2024屆廣東省廣州市天河區(qū)高三三模考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3廣東省廣州市天河區(qū)2024屆高三三?？荚嚁?shù)學(xué)試卷一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題得：，，，或，或，所以，故A錯(cuò)誤；或，故B錯(cuò)誤；或，故C錯(cuò)誤；，故D正確；故選：D.2.當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，故?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)位于第一象限，故選：A．3.等比數(shù)列滿足，，則（）A. B. C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗依題意有，故.故選：B4.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由于，，，所以，故選：C5.已知，是雙曲線C兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，，則C的離心率為（）A. B. C. D.3〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意可知點(diǎn)在右支上，則，又，，，，則在中，，，故.故選：C．6.設(shè)向量，，當(dāng)，且時(shí)，則記作；當(dāng)，且時(shí)，則記作，有下面四個(gè)結(jié)論：①若，，則；②若且，則；③若，則對于任意向量，都有；④若，則對于任意向量，都有；其中所有正確結(jié)論的序號為（）A.①②③ B.②③④ C.①③ D.①④〖答案〗C〖解析〗對于①：若，，則，所以，故①正確；對于②：取，滿足，則，滿足，但，故②錯(cuò)誤；對于③：若，則，且，設(shè)，則，可知，所以，故③正確；對于④：取，可知，但，即，故④錯(cuò)誤；故選：C.7.已知斜三棱柱中，O為四邊形對角線的交點(diǎn)，設(shè)四棱錐的體積為，三棱柱的體積為，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)點(diǎn)O到底面、的距離分別是,三棱柱的高為,且,∴,∴，故選:B.8.在乎面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知直線，點(diǎn)為圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則到直線的距離之和的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意，為圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足，設(shè)，，點(diǎn)到直線的距離，同理可得點(diǎn)到直線的距離,所以點(diǎn)到直線的距離之和為，其中，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)取最小值.故選：D．二、選擇題9.在某次學(xué)科期末檢測后，從全部考生中選取100名考生的成績（百分制，均為整數(shù)）分成，，，，五組后，得到如下圖的頻率分布直方圖，則（）A.圖中a的值為0.005 B.低于70分的考生人數(shù)約為40人C.考生成績的平均分約為73分 D.估計(jì)考生成績第80百分位數(shù)為83分〖答案〗AC〖解析〗對于A，由，解得，故A對；對于B，低于70分的考生人數(shù)約為，故B錯(cuò)；對于C，考生成績的平均分約為，故C對；對于D，成績落在內(nèi)頻率為，落在內(nèi)頻率為，故考生成績第80百分位數(shù)落在，設(shè)為m，由，解得，故考生成績第80百分位數(shù)為82.5分，故D錯(cuò)誤；故選：AC.10.已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗，對于A，由，所以，故A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)可知，在上單調(diào)遞減，又的對稱軸為，所以，由，則，故B正確；對于C，令，，所以的對稱中心為，，若成立，則則關(guān)于點(diǎn)對稱，令，解得，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)榈闹芷跒?，，，，，，，，所?故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.在正四棱柱中，，，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)M是側(cè)面上一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列結(jié)論正確的是（）A.∥平面B.若，則點(diǎn)M的軌跡為拋物線的一部分C.以為直徑的球面與正四棱柱各棱共有16個(gè)公共點(diǎn)D.以為直徑的球面與正四棱柱各側(cè)面的交線總長度為〖答案〗AC〖解析〗根據(jù)已知條件可知，，，連結(jié)，可得四邊形是平行四邊形，所以可得，又因?yàn)槠矫?平面,所以平面，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)槭且粋€(gè)定值，所以也等于一個(gè)定值，所以一定是以為軸的一個(gè)圓錐的母線，這樣的圓錐被過頂點(diǎn)的平面所截，所得的是兩條母線，即落在側(cè)面內(nèi)的軌跡就是線段，所以選項(xiàng)B是錯(cuò)誤的；由正四棱柱的中心對稱心可知，以為直徑的球心一定是在正四棱柱的中心，根據(jù)，，可知，所以可知球心到上下兩底面各棱的中點(diǎn)的距離都等于該球的半徑，即該球與上下兩底面各棱的交點(diǎn)共有8個(gè)，又因?yàn)榍蛐牡礁鱾?cè)棱的距離是，到各頂點(diǎn)的距離是1，所以每條側(cè)棱上都有兩個(gè)點(diǎn)到球心等于該球的半徑，即總共就有16個(gè).故C選項(xiàng)正確；由上面推理易知，以為直徑的球與上下兩底面的交線是兩個(gè)完整的內(nèi)切圓，此時(shí)一個(gè)圓的周長是，而根據(jù)該球心到一個(gè)側(cè)面射影是，，，可解得，所在側(cè)面截得交線如圖：由，，可得，即，所以在該側(cè)面內(nèi)留下的交線長為，即該球面與正四棱柱各側(cè)面交線總長度為，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AC.三、填空題12.在的展開式中，若各項(xiàng)系數(shù)的和為，則的系數(shù)為______．〖答案〗〖解析〗由題知，令，則原式為，因?yàn)楦黜?xiàng)系數(shù)的和為，所以，則，則原式為，因?yàn)橥?xiàng)為，所以的系數(shù)為.故〖答案〗為：13.函數(shù)，其中且，若函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則a的一個(gè)可能取值為______．〖答案〗4（〖答案〗不唯一）〖解析〗因?yàn)榍遥艉瘮?shù)是單調(diào)函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)可知：在R上單調(diào)遞增，，解得.故〖答案〗為：4（〖答案〗不唯一）.14.在一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲中，主持人從編號為的四個(gè)外觀相同的空箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)，放入一件獎(jiǎng)品，再將四個(gè)箱子關(guān)閉，也就是主持人知道獎(jiǎng)品在哪個(gè)箱子里，當(dāng)抽獎(jiǎng)人選擇了某個(gè)箱子后，在箱子打開之前，主持人先隨機(jī)打開了另一個(gè)沒有獎(jiǎng)品的箱子，并問抽獎(jiǎng)人是否愿意更改選擇以便增加中獎(jiǎng)概率．現(xiàn)在已知甲選擇了號箱，用表示號箱有獎(jiǎng)品（），用表示主持人打開號箱子（），則______，若抽獎(jiǎng)人更改了選擇，則其中獎(jiǎng)概率為______．〖答案〗〖解析〗獎(jiǎng)品在號箱，甲選擇了號箱，主持人可打開號箱，則；若獎(jiǎng)品在號箱，其概率為，抽獎(jiǎng)人更改了選擇，則其選中獎(jiǎng)品所在箱子的概率為；若獎(jiǎng)品不在號箱，其概率為，主持人隨機(jī)打開不含獎(jiǎng)品的兩個(gè)箱子中的個(gè)，若此時(shí)抽獎(jiǎng)人更改選擇，其選中獎(jiǎng)品所在箱子概率為；若抽獎(jiǎng)人更改選擇，其中獎(jiǎng)的概率為.故〖答案〗為：；.三、解答題15.在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求A；（2）若D是邊上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且，求的取值范圍．解：（1），，又，可得，，，又，，可得，所以，解得或，，所以，即.（2）設(shè)，則，，，在中，由正弦定理得，因?yàn)闉殇J角三角形，所以且，則，所以，可得，所以，所以.16.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，記為的前n項(xiàng)和．（1）從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①數(shù)列是等差數(shù)列；②數(shù)列是等差數(shù)列；③．（2）若，在（1）的條件下，將在數(shù)列中，但不在數(shù)列中的項(xiàng)從小到大依次排列構(gòu)成數(shù)列，求數(shù)列的前20項(xiàng)和．（1）證明：選①②作條件證明③：因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若，則，不合題意，若，則，，，滿足題意，，得證選①③作條件證明②：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得，則，所以，所以，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列，得證.選②③作條件證明①：因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，，所以公差為，首項(xiàng)為，則，即，則有，兩式作差得，即，所以，即，即，又適合上式，所以，則，所以數(shù)列是等差數(shù)列，得證.（2）解：當(dāng)時(shí)，由（1）可知，，則，，當(dāng)數(shù)列取20項(xiàng)時(shí)，設(shè)數(shù)列中取項(xiàng)，去掉數(shù)列中的項(xiàng)，則有，（其中取正整數(shù)），則當(dāng)時(shí)，不等式組成立，當(dāng)時(shí)，，不等式組不成立，所以取時(shí)，設(shè)數(shù)列的前20項(xiàng)和為，則，即數(shù)列的前20項(xiàng)和是.17.在五面體中，，，，，，，平面平面.（1）證明：，并求出，之間的距離；（2）求出平面和平面夾角的余弦值.（1）證明：因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槊?，面面，所以，又，故，由于，，故，之間的距離為.（2）解：且，故四邊形是平行四邊形，故，由，可得.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平?而平面，，因?yàn)?，?，，故，中，由余弦定理可得，故，又由，，得，因?yàn)?，所?以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，2，，，0，，，0，，，0，，設(shè)平面的法向量為，，，，0，，，2，，則，取，可得，1，，設(shè)平面的法向量為，，，，，，，則，取，可得，，，則，，故平面和平面夾角的余弦值是.18.高一（1）班每周舉行歷史答題擂臺比賽，排名前2名的同學(xué)組成守擂組，下周由3位同學(xué)組成攻擂組挑戰(zhàn)，已知每位守擂同學(xué)答對每道題的概率為，每位攻擂同學(xué)答對每道題的概率為，每道題每位同學(xué)答題互不影響.每道題由每組成員依次答題，只要有一人答對，則這道題該組得1分，否則這道題該組得0分.為提高攻擂同學(xué)的積極性，第一題由攻擂組先答，若該組同學(xué)均未答對，再由守擂組答；從第二題開始，兩組進(jìn)行搶答，搶到的組回答，且不管其是否答對，另一組不能補(bǔ)答.已知搶答環(huán)節(jié)每題守擂組搶到的概率均為.（1）求攻擂組答第一題得1分的概率；（2）求守擂組在第一題后得0分的概率；（3）設(shè)為三題后守擂組的得分，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.解：（1）根據(jù)答題規(guī)則可知，若攻擂組三人均答不出，則攻擂者組答不出每道題的概率，則可知攻擂者組每道題答對的概率，所以攻擂組答第一題得1分的概率為；（2）若守擂者組第1題后得分為0分，因?yàn)榈谝活}由攻擂者先答，所以該題需攻擂組答對或者該題答錯(cuò)由守擂者組再答題并答錯(cuò)，易知守擂者組答出每道題的概率為，因此守擂組在第一題后得0分的概率；（3）易知的所有可能取值為0，1，2，3，第一題守擂者組得1分的概率為，搶答環(huán)節(jié)的題目守擂者組搶到的概率，則守擂者組每題得一分的概率為，即可知前三題中第一題守擂者組得1分的概率為，第二、三題得1分的概率均為，則，，，，因此的分布列為：0123所以.19.已知函數(shù)．（1）求的極值；（2）已知，證明：．（1）解：由題意知：定義域?yàn)?，；①?dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，無極值；②當(dāng)時(shí)，令，解得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極小值為，無極大值；綜上所述：當(dāng)時(shí)，無極值；當(dāng)時(shí)，極小值為，無極大值.（2）證明：令，則，由（1）知：，，即，令，則且，，，取，則，即，令，則，在上單調(diào)遞增，，即，，即.20.一般地，當(dāng)且時(shí)，方程表示的橢圓稱為橢圓的相似橢圓．已知橢圓，橢圓（且）是橢圓C的相似橢圓，點(diǎn)P為橢圓上異于其左，右頂點(diǎn)M，N的任意一點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，直線與橢圓C，自上而下依次交于R，Q，S，T四點(diǎn)，探究，的大小關(guān)系，并說明理由．（2）當(dāng)（e為橢圓C的離心率）時(shí)，設(shè)直線與橢圓C交于點(diǎn)A，B，直線與橢圓C交于點(diǎn)D，E，求的值．解：（1）將橢圓與直線聯(lián)立：，整理得；，，設(shè)交點(diǎn)，，由韋達(dá)定理：，同理，將與直線聯(lián)立可得：，，設(shè)交點(diǎn)，，由韋達(dá)定理：，，，即線段與線段的中點(diǎn)相同.故.（2）橢圓的離心率為，則，的方程為：，可得，由題意可知直線，斜率均存在且不為零.設(shè)，將點(diǎn)代入橢圓，，令，則；寫出直線方程：，：，已知點(diǎn)和點(diǎn)都在橢圓內(nèi)部，故一定有兩個(gè)交點(diǎn).聯(lián)立與，整理得：；設(shè)，，由韋達(dá)定理：，，，同理，將替代成可得，可得，故的值為7.廣東省廣州市天河區(qū)2024屆高三三?？荚嚁?shù)學(xué)試卷一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題得：，，，或，或，所以，故A錯(cuò)誤；或，故B錯(cuò)誤；或，故C錯(cuò)誤；，故D正確；故選：D.2.當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋?，故?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)位于第一象限，故選：A．3.等比數(shù)列滿足，，則（）A. B. C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗依題意有，故.故選：B4.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由于，，，所以，故選：C5.已知，是雙曲線C兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，，則C的離心率為（）A. B. C. D.3〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意可知點(diǎn)在右支上，則，又，，，，則在中，，，故.故選：C．6.設(shè)向量，，當(dāng)，且時(shí)，則記作；當(dāng)，且時(shí)，則記作，有下面四個(gè)結(jié)論：①若，，則；②若且，則；③若，則對于任意向量，都有；④若，則對于任意向量，都有；其中所有正確結(jié)論的序號為（）A.①②③ B.②③④ C.①③ D.①④〖答案〗C〖解析〗對于①：若，，則，所以，故①正確；對于②：取，滿足，則，滿足，但，故②錯(cuò)誤；對于③：若，則，且，設(shè)，則，可知，所以，故③正確；對于④：取，可知，但，即，故④錯(cuò)誤；故選：C.7.已知斜三棱柱中，O為四邊形對角線的交點(diǎn)，設(shè)四棱錐的體積為，三棱柱的體積為，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)點(diǎn)O到底面、的距離分別是,三棱柱的高為,且,∴,∴，故選:B.8.在乎面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知直線，點(diǎn)為圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則到直線的距離之和的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意，為圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足，設(shè)，，點(diǎn)到直線的距離，同理可得點(diǎn)到直線的距離,所以點(diǎn)到直線的距離之和為，其中，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)取最小值.故選：D．二、選擇題9.在某次學(xué)科期末檢測后，從全部考生中選取100名考生的成績（百分制，均為整數(shù)）分成，，，，五組后，得到如下圖的頻率分布直方圖，則（）A.圖中a的值為0.005 B.低于70分的考生人數(shù)約為40人C.考生成績的平均分約為73分 D.估計(jì)考生成績第80百分位數(shù)為83分〖答案〗AC〖解析〗對于A，由，解得，故A對；對于B，低于70分的考生人數(shù)約為，故B錯(cuò)；對于C，考生成績的平均分約為，故C對；對于D，成績落在內(nèi)頻率為，落在內(nèi)頻率為，故考生成績第80百分位數(shù)落在，設(shè)為m，由，解得，故考生成績第80百分位數(shù)為82.5分，故D錯(cuò)誤；故選：AC.10.已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗，對于A，由，所以，故A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)可知，在上單調(diào)遞減，又的對稱軸為，所以，由，則，故B正確；對于C，令，，所以的對稱中心為，，若成立，則則關(guān)于點(diǎn)對稱，令，解得，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)榈闹芷跒椋?，，，，，，，所?故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.在正四棱柱中，，，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)M是側(cè)面上一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列結(jié)論正確的是（）A.∥平面B.若，則點(diǎn)M的軌跡為拋物線的一部分C.以為直徑的球面與正四棱柱各棱共有16個(gè)公共點(diǎn)D.以為直徑的球面與正四棱柱各側(cè)面的交線總長度為〖答案〗AC〖解析〗根據(jù)已知條件可知，，，連結(jié)，可得四邊形是平行四邊形，所以可得，又因?yàn)槠矫?平面,所以平面，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)槭且粋€(gè)定值，所以也等于一個(gè)定值，所以一定是以為軸的一個(gè)圓錐的母線，這樣的圓錐被過頂點(diǎn)的平面所截，所得的是兩條母線，即落在側(cè)面內(nèi)的軌跡就是線段，所以選項(xiàng)B是錯(cuò)誤的；由正四棱柱的中心對稱心可知，以為直徑的球心一定是在正四棱柱的中心，根據(jù)，，可知，所以可知球心到上下兩底面各棱的中點(diǎn)的距離都等于該球的半徑，即該球與上下兩底面各棱的交點(diǎn)共有8個(gè)，又因?yàn)榍蛐牡礁鱾?cè)棱的距離是，到各頂點(diǎn)的距離是1，所以每條側(cè)棱上都有兩個(gè)點(diǎn)到球心等于該球的半徑，即總共就有16個(gè).故C選項(xiàng)正確；由上面推理易知，以為直徑的球與上下兩底面的交線是兩個(gè)完整的內(nèi)切圓，此時(shí)一個(gè)圓的周長是，而根據(jù)該球心到一個(gè)側(cè)面射影是，，，可解得，所在側(cè)面截得交線如圖：由，，可得，即，所以在該側(cè)面內(nèi)留下的交線長為，即該球面與正四棱柱各側(cè)面交線總長度為，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AC.三、填空題12.在的展開式中，若各項(xiàng)系數(shù)的和為，則的系數(shù)為______．〖答案〗〖解析〗由題知，令，則原式為，因?yàn)楦黜?xiàng)系數(shù)的和為，所以，則，則原式為，因?yàn)橥?xiàng)為，所以的系數(shù)為.故〖答案〗為：13.函數(shù)，其中且，若函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則a的一個(gè)可能取值為______．〖答案〗4（〖答案〗不唯一）〖解析〗因?yàn)榍?，若函?shù)是單調(diào)函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)可知：在R上單調(diào)遞增，，解得.故〖答案〗為：4（〖答案〗不唯一）.14.在一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲中，主持人從編號為的四個(gè)外觀相同的空箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)，放入一件獎(jiǎng)品，再將四個(gè)箱子關(guān)閉，也就是主持人知道獎(jiǎng)品在哪個(gè)箱子里，當(dāng)抽獎(jiǎng)人選擇了某個(gè)箱子后，在箱子打開之前，主持人先隨機(jī)打開了另一個(gè)沒有獎(jiǎng)品的箱子，并問抽獎(jiǎng)人是否愿意更改選擇以便增加中獎(jiǎng)概率．現(xiàn)在已知甲選擇了號箱，用表示號箱有獎(jiǎng)品（），用表示主持人打開號箱子（），則______，若抽獎(jiǎng)人更改了選擇，則其中獎(jiǎng)概率為______．〖答案〗〖解析〗獎(jiǎng)品在號箱，甲選擇了號箱，主持人可打開號箱，則；若獎(jiǎng)品在號箱，其概率為，抽獎(jiǎng)人更改了選擇，則其選中獎(jiǎng)品所在箱子的概率為；若獎(jiǎng)品不在號箱，其概率為，主持人隨機(jī)打開不含獎(jiǎng)品的兩個(gè)箱子中的個(gè)，若此時(shí)抽獎(jiǎng)人更改選擇，其選中獎(jiǎng)品所在箱子概率為；若抽獎(jiǎng)人更改選擇，其中獎(jiǎng)的概率為.故〖答案〗為：；.三、解答題15.在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求A；（2）若D是邊上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且，求的取值范圍．解：（1），，又，可得，，，又，，可得，所以，解得或，，所以，即.（2）設(shè)，則，，，在中，由正弦定理得，因?yàn)闉殇J角三角形，所以且，則，所以，可得，所以，所以.16.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，記為的前n項(xiàng)和．（1）從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①數(shù)列是等差數(shù)列；②數(shù)列是等差數(shù)列；③．（2）若，在（1）的條件下，將在數(shù)列中，但不在數(shù)列中的項(xiàng)從小到大依次排列構(gòu)成數(shù)列，求數(shù)列的前20項(xiàng)和．（1）證明：選①②作條件證明③：因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若，則，不合題意，若，則，，，滿足題意，，得證選①③作條件證明②：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得，則，所以，所以，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列，得證.選②③作條件證明①：因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，，所以公差為，首項(xiàng)為，則，即，則有，兩式作差得，即，所以，即，即，又適合上式，所以，則，所以數(shù)列是等差數(shù)列，得證.（2）解：當(dāng)時(shí)，由（1）可知，，則，，當(dāng)數(shù)列取20項(xiàng)時(shí)，設(shè)數(shù)列中取項(xiàng)，去掉數(shù)列中的項(xiàng)，則有，（其中取正整數(shù)），則當(dāng)時(shí)，不等式組成立，當(dāng)時(shí)，，不等式組不成立，所以取時(shí)，設(shè)數(shù)列的前20項(xiàng)和為，則，即數(shù)列的前20項(xiàng)和是.17.在五面體中，，，，，，，平面平面.（1）證明：，并求出，之間的距離；（2）求出平面和平面夾角的余弦值.（1）證明：因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槊?，面面，所以，又，故，由于，，故，之間的距離為.（2）解：且，故四邊形是平行四邊形，故，由，可得.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平?而平面，，因?yàn)?，?，，故，中，由余弦定理可得，故，又由，，得，因?yàn)椋?以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，2，，，0，，，0，，，0，，設(shè)平面的法向量為，，，，0，，，2，，則，取，可得，1，，設(shè)平面的法向量為，，，，，，，則，取，可得，，，則，，故平面和平面夾角的余弦值是.18.高一（1）班每周舉行歷史答題擂臺比賽，排名前2名的同學(xué)組成守擂組，下周由3位同學(xué)組成攻擂組挑戰(zhàn)，已知每位守擂同學(xué)答對每道題的概率為，每位攻擂同學(xué)答對每道題的概率為，每道題每位同學(xué)答題互不影響.每道題由每組成員依次答題，只要有一人答對，則這道題該組得1分，否則這道題該組得0分.為提高攻擂同學(xué)的積極性，第一題由攻擂組先答，若該組同學(xué)均未答對，再由守擂組答；從第二題開始，兩組進(jìn)行搶答，搶到的組回答，且不管其是否答對，另一組不能補(bǔ)答.已知搶答環(huán)節(jié)每題守擂組搶