2024屆廣東省揭陽市高三下學(xué)期二模考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3廣東省揭陽市2024屆高三下學(xué)期二?？荚嚁?shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，所以，則.故選：B.2.已知函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)的圖象對(duì)稱軸為，依題意，，得，所以的取值范圍為.故選：C.3.已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)該橢圓的長軸長為，短軸長為，由題意得，則，故選：D.4.把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)最小正周期后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得的最小正周期為，則所求函數(shù)為.故選：C5.已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，且，下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗B〖解析〗如圖，當(dāng)時(shí)，與可相交也可平行，故A錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，由平行性質(zhì)可知，必有，故B對(duì)；如圖，當(dāng)時(shí)，或，故C錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，可相交、平行，故D錯(cuò).故選：B.6.如果方程能確定y是x的函數(shù)，那么稱這種方式表示的函數(shù)是隱函數(shù)．隱函數(shù)的求導(dǎo)方法如下：在方程中，把y看成x的函數(shù)，則方程可看成關(guān)于x的恒等式，在等式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，然后解出即可．例如，求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將方程的兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，則（是中間變量,需要用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則），得．那么曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由給定定義得，對(duì)左右兩側(cè)同時(shí)求導(dǎo)，可得，將點(diǎn)代入，得，解得，故切線斜率為，得到切線方程為，化簡得方程為，故B正確.故選：B7.如圖，正四棱臺(tái)容器高為12cm，，，容器中水的高度為6cm．現(xiàn)將57個(gè)大小相同、質(zhì)地均勻的小鐵球放入容器中（57個(gè)小鐵球均被淹沒），水位上升了3cm，若忽略該容器壁的厚度，則小鐵球的半徑為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗正四棱臺(tái)容器的高為12cm，，，正四棱臺(tái)容器內(nèi)水的高度為6cm，由梯形中位線的性質(zhì)可知水面正方形的邊長為，其體積為；放入鐵球后，水位高為9cm，沿作個(gè)縱截面，從分別向底面引垂線，如圖，其中是底面邊長10cm，是容器的高為12cm，是水的高為9cm，由截面圖中比例線段的性質(zhì)，可得,此時(shí)水面邊長為4cm，此時(shí)水的體積為，放入的57個(gè)球的體積為，設(shè)小鐵球的半徑為，則，解得.故選：A.8.已知變量x與y具有線性相關(guān)關(guān)系，在研究變量x與y之間的關(guān)系時(shí)，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)后得到了一組樣本數(shù)據(jù)，利用此樣本數(shù)據(jù)求得的線性回歸方程為，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)和誤差較大，剔除這兩對(duì)數(shù)據(jù)后，求得的線性回歸方程為，且，則（）A.8 B.12 C.16 D.20〖答案〗C〖解析〗設(shè)沒剔除兩對(duì)數(shù)據(jù)前的，的平均數(shù)分別為，，剔除兩對(duì)數(shù)據(jù)后的，的平均數(shù)分別為，，因?yàn)椋?，則，因?yàn)閮蓪?duì)數(shù)據(jù)為和，所以，所以，所以，解得.故選：C.二、選擇題9.若集合和關(guān)系的Venn圖如圖所示，則可能是（）A.B.C.D.〖答案〗ACD〖解析〗根據(jù)Venn圖可知，對(duì)于A，顯然，故A正確；對(duì)于B，，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，故C正確；對(duì)于D，，或，則，故D正確.故選：ACD10.已知內(nèi)角的對(duì)邊分別為為的重心,，則（）A. B.C.的面積的最大值為 D.的最小值為〖答案〗BC〖解析〗是的重心，延長交于點(diǎn)，則是中點(diǎn)，，A錯(cuò)；由得，所以，又，即所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，，C正確；由得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是，D錯(cuò)．故選：BC．11.已知定義在上的函數(shù)滿足.若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，則（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)的周期為2D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)A，因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；對(duì)B，，，又，故.即，故的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；對(duì)C，由A，，且，又因?yàn)椋?，即，故，?由B，，故，故周期為4，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，由，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且定義域?yàn)镽，則，，又，代入可得，則，又，故，，，，又的周期為4，.則.即，則，故D正確.故選：ABD.三、填空題12.智慧農(nóng)機(jī)是指配備先進(jìn)信息技術(shù)，傳感器?自動(dòng)化和機(jī)器學(xué)習(xí)等技術(shù)，對(duì)農(nóng)業(yè)機(jī)械進(jìn)行數(shù)字化和智能化改造的農(nóng)業(yè)裝備，例如：自動(dòng)育秧機(jī)和自動(dòng)插秧機(jī).正值春耕備耕時(shí)節(jié)，某智慧農(nóng)場計(jì)劃新購2臺(tái)自動(dòng)育秧機(jī)和3臺(tái)自動(dòng)插秧機(jī)，現(xiàn)有6臺(tái)不同的自動(dòng)育秧機(jī)和5臺(tái)不同的自動(dòng)插秧機(jī)可供選擇，則共有__________種不同的選擇方案.〖答案〗150〖解析〗第一步從6臺(tái)不同的自動(dòng)育秧機(jī)選2臺(tái)，第二步從5臺(tái)不同的自動(dòng)插秧機(jī)選3臺(tái)，由乘法原理可得選擇方案數(shù)為，故〖答案〗為：150.13.已知，則______，______.〖答案〗0或21或〖解析〗依題意，，即或，所以或2；所以或.故〖答案〗為：0或2；1或14.已知分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，是的左支上一點(diǎn)，過作角平分線的垂線，垂足為為坐標(biāo)原點(diǎn)，則______.〖答案〗2〖解析〗雙曲線的實(shí)半軸長為，延長交直線于點(diǎn)，由題意有，，又是中點(diǎn)，所以，故〖答案〗為：2.四、解答題15.在等差數(shù)列中，，且等差數(shù)列的公差為4.（1）求；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.（1）解：設(shè)的公差為，則，，又，所以，所以，．（2）證明：由（1）得，所以．16.為提升基層綜合文化服務(wù)中心服務(wù)效能，廣泛開展群眾性文化活動(dòng)，某村干部在本村的村民中進(jìn)行問卷調(diào)查，將他們的成績（滿分：100分）分成7組：.整理得到如下頻率分布直方圖.（1）求的值并估計(jì)該村村民成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）從成績在內(nèi)的村民中用分層抽樣的方法選取6人，再從這6人中任選3人，記這3人中成績在內(nèi)的村民人數(shù)為，求的分布列與期望.解：（1）由圖可知，，解得，該村村民成績的平均數(shù)約為；（2）從成績在內(nèi)的村民中用分層抽樣的方法選取6人，其中成績在的村民有人，成績在的村民有4人，從中任選3人，的取值可能為1,2,3，，，，則的分布列為123故17.如圖，在四棱錐中，平面平面，底面為菱形，，是的中點(diǎn).（1）證明：平面平面.（2）求二面角的余弦值.（1）證明：取中點(diǎn)，連接，如圖，因?yàn)樗倪呅问橇庑吻?，所以和都是正三角形，又是中點(diǎn)，所以，，從而有，又，所以是矩形．又，所以，所以，即是等腰直角三角形，所以，，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取得，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取得，，所以，所以平面平面；（2）解：設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取得，設(shè)二面角的大小為，由圖知為銳角，所以．18.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，已知點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離的最大值為6.（1）求拋物線的方程.（2）設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，直線與軸分別相交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），且是線段的中點(diǎn)，試判斷直線是否經(jīng)過定點(diǎn).若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理由.解：（1）點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最大距離為，即，得,故拋物線的方程為.（2）設(shè)，則方程為，方程為,聯(lián)立與拋物線的方程可得，即,因此點(diǎn)縱坐標(biāo)為，代入拋物線方程可得點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為,同理可得點(diǎn)坐標(biāo)為,因此直線的斜率為,代入點(diǎn)坐標(biāo)可以得到方程為,整理可以得到,因此經(jīng)過定點(diǎn).19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，證明：是增函數(shù).（2）若恒成立，求取值范圍.（3）證明：（，）.（1）證明：當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋瑒t.令，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，則，故在上恒成立，是增函數(shù).（2）解：當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以.所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則，所以，即，故的取值范圍為.（3）證明：由（2）可知，當(dāng)時(shí)，有，則，所以，…，，故.廣東省揭陽市2024屆高三下學(xué)期二?？荚嚁?shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，所以，則.故選：B.2.已知函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)的圖象對(duì)稱軸為，依題意，，得，所以的取值范圍為.故選：C.3.已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)該橢圓的長軸長為，短軸長為，由題意得，則，故選：D.4.把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)最小正周期后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得的最小正周期為，則所求函數(shù)為.故選：C5.已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，且，下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗B〖解析〗如圖，當(dāng)時(shí)，與可相交也可平行，故A錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，由平行性質(zhì)可知，必有，故B對(duì)；如圖，當(dāng)時(shí)，或，故C錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，可相交、平行，故D錯(cuò).故選：B.6.如果方程能確定y是x的函數(shù)，那么稱這種方式表示的函數(shù)是隱函數(shù)．隱函數(shù)的求導(dǎo)方法如下：在方程中，把y看成x的函數(shù)，則方程可看成關(guān)于x的恒等式，在等式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，然后解出即可．例如，求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將方程的兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，則（是中間變量,需要用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則），得．那么曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由給定定義得，對(duì)左右兩側(cè)同時(shí)求導(dǎo)，可得，將點(diǎn)代入，得，解得，故切線斜率為，得到切線方程為，化簡得方程為，故B正確.故選：B7.如圖，正四棱臺(tái)容器高為12cm，，，容器中水的高度為6cm．現(xiàn)將57個(gè)大小相同、質(zhì)地均勻的小鐵球放入容器中（57個(gè)小鐵球均被淹沒），水位上升了3cm，若忽略該容器壁的厚度，則小鐵球的半徑為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗正四棱臺(tái)容器的高為12cm，，，正四棱臺(tái)容器內(nèi)水的高度為6cm，由梯形中位線的性質(zhì)可知水面正方形的邊長為，其體積為；放入鐵球后，水位高為9cm，沿作個(gè)縱截面，從分別向底面引垂線，如圖，其中是底面邊長10cm，是容器的高為12cm，是水的高為9cm，由截面圖中比例線段的性質(zhì)，可得,此時(shí)水面邊長為4cm，此時(shí)水的體積為，放入的57個(gè)球的體積為，設(shè)小鐵球的半徑為，則，解得.故選：A.8.已知變量x與y具有線性相關(guān)關(guān)系，在研究變量x與y之間的關(guān)系時(shí)，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)后得到了一組樣本數(shù)據(jù)，利用此樣本數(shù)據(jù)求得的線性回歸方程為，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)和誤差較大，剔除這兩對(duì)數(shù)據(jù)后，求得的線性回歸方程為，且，則（）A.8 B.12 C.16 D.20〖答案〗C〖解析〗設(shè)沒剔除兩對(duì)數(shù)據(jù)前的，的平均數(shù)分別為，，剔除兩對(duì)數(shù)據(jù)后的，的平均數(shù)分別為，，因?yàn)椋?，則，因?yàn)閮蓪?duì)數(shù)據(jù)為和，所以，所以，所以，解得.故選：C.二、選擇題9.若集合和關(guān)系的Venn圖如圖所示，則可能是（）A.B.C.D.〖答案〗ACD〖解析〗根據(jù)Venn圖可知，對(duì)于A，顯然，故A正確；對(duì)于B，，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，故C正確；對(duì)于D，，或，則，故D正確.故選：ACD10.已知內(nèi)角的對(duì)邊分別為為的重心,，則（）A. B.C.的面積的最大值為 D.的最小值為〖答案〗BC〖解析〗是的重心，延長交于點(diǎn)，則是中點(diǎn)，，A錯(cuò)；由得，所以，又，即所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，，C正確；由得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是，D錯(cuò)．故選：BC．11.已知定義在上的函數(shù)滿足.若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，則（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)的周期為2D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)A，因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；對(duì)B，，，又，故.即，故的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；對(duì)C，由A，，且，又因?yàn)?，故，即，故，?由B，，故，故周期為4，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，由，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且定義域?yàn)镽，則，，又，代入可得，則，又，故，，，，又的周期為4，.則.即，則，故D正確.故選：ABD.三、填空題12.智慧農(nóng)機(jī)是指配備先進(jìn)信息技術(shù)，傳感器?自動(dòng)化和機(jī)器學(xué)習(xí)等技術(shù)，對(duì)農(nóng)業(yè)機(jī)械進(jìn)行數(shù)字化和智能化改造的農(nóng)業(yè)裝備，例如：自動(dòng)育秧機(jī)和自動(dòng)插秧機(jī).正值春耕備耕時(shí)節(jié)，某智慧農(nóng)場計(jì)劃新購2臺(tái)自動(dòng)育秧機(jī)和3臺(tái)自動(dòng)插秧機(jī)，現(xiàn)有6臺(tái)不同的自動(dòng)育秧機(jī)和5臺(tái)不同的自動(dòng)插秧機(jī)可供選擇，則共有__________種不同的選擇方案.〖答案〗150〖解析〗第一步從6臺(tái)不同的自動(dòng)育秧機(jī)選2臺(tái)，第二步從5臺(tái)不同的自動(dòng)插秧機(jī)選3臺(tái)，由乘法原理可得選擇方案數(shù)為，故〖答案〗為：150.13.已知，則______，______.〖答案〗0或21或〖解析〗依題意，，即或，所以或2；所以或.故〖答案〗為：0或2；1或14.已知分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，是的左支上一點(diǎn)，過作角平分線的垂線，垂足為為坐標(biāo)原點(diǎn)，則______.〖答案〗2〖解析〗雙曲線的實(shí)半軸長為，延長交直線于點(diǎn)，由題意有，，又是中點(diǎn)，所以，故〖答案〗為：2.四、解答題15.在等差數(shù)列中，，且等差數(shù)列的公差為4.（1）求；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.（1）解：設(shè)的公差為，則，，又，所以，所以，．（2）證明：由（1）得，所以．16.為提升基層綜合文化服務(wù)中心服務(wù)效能，廣泛開展群眾性文化活動(dòng)，某村干部在本村的村民中進(jìn)行問卷調(diào)查，將他們的成績（滿分：100分）分成7組：.整理得到如下頻率分布直方圖.（1）求的值并估計(jì)該村村民成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）從成績在內(nèi)的村民中用分層抽樣的方法選取6人，再從這6人中任選3人，記這3人中成績在內(nèi)的村民人數(shù)為，求的分布列與期望.解：（1）由圖可知，，解得，該村村民成績的平均數(shù)約為；（2）從成績在內(nèi)的村民中用分層抽樣的方法選取6人，其中成績在的村民有人，成績在的村民有4人，從中任選3人，的取值可能為1,2,3，，，，則的分布列為123故17.如圖，在四棱錐中，平面平面，底面為菱形，，是的中點(diǎn).（1）證明：平面平面.（2）