2024屆河南省新鄉(xiāng)市高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3河南省新鄉(xiāng)市2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.下列集合中有無數(shù)個(gè)元素的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對于A，因?yàn)?，，則，，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)?，，則，所以，故B錯(cuò)誤；對于C，，，所以，故C錯(cuò)誤；對于D，有無數(shù)個(gè)元素.故D正確.故選：D.2.已知為純虛數(shù)，則（）A.3 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，，由是純虛數(shù)，得，所以.故選：B.3.已知向量，若與的夾角為，則（）A.10 B. C.5 D.〖答案〗A〖解析〗，則，故選：A.4.已知直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗當(dāng)時(shí)，直線，則，當(dāng)時(shí)，，解得，所以“”是“”的充要條件.故選：C.5.已知球的半徑為5，點(diǎn)到球心的距離為3，則過點(diǎn)的平面被球所截的截面面積的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由點(diǎn)到球心的距離為3，得球心到過點(diǎn)的平面距離的最大值為3，因此過點(diǎn)的平面被球所截的截面小圓半徑最小值為，所以過點(diǎn)的平面被球所截的截面面積的最小值是.故選：C.6.如圖所示的“分?jǐn)?shù)楊輝三角形”被我們稱為萊布尼茨三角形，是將楊輝三角形中的換成得到的，根據(jù)萊布尼茨三角形，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗觀察萊布尼茨三角形，知每一個(gè)數(shù)等于下一層與它緊挨的兩個(gè)數(shù)之和，因此，即D正確，ABC錯(cuò)誤.故選：D.7.傾斜角為的直線l經(jīng)過拋物線C：的焦點(diǎn)F，且與C相交于兩點(diǎn)．若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗首先，我們來證明拋物線中的焦半徑公式，如圖，對于一個(gè)拋物線，傾斜角為的直線l經(jīng)過拋物線C：的焦點(diǎn)F，且與C相交于兩點(diǎn)．作準(zhǔn)線的垂線，過作，則，解得，同理可得，如圖，不妨設(shè)在第一象限，由焦半徑公式得，，則，而，可得，故，故A正確，故選：A8.設(shè)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令函數(shù)，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，又，因此，所以.故選：B二、選擇題9.已知由5個(gè)數(shù)據(jù)組成的一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7，方差為2，現(xiàn)再加入一個(gè)數(shù)據(jù)1，組成一組新數(shù)據(jù)，則（）A.這組新數(shù)據(jù)平均數(shù)為3 B.這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6C.這組新數(shù)據(jù)的方差為 D.這組新數(shù)據(jù)的方差為〖答案〗BC〖解析〗依題意，這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.故選：BC.10.已知為空間中三條不同的直線，為空間中三個(gè)不同的平面，則下列說法中正確的是（）A.若，則B.若，則與為異面直線C.若，且，則D.若，則〖答案〗ACD〖解析〗對于A，顯然，又，則，A正確；對于B，由，得與可能相交、可能平行、也可能為異面直線，B錯(cuò)誤；對于C，由，，知點(diǎn)在平面內(nèi)，即為平面的公共點(diǎn)，而，因此，C正確；對于D，由，得，而，因此，D正確故選：ACD.11.已知定義在上的函數(shù)滿足，且，若，則（）A. B.的圖象關(guān)于直線對稱C.是周期函數(shù) D.〖答案〗BCD〖解析〗由，得，則，即，因此是周期為4的周期函數(shù)，C正確；令，得，則，因此，A錯(cuò)誤；由，得，則，因此的圖象關(guān)于直線對稱，B正確；由，得的圖象關(guān)于直線對稱，因此直線及均為圖象的對稱軸，從而，令，得，即，則，故，D正確.故〖答案〗為：BCD.三、填空題12.雙曲線的實(shí)軸長為4，則________.〖答案〗1〖解析〗顯然恒成立，則雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，于是，所以.故〖答案〗為：1.13.已知函數(shù)，若存在，使得，則的最小值為________.〖答案〗〖解析〗函數(shù)，由，得，由存在，使得，得，解得，所以的最小值為.故〖答案〗為：.14.如圖，在扇形中，半徑，，在半徑上，在半徑上，是扇形弧上的動點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則平行四邊形的周長的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，由，得，顯然，連接，由，，得，，因此的周長顯然，當(dāng)，即時(shí)，，而時(shí)，，所以的周長的取值范圍是.故〖答案〗為：四、解答題15.已知函數(shù)．（1）求的極值；（2）若過點(diǎn)可以作兩條直線與曲線相切，證明：．（1）解：因?yàn)?，所以，令，得，?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，且極小值為，無極大值.（2）證明：設(shè)切點(diǎn)為，則切線的方程為，則，整理得，由過點(diǎn)可以作兩條直線與曲線相切，可得方程有兩個(gè)不相等的正根.令，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則方程最多只有一個(gè)正根，不符合題意，當(dāng)時(shí)，若，則在上單調(diào)遞增，若，則在上單調(diào)遞減，則，故要使得方程有兩個(gè)不相等的正根，則.16.如圖，在四面體中，分別為的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，所以，且，又，所以，≌，則，有，因?yàn)?，所以，則，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.甲、乙兩個(gè)不透明的袋中各裝有6個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中甲袋中有3個(gè)紅球、3個(gè)黃球，乙袋中有1個(gè)紅球、5個(gè)黃球．（1）若從兩袋中各隨機(jī)地取出1個(gè)球，求這2個(gè)球顏色相同的概率；（2）若先從甲袋中隨機(jī)地取出2個(gè)球放入乙袋中，再從乙袋中隨機(jī)地取出2個(gè)球，記從乙袋中取出的紅球個(gè)數(shù)為，求的分布列與期望．解：（1）記這2個(gè)球顏色相同為事件，則；（2）依題意的可能取值為、、，則，，，所以的分布列為：所以18.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是，橢圓的焦距是2，（異于）是橢圓上的動點(diǎn)，直線與的斜率之積為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是內(nèi)切圓的圓心，試問平面上是否存在定點(diǎn)，使得為定值?若存在，求出該定值；若不存在，請說明理由.解：（1）設(shè)，則，即，顯然點(diǎn)，依題意，，解得，由橢圓的焦距是2，得，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，因?yàn)椋瑒t，由（1）知，則直線的方程為，即，從而點(diǎn)到直線的距離，即，即.因?yàn)?，所以，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，即，點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，長軸長為2的橢圓上，故存在定點(diǎn)，使得.19.函數(shù)稱為取整函數(shù)，也稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù),例如：.對于任意的實(shí)數(shù),定義數(shù)列滿足．（1）求的值；（2）設(shè)，從全體正整數(shù)中除去所有，剩下的正整數(shù)按從小到大的順序排列得到數(shù)列．①求的通項(xiàng)公式；②證明：對任意的，都有．（1）解：由，得，則，所以；由，得，則，所以.（2）①解：依題意，，則，對于給定的，存在唯一確定的，使得，即，而，則當(dāng)時(shí)，，設(shè)，此時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，，設(shè)，此時(shí)，即，因此，恰好跳過，即所有正整數(shù)中恰好少了，因?yàn)?，所?②證明：由，得，則為遞增數(shù)列，，當(dāng)時(shí)，，則，所以對任意的，都有.河南省新鄉(xiāng)市2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.下列集合中有無數(shù)個(gè)元素的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對于A，因?yàn)椋?，則，，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)椋?，則，所以，故B錯(cuò)誤；對于C，，，所以，故C錯(cuò)誤；對于D，有無數(shù)個(gè)元素.故D正確.故選：D.2.已知為純虛數(shù)，則（）A.3 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，，由是純虛數(shù)，得，所以.故選：B.3.已知向量，若與的夾角為，則（）A.10 B. C.5 D.〖答案〗A〖解析〗，則，故選：A.4.已知直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗當(dāng)時(shí)，直線，則，當(dāng)時(shí)，，解得，所以“”是“”的充要條件.故選：C.5.已知球的半徑為5，點(diǎn)到球心的距離為3，則過點(diǎn)的平面被球所截的截面面積的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由點(diǎn)到球心的距離為3，得球心到過點(diǎn)的平面距離的最大值為3，因此過點(diǎn)的平面被球所截的截面小圓半徑最小值為，所以過點(diǎn)的平面被球所截的截面面積的最小值是.故選：C.6.如圖所示的“分?jǐn)?shù)楊輝三角形”被我們稱為萊布尼茨三角形，是將楊輝三角形中的換成得到的，根據(jù)萊布尼茨三角形，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗觀察萊布尼茨三角形，知每一個(gè)數(shù)等于下一層與它緊挨的兩個(gè)數(shù)之和，因此，即D正確，ABC錯(cuò)誤.故選：D.7.傾斜角為的直線l經(jīng)過拋物線C：的焦點(diǎn)F，且與C相交于兩點(diǎn)．若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗首先，我們來證明拋物線中的焦半徑公式，如圖，對于一個(gè)拋物線，傾斜角為的直線l經(jīng)過拋物線C：的焦點(diǎn)F，且與C相交于兩點(diǎn)．作準(zhǔn)線的垂線，過作，則，解得，同理可得，如圖，不妨設(shè)在第一象限，由焦半徑公式得，，則，而，可得，故，故A正確，故選：A8.設(shè)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令函數(shù)，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，又，因此，所以.故選：B二、選擇題9.已知由5個(gè)數(shù)據(jù)組成的一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7，方差為2，現(xiàn)再加入一個(gè)數(shù)據(jù)1，組成一組新數(shù)據(jù)，則（）A.這組新數(shù)據(jù)平均數(shù)為3 B.這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6C.這組新數(shù)據(jù)的方差為 D.這組新數(shù)據(jù)的方差為〖答案〗BC〖解析〗依題意，這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.故選：BC.10.已知為空間中三條不同的直線，為空間中三個(gè)不同的平面，則下列說法中正確的是（）A.若，則B.若，則與為異面直線C.若，且，則D.若，則〖答案〗ACD〖解析〗對于A，顯然，又，則，A正確；對于B，由，得與可能相交、可能平行、也可能為異面直線，B錯(cuò)誤；對于C，由，，知點(diǎn)在平面內(nèi)，即為平面的公共點(diǎn)，而，因此，C正確；對于D，由，得，而，因此，D正確故選：ACD.11.已知定義在上的函數(shù)滿足，且，若，則（）A. B.的圖象關(guān)于直線對稱C.是周期函數(shù) D.〖答案〗BCD〖解析〗由，得，則，即，因此是周期為4的周期函數(shù)，C正確；令，得，則，因此，A錯(cuò)誤；由，得，則，因此的圖象關(guān)于直線對稱，B正確；由，得的圖象關(guān)于直線對稱，因此直線及均為圖象的對稱軸，從而，令，得，即，則，故，D正確.故〖答案〗為：BCD.三、填空題12.雙曲線的實(shí)軸長為4，則________.〖答案〗1〖解析〗顯然恒成立，則雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，于是，所以.故〖答案〗為：1.13.已知函數(shù)，若存在，使得，則的最小值為________.〖答案〗〖解析〗函數(shù)，由，得，由存在，使得，得，解得，所以的最小值為.故〖答案〗為：.14.如圖，在扇形中，半徑，，在半徑上，在半徑上，是扇形弧上的動點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則平行四邊形的周長的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，由，得，顯然，連接，由，，得，，因此的周長顯然，當(dāng)，即時(shí)，，而時(shí)，，所以的周長的取值范圍是.故〖答案〗為：四、解答題15.已知函數(shù)．（1）求的極值；（2）若過點(diǎn)可以作兩條直線與曲線相切，證明：．（1）解：因?yàn)?，所以，令，得，?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，且極小值為，無極大值.（2）證明：設(shè)切點(diǎn)為，則切線的方程為，則，整理得，由過點(diǎn)可以作兩條直線與曲線相切，可得方程有兩個(gè)不相等的正根.令，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則方程最多只有一個(gè)正根，不符合題意，當(dāng)時(shí)，若，則在上單調(diào)遞增，若，則在上單調(diào)遞減，則，故要使得方程有兩個(gè)不相等的正根，則.16.如圖，在四面體中，分別為的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，所以，且，又，所以，≌，則，有，因?yàn)?，所以，則，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.甲、乙兩個(gè)不透明的袋中各裝有6個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中甲袋中有3個(gè)紅球、3個(gè)黃球，乙袋中有1個(gè)紅球、5個(gè)黃球．（1）若從兩袋中各隨機(jī)地取出1個(gè)球，求這2個(gè)球顏色相同的概率；（2）若先從甲袋中隨機(jī)地取出2個(gè)球放入乙袋中，再從乙袋中隨機(jī)地取出2個(gè)球，記從乙袋中取出的紅球個(gè)數(shù)為，求的分布列與期望．解：（1）記這2個(gè)球顏色相同為事件，則；（2）依題意的可能取值為、、，則，，，所以的分布列為：所以18.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是，橢圓的焦距是2，（異于）是橢圓上的動點(diǎn)，直線與的斜率之積為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是內(nèi)切圓的圓心，試問平面上是否存在定點(diǎn)，使得為定值?若存在，求出該定值；若不存在，請說明理由.解：（1）設(shè)，則，即，顯然點(diǎn)，依題意，，解得，由橢圓的焦距是2，得，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，因?yàn)?，則，由（1）知，則直線的方程為，即，從而點(diǎn)到直線的距離，即，即.因?yàn)?，所以，所以，所以，即，因?yàn)椋?/p>