專(zhuān)題02矩形的性質(zhì)與判定（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)9種題型1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)中考4種考法）（原卷版）-初中數(shù)學(xué)北師大版9年級(jí)上冊(cè)

【關(guān)注公眾號(hào)：林樾數(shù)學(xué)】免費(fèi)獲取更多初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料專(zhuān)題02矩形的性質(zhì)與判定（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)9種題型1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)中考4種考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)五種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1：矩形的定義知識(shí)點(diǎn)2：矩形的性質(zhì)（重難點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)3：直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)4：矩形的判定（重難點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1：利用矩形的性質(zhì)求角的度數(shù)題型2：利用矩形的性質(zhì)求邊的長(zhǎng)度題型3：直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)應(yīng)用題型4：利用矩形的性質(zhì)證明題型5：矩形的判定題型6：矩形的實(shí)際應(yīng)用題型7：矩形中的折疊問(wèn)題題型8：計(jì)算矩形中陰影部分面積題型9：矩形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1判斷矩形的條件不足【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1矩形性質(zhì)的應(yīng)用考法2矩形的判定考點(diǎn)3直角三角形斜邊上的中線考法4矩形的性質(zhì)與判定【方法五】成果評(píng)定法【知識(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1：矩形的定義1.定義：有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做矩形．注意：矩形的定義既是矩形的基本性質(zhì)，也是判定矩形的基本方法．知識(shí)點(diǎn)2：矩形的性質(zhì)矩形除具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)．(1)矩形的四個(gè)角都是直角；(2)矩形的兩條對(duì)角線相等．注意：(1)矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對(duì)稱圖形．過(guò)中心的任意直線可將矩形分成完全全等的兩部分．(2)矩形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸(分別是通過(guò)對(duì)邊中點(diǎn)的直線)．對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是對(duì)角線的交點(diǎn)(即對(duì)稱中心)．知識(shí)點(diǎn)3：直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)在直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半．知識(shí)點(diǎn)4：矩形的判定矩形的判定定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形．矩形的判定定理2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．【方法二】實(shí)例探索法題型1：利用矩形的性質(zhì)求角的度數(shù)例1.如圖．矩形紙片ABCD中，已知AD=8，折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為AE，且EF=3．則AB的長(zhǎng)為（） A． 3 B． 4 C．5 D．6題型2：利用矩形的性質(zhì)求邊的長(zhǎng)度例2．已知矩形ABCD的周長(zhǎng)為16，AB＝5，則BC等于（）A．3 B．5 C．6 D．11題型3：直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)應(yīng)用例3.如圖，BD、CE是△ABC不同邊上的高，點(diǎn)G、F分別是BC、DE的中點(diǎn)，試證明GF⊥DE．例4.如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作直線CD的垂線，垂足為E．求證：∠EBC＝∠A．題型4：利用矩形的性質(zhì)證明例5.如圖所示，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，求證：BE=CF．AABCDEFO例6.已知：若從矩形ABCD的頂點(diǎn)C作BD的垂線交BD于E，交∠BAD的平分線于F．求證：△CAF是等腰三角形．GG例7.已知：矩形ABCD中，延長(zhǎng)BC至E，使BE=BD，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，連接AF、CF．求證：AF⊥CF．AABCDEF題型5：矩形的判定例8.已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點(diǎn)E．求證：四邊形ADCE為矩形；例9.如圖，在△ABC中，O是AC上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），過(guò)點(diǎn)O平行于BC的直線l分別與∠BCA、∠DCA的平分線交于點(diǎn)E、F．（1）OE與OF相等嗎？證明你的結(jié)論．（2）試確定點(diǎn)O的位置，使四邊形AECF是矩形，并加以證明．題型6：矩形的實(shí)際應(yīng)用例10.如圖是一個(gè)矩形桌子，一小球從P撞擊到Q，反射到R，又從R反射到S，從S反射回原處P，入射角與反射角相等（例如∠PQA＝∠RQB等），已知AB＝8，BC＝15，DP＝3．則小球所走的路徑的長(zhǎng)為．題型7：矩形中的折疊問(wèn)題例11.如圖所示，在矩形ABCD中，BC=8，AB=6，把矩形折疊使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，求折疊EF的長(zhǎng)．例12.如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿AC折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)處，交AB于點(diǎn)F，則重疊部分△AFC的面積為_(kāi)_______．題型8：計(jì)算矩形中陰影部分面積例13.矩形ABCD中，橫向陰影部分是長(zhǎng)方形，另一部分是平行四邊形，依照?qǐng)D中標(biāo)注的數(shù)據(jù)，圖中空白部分的面積為．題型9：矩形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題例14如圖，已知在矩形ABCD中，AB＝2，，點(diǎn)P是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP，點(diǎn)C關(guān)于直線BP的對(duì)稱點(diǎn)為C1，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C1也隨之運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，則線段CC1掃過(guò)的區(qū)域的面積是．例15．如圖，在△ABC中，AB＝AC．將△ABC沿著B(niǎo)C方向平移得到△DEF，其中點(diǎn)E在邊BC上，DE與AC相交于點(diǎn)O．（1）求證：△OEC為等腰三角形；（2）連接AE、DC、AD，當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，四邊形AECD為矩形，并說(shuō)明理由．【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1判斷矩形的條件不足1.下列命題中真命題是（）A．對(duì)角線互相垂直的四邊形是矩形 B．對(duì)角線相等的四邊形是矩形；C．四條邊都相等的四邊形是矩形；D．四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形是矩形；2.已知四邊形是平行四邊形，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，那么下列結(jié)論中正確的是（）A．當(dāng)AB=BC時(shí)，四邊形是矩形B．當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形C．當(dāng)OA=OB時(shí)，四邊形是矩形D．當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1矩形性質(zhì)的應(yīng)用1．（2022?無(wú)錫）菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)邊平行 B．對(duì)角線互相平分 C．對(duì)角線互相垂直 D．對(duì)角互補(bǔ)2．（2022?西寧）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝7，點(diǎn)E在AB邊上，AE＝5．若點(diǎn)P是矩形ABCD邊上一點(diǎn)，且與點(diǎn)A，E構(gòu)成以AE為腰的等腰三角形，則等腰三角形AEP的底邊長(zhǎng)是．3．（2022?吉林）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在對(duì)角線AC上，且AF＝AC，連接EF．若AC＝10，則EF＝．4．（2022?邵陽(yáng)）已知矩形的一邊長(zhǎng)為6cm，一條對(duì)角線的長(zhǎng)為10cm，則矩形的面積為cm2．5．（2022?鄂州）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且∠CDF＝∠BDC、∠DCF＝∠ACD．（1）求證：DF＝CF；（2）若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面積．6．（2022?哈爾濱）已知矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，連接BE，CE，OE，且BE＝CE．（1）如圖1，求證：△BEO≌△CEO；（2）如圖2，設(shè)BE與AC相交于點(diǎn)F，CE與BD相交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖2中的四個(gè)三角形（△AEF除外），使寫(xiě)出的每個(gè)三角形的面積都與△AEF的面積相等．考法2矩形的判定7．（2022?聊城）要檢驗(yàn)一個(gè)四邊形的桌面是否為矩形，可行的測(cè)量方案是（）A．測(cè)量?jī)蓷l對(duì)角線是否相等 B．度量?jī)蓚€(gè)角是否是90° C．測(cè)量?jī)蓷l對(duì)角線的交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離是否相等 D．測(cè)量?jī)山M對(duì)邊是否分別相等8．（2022?恩施州）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以相同的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：s），下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)t＝4s時(shí)，四邊形ABMP為矩形 B．當(dāng)t＝5s時(shí)，四邊形CDPM為平行四邊形 C．當(dāng)CD＝PM時(shí)，t＝4s D．當(dāng)CD＝PM時(shí)，t＝4s或6s9．（2022?陜西）在下列條件中，能夠判定?ABCD為矩形的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AB＝AC D．AC＝BD10．（2022?甘肅）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何輔助線的前提下，要想四邊形ABCD成為一個(gè)矩形，只需添加的一個(gè)條件是．11．（2022?巴中）如圖，?ABCD中，E為BC邊的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，延長(zhǎng)EC至點(diǎn)G，使CG＝CE，連接DG、DE、FG．（1）求證：△ABE≌△FCE；（2）若AD＝2AB，求證：四邊形DEFG是矩形．12．（2022?六盤(pán)水）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是矩形？請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程．13．（2022?十堰）如圖，?ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點(diǎn)．（1）求證：BE＝DF；（2）設(shè)＝k，當(dāng)k為何值時(shí)，四邊形DEBF是矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)3直角三角形斜邊上的中線14．（2022?永州）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)，BD＝2，則BC的長(zhǎng)為（）A． B．2 C．2 D．415．（2022?杭州）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AM上，EF⊥AC于點(diǎn)F，連接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．（1）求證：CE＝CM．（2）若AB＝4，求線段FC的長(zhǎng)．考法4矩形的性質(zhì)與判定16．（2022?云南）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，E為線段AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BE與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接AF，∠BDF＝90°．（1）求證：四邊形ABDF是矩形；（2）若AD＝5，DF＝3，求四邊形ABCF的面積S．17．（2022?德陽(yáng)）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿BD方向以2cm/s向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)E從點(diǎn)H出發(fā)沿HD方向以1cm/s向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：s），且0＜t＜3，過(guò)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，連結(jié)EF．（1）求證：四邊形EFGH是矩形；（2）連結(jié)FC，EC，點(diǎn)F，E在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△BFC與△DCE是否能夠全等？若能，求出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【方法五】成果評(píng)定法一、單選題1．（2023·河南平頂山·統(tǒng)考一模）下列敘述錯(cuò)誤的是（

）A．平行四邊形的對(duì)角線互相平分 B．矩形的對(duì)角線相等C．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形 D．對(duì)角線相等的四邊形是矩形2．（2023·廣東珠?！そy(tǒng)考一模）將一張矩形紙片對(duì)折兩次，然后沿圖中虛線剪下，得到①和②兩部分，如圖所示，則將①展開(kāi)后得到的平面圖形是（

）A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．梯形3．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）如圖，菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，連接，若菱形的面積為，，則的長(zhǎng)為（

）A．3 B． C． D．24．（2023·安徽·校聯(lián)考一模）如圖，菱形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，連接，點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，連接，若，菱形的面積為48，則的值為（）A． B． C． D．5．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E是中點(diǎn)，連接，作于F，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．6．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖矩形由矩形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角得到，點(diǎn)C在邊上，過(guò)點(diǎn)E作平行線得矩形，則要知道矩形的面積只需知道（

）A． B． C． D．二、填空題7．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，．以點(diǎn)為圓心，以的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)(異于點(diǎn))，連接，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．8．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）如圖，矩形，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連接，在上取一點(diǎn)F，連接，過(guò)F作的垂線交于點(diǎn)H，若，，，，則的長(zhǎng)是___________．9．（2023·天津·校聯(lián)考一模）如圖，矩形對(duì)角線相交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，連接，F(xiàn)為的中點(diǎn)，．若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．10．（2023·黑龍江哈爾濱·校考一模）如圖，矩形中，為對(duì)角線，是上一點(diǎn)，連接，，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．11．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）如圖，菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，，，點(diǎn)P為邊上一點(diǎn)，且P不與B、C重合．過(guò)P作于E，于F，連接，則的最小值等于______．12．（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，，點(diǎn)P在的內(nèi)部，，D是的中點(diǎn)，連接．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_____．13．（2023·四川成都·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)學(xué)“折向未來(lái)”的活動(dòng)課上，小明用如圖所示的長(zhǎng)方形紙片折四邊形，，點(diǎn)E，G分別是邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)F，H分別是邊上的點(diǎn)，且，連接．將，分別沿，翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，則______cm；當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，連接，若為直角三角形，則四邊形的面積為_(kāi)_____．三、解答題14．（2023春·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于F．(1)求證：；(2)連接，當(dāng)時(shí)，若，求的長(zhǎng)．15．（2023·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）規(guī)定：每個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)的四邊形叫做格點(diǎn)四邊形．在的正方形網(wǎng)格中畫(huà)出符合要求的格點(diǎn)四邊形（設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）．(1)在圖甲中畫(huà)出一個(gè)以為邊的平行四邊形，且它的面積等于8；(2)在圖乙中畫(huà)出一個(gè)以為對(duì)角線的矩形，且它的周長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)．16．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）如圖，已知點(diǎn)是矩形中邊的中點(diǎn)，連接．(1)分別在、邊上求作點(diǎn)、點(diǎn)，使得點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在線段上；（請(qǐng)保留作圖痕跡，不需要寫(xiě)作法）(2)在（1）的條件下，若，，求．17．（2022秋·廣東佛山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，與交于點(diǎn)．(1)求證：四邊形為矩形；(2)若，，，求的長(zhǎng)．18．（2023春·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，O為矩形的對(duì)角線的中點(diǎn)，過(guò)O作分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．(1)求證：四邊形是菱形．(2)若，，求菱形的面積．19．（2023·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考一模）綜合與實(shí)踐：在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形紙片的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．在矩形中，E為邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為邊上一點(diǎn)，連接、，分別將和沿、翻折，點(diǎn)D、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G、H，且C、H、G三點(diǎn)共線．(1)如圖1，若F為邊的中點(diǎn)，，點(diǎn)G與