩形的性質及同角的余角相等易證AABE?ADHA,

然后根據(jù)相似三角形的性質即可求得BE的值，根據(jù)勾股定理可求得的值；過點E

作于點P,則四邊形ABEP為矩形，易證ADMF?ADPE,再根據(jù)相似三角形

的性質可設MF=4x,DM=3x,DF=5x,根據(jù)折疊的性質可得GB=EF=10-5x,

AG=AE=4^/5,AM=AD-DM^lO-3x,GM=GF-MF=EF-MF=l0—9x,然

后根據(jù)勾股定理即可求得x的值，最后根據(jù)面積公式即可得出答案.

【詳解】

解：-.AD=DE,"是的中點

:.DH±AE

?.?四邊形ABC。為矩形

ZBAE+ZEAD=90°,ZEAD+ZADH=90°

:.ZBAE=ZHDA

?;NB=ZAHD=90。

:.AABE~ADHA

,BEAE

"HA~AD

■.■AD=10,AH=-AE=-x4y/5=2y/5,AE=4下

22

:.BE=4

AB=^AE--BE-=J（4V5）2-42=8,EC=BC-BE=1。-4=6

過點E作￡P_LAD于點P,則四邊形ABEP為矩形

G

:.PE=AB=8,PD=EC=6

GF±AD

:.NDMF=NDPE=90。

■.ZMDF^ZPDE

:.ADMF-ADPE

DM__PD_6_3

"MF~PE-8-4

設MF=4X,DM=3X,DF=5X

???△AEF沿著AF翻折得至[]△AGF,

，GB=EF=10—5x,AG=AE=4y/5,AMAD-DM^lO-3x,

GM=GF—MF=EF—MF=lO—9x

在RAAMG中，AM2+MG2=AG2

BP(10-3x『+00_9x『=(4君『

2

解得：x=2(舍去)或x=]

:.MD=3X=2,GF=10-5X=—,MG=10-9X=4

3

GD=y)MG2+MD2="+2?=2石

設F到GD的距離是h,根據(jù)面積公式得SXGFD=^GFMD=^GDh

.-.-x—X2=-X2A/5/?

232

:.h=—\[5

3

故選B.

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定及性質、等腰三角形的性質、勾股定理、折疊的性質、矩

形的判定及性質，熟練掌握性質定理及添加合適的輔助線是解題的關鍵.

4.如圖，菱形OABC的頂點C的坐標為(3,0),D為AO上一點，連接BD,CD,

OB,CD與OB相交于點E,取EC的三等分點F(EF>FC),連接OF并延長，交BC

于點G,已知SABOD：SABOC=2：3,反比例函數(shù)y=.(k>0)經(jīng)過D,G兩點，貝!]k

X

的值為()

Ocx

A8A/21?2A/21「8729「2729

255255

【答案】A

【分析】

過點G分別作無軸的垂線，垂足分別為M、A1,設CN=a,GN=b,根據(jù)相似三角形

的性質表示出。點坐標，根據(jù)反比例性質列方程求出a、b值即可.

【詳解】

解：過點G分別作無軸的垂線，垂足分別為M、N,

?SABOD：S^BOC=2：3,

：.OD:BC=2:3,

U：OA//BC,

:.LODEs△BCE,ZAOC=ZGCN,

.DE_OP_2

**EC-BC-3?

???OC=BC=3,

：.OD=2,

???EC的三等分點為點尸(EF>FC),

.FC_1

??而一"

同理，器W,CG=I

ZAOC=ZGCN,ZDMO=ZGNC=90°,

:?叢ODMs叢CGN,

.GN_GC_CN_1

DM~OD~OM~^9

設CN=a,GN=b,則0M=4〃，DM=4b,

k

二?反比例函數(shù)y=—[k>0)經(jīng)過O,G兩點,

x

4〃x40=(a+3)。，

解得，a=g，GN=4GC。-CN。=得,

則上的值為：弓+3"得=笫，

故選：A.

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)的性質、菱形的性質、相似三角形的判定與性質，解題關鍵是通

過設參數(shù)，根據(jù)相似三角形性質表示點的坐標，依據(jù)反比例函數(shù)性質列方程.

AF1

5.如圖，正方形ABCD,點F在邊AB上，且)=不，CEXDF,垂足為點M,且交

FB2

AD于點E,AC與DF交于點N,延長CB至G,使BG=《BC,連接CM.有如下結

萬1

論：①AE=BF；②AN=4AD；③/ADF=NGMF；?SAANF=-SAABC,上述結論

49

中，正確的是()

A.①②B.①③C.①②③D.②③④

【答案】C

【分析】

①正確.證明AAO尸名ADCE(ASA),即可判斷.②正確.利用平行線分線段成比例定

理，等腰直角三角形的性質解決問題即可.③正確.作GHLCE于設AF=DE=a,

BF=2a,則AB=CO=BC=3a,EC=Ma,通過計算證明CH即可解決問題.④

AFFN1

錯誤.設/的面積為加，由A/〃CO,推出一=—=—,bAFNs叢CDN,推出

(3DD^/3

△ADN的面積為3m,△DCN的面積為9m,推出△ADC的面積=△ABC的面積=12根，

由此即可判斷.

【詳解】

???四邊形A8CO是正方形，

：.AD^AB=CD^BC,ZCDE=ZDAF^9Q0,

■:CELDF,

：.ZDCE+ZCDF=ZADF+ZCDF=90°,

ZADF=NDCE,

在△AO/與△OCE中，

ZDAF=ZCDE

<AD=CD,

ZADF=NDCE

：.AADF^ADCE(ASA),

：.DE=AF,

：.AD-DE=BC-AFfBPAE=BF,

故①正確；

'：AB//CDf

.AF_AN

**CD-GV?

'：AF：FB=1：2,

.'.AF：AB=AF：CD=1：3,

.AN_1

，9CN~39

.AN_1

**AC-4?

9：AC=y[lAD,

:,AN=J^AD；

4

故②正確；

作GH上CE于H,設AF=DE=a,BF=2a,則A3=CO=3C=34,EC=Ma,

由△CMOsaCQE,可得

10

由^GHCs4CDE,可得CH=2^a,

20

：.CH=MH=^CMf

?：GH上CM,

：.GM=GC,

：.ZGMH=ZGCHf

?：NFMG^/GMH=9。。,ZDCE+ZGCM=90°,

：.ZFMG=NDCE,

ZADF=ZDCE,

：.ZADF=ZGMF；

故③正確，

設^ANF的面積為m,

'：AF//CD,

.AFFN]

△AFNsMDN,

"CD~DN~3

：.AADN的面積為3m,ADCN的面積為9m,

：.^ADC的面積=△ABC的面積=12利,

?e?SAANF：SAABC=1：12,

故④錯誤,

故選：C.

【點睛】

本題是一個綜合性的題目，綜合考查了正方形的性質、相似三角形的判定與性質、三角

形全等的判定與性質等知識.

6.勾股定理是幾何中一個重要定理.著名數(shù)學家畢達哥拉斯用如圖①所示的圖形驗證

了勾股定理，把圖①放入矩形內得到圖②，ZACB=90°,BC=2AC,E,F,G,H,I

MN

都在矩形MNOP的邊上，則工的值為（）

（圖①）（圖②）

【答案】A

【分析】

如圖所示，延長54交PM于J，過/作火_LAB于K,設2C=2AC=2a,由題意可知,

AC=CD=DE=AE=a,BH=HI=CI=BC=2a,由勾股定理可得，AB=

^BC2+AC2=A/5O＞可得&8=23=R7=4/=石4,再利用相似三角形的性質分別用

含。的代數(shù)式表示“N，MP,即可得到答案.

【詳解】

解：如圖所示，延長54交PM于J,過/作于K,

N

設BC=2AC=2a,

由題意可知，AC=CD=DE=AE=a,BH=HI=CI=BC=2a,

由勾股定理可得，AB=7BC2+AC2=y/5a^

C.AB—BG—FG—AF—^5a.

?.?NAK/=NAC3=90。，ZCAB=ZIAK9

：.△AK/s/\AC3,

.AI_IK_AK

I*AB-BC-AC

ATAC+CI

：.IK=—xBC=xBC=聿x2a=還a

ABAB島5

6R

：.MP=MJ+JP=IK+AF=箋?a+y/5a=哈

：.AK=^-xAC=AC+CIxAC^^-xa=36

-----a,

ABAB45a5

同理可得：&\EJsXBAC,

.AJAE

**BC-BA?

：.AJ=—xCB=^^a,

BA5

同理可得：AABC^AHIN,

.BC_IN

??瓦—方‘

3=生/田=生*2。=迪。

AB后a5

?A/TA7TATAT<ATAT2^/^3>/54^/59^5

??MN—MI+IN—AJ+AK+IN------aH-------a-\-------a=------a,

5555

9-

.MN9

??而—1函一行，

-------a

5

故選：A.

【點睛】

本題考查的是勾股定理的應用，矩形，正方形的性質，相似三角形的性質與判定，掌握

利用相似三角形的性質尋求邊與邊之間的關系是解題的關鍵.

7.如圖，點M是正方形A3CD內一點，△MBC是等邊三角形，連接AM、對角線

BD交CM于點、N,現(xiàn)有以下結論：①NAMD=150。；②MA2=MN-MC;③

其中正確的結論有()

,/XBMC3

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】

①根據(jù)等邊三角形得/CMB=60。，再根據(jù)等腰三角形的性質得ZCMD=15°,

最后根據(jù)周角的定義即可得出結論；②證明△MNDsAMDC,列比例式即可得出結論；

③過點M作于G,設MG=x,根據(jù)直角三角形30度角的性質和勾股定理分

別計算2C、AG,2G的長，根據(jù)面積公式計算即可得出結論.

【詳解】

解：???△M2C是等邊三角形，

ZMBC=ZMCB=ZCMB=60°,BM=BC,

:四邊形ABC。是正方形，

ZABC=ZBCD=ZBAD=ZADC=90°,AB^BC,

：.ZABM=ZDCM=30°,

'：AB=BM,

：.ZAMB=ZBAM=^x(180°-30°)=75°,

同理：/CMD=/CDM=75。,

：.ZAMr>=360o-750-75o-60°=150°；

故①正確；

:四邊形ABC。是正方形，

???N8DC=45。,

ZMDN=ZCDM-ZBDC=75°-45°=30°,

u

：ZCMD=ZCMDfNMDN=NDCM=3。。,

:?△MNDsAMDC,

,MNDM

C.DNP^MN-MC,

ZBAD=ZADCfZBAM=ZCDMf

：.ZMAD^ZMDA,

：.MA=DM,

:.MA2=MN^MC,

故②正確；

過點M作MGLA3于G,

設MG—x,

RtABGM中,ZGBM=30°,

.9.BM=BC=AB=2x,BG=^3x,

?9.AG=2x-y/3x,

.../皿核產=2XMX2一6

S、BMCXBCBGBG上xA/3

2

故③錯誤.

故選C.

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定與性質、正方形的性質、等邊三角形的性質、等腰三角形

的判定與性質，勾股定理、平行線的性質等知識；設出未知數(shù)，表示出各邊長是解題的

關鍵.

8.如圖，在RSABC中，ZBAC=90°,以其三邊為邊分別向外作正方形，延長EC,

DB分別交GF,AH于點N,K,連結KN交AG于點M,若SI$2=2,ACM,則AB

7

A.2B.V2C.25/2D.-

【答案】A

【分析】

先證AASC附△FCN,根據(jù)全等三角形的性質可得A2=PN；再證△BCKs/XACB,根

據(jù)相似三角形的性質可得KC=\BC2.設五邊形ACFNM的面積為S,可得Sx+S^S正方

4

形ACFG-AC2=16,S2+S=S梯形CFNK===2{CK+NF),設BC=y,可得方程組

x2+16=y2

16-2(^y2+x]=2,解方程組即可求解.

【詳解】

ZACB+ZCAN=90°,ZFCN+ZCAN=90°,

：.ZACB=ZFCN,

在△48(?和4FCN中,

ZBAC=/NFC=90°

<AC=CF,

ZBCA=/NCF

：.AABC^AFOV,

：.AB=FN；

ZBAC=ZKBC=90°f

：.LBCKsAACB,

,ACBC

??沃=商'

1

KC=-BC29；

4

設五邊形ACFNM的面積為S,

??,515=2,

J(Si+S)-(S+S)=2,

設A3=x,BC=y,

由勾股定理可得，x2+16=y2,

?Si+S2=S正方形ACFG=AG=16,S?+S=S梯形CFNK=

久CK+NF).CF=g(CK+NF)x4=2(CK+NF),SI-S2=2,

/.(Si+S)-6+S)=16-2(%+西=16-24』］=2,

x2+16=j2

-16-2(—y2+^^1=2，

\x=2\x=2x=-6x=-6

解得'[y=2君’[=-26’jy=2&T=

??h、y都為正數(shù)，

卜=2

%=25

BPAB=2,BC=2布.

故選A.

【點睛】

本題考查了正方形的性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質及相似三角形的判定與

性質，熟練運用相關知識是解決問題的關鍵.

9.如圖平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點B在％軸負半軸上，邊CD與x軸交于點

k

E,連接AE,A￡7/y軸，反比例函數(shù)y=-(%>0)的圖象經(jīng)過點A及AZ)邊上一點

x

F,AF=4FD,^DA=DE,OB=2,則Z的值為()

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意得到A4DE和AABE是等腰直角三角形，設AE=y,則

DM=AM=EM=^AE=^y,即可得到七-2?),進而通過三角形相似對得出廠點的坐

7373

標為［y-2,-y),即可得至！J%=(y—2)>=(《>一2)^>,解方程即可求得上的值.

【詳解】

解：作ZM7_LA￡:于V,FN1AE于N,

???四邊形ABCD是矩形，

AD=BC,ZADE=ZBCD=90°,

-.DA=DE,

二.AADE是等腰直角三角形，

:.NDAE=ZAED=45。,M是AE的中點，

:.DM=AM=EM=-AE,/BAE=45°,

2

AE//y軸，

:.ZAEB=90°,

,AASE是等腰直角三角形，

BE=AE，

設A^=y,貝ljDM=AM=EM=gAE=gy,

?：OB=2,

/.OE=y-2,

.\A(y-2,y),

\'FN//DM,

.AN_NF_AF

\AF=4FD,

AN_FN_4

「=『二《，

—y—y

22

2

：.AN=NF=-y,

5

23

-EN=y--y=-y,

F(|y-2,|y),

V反比例函數(shù)y=A(左>0)的圖象經(jīng)過點A、尸，

尤

73

-'-k=(y-2)y=(-y-2)-y,

解得y=5或>=。(舍去)，

:.k=(y-2)y=15,

本題考查了矩形的性質，等腰直角三角形的性質，三角形相似的判定和性質，反比例函

數(shù)圖象上點的坐標特征，表示出A、尸的坐標是解題的關鍵.

10.如圖所示，G、E分別是正方形A3CZ）的邊AB、8c上的點，且AG=CE,AE±EF,

AE=EF,現(xiàn)有如下結論：①BE=DH；②AAGE出AECF；③NFCD=45。；④

AAGE^ACHF.其中，正確的結論有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】C

【分析】

由N3EG=45。知N8EA>45。，結合NAEF=90。得NHECV45。，據(jù)此知HC<EC,即

可判斷①；求出NGAE+NAEG=45。，推出NGAEnN/EC,根據(jù)&4S推出

△GAE^ACEF,即可判斷②；求出NAGE=NECF=135。，即可判斷③；求出/莊。

<45°,根據(jù)相似三角形的判定得出AGB石和不相似，即可判斷④.

【詳解】

解：???四邊形ABCD是正方形，

：.AB^BC=CDf

VAG=GE,

：?BG=BE,

：./BEG=45。,

：.ZBEA>45°,

*.*ZAEF=90°,

???ZHEC<45°,

：.HC<EC,

：.CD-CH>BC-CE,即DH>BE,故①錯誤；

°：BG=BE,N5=90。，

：.ZBGE=ZBEG=45°,

：.NAG￡=135。，

???NGAE+NAEG=45。，

VAEXEF,

JZAEF=90°,

*.*/BEG=45。,

：.ZAEG+ZFEC=45°f

：.ZGAE=ZFEC,

在^GAE和aCEF中，

VAG=CE,

ZGAE=ZCEF,

AE=EF,

：.AGAE^ACEF(SAS)),

???②正確；

，NAGE=NECF=135°,

：.ZFCD=135°-90°=45°,

???③正確；

；NBGE=/BEG=45。,ZAEG+ZFEC=45°,

：.ZFEC<45°,

ZFHC=90°+ZFEC<135°,

NFHC片NAGE,

"AGE和△FCH不相似，

???④錯誤；

故選C.

【點睛】

本題考查了正方形的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的性質和判定，相似三角形

的判定，勾股定理等知識點的綜合運用，綜合比較強，難度較大.

二、填空題

11.如圖，在RSABC中，ZACB=90°,將△ABC沿AB翻折得△ABC,過點。作

CA的垂線，交CA延長線于點F點D為邊BC上一點，過點D作DEJ_BC,垂足為點

E,連接CD,交AB于點M,若DC平分NEDC,CE=CF=6,CT=4,則AM=.

【答案】二生

3

【分析】

延長交R7的延長線于R,連接CC交于J,過點C作CTLB。于T.首先證明

四邊形ECFR是正方形，利用全等三角形的性質證明DE=DT,FC=CT=4,再想辦法

求出JC,AJ,證明=可得結論.

【詳解】

解：延長ED交R7的延長線于R,連接CC交于J,過點C作CTL8。于T.

BEC

:.ZREC=NCFR=ZECF=90。,

「?四邊形ECER是矩形，

?.CE=CF,

二?四邊形EC%是正方形，

?「CD平分NXDC,CELDE,CT1EC,

/.ZCDE=ZCDT,ZCED=ZCTD=90°,

?.CD=CD,

/.\CDE=^CDT(AAS),

:.CE=CT.DE=DT,

ZCTC=ZF=90°,CF=CE=CT,CC=CC,

:.Rt△CCT=RtLCCF(HL),

,-.FC=CT=4,

在RtZXCFC中，CCWCF?+CF?=《6+4?=2如，

由翻折的性質可知，CJ=JC=屈，

???ZACJ=ZFCC,ZCJA=ZF=90°,

:.\CJA^\CFC,

.CJ_AJ

??赤一而‘

,A/13AJ

??-=—，

64

,?,_2713

..AJ=------,

3

ZDCE=ZDCT,ACCT=Z.CCF,

:.ZJCM=45°,

：.JM=CJ=yf\3,

:.AM=JM+AJ=y/13+^^-=^^-.

33

故答案為：巫.

3

【點睛】

本題考查翻折變換，正方形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性

質，解直角三角形等知識,解題的關鍵是想添加常用輔助線，構造特殊四邊形解決問題，

學會利用參數(shù)構建方程解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

12.如圖，邊長為3的等邊三角形ABC中，點M在直線BC上，點N在直線AC上,

且/BAM=NCBN,當BM=1時，AN=—.

【答案】2或4或9=或19

24

【分析】

先根據(jù)等邊三角形的性質可得^ABC=ZACB=60°,AB=BC=AC=3,再分①點”在

邊2C上，點N在邊AC上，②點M在邊2C上，點N在邊AC延長線上，③點M在邊

CB延長線上，點N在邊AC上，④點〃在邊CB延長線上，點N在邊AC延長線上四

種情況，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質、相似三角形的判定與性質即可得.

【詳解】

解：?.?△ABC是邊長為3的等邊三角形，

ZABC=ZACB=60°,AB=BC=AC=3,

由題意，分以下四種情況：

①如圖，當點〃在邊8C上，點N在邊AC上時，

NBAM=NCBN

在AABN和ABCW中，\AB=CB

AABM=NBCN

:.AABM=^BCN(ASA),

:.BM=CN=1,

:.AN=AC-CN=3-1=2；

②當點M在邊BC上，點N在邊AC延長線上時,

如圖，過點、N作ND//AB,交5c延長線于點0,

:.ZD=ZABM=60°,

?；ZDCN=ZACB=60。,

「.△CDN是等邊三角形，

:.CN=DN=CD,

"BAM=/DBN

在△叫/和△EW中，\小

ZABM=ZD

「.△ABA/DN,

DNBDBC+CDBC+DNnrlDN3+DN

…BMABABAB13

3

解得ON=],

3

:.CN=-

29

39

.\AN=AC+CN=3+-=-；

22

③當點M在邊CB延長線上，點N在邊AC上時，

如圖，過點、N作NDHAB,交3c于點。，

/CDN=ZABC=60。=ZACB,

「.△CON是等邊三角形，

:.CN=DN=CD,

\-ZCDN=ZABC=6Q°f

ZBDN=ZABM=120°,

(ZDBN=ZBAM

在皿V和△麗中’[ZBDN=ZABM

:.#DN~^ABM,

DNBDBC-CDBC-DNpnDN3-DN

…BMABABAB13

3

解得ON=T，

4

:.CN=-,

39

:.AN=AC-CN=3——=-；

44

④如圖，當點M在邊CB延長線上，點N在邊AC延長線上時,

\-ZABC=ZACB=6Q°,

s.ZABM=ZBCN=120°,

ZBAM=/CBN

在△ABM和城區(qū)中，\AB=CB

NABM=/BCN

:.^ABM=^BCN(ASA),

:.BM=CN=\,

.?.M=AC+C7V=3+1=4；

99

綜上，AN的值為2或4或|■或彳，

24

故答案為：2或4或19或J9.

24

【點睛】

本題考查了等邊三角形的判定與性質、三角形全等的判定定理與性質、相似三角形的判

定與性質等知識點，正確分四種情況討論是解題關鍵.

13.如圖，在平面直角坐標系中，點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，且

3(0,6),/。鉆=30。，C為線段A3上一點，BC:C4=1:2,若M為y軸上一點，且

OM:OB=1:2,設直線AM與直線0c相交于點N,則QV的長為.

【答案】空或2將

【分析】

CD4DAC

過點。作。軸于。，證明得到初=萬=弁，求出CO和AD,

BOAOAB

得到點C坐標，求出直線0C的解析式，再求出點M的坐標，分兩種情況，聯(lián)立解析

式，求出點N坐標，利用勾股定理得到ON的長.

【詳解】

解：過點C作COLc軸于。，則/AOC=/AOB=90。，

5L,：ZCAD=ZBAO,

：.AACD^AABO,

.CDADAC

,?茄一茄一茄，

VB(0,6),

：.OB=6,

N042=30。，

：.AB=2OB=12,

'-AO=JAB，-OB。=6也,

VBC：CA=1：2,

：.AC=-2-XAB=8,

1+2

：.BC=AB-AC=4,

.CDAD8

,,6-65/3-12,

解得：CD=4,AD=473,

：.OD=OA-AD=2>/3,

?,.C(254),

設直線oc的解析式為產質，將C代入，

貝|J4=2G左，解得：k=^~,

3

???直線oc的解析式為>=半-

OM：05=1：2,08=6,

：.0M=3,

的坐標為(3,0)或(-3,0),

當M(3,0)時，記為點的，設直線AW的解析式為尸or+b,

出

6y/3a+b=0a=------

則i,c，解得：，6,

b=3

b=3

???直線的解析式為尸-3x+3,

6

2石6A5

y=--------Xx=-----

35

聯(lián)立直線AM和直線OC的解析式得，,解得：<

一旦+312

6

當MG3,0)時，同理求得直線AM的解析式為、=3工-3,

6

聯(lián)立得--%X,解得：卜=一2四-

A/3,y=-4

y=——x-3

[-6

-\N(-273,-4),

/?ON=,卜2商+(-4)2=2幣,

綜上：ON的長為字或2近，

故答案為：字或2療.

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定和性質，一次函數(shù)與二元一次方程組，勾股定理，有一定

難度，解題的關鍵是根據(jù)題意畫出圖形，分類討論解決問題.

14.如圖，在菱形ABCD中，ZDAB=60°,AB=3,點E在邊AD上，且DE=1,點

F為線段AB上一動點（不與點A重合），將菱形沿直線EF折疊，點A的對應點為點N,

當點A，落在菱形的對角線上時，AF的長為—.

【答案】2或5-岳

【分析】

分兩種情況進行討論:①當點4在BD上時，可以證明△A'DE^^FBA',對應邊成比例,

可求出A尸的長；②當點4在AC上時，可得AEA尸是等邊三角形，進而可求AF的長.

【詳解】

解：①當點4在B。上時，如圖，

ZEA'F=ZDAB^60°,

：.ZDA'E+ZFA'B=120°,

VZA=60°,AB=AD,

是等邊三角形，

ZDBA=ZADB=60°,

：.ZA'FB+ZBA'F=120°,

：.ZDA'E=ZBFA',

：.AA'DEsAFBA',

.DEDA!EA

ArB~FB~FA"

*：AB^AD^DB=3,DE=1,

：.EAr=EA=AD-DE=2,

設剛'=剛=羽DAr=y,

則34=3-y,BF=3-x,

12

?=y=

*93-y3-xx，

解得X=5-y/13；

②當點4在AC上時，如圖：

由折疊可知：EF垂直平分

ZAOF=90°,

???四邊形ABC。是菱形，ZDAB=60°,

：.ZDAC=ZBAC=3O°,

：.ZAFE=6Q°,

???△EAF是等邊三角形，

/.AF=AE=AD-DE=2.

綜上所述：AF=5-JB或2.

故答案為：2或5-歷.

【點睛】

本題考查了翻折變換、等邊三角形的判定與性質、菱形的性質，解決本題的關鍵是掌握

菱形的性質.

15.如圖，正方形ABCD中，點E是CD邊上一點，連結BE,以BE為對角線作正方

形BGEF,邊EF與正方形ABCD的對角線BD相交于點H,連結AF,有以下五個結論：

?ZABF=ZDBE-,②AAEFS^BE；③詼_13￡＞；?2BG2=BH.BD；⑤若

CE:DE=1:3,則如:斯=17:16,你認為其中正確是（填寫序號）

DEC

G

耳

【答案】①②③④

【分析】

①四邊形2GEF和四邊形A2CD均為正方形，BD,3E是對角線，得NABD=NFBE=

45°,根據(jù)等式的基本性質確定出Z4BF=NDBE；②再根據(jù)正方形的對角線等于邊長

的0倍，得到兩邊對應成比例，再根據(jù)角度的相減得到夾角相等，利用兩邊成比例且

夾角相等的兩個三角形相似即可判斷；④根據(jù)兩角相等的兩個三角形相似得到

△EBHsADBE,從而得到比例式，根據(jù)代換即可作出判斷；③由相似

三角形對應角相等得到NBA尸=/即￡=45。，可得出A尸在正方形A8CD對角線上，根

據(jù)正方形對角線垂直即可作出判斷.⑤設CE=x,DE=3x,貝i]BC=CZ)=4x,結合8/=

BH,BD,求出BH,DH,即可判斷.

【詳解】

解：①：四邊形BG斯和四邊形A3CD均為正方形，BD,2E是對角線，

ZABD=ZFBE=45°,

又,:ZABF=45°-ZDBF,ZDBE=45°-ZDBF,

/.ZABF=ZDBE,

.,.選項①正確；

②,/四邊形BGEF和四邊形ABCD均為正方形，

：.AD=AB,BF=BE,

：.BD=y/2AB,BE=72BF,

.??巴=股=應

ABBF

又"：ZABF二ZDBE,

:?AABFSADBE,

...選項②正確；

④：四邊形BGE尸和四邊形A2CD均為正方形，BD,BE是對角線,

ZBEH=ZBDE=45°,

又,：/EBH=/DBE,

.'.△EBHSADBE,

:=,即8序=8”?8￡）,

BEBH

又,：BE=&BG,

23G2=BH.BD,

選項④確；

③由②知：AABFSADBE,

又；四邊形ABC。為正方形，8。為對角線,

ZBAF=/BDE=45。,

.'.AF在正方形另外一條對角線上，

：.AF±BD,

.??③正確，

⑤：CE:DE=l:3,

.?.設CE=x,DE=3x,貝i]8C=CD=4x,

；?BE=VCE2+BC2=Jd+（4x）2=歷x,BD=472%

"：BE^=BH-BD,

22

D?_BE_llx170

Dil=------==--------X

BD4岳8

DH=BD-BH=4sl2x-丑回x=也也尤,

88

故⑤錯誤，

綜上所述：①②③④正確,

故答案是：①②③④.

【點睛】

此題考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，以及正方形的性質,

熟練掌握相似三角形的判定和性質是解本題的關鍵.

k

16.如圖，已知如AAOB,ZABO=90。，點A(15,0),反比例函數(shù)y=—(x>0)經(jīng)過點8,

x

交43于點C,若BC:OB=3:2,則左的值是.

【答案】18

【分析】

過點B作BDLx軸于D,過點。作CELBD于E,CF±x軸于點F,易證△BOD^ACBE,

KT^——=——=—，設BE=3a,EC=3b,則0D=2aBD=2b.易得四邊形EDFC

ODBDOB2f

為矩形，則F0=CE=3。，F(xiàn)C=ED=BD-BE=2b-3a,得到B(2m2b),C(3/7+2o,

2b~3a).由待定系數(shù)法可得：k=2ax2b=4ab,k=(36+2〃)(2。-3〃)，等量代換可得：

4ab=(3。+2〃)(2。一3〃)，整理得到：b=2a.于是得到30=4。，EC=6a,FC=a；

CFBE1

易證△BECsACFA,可得---=---=-,求出FA—2a,從而OA—OD+FD+FA=10a,

FAEC2

由點A(15,0),可得04=15,〃的值可求，8點坐標可得，用待定系數(shù)法上值可求.

【詳解】

解：過點3作軸于。，過點C作CEL8。于區(qū)CfU無軸于點R如圖，

：.ZOBD+ZEBC=90°.

?；BD_LOD,

AZOBD+ZBOD=90°.

ZB0D=ZEBC.

?：/ODB=NBEC=9。。,

：.△BODsMBE.

,BEECBC_3

OD~BD~OB~2"

???設BE=3〃，EC—3b,則0￡)=2a,BD—2b.

u

：BD±DFfCELBD,CFLAD,

???四邊形EDFC為矩形.

:.FD=CE=3b,FC=ED=BD—BE=2b—3a.

：.B(2m2b),C(3b+2〃，2b~3a).

將3,C坐標分別代入解析式y(tǒng)=X(x>0)中得:

X

k=2ax2b=4ab,k—(30+2。)(2b—3a).

4ab=(3b+2a)(20一3〃).

整理得到：b=-\a(不合題意，舍去)或6=2°.

EC—6a,FC=o.

9：EC//AD,

：.ZBCE=ZA.

???ZBEC=ZCFA=90°f

：.ABEC^ACM.

.CF_BE

??啟一拓—5'

,\FA=2CF=2a.

1點A(15,0),

：.OA=15,

：.OD+FD+FA^15.

/.10a=15.

3

解得：。=萬.

???。。=3,BD=6.

：.B(3,6).

.??)=3x6=18.

故答案為：18.

【點睛】

本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標的特征，三角形相似的判定與性質，矩形的

判定與性質，待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式.利用點的坐標表示出相應線段的長度是解

題的關鍵.

17.如圖，點A是邊長為2的正方形。EFG的中心，在“SC中，ZABC=90°,AB^2,

BC=4,DG〃3C,點P為正方形邊上的一動點，在3P的右側作/P3H=90°且

BH=2PB,則AH的最大值為.

【答案】25

【分析】

連接3D,連接2G并延長到。，且使GD'=3G,易得ADPB?△UHB,由此可得當

點P在。G上運動時，點〃在過點。'且