2022-2023學年黑龍江省龍西北八校聯(lián)合體高一下學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2黑龍江省龍西北八校聯(lián)合體2022-2023學年高一下學期期末考試數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.下面是關于復數(shù)的四個命題，其中的真命題為（）A. B.C.的共軛復數(shù)為 D.的虛部為〖答案〗C〖解析〗，故A錯誤；，故B錯誤；的共軛復數(shù)為，故C正確；的虛部為，故D錯誤．故選：C．2.某人在打靶中，連續(xù)射擊3次，至多有一次中靶的互斥不對立事件是（）A.至少有一次中靶 B.三次都不中靶C.恰有兩次中靶 D.至少兩次中靶〖答案〗C〖解析〗至多一次中靶包含沒有中靶和恰有一次中靶，A選項，至少一次中靶，包含恰有一次，兩次，三次中靶三種情況，兩者都包含了恰有一次中靶，故不是互斥事件，A錯誤；B選項，三次都不中靶也都包含在兩個事件中，故不是互斥事件，B錯誤；C選項，恰有兩次中靶，與題干事件不可能同時發(fā)生，也不對立，屬于互斥不對立事件，C正確；D選項，為對立事件，故D錯誤.故選：C.3.如圖在中，是的中點，是的三等分點（靠近點），若（），則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，且，則．故選：D．4.已知m，n表示兩條不同直線，α，β表示兩個不同平面，下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗C〖解析〗對于A，因，當時，滿足，顯然不成立，A不正確；對于B，如圖，長方體中，平面為平面，平面為平面，直線為直線m，顯然有，，而，B不正確；對于C，因，則存在經(jīng)過直線m的平面，使得，則，而，有，因此，C正確；對于D，因，則在平面內(nèi)存在直線，滿足，即不成立，D不正確.故選：C.5.下列判斷正確的是（）A. B.不等式成立的必要不充分條件是C.是定義域上的減函數(shù) D.函數(shù)過定點〖答案〗D〖解析〗對于A，，A錯誤；對于B，解不等式可得或，∵或，∴不等式成立的充分不必要條件是，B錯誤；對于C，函數(shù)在定義域上不單調(diào)，C錯誤；對于D，令，可得，此時，所以，函數(shù)過定點，D正確.故選：D.6.的三個內(nèi)角，，所對邊的長分別為，，，設向量，.若，則角的大小為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以，所以，所以，所以.故選：C.7.如圖所示的是古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為豪的發(fā)現(xiàn)，則圓柱的體積和球的體積之比及圓柱的表面積和球的表面積之比分別是（）A.、 B.、 C.、1 D.、〖答案〗B〖解析〗設球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，高為，圓柱的體積，球的體積，所以，圓柱的表面積，球的表面積，所以.故選：B．8.已知銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，若存在最大值，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由余弦定理可得，則，由正弦定理可得，因為為銳角三角形，則，，所以，，又因為函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，，可得，由于為銳角三角形，則，即，解得，，因為，則，因為存在最大值，則，解得.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.如圖，以等腰直角三角形斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD，折成互相垂直的兩個平面后得到三棱錐A-BCD，則下列說法正確的是（）A.AB⊥CDB.∠ABC=C.三棱錐D-ABC是正三棱錐D.AC所在的直線與平面BCD所成的角為〖答案〗ABC〖解析〗因為面面，面面，，所以面，所以，故A正確；由A選項〖解析〗得，所以DA，DB，DC兩兩垂直，且DA=DB=DC，所以三角形ABC為正三角形，故B、C項正確；又知AD⊥平面BCD，所以AC所在直線與平面BCD所成角為∠ACD=，故D不正確.故選：ABC.10.已知，，下列結(jié)論正確的是（

）A.與同向共線單位向量是B.與的夾角余弦值為C.向量在向量上的投影向量為D.〖答案〗ACD〖解析〗，故A正確；，故B錯誤；向量在向量上的投影向量為，故C正確；由，故D正確.故選：ACD.11.某高中有學生500人，其中男生300人，女生200人，希望獲得全體學生的身高信息，按照分層抽樣的原則抽取了容量為50的樣本．經(jīng)計算得到男生身高樣本均值為170cm，方差為；女生身高樣本均值為160cm，方差為．下列說法中正確的是（）A.男生樣本量為30 B.每個女生入樣的概率均為C.所有樣本的均值為165cm D.所有樣本的方差為〖答案〗AD〖解析〗對于A：抽樣比為，所以樣本中男生有人，故選項A正確；對于B：每個女生入樣的概率等于抽樣比，故選項B不正確；對于C：由分層抽樣知，樣本中男生有人，男生有人，所有的樣本均值為：，故選項C不正確；對于D：設男生分別為，，，，平均數(shù)，，女生分別為，，，，平均數(shù)，，總體的平均數(shù)為，方差為，，因為，而，所以，同理可得，所以，故選項D正確.故選：AD.12.已知四棱臺上下底面均為正方形，其中，，，則下述正確的是（）A.該四棱臺的高為 B.該四棱臺外接球的表面積為C.與所在直線的夾角為 D.該四棱棱臺的表面積為26〖答案〗ABC〖解析〗將四棱臺的側(cè)棱延長，相交于點，形成四棱錐，設正方形和的中心分別為，由于，，則分別為中點，則，，則，則，該四棱臺的高為，故A正確；由于上下底面都是正方形，則外接球的球心在上，在平面上中，由于，，則，即點到點與點距離相等，則外接球半徑，該四棱臺外接球的表面積為，故B正確；因為，則與所在直線的夾角為，故C正確；該四棱臺的表面積為，故D錯誤.故選：ABC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則復數(shù)______．〖答案〗〖解析〗由題意，復數(shù)滿足，可得.故〖答案〗為：.14.在直三棱柱中，，，則點A到平面的距離為______．〖答案〗〖解析〗∵，，∴中，，∴，，設點A到平面的距離為h，則三棱錐的體積為，即，∴，∴，即點A到平面的距離為.故〖答案〗為：.15.現(xiàn)對一批設備的性能進行抽檢，第一次檢測每臺設備合格的概率是0.5，不合格的設備重新調(diào)試后進行第二次檢測，第二次檢測合格的概率是0.6，如果第二次檢測仍不合格，則作報廢處理．設每臺設備是否合格相互獨立，按上述方式檢測3臺設備，則恰有2臺合格的概率______．〖答案〗〖解析〗由題意可知設備連續(xù)兩次檢測不合格即可報廢，則每臺設備報廢的概率為，所以每臺設備合格的概率為，所以檢測3臺設備，則恰有2臺合格的概率為.故〖答案〗為：.16.已知，，，；若P是所在平面內(nèi)一點，，則的最大值為______．〖答案〗13〖解析〗根據(jù)題意建立如圖所示平面直角坐標系，則，，因為，所以點的坐標為，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最大值為13．故〖答案〗為：13.四、解答題：本題共6大題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.甲、乙兩人進行摸球游戲，游戲規(guī)則是：在一個不透明的盒子中裝有質(zhì)地、大小完全相同且編號分別為1，2，3，4的4個球，甲先隨機摸出一個球，記下編號，設編號為，放回后乙再隨機摸出一個球，也記下編號，設編號為，用表示摸球的結(jié)果，如果，算甲贏，否則算乙贏.（1）寫出該實驗的樣本空間；（2）這種游戲規(guī)則公平嗎？請說明理由.解：（1）由題意可得樣本空間為.（2）這種游戲規(guī)則是不公平的，理由如下：設甲贏為事件，乙贏為事件，則，為對立事件，由題意事件包含的基本事件有，，，，，，共6個，由古典概型的概率計算公式可得，所以，所以，即這種游戲規(guī)則不公平.18.已知是關于的實系數(shù)方程的一個復數(shù)根.（1）求實數(shù)的值；（2）設方程的另一根為，復數(shù)對應的向量分別是.若向量與垂直，求實數(shù)的值.解：（1）由題得，所以得（2）由（1）知，關于的實系數(shù)方程為，所以，，則，所以，則，因為與垂直，所以，解得：.19.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求角C；（2）若，的面積為，求邊a，b的值．解：（1）由，結(jié)合正弦定理得：，即，故，因為，所以，可得，所以．（2）由的面積，又，所以①，由及余弦定理得，故，從而，所以②，由①②聯(lián)立解得或．20.如圖所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面邊長為a，E是PC的中點．（1）求證：PA∥平面BDE；（2）平面PAC⊥平面BDE；（3）若二面角E﹣BD﹣C為30°，求四棱錐P﹣ABCD的體積．解：（1）證明：連接，如圖所示，∵分別為中點，∴，∵面，面，∴面．（2）∵面，面，∴，正方形中，，又∵，∴面，又∵面，∴面面．（3）取中點，連接，∵為中點，∴為的中位線，∴，又∵面，∴面，由（1）可知面，而面，所以，∵，∴為二面角的平面角，∴，在中，，∴，∴，∴．21.某精準扶貧幫扶單位為幫助定點扶貧村真正脫貧，決定在該村興辦一個年產(chǎn)量為1000萬塊的瓷磚廠，以吸納富余勞動力，提高村民收入.已知瓷磚的質(zhì)量以某質(zhì)量指標值t(單位：分，t∈[0，100])為衡量標準，為估算其經(jīng)濟效益，該瓷磚廠進行了試產(chǎn)，并從中隨機抽取了100塊瓷磚，進行了統(tǒng)計，其統(tǒng)計結(jié)果如表所示：質(zhì)量指標值t[30，40)[40，50)[50，60)[60，70)[70，80][80，90)[90，100]頻數(shù)213212524114試利用樣本分布估計總體分布的思想解決下列問題(注：每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點值).（1）在一天內(nèi)抽檢瓷磚，若出現(xiàn)了瓷磚的質(zhì)量指標值t在區(qū)間內(nèi)，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查，其中近似為樣本平均數(shù)，s近似為樣本的標準差，并已求得s≈14.若某天抽檢到的瓷磚有1塊的t值為20分，則從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？（2）已知每塊瓷磚的質(zhì)量指標值t與等級及純利潤y(單位：元)的關系如表所示：質(zhì)量指標值t[0，40)[40，60)[60，80)[80，90)[90，100]產(chǎn)品等級次品三級二級一級特級純利潤(元/塊)﹣1013510假定該瓷磚廠所生產(chǎn)的瓷磚都能銷售出去，且瓷磚廠的總投資為3000萬元(含引進生產(chǎn)線?興建廠房等一切費用在內(nèi))，問：該廠能否在一年之內(nèi)通過生產(chǎn)并銷售瓷磚收回投資？試說明理由.解：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可得=×(35×2+45×13+55×21+65×25+75×24+85×11+95×4)=65.5，又s≈14，所以﹣3s≈65.5﹣3×14=23.5，而20<23.5，即抽檢到的這塊瓷磚的t值在區(qū)間[0，﹣3s)內(nèi)，故應對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.（2）由題意可知，瓷磚的質(zhì)量指標值t與對應頻率如下表所示：質(zhì)量指標值t[0，40)[40，60)[60，80)[80，90)[90，100]產(chǎn)品等級次品三級二級一級特級純利潤(元/塊)﹣1013510頻率0.020.340.490.110.04故樣本中每塊瓷磚的平均利潤為=﹣10×0.02+1×0.34+3×0.49+5×0.11+10×0.04=2.56(元)，利用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)，可得該瓷磚廠的年盈利大約為2.56×1000=2560(萬元)，而2560萬元<3000萬元，故該瓷磚廠不能在一年之內(nèi)通過生產(chǎn)并銷售瓷磚收回投資.22.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并說明理由；（2）若對任意的恒成立，求a的取值范圍.解：（1）的定義域為，因為，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.（2）因為，所以在上的最大值為，對任意的，恒成立等價于恒成立，即，①當時，即時，，即，無解；②當時，即時，，即，又，所以；③當時，即時，，即，又，此時無解，綜上，a的取值范圍為.黑龍江省龍西北八校聯(lián)合體2022-2023學年高一下學期期末考試數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.下面是關于復數(shù)的四個命題，其中的真命題為（）A. B.C.的共軛復數(shù)為 D.的虛部為〖答案〗C〖解析〗，故A錯誤；，故B錯誤；的共軛復數(shù)為，故C正確；的虛部為，故D錯誤．故選：C．2.某人在打靶中，連續(xù)射擊3次，至多有一次中靶的互斥不對立事件是（）A.至少有一次中靶 B.三次都不中靶C.恰有兩次中靶 D.至少兩次中靶〖答案〗C〖解析〗至多一次中靶包含沒有中靶和恰有一次中靶，A選項，至少一次中靶，包含恰有一次，兩次，三次中靶三種情況，兩者都包含了恰有一次中靶，故不是互斥事件，A錯誤；B選項，三次都不中靶也都包含在兩個事件中，故不是互斥事件，B錯誤；C選項，恰有兩次中靶，與題干事件不可能同時發(fā)生，也不對立，屬于互斥不對立事件，C正確；D選項，為對立事件，故D錯誤.故選：C.3.如圖在中，是的中點，是的三等分點（靠近點），若（），則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，且，則．故選：D．4.已知m，n表示兩條不同直線，α，β表示兩個不同平面，下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗C〖解析〗對于A，因，當時，滿足，顯然不成立，A不正確；對于B，如圖，長方體中，平面為平面，平面為平面，直線為直線m，顯然有，，而，B不正確；對于C，因，則存在經(jīng)過直線m的平面，使得，則，而，有，因此，C正確；對于D，因，則在平面內(nèi)存在直線，滿足，即不成立，D不正確.故選：C.5.下列判斷正確的是（）A. B.不等式成立的必要不充分條件是C.是定義域上的減函數(shù) D.函數(shù)過定點〖答案〗D〖解析〗對于A，，A錯誤；對于B，解不等式可得或，∵或，∴不等式成立的充分不必要條件是，B錯誤；對于C，函數(shù)在定義域上不單調(diào)，C錯誤；對于D，令，可得，此時，所以，函數(shù)過定點，D正確.故選：D.6.的三個內(nèi)角，，所對邊的長分別為，，，設向量，.若，則角的大小為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以，所以，所以，所以.故選：C.7.如圖所示的是古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為豪的發(fā)現(xiàn)，則圓柱的體積和球的體積之比及圓柱的表面積和球的表面積之比分別是（）A.、 B.、 C.、1 D.、〖答案〗B〖解析〗設球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，高為，圓柱的體積，球的體積，所以，圓柱的表面積，球的表面積，所以.故選：B．8.已知銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，若存在最大值，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由余弦定理可得，則，由正弦定理可得，因為為銳角三角形，則，，所以，，又因為函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，，可得，由于為銳角三角形，則，即，解得，，因為，則，因為存在最大值，則，解得.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.如圖，以等腰直角三角形斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD，折成互相垂直的兩個平面后得到三棱錐A-BCD，則下列說法正確的是（）A.AB⊥CDB.∠ABC=C.三棱錐D-ABC是正三棱錐D.AC所在的直線與平面BCD所成的角為〖答案〗ABC〖解析〗因為面面，面面，，所以面，所以，故A正確；由A選項〖解析〗得，所以DA，DB，DC兩兩垂直，且DA=DB=DC，所以三角形ABC為正三角形，故B、C項正確；又知AD⊥平面BCD，所以AC所在直線與平面BCD所成角為∠ACD=，故D不正確.故選：ABC.10.已知，，下列結(jié)論正確的是（

）A.與同向共線單位向量是B.與的夾角余弦值為C.向量在向量上的投影向量為D.〖答案〗ACD〖解析〗，故A正確；，故B錯誤；向量在向量上的投影向量為，故C正確；由，故D正確.故選：ACD.11.某高中有學生500人，其中男生300人，女生200人，希望獲得全體學生的身高信息，按照分層抽樣的原則抽取了容量為50的樣本．經(jīng)計算得到男生身高樣本均值為170cm，方差為；女生身高樣本均值為160cm，方差為．下列說法中正確的是（）A.男生樣本量為30 B.每個女生入樣的概率均為C.所有樣本的均值為165cm D.所有樣本的方差為〖答案〗AD〖解析〗對于A：抽樣比為，所以樣本中男生有人，故選項A正確；對于B：每個女生入樣的概率等于抽樣比，故選項B不正確；對于C：由分層抽樣知，樣本中男生有人，男生有人，所有的樣本均值為：，故選項C不正確；對于D：設男生分別為，，，，平均數(shù)，，女生分別為，，，，平均數(shù)，，總體的平均數(shù)為，方差為，，因為，而，所以，同理可得，所以，故選項D正確.故選：AD.12.已知四棱臺上下底面均為正方形，其中，，，則下述正確的是（）A.該四棱臺的高為 B.該四棱臺外接球的表面積為C.與所在直線的夾角為 D.該四棱棱臺的表面積為26〖答案〗ABC〖解析〗將四棱臺的側(cè)棱延長，相交于點，形成四棱錐，設正方形和的中心分別為，由于，，則分別為中點，則，，則，則，該四棱臺的高為，故A正確；由于上下底面都是正方形，則外接球的球心在上，在平面上中，由于，，則，即點到點與點距離相等，則外接球半徑，該四棱臺外接球的表面積為，故B正確；因為，則與所在直線的夾角為，故C正確；該四棱臺的表面積為，故D錯誤.故選：ABC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則復數(shù)______．〖答案〗〖解析〗由題意，復數(shù)滿足，可得.故〖答案〗為：.14.在直三棱柱中，，，則點A到平面的距離為______．〖答案〗〖解析〗∵，，∴中，，∴，，設點A到平面的距離為h，則三棱錐的體積為，即，∴，∴，即點A到平面的距離為.故〖答案〗為：.15.現(xiàn)對一批設備的性能進行抽檢，第一次檢測每臺設備合格的概率是0.5，不合格的設備重新調(diào)試后進行第二次檢測，第二次檢測合格的概率是0.6，如果第二次檢測仍不合格，則作報廢處理．設每臺設備是否合格相互獨立，按上述方式檢測3臺設備，則恰有2臺合格的概率______．〖答案〗〖解析〗由題意可知設備連續(xù)兩次檢測不合格即可報廢，則每臺設備報廢的概率為，所以每臺設備合格的概率為，所以檢測3臺設備，則恰有2臺合格的概率為.故〖答案〗為：.16.已知，，，；若P是所在平面內(nèi)一點，，則的最大值為______．〖答案〗13〖解析〗根據(jù)題意建立如圖所示平面直角坐標系，則，，因為，所以點的坐標為，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最大值為13．故〖答案〗為：13.四、解答題：本題共6大題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.甲、乙兩人進行摸球游戲，游戲規(guī)則是：在一個不透明的盒子中裝有質(zhì)地、大小完全相同且編號分別為1，2，3，4的4個球，甲先隨機摸出一個球，記下編號，設編號為，放回后乙再隨機摸出一個球，也記下編號，設編號為，用表示摸球的結(jié)果，如果，算甲贏，否則算乙贏.（1）寫出該實驗的樣本空間；（2）這種游戲規(guī)則公平嗎？請說明理由.解：（1）由題意可得樣本空間為.（2）這種游戲規(guī)則是不公平的，理由如下：設甲贏為事件，乙贏為事件，則，為對立事件，由題意事件包含的基本事件有，，，，，，共6個，由古典概型的概率計算公式可得，所以，所以，即這種游戲規(guī)則不公平.18.已知是關于的實系數(shù)方程的一個復數(shù)根.（1）求實數(shù)的值；（2）設方程的另一根為，復數(shù)對應的向量分別是.若向量與垂直，求實數(shù)的值.解：（1）由題得，所以得（2）由（1）知，關于的實系數(shù)方程為，所以，，則，所以，則，因為與垂直，所以，解得：.19.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求角C；（2）若，的面積為，求邊a，b的值．解：（1）由，結(jié)合正弦定理得：，即，故，因為，所以，可得，所以．（2）由的面積，又，所以①，由及余弦定理得，故，從而，所以②，由①②聯(lián)立解得或．20.如圖所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面邊長為a，E是PC的中點．（1）求證：PA∥平面BDE；（2）平面PAC⊥平面BDE；（3）若二面角E﹣BD﹣C為30°，求四棱錐P﹣ABCD的體積．解：（1）證明：連接，如圖所示，∵分別為中點，∴，∵面，面，∴面．（2）∵面，面，∴，正方形中，，又∵，∴面，又∵面，∴面面．（3）取中點，連接，∵為中點，∴為的中位線，∴，又∵面，∴面，由（1）可知面，而面，所以，∵，∴為二面角的平面角，∴，在中，，∴，∴，∴．21.某精準扶貧幫扶單位為幫助定點扶貧村真正脫貧，決定在該村興辦一個年產(chǎn)量為1000萬塊的瓷磚廠，以吸納富余勞動力，提高村民收入.已知瓷磚的質(zhì)量以某質(zhì)量指標值t(單位：分，t∈[0，100])為衡量標準，為估算其經(jīng)濟效益，該瓷磚廠進行了試產(chǎn)，并從中隨機抽取了100塊瓷磚，進行了統(tǒng)計，其統(tǒng)計結(jié)果如表所示：質(zhì)量指標值t[30，40)[40，50)[50，60)[60，70)[70，