第2章 一元二次方程全章復(fù)習(xí)攻略與檢測(cè)卷（1個(gè)概念1個(gè)解法2個(gè)關(guān)系1個(gè)應(yīng)用3種數(shù)學(xué)思想）（解析版）

【關(guān)注公眾號(hào)：林樾數(shù)學(xué)】免費(fèi)獲取更多初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料第2章一元二次方程全章復(fù)習(xí)攻略與檢測(cè)卷【目錄】倍速學(xué)習(xí)五種方法【1個(gè)概念】一元二次方程定義【1個(gè)解法】一元二次方程的解法【2個(gè)關(guān)系】1.一元二次方程的根的判別式2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【1個(gè)應(yīng)用】一元二次方程應(yīng)用【3種思想】1.整理思想2.轉(zhuǎn)化思想3.分類(lèi)討論思想【檢測(cè)卷】【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【1個(gè)概念】一元二次方程定義【例1】下列選項(xiàng)中，是關(guān)于x的一元二次方程的是()A．x2＋eq\f(1,x2)＝1B．3x2－2xy－5y2＝0C．(x－1)(x－2)＝3D．a(chǎn)x2＋bx＋c＝0解析：選項(xiàng)A中的方程分母含有未知數(shù)，所以它不是一元二次方程；選項(xiàng)B中的方程含有2個(gè)未知數(shù)，所以它不是一元二次方程；當(dāng)a＝0時(shí)，選項(xiàng)D中的方程不含二次項(xiàng)，所以它不是一元二次方程，排除A、B、D，故選C.方法總結(jié)：判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程，必須將方程化簡(jiǎn)后再進(jìn)行判斷．一元二次方程的三個(gè)條件：一是方程兩邊都是整式；二是只含有一個(gè)未知數(shù)；三是未知數(shù)的最高次數(shù)是2.上述三個(gè)條件必須同時(shí)滿(mǎn)足，缺一不可．【例2】關(guān)于x的方程(k＋1)x|k－1|＋kx＋1＝0是一元二次方程，則k的值為_(kāi)_______．解析：由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|k－1|＝2，,k＋1≠0，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝3或k＝－1，,k≠－1.))∴k＝3.方法總結(jié)：由一元二次方程的概念滿(mǎn)足的條件：未知數(shù)最高次數(shù)為2，構(gòu)造方程，解出字母取值，并利用二次項(xiàng)系數(shù)不為0排除使二次項(xiàng)系數(shù)為0的字母取值，從而確定字母取值．【例3】將下列方程化為一元二次方程的一般形式，并指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)．(1)3x2－2＝5x；(2)9x2＝16；(3)2x(3x＋1)＝17；(4)(3x－5)(x＋1)＝7x－2.解析：先分別將各方程化為一般形式，再指出它們的各部分的名稱(chēng)．解：(1)方程化為一般形式為3x2－5x－2＝0，二次項(xiàng)系數(shù)是3，一次項(xiàng)系數(shù)是－5，常數(shù)項(xiàng)是－2.(2)方程化為一般形式為9x2－16＝0，二次項(xiàng)系數(shù)是9，一次項(xiàng)系數(shù)是0，常數(shù)項(xiàng)是－16.(3)方程化為一般形式為6x2＋2x－17＝0，二次項(xiàng)系數(shù)是6，一次項(xiàng)系數(shù)是2，常數(shù)項(xiàng)是－17.(4)方程化為一般形式為3x2－9x－3＝0，二次項(xiàng)系數(shù)是3，一次項(xiàng)系數(shù)是－9，常數(shù)項(xiàng)是－3.方法總結(jié)：求一元二次方程的各項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須先把方程化為一般形式，特別要注意確認(rèn)各項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)一定要包括前面的符號(hào)．【1個(gè)解法】一元二次方程的解法【例4】運(yùn)用開(kāi)平方法解下列方程：(1)4x2＝9；(2)(x＋3)2－2＝0.解析：(1)先把方程化為x2＝a(a≥0)的形式；(2)原方程可變形為(x＋3)2＝2，則x＋3是2的平方根，從而可以運(yùn)用開(kāi)平方法求解．解：(1)由4x2＝9，得x2＝eq\f(9,4)，兩邊直接開(kāi)平方，得x＝±eq\f(3,2)，∴原方程的解是x1＝eq\f(3,2)，x2＝－eq\f(3,2).(2)移項(xiàng)，得(x＋3)2＝2.兩邊直接開(kāi)平方，得x＋3＝±eq\r(2).∴x＋3＝eq\r(2)或x＋3＝－eq\r(2).∴原方程的解是x1＝eq\r(2)－3，x2＝－eq\r(2)－3.方法總結(jié)：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通過(guò)降次，把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解的，這是解一元二次方程的基本思想；一般地，對(duì)于形如x2＝a(a≥0)的方程，根據(jù)平方根的定義，可解得x1＝eq\r(,a)，x2＝－eq\r(,a).【例5】用配方法解方程：x2－4x＋1＝0.解析：二次項(xiàng)系數(shù)是1時(shí)，只要先把常數(shù)項(xiàng)移到右邊，然后左、右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程配成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式再用直接開(kāi)平方法求解．解：移項(xiàng)，得x2－4x＝－1.配方，得x2－4x＋(－2)2＝－1＋(－2)2.即(x－2)2＝3.解這個(gè)方程，得x－2＝±eq\r(3).∴x1＝2＋eq\r(3)，x2＝2－eq\r(3).方法總結(jié)：用配方法解一元二次方程，實(shí)質(zhì)上就是對(duì)一元二次方程變形，轉(zhuǎn)化成開(kāi)平方所需的形式．【例6】用公式法解下列方程：(1)2x2＋x－6＝0；(2)x2＋4x＝2；(3)5x2－4x＋12＝0；(4)4x2＋4x＋10＝1－8x.解析：方程(1)(3)是一元二次方程的一般形式，可以直接確定a，b，c的值，并計(jì)算b2－4ac的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根；方程(2)(4)則需要先化成一般形式，再求解．解：(1)這里a＝2，b＝1，c＝－6，b2－4ac＝12－4×2×(－6)＝1＋48＝49.∴x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq\f(－1±\r(49),2×2)＝eq\f(－1±7,4)，即原方程的解是x1＝－2，x2＝eq\f(3,2).(2)將方程化為一般形式，得x2＋4x－2＝0.∵b2－4ac＝24，∴x＝eq\f(－4±\r(24),2)＝－2±eq\r(6).∴原方程的解是x1＝－2＋eq\r(6)，x2＝－2－eq\r(6).(3)∵b2－4ac＝－224<0，∴原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．(4)整理，得4x2＋12x＋9＝0.∵b2－4ac＝0，∴x1＝x2＝－eq\f(3,2).方法總結(jié)：用公式法解一元二次方程時(shí)，一定要先將方程化為一般形式，再確定a，b，c的值．【例7】用因式分解法解下列方程：(1)x2＋5x＝0；(2)(x－5)(x－6)＝x－5.解析：變形后方程右邊是零，左邊是能分解的二次三項(xiàng)式，可用因式分解法．解：(1)原方程轉(zhuǎn)化為x(x＋5)＝0，∴x＝0或x＋5＝0，∴原方程的解為x1＝0，x2＝－5；(2)原方程轉(zhuǎn)化為(x－5)(x－6)－(x－5)＝0，∴(x－5)[(x－6)－1]＝0，∴(x－5)(x－7)＝0，∴x－5＝0或x－7＝0，∴原方程的解為x1＝5，x2＝7.【例8】用因式分解法解下列方程：(1)x2－6x＝－9；(2)4(x－3)2－25(x－2)2＝0.解：(1)原方程可變形為：x2－6x＋9＝0，則(x－3)2＝0，∴x－3＝0，因此原方程的解為：x1＝x2＝3.(2)[2(x－3)]2－[5(x－2)]2＝0，[2(x－3)＋5(x－2)][2(x－3)－5(x－2)]＝0，(7x－16)(－3x＋4)＝0，∴7x－16＝0或－3x＋4＝0，∴原方程的解為x1＝eq\f(16,7)，x2＝eq\f(4,3).方法總結(jié)：因式分解法解一元二次方程的一般步驟是：①將方程的右邊化為0；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每一個(gè)因式分別為零，就得到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解．【2個(gè)關(guān)系】1.一元二次方程的根的判別式【例9】不解方程，判斷下列方程的根的情況．(1)2x2＋3x－4＝0；(2)x2－x＋eq\f(1,4)＝0；(3)x2－x＋1＝0.解析：根據(jù)根的判別式我們可以知道當(dāng)b2－4ac≥0時(shí)，方程才有實(shí)數(shù)根，而b2－4ac<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．由此我們不解方程就能判斷一元二次方程根的情況．解：(1)2x2＋3x－4＝0，a＝2，b＝3，c＝－4，∴b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(2)x2－x＋eq\f(1,4)＝0，a＝1，b＝－1，c＝eq\f(1,4).∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×eq\f(1,4)＝0.∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．(3)x2－x＋1＝0，a＝1，b＝－1，c＝1.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．方法總結(jié)：給出一個(gè)一元二次方程，不解方程，可由b2－4ac的值的符號(hào)來(lái)判斷方程根的情況．當(dāng)b2－4ac＞0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2－4ac＝0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2－4ac＜0時(shí)，一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根．【例10】已知：關(guān)于x的方程2x2＋kx－1＝0，求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．證明：Δ＝k2－4×2×(－1)＝k2＋8，無(wú)論k取何值，k2≥0，所以k2＋8＞0，即Δ＞0，∴方程2x2＋kx－1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．方法總結(jié)：要說(shuō)明一個(gè)含字母系數(shù)的一元二次方程的根的情況，只需求出該方程根的判別式，分析其正、負(fù)情況，即可得出結(jié)論．2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【例11】已知m、n是方程2x2－x－2＝0的兩實(shí)數(shù)根，則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的值為()A．－1B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)D．1解析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可以求出m＋n和mn的值，再將原代數(shù)式變形后，整體代入計(jì)算即可．因?yàn)閙、n是方程2x2－x－2＝0的兩實(shí)數(shù)根，所以m＋n＝eq\f(1,2)，mn＝－1，eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\f(n＋m,mn)＝eq\f(\f(1,2),－1)＝－eq\f(1,2).故選C.方法總結(jié)：解題時(shí)先把代數(shù)式變形成與兩根和、積有關(guān)的形式，注意前提：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，判別式大于或等于0.【例12】已知一元二次方程的兩根分別是4和－5，則這個(gè)一元二次方程是()A．x2－6x＋8＝0B．x2＋9x－1＝0C．x2－x－6＝0D．x2＋x－20＝0解析：∵方程的兩根分別是4和－5，設(shè)兩根為x1，x2，則x1＋x2＝－1，x1·x2＝－20.如果令方程ax2＋bx＋c＝0中，a＝1，則－b＝－1，c＝－20.∴方程為x2＋x－20＝0.故選D.方法總結(jié)：先把所構(gòu)造的方程的二次項(xiàng)系數(shù)定為1，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系確定一元二次方程一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．【例13】已知x＝4是一元二次方程x2－3x＋c＝0的一個(gè)根，則另一個(gè)根為_(kāi)_______．解析：設(shè)另一根為x1，則由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋4＝3，∴x1＝－1.故答案為x＝－1.方法總結(jié)：解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系列出方程即可解決．【例14】關(guān)于x的方程x2－ax＋2a＝0的兩根的平方和是5，則a的值是()A．－1或5B．1C．5D．－1解析：將兩根平方和轉(zhuǎn)化為用兩根和、積表示的形式，從而利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解決．設(shè)方程兩根為x1，x2，由題意，得xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝5.∴(x1＋x2)2－2x1x2＝5.∵x1＋x2＝a，x1x2＝2a，∴a2－2×2a＝5.解得a1＝5，a2＝－1.又∵Δ＝a2－8a，當(dāng)a＝5時(shí)，Δ<0，此時(shí)方程無(wú)實(shí)數(shù)根，所以舍去a＝5.當(dāng)a＝－1時(shí)，Δ>0，此時(shí)方程有兩實(shí)數(shù)根．所以取a＝－1.故選D.方法總結(jié)：解答此類(lèi)題的關(guān)鍵是將與方程兩根有關(guān)的式子轉(zhuǎn)化為用兩根和、積表示的形式，從而利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解決問(wèn)題．注意不要忽略題目中的隱含條件Δ≥0，導(dǎo)致解答不全面．【例15】已知x1、x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(1)是否存在實(shí)數(shù)a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由；(2)求使(x1＋1)(x2＋1)為負(fù)整數(shù)的實(shí)數(shù)a的整數(shù)值．解：(1)根據(jù)題意，得Δ＝(2a)2－4×a(a－6)＝24a≥0.解得a≥0.又∵a－6≠0，∴a≠6.由根與系數(shù)關(guān)系得：x1＋x2＝－eq\f(2a,a－6)，x1x2＝eq\f(a,a－6).由－x1＋x1x2＝4＋x2得x1＋x2＋4＝x1x2，∴－eq\f(2a,a－6)＋4＝eq\f(a,a－6)，解得a＝24.經(jīng)檢驗(yàn)a＝24是方程－eq\f(2a,a－6)＋4＝eq\f(a,a－6)的解．即存在a＝24，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立．(2)原式＝x1＋x2＋x1x2＋1＝－eq\f(2a,a－6)＋eq\f(a,a－6)＋1＝eq\f(6,6－a)為負(fù)整數(shù)，則6－a為－1或－2，－3，－6.解得a＝7或8，9，12.【1個(gè)應(yīng)用】一元二次方程應(yīng)用【例16】有一個(gè)邊長(zhǎng)為11cm的正方形和一個(gè)長(zhǎng)為13cm，寬為8cm的矩形，要作一個(gè)面積為這兩個(gè)圖形的面積之和的正方形，邊長(zhǎng)應(yīng)為多少厘米？分析：要求新正方形的邊長(zhǎng)，可先求出原正方形和矩形的面積之和，然后再用開(kāi)平方計(jì)算．解：設(shè)新正方形的邊長(zhǎng)為xcm，根據(jù)題意得x2＝112＋13×8，即x2＝225，解得x＝±15.因?yàn)檫呴L(zhǎng)為正，所以x＝－15不合題意，舍去，所以只取x＝15.答：新正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)為15cm.方法總結(jié)：在解決與平方根有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，除了根據(jù)題意解題外，有時(shí)還要結(jié)合實(shí)際，把平方根中不符合實(shí)際情況的負(fù)值舍去．【例17】若a、b、c為△ABC的三邊，且a、b、c滿(mǎn)足a2－ac－ab＋bc＝0，試判斷△ABC的形狀．解析：先分解因式，確定a，b，c的關(guān)系，再判斷三角形的形狀．解：∵a2－ac－ab＋bc＝0，∴(a－b)(a－c)＝0，∴a－b＝0或a－c＝0，∴a＝c或a＝b，∴△ABC為等腰三角形．【例18】有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有64人患了流感．(1)求每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了多少個(gè)人？(2)如果不及時(shí)控制，第三輪將又有多少人被傳染？解析：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，根據(jù)題意可知，在第一輪，有x個(gè)人被傳染，此時(shí)，共有(1＋x)人患了流感；到了第二輪，患流感的(1＋x)人作為“傳染源”，每個(gè)人又傳染給了x個(gè)人，這樣，在第二輪中新增加的患了流感的人有x(1＋x)人，根據(jù)等量關(guān)系可列一元二次方程解答．解：(1)設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，由題意，得1＋x＋x(1＋x)＝64，解之，得x1＝7，x2＝－9(不合題意，舍去)．答：每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了7個(gè)人．(2)7×64＝448(人)．答：又將有448人被傳染．方法總結(jié)：建立數(shù)學(xué)模型，利用一元二次方程來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題．讀懂題意，正確的列出方程是解題的關(guān)鍵．【例19】月季生長(zhǎng)速度很快，開(kāi)花鮮艷誘人，且枝繁葉茂．現(xiàn)有一棵月季，它的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干、小分支的總數(shù)是73.求每個(gè)支干長(zhǎng)出多少小分支？解：設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出x個(gè)小分支，根據(jù)題意得：1＋x＋x2＝73，解得：x1＝8，x2＝－9(舍去)．答：每個(gè)支干長(zhǎng)出8個(gè)小分支．【例20】某工廠一種產(chǎn)品2013年的產(chǎn)量是100萬(wàn)件，計(jì)劃2015年產(chǎn)量達(dá)到121萬(wàn)件．假設(shè)2013年到2015年這種產(chǎn)品產(chǎn)量的年增長(zhǎng)率相同．(1)求2013年到2015年這種產(chǎn)品產(chǎn)量的年增長(zhǎng)率；(2)2014年這種產(chǎn)品的產(chǎn)量應(yīng)達(dá)到多少萬(wàn)件？解析：(1)通過(guò)增長(zhǎng)率公式列出一元二次方程即可求出增長(zhǎng)率；(2)依據(jù)求得的增長(zhǎng)率，代入2014年產(chǎn)量的表達(dá)式即可解決．解：(1)設(shè)這種產(chǎn)品產(chǎn)量的年增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列方程得100(1＋x)2＝121，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(舍去)．答：這種產(chǎn)品產(chǎn)量的年增長(zhǎng)率為10%.(2)100×(1＋10%)＝110(萬(wàn)件)．答：2014年這種產(chǎn)品的產(chǎn)量應(yīng)達(dá)到110萬(wàn)件．方法總結(jié)：增長(zhǎng)率問(wèn)題中可以設(shè)基數(shù)為a，平均增長(zhǎng)率為x，增長(zhǎng)的次數(shù)為n，則增長(zhǎng)后的結(jié)果為a(1＋x)n；而增長(zhǎng)率為負(fù)數(shù)時(shí)，則降低后的結(jié)果為a(1－x)n.【例21】某工廠使用舊設(shè)備生產(chǎn)，每月生產(chǎn)收入是90萬(wàn)元，每月另需支付設(shè)備維護(hù)費(fèi)5萬(wàn)元；從今年1月份起使用新設(shè)備，生產(chǎn)收入提高且無(wú)設(shè)備維護(hù)費(fèi)，使用當(dāng)月生產(chǎn)收入達(dá)100萬(wàn)元，1至3月份生產(chǎn)收入以相同的百分率逐月增長(zhǎng)，累計(jì)達(dá)364萬(wàn)元，3月份后，每月生產(chǎn)收入穩(wěn)定在3月份的水平．(1)求使用新設(shè)備后，2月、3月生產(chǎn)收入的月增長(zhǎng)率；(2)購(gòu)進(jìn)新設(shè)備需一次性支付640萬(wàn)元，使用新設(shè)備幾個(gè)月后，該廠所得累計(jì)利潤(rùn)不低于使用舊設(shè)備的累計(jì)利潤(rùn)？(累計(jì)利潤(rùn)是指累計(jì)生產(chǎn)收入減去舊設(shè)備維護(hù)費(fèi)或新設(shè)備購(gòu)進(jìn)費(fèi))解析：(1)設(shè)2月，3月生產(chǎn)收入的月增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意建立等量關(guān)系，即3個(gè)月之和為364萬(wàn)元，解方程時(shí)要對(duì)結(jié)果進(jìn)行合理取舍；(2)根據(jù)題意，建立不等關(guān)系：前三個(gè)月的生產(chǎn)收入＋以后幾個(gè)月的收入減去一次性支付640萬(wàn)元大于或等于舊設(shè)備幾個(gè)月的生產(chǎn)收入－每個(gè)月的維護(hù)費(fèi)，然后解不等式．解：(1)設(shè)2月，3月生產(chǎn)收入的月增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意有100＋100(1＋x)＋100(1＋x)2＝364，即25x2＋75x－16＝0，解得，x1＝－3.2(舍)，x2＝0.2，所以2月，3月生產(chǎn)收入的月增長(zhǎng)率為20%.(2)設(shè)m個(gè)月后，使用新設(shè)備所得累計(jì)利潤(rùn)不低于使用舊設(shè)備的累計(jì)利潤(rùn)，根據(jù)題意有364＋100(1＋20%)2(m－3)－640≥90m－5m，解得，m≥12.所以，使用新設(shè)備12個(gè)月后所得累計(jì)利潤(rùn)不低于使用舊設(shè)備的累計(jì)利潤(rùn)．方法總結(jié)：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系或是題目中給出的數(shù)量關(guān)系得到方程，通過(guò)解方程解決實(shí)際問(wèn)題，當(dāng)方程的解不只一個(gè)時(shí)，要根據(jù)題意及實(shí)際問(wèn)題確定出符合題意的解．【例22】一學(xué)校為了綠化校園環(huán)境，向某園林公司購(gòu)買(mǎi)了一批樹(shù)苗，園林公司規(guī)定：如果購(gòu)買(mǎi)樹(shù)苗不超過(guò)60棵，每棵售價(jià)為120元；如果購(gòu)買(mǎi)樹(shù)苗超過(guò)60棵，每增加1棵，所出售的這批樹(shù)苗每棵售價(jià)均降低0.5元，但每棵樹(shù)苗最低售價(jià)不得少于100元．該校最終向園林公司支付樹(shù)苗款8800元．請(qǐng)問(wèn)該校共購(gòu)買(mǎi)了多少棵樹(shù)苗？解析：根據(jù)條件設(shè)該校共購(gòu)買(mǎi)了x棵樹(shù)苗，根據(jù)“售價(jià)＝數(shù)量×單價(jià)”就可求解．解：∵60棵樹(shù)苗售價(jià)為120元×60＝7200元<8800元，∴該校購(gòu)買(mǎi)樹(shù)苗超過(guò)60棵．設(shè)該校共購(gòu)買(mǎi)了x棵樹(shù)苗，由題意得x[120－0.5(x－60)]＝8800，解得x1＝220，x2＝80.當(dāng)x1＝220時(shí)，120－0.5(220－60)＝40＜100，∴x1＝220不合題意，舍去；當(dāng)x2＝80時(shí)，120－0.5(80－60)＝110＞100，∴x2＝80，∴x＝80.答：該校共購(gòu)買(mǎi)了80棵樹(shù)苗．方法總結(jié)：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系或題目中給出的數(shù)量關(guān)系得到方程，當(dāng)求出的方程的解不只一個(gè)時(shí)，要根據(jù)題意及實(shí)際問(wèn)題確定出符合題意的解．【例23】菜農(nóng)李偉種植的某蔬菜計(jì)劃以每千克5元的價(jià)格對(duì)外批發(fā)銷(xiāo)售．由于部分菜農(nóng)盲目擴(kuò)大種植，造成該蔬菜滯銷(xiāo)，李偉為了加快銷(xiāo)售，減少損失，對(duì)價(jià)格經(jīng)過(guò)兩次下調(diào)后，以每千克3.2元的價(jià)格對(duì)外批發(fā)銷(xiāo)售．(1)求平均每次下調(diào)的百分率；(2)小華準(zhǔn)備到李偉處購(gòu)買(mǎi)5噸該蔬菜，因數(shù)量多，李偉決定再給予兩種優(yōu)惠方案以供選擇：方案一，打九折銷(xiāo)售；方案二，不打折，每噸優(yōu)惠現(xiàn)金200元．試問(wèn)小華選擇哪種方案更優(yōu)惠？請(qǐng)說(shuō)明理由．分析：第(1)小題設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x，列一元二次方程求出x，舍去不合題意的解；第(2)小題通過(guò)計(jì)算進(jìn)行比較即可求解．解：(1)設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x，由題意，得5(1－x)2＝3.2，解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(舍去)．∴平均每次下調(diào)的百分率為20%；(2)小華選擇方案一購(gòu)買(mǎi)更優(yōu)惠，理由如下：方案一所需費(fèi)用為：3.2×0.9×5000＝14400(元)；方案二所需費(fèi)用為：3.2×5000－200×5＝15000(元)，∵14400＜15000，∴小華選擇方案一購(gòu)買(mǎi)更優(yōu)惠．【例24】現(xiàn)有一塊長(zhǎng)80cm、寬60cm的矩形鋼片，將它的四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為xcm的小正方形，做成一個(gè)底面積為1500cm2的無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子，求小正方形的邊長(zhǎng)．解析：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則長(zhǎng)方體盒子底面的長(zhǎng)、寬均可用含x的代數(shù)式表示，再根據(jù)面積，即可建立等量關(guān)系，列出方程．解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則可得這個(gè)長(zhǎng)方體盒子的底面的長(zhǎng)是(80－2x)cm，寬是(60－2x)cm，根據(jù)矩形的面積的計(jì)算方法即可表示出矩形的底面積，方程可列為(80－2x)(60－2x)＝1500，整理得x2－70x＋825＝0，解得x1＝55，x2＝15.又60－2x>0，∴x＝55(舍)．∴小正方形的邊長(zhǎng)為15cm.方法總結(jié)：要從已知條件中找出關(guān)鍵的與所求問(wèn)題有關(guān)的信息，通過(guò)圖形求出面積，解題的關(guān)鍵是熟記各種圖形的面積公式，列出符合題意的方程，整理即可．【例25】如圖，在一塊長(zhǎng)為22米，寬為17米的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路(兩條道路分別與矩形的一條邊平行)，剩余部分種上草坪，使草坪面積為300平方米．設(shè)道路寬為x米，根據(jù)題意可列出的方程為_(kāi)_____________．解析：解法一：把兩條道路平移到靠近矩形的一邊上，用含x的代數(shù)式表示草坪的長(zhǎng)為(22－x)米，寬為(17－x)米，根據(jù)草坪的面積為300平方米可列出方程(22－x)(17－x)＝300.解法二：根據(jù)面積的和差可列方程：22×17－22x－17x＋x2＝300.方法總結(jié)：解答與道路有關(guān)的面積問(wèn)題，可以根據(jù)圖形面積的和差關(guān)系，尋找相等關(guān)系建立方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移構(gòu)建特殊的圖形，并利用面積建立方程求解．【例26】如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AC向點(diǎn)C以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)．(1)如果P、Q同時(shí)出發(fā)，幾秒鐘后，可使△PCQ的面積為8平方厘米？(2)點(diǎn)P、Q在移動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半．若存在，求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若不存在，說(shuō)明理由．解析：這是一道動(dòng)態(tài)問(wèn)題，可設(shè)出未知數(shù)，表示出PC與CQ的長(zhǎng)，根據(jù)面積公式建立方程求解．解：(1)設(shè)xs后，可使△PCQ的面積為8cm2，所以AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm.則根據(jù)題意，得eq\f(1,2)·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x＋8＝0，解這個(gè)方程，得x1＝2，x2＝4.所以P、Q同時(shí)出發(fā)，2s或4s后可使△PCQ的面積為8cm2.(2)設(shè)點(diǎn)P出發(fā)x秒后，△PCQ的面積等于△ABC面積的一半．則根據(jù)題意，得eq\f(1,2)(6－x)·2x＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×6×8.整理，得x2－6x＋12＝0.由于此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以不存在使△PCQ的面積等于△ABC面積一半的時(shí)刻．【3種思想】1.整理思想【例27】（2023春?玄武區(qū)期中）若m是方程x2+x﹣1＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式2023﹣m2﹣m的值為．【分析】先根據(jù)一元二次方程解的定義得到m2+m＝1，然后利用整體代入的方法計(jì)算代數(shù)式的值．【解答】解：∵x＝m是一元二次方程x2+x﹣1＝0的一個(gè)根，∴m2+m﹣1＝0，∴m2+m＝1，∴2023﹣m2﹣m＝2023﹣（m2+m）＝2023﹣1＝2022．故答案為：2022．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．【例28】．（2023春?沭陽(yáng)縣月考）已知m是方程x2+2x﹣1＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式2m2+4m+2021的值為．【分析】由方程根的定義得到m2+2m＝1，整體代入2m2+4m+2021即可得到答案．【解答】解：∵m是方程x2+2x﹣1＝0的一個(gè)根，∴m2+2m﹣1＝0，∴m2+2m＝1，∴2m2+4m+2021＝2（m2+2m）+2021＝2×1+2021＝2023．故答案為：2023．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的解和代數(shù)式的值，熟練掌握一元二次方程解的定義是解題的關(guān)鍵．【例29】．（2023春?興化市月考）已知m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的一個(gè)根，則2m2+4m的值是．【分析】由m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，可得m2+2m＝1，即可得2m2+4m﹣4＝2（m2+2m）﹣4＝﹣2．【解答】解：∵m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，∴m2+2m﹣1＝0，即m2+2m＝1，∴2m2+4m＝2（m2+2m）＝2×1＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的根，解題的關(guān)鍵是整體代入思想的應(yīng)用．2.轉(zhuǎn)化思想【例30】（2023?沭陽(yáng)縣模擬）若x＝1是關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，則2021﹣2a﹣4b的值為．【分析】將x＝1代入原方程，可得出a+2b＝﹣1，再將其代入2021﹣2a﹣4b＝2021﹣2（a+2b）中，即可求出結(jié)論．【解答】解：將x＝1代入原方程得：1+a+2b＝0，∴a+2b＝﹣1，∴2021﹣2a﹣4b＝2021﹣2（a+2b）＝2021﹣2×（﹣1）＝2023．故答案為：2023．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解，將方程的解代入原方程，求出a+2b是解題的關(guān)鍵．【例31】（2022秋?丹徒區(qū)期末）已知a是方程2x2﹣x﹣3＝0的一個(gè)根，則6a2﹣3a+3的值等于．【分析】根據(jù)方程的根的定義，把a(bǔ)代入方程求出2a2﹣a﹣3＝0，把6a2﹣3a+3化為（2a2﹣a）+3即可求得答案．【解答】解：∵a是方程2x2﹣x﹣3＝0的一個(gè)根，∴2a2﹣a﹣3＝0，整理得，2a2﹣a＝3，∴6a2﹣3a+3＝3（2a2﹣a）+3＝3×3+3＝12．故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【例32】．（2023?鼓樓區(qū)二模）解方程：x（x﹣6）＝﹣4（x﹣6）．【分析】先移項(xiàng)得到x（x﹣6）+4（x﹣6）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：x（x﹣6）＝﹣4（x﹣6），x（x﹣6）+4（x﹣6）＝0，（x﹣6）（x+4）＝0，∴x﹣6＝0或x+4＝0∴x1＝6，x2＝﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．3.分類(lèi)討論思想【例33】．（2022秋?阜寧縣期中）如圖，在矩形ABCD中，DC＝14cm，AD＝6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CD以1cm/s的速度向點(diǎn)D移動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)即停．（1）運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，PQ能將矩形ABCD的面積分成2：5兩部分？（2）運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，P，Q兩點(diǎn)之間的距離是10cm？【分析】設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，根據(jù)題意可得0≤t≤；（1）由題意可得CQ＝tcm，AP＝4tcm，即知S梯形PADQ＝＝9t+42，當(dāng)S梯形PADQ：S梯形BPQC＝5：2時(shí)，9t+42＝×14×6，當(dāng)S梯形PADQ：S梯形BPQC＝2：5時(shí)，9t+42＝×14×6，解方程可得答案；（2）過(guò)P作PM⊥CD于M，可證明四邊形ADMP是矩形，故∠PMD＝∠PMQ＝90°，PM＝AD＝6cm，DM＝AP＝4tcm，由勾股定理可得|14﹣5t|2+62＝102，即可解得答案．【解答】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，根據(jù)題意可得0≤t≤；（1）∵點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CD以1cm/s的速度向點(diǎn)D移動(dòng)，∴CQ＝tcm，AP＝4tcm，∴DQ＝（14﹣t）cm，∴S梯形PADQ＝＝＝9t+42，當(dāng)S梯形PADQ：S梯形BPQC＝5：2時(shí)，9t+42＝×14×6，解得t＝2，當(dāng)S梯形PADQ：S梯形BPQC＝2：5時(shí)，9t+42＝×14×6，解得t＝﹣2（舍去），∴運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，PQ能將矩形ABCD的面積分成2：5兩部分；（2）過(guò)P作PM⊥CD于M，如圖：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∵PM⊥CD，∴∠APM＝90°，∴四邊形ADMP是矩形，∴∠PMD＝∠PMQ＝90°，PM＝AD＝6cm，DM＝AP＝4tcm∴QM＝|DQ﹣DM|＝|14t﹣t﹣4t|＝|14﹣5t|（cm），∵QM2+PM2＝PQ2，P，Q兩點(diǎn)之間的距離是10cm，∴|14﹣5t|2+62＝102，解得t＝或t＝（大于，舍去），∴運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，P，Q兩點(diǎn)之間的距離是10cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元一元一次方程和一元二次方程的應(yīng)用，涉及勾股定理及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，用含t的代數(shù)式表示相關(guān)線段的長(zhǎng)度．【檢測(cè)卷】一、單選題1．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）方程的兩個(gè)根為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】將原方程的常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)到方程右邊，利用平方根的定義開(kāi)方即可求出方程的解．【詳解】解：方程，移項(xiàng)得：，開(kāi)方得：，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程﹣直接開(kāi)方法，利用此方法解方程時(shí)，首先將方程左邊化為完全平方式，右邊合并為一個(gè)非負(fù)常數(shù)，利用平方根的定義開(kāi)方轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)求解．2．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A．且 B．且 C． D．【答案】D【分析】分兩種情況討論：①，為一元一次方程；②，為一元二次方程，根據(jù)根的判別式計(jì)算即可．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程為，有實(shí)數(shù)根；②當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程為為一元二次方程，∵方程有實(shí)數(shù)根∴，解得：綜上所述：故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式：當(dāng)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）將方程配方成的形式，下列配方結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先二次項(xiàng)化系數(shù)為1，將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，然后方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半，即可求解．【詳解】解：，二次項(xiàng)化系數(shù)為1得：，移項(xiàng)得：，配方得：，整理得：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題關(guān)鍵．4．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）方程的兩個(gè)根為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)解一元二次方程——因式分解法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：，，或，，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程——因式分解法是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）我國(guó)古代著作《四元玉鑒》記載“買(mǎi)椽多少”問(wèn)題：“六貫二百一十錢(qián)，遣人去買(mǎi)幾株椽．每株腳錢(qián)三文足，無(wú)錢(qián)準(zhǔn)與一株椽．”其大意為：現(xiàn)請(qǐng)人代買(mǎi)一批椽，這批椽的價(jià)錢(qián)為文．如果每株椽的運(yùn)費(fèi)是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢(qián)，試問(wèn)文能買(mǎi)多少株椽？設(shè)這批椽的數(shù)量為株，則符合題意的方程是（

）A． B．C．（ D．【答案】A【分析】先根據(jù)少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢(qián)可得一株椽的價(jià)錢(qián)為文，再根據(jù)總價(jià)錢(qián)等于一株椽的價(jià)錢(qián)乘以椽的數(shù)量建立方程即可．【詳解】解：由題意得：一株椽的價(jià)錢(qián)為文，則可列方程為：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了列一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．6．（2022秋·湖南懷化·九年級(jí)校考期中）已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，且，則k的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及整理即可求解．【詳解】解：由題意得：，，則：，即：，解得：，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的是解題的關(guān)鍵．7．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的值是（

）A．5 B． C．4 D．【答案】A【分析】根據(jù)根的判別式的意義得到，然后解關(guān)于的方程即可．【詳解】解：，，，解得：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，②，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，③，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．8．（2023秋·河南駐馬店·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)解是，則的值是（

）A．2016 B．2018 C．2020 D．2022【答案】D【分析】令代入原方程即可求出原式的值．【詳解】解：令代入∴∴原式故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解的概念，本題屬于基礎(chǔ)題型．9．（2023·安徽亳州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）隨著春天的到來(lái)，到植物園賞花的游客越來(lái)越多，2023年3月份的游客人數(shù)是元月份的3倍．設(shè)2、3月份游客人數(shù)的平均增長(zhǎng)率為x（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)2、3月份游客人數(shù)的平均增長(zhǎng)率為x，元月份的游客人數(shù)為a人，則2月份的游客人數(shù)為，3月份的游客人數(shù)為人，再根據(jù)3月份的游客人數(shù)是元月份的3倍列出方程即可．【詳解】解：設(shè)2、3月份游客人數(shù)的平均增長(zhǎng)率為x，月份的游客人數(shù)為a人，由題意得，，即．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一元二次方程，正確理解題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）下列方程中，有一個(gè)根為的方程是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別利用因式分解法解方程，進(jìn)而判斷得出答案．【詳解】解：A、，解得：，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、，解得：，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，解得：，故此選項(xiàng)正確；D、，解得：，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的解法，正確掌握因式分解法解方程是解題關(guān)鍵．二、填空題11．（2023春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)校考期中）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的值為，【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，，即：，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查的一元二次方程根與判別式的關(guān)系，掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·廣東惠州·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)為3和5，第三邊長(zhǎng)為方程的根，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為．【答案】11【分析】先運(yùn)用因式分解法解一元二次方程得到第三邊的可能長(zhǎng)度，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定第三邊的長(zhǎng)，最后求周長(zhǎng)即可．【詳解】解：，解得：，∵一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)為3和5，∴第三邊長(zhǎng)的取值范圍是：，則第三邊長(zhǎng)為：3，∴這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為：11．故答案為：11．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程、三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意確定確定第三邊的長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．13．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是．【答案】【分析】時(shí)為一元一次方程，有實(shí)根；時(shí)為一元二次方程，根據(jù)判別式的意義得到，然后解不等式即可．【詳解】解：依題意得：時(shí)，即，方程為：，是一元一次方程，有實(shí)根，時(shí)，一元二次方程有實(shí)數(shù)根，，解得．綜上所述：，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式及一元一次方程的解，對(duì)學(xué)生的思維縝密性有一定要求，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．14．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，使得方程的兩根互為相反數(shù)，你所寫(xiě)的方程是．【答案】（答案不唯一）【分析】先設(shè)所求方程式，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系、結(jié)合兩根互為相反數(shù)，可求以及滿(mǎn)足條件，從而可求方程的解析式．【詳解】解：設(shè)所求方程式，∵是方程的兩個(gè)根，且互為相反數(shù)，∴，∴所求方程是，故可取（答案不唯一），故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)所求方程二次項(xiàng)系數(shù)等于1是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．15．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）實(shí)數(shù)x和y滿(mǎn)足，則．【答案】【分析】將已知等式左邊第三項(xiàng)拆項(xiàng)后，重新結(jié)合利用完全平方公式變形后，利用兩非負(fù)數(shù)之和為0，得到兩非負(fù)數(shù)分別為0，求出x與y的值，代入所求式子中計(jì)算，即可求出值．【詳解】解：∵，∴且，解得：，，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．16．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知：且，，那么的值等于．【答案】或2【分析】先把已知條件化為，再利用因式分解法得到或，然后把或分別代入中計(jì)算即可．【詳解】解：∵，即，∴，∴或，當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，即，∴的值等于或2．故答案為：或2．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．17．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知三個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方和是371，設(shè)第二個(gè)奇數(shù)為，則依題意可得到的方程是．【答案】【分析】設(shè)這三個(gè)奇數(shù)為根據(jù)題意列方程求解．【詳解】解：設(shè)第二個(gè)奇數(shù)是，則第一個(gè)為，第三個(gè)為，根據(jù)題意得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，解題的關(guān)鍵是利用連續(xù)奇數(shù)的特點(diǎn)列出方程．18．（2023·河北衡水·統(tǒng)考二模）六張完全相同的小矩形紙片C與A，B兩張矩形紙片恰好能拼成一個(gè)相鄰邊長(zhǎng)為m，50的大矩形，部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示．（1）若，則矩形A的水平邊長(zhǎng)為；（2）請(qǐng)用含m，n的代數(shù)式表示矩形A的周長(zhǎng)：；（3）若矩形A，B的面積相等，則．【答案】【分析】（1）根據(jù)圖可得矩形A的長(zhǎng)個(gè)小矩形寬，即可得到矩形A的水平邊長(zhǎng)；（2）根據(jù)圖可得矩形A的寬個(gè)小矩形寬，進(jìn)而得到矩形A的豎直邊長(zhǎng)，即可得到答案；（3）分別表示出矩形A，B的面積，根據(jù)矩形A，B的面積相等即可得到答案．【詳解】解：設(shè)矩形A的水平邊長(zhǎng)為，矩形A的豎直邊長(zhǎng)，（1）由圖可知，；（2）由（1）可知，由圖可知矩形A的周長(zhǎng)；（3）由題知，矩形A的面積；由圖知，矩形B的面積矩形A，B的面積相等,①小矩形紙片長(zhǎng)，矩形A的水平邊長(zhǎng)為由圖可知小矩形紙片長(zhǎng)矩形A的水平邊長(zhǎng)②聯(lián)立①②解得，（舍去）．故答案為：；；．【點(diǎn)睛】本題主要考查列多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的值，一元二次方程，掌握解題的方法以及解方程的方法是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）解關(guān)于的方程（合適的方法）：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)因式分解法解一元二次方程，即可求解；（2）把看作一個(gè)整體，因式分解法解一元二次方程，即可求解．【詳解】（1）∴或∴；（2）∴或∴．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．20．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倍．解：設(shè)所求方程的根為，則，所以，把，代入已知方程，得．化簡(jiǎn)，得，故所求方程為這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱(chēng)為“換根法”．請(qǐng)用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：(1)已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為；(2)已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)根，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)所求方程的根為，則，所以，代入原方程即可得；（2）設(shè)所求方程的根為，則，于是，代入方程整理即可得．【詳解】（1）解：設(shè)所求方程的根為，則，所以，把代入方程，得：，故答案為：；（2）解：設(shè)所求方程的根為，則，于是，把代入方程，得，去分母，得，若，有，于是，方程有一個(gè)根為，不合題意，∴，故所求方程為．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是理解方程的解的定義和解題的方法．21．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若是上述方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿(mǎn)足，請(qǐng)求出k的值及相應(yīng)的實(shí)數(shù)根．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，或【分析】（1）計(jì)算其判別式，判斷其為正數(shù)，即可證得結(jié)論；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可求得和的值，代入已知等式可得到關(guān)于k的方程，可求得k的值，再代入方程求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：∵是上述方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，∵，∴，即，解得或，當(dāng)時(shí)，方程為，解得或，當(dāng)時(shí)，方程為，解得或．【點(diǎn)睛】本題主要考查方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩根積與兩根和是解題的關(guān)鍵．22．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，有長(zhǎng)為30米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長(zhǎng)度為10米），圍成中間隔有一道籬笆（平行于）的矩形花圃，設(shè)花圃一邊的長(zhǎng)為x米，面積為y平方米．

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果要圍成面積為63平方米的花圃，的長(zhǎng)是多少？【答案】(1)(2)7米【分析】（1）根據(jù)各邊之間的關(guān)系，可得出的長(zhǎng)為米，利用矩形的面積計(jì)算公式，可用含的代數(shù)式表示，再結(jié)合邊的長(zhǎng)大于0且長(zhǎng)度不超過(guò)米，即可得出的取值范圍；（2）根據(jù)圍成花圃的面積為平方米，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：的長(zhǎng)為米，且籬笆的總長(zhǎng)度為米，的長(zhǎng)為米．花圃的面積，∵墻的長(zhǎng)度為，∴，，∴；（2）解：依題意得：，整理得：，解得：（不符合題意，舍去），．答：的長(zhǎng)是米．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含的代數(shù)式表示出；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．23．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)移動(dòng)，速度為；點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)移動(dòng)，速度為，點(diǎn)分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后，另一點(diǎn)也隨之停