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文檔簡介
專題12相似多邊形(2個知識點2種題型1種中考考法)【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡梳理法知識點1.相似多邊形的定義(重點)知識點2.相似多邊形的性質(zhì)及判定(重點)【方法二】實例探索法題型1.相似多邊形性質(zhì)的應用題型2.相似多邊形的判定【方法四】仿真實戰(zhàn)法考法.相似多邊形的判定【方法五】成果評定法【學習目標】了解相似多邊形和相似比的定義。會根據(jù)條件判斷兩個多邊形是否為相似多邊形,會求兩個相似多邊形的相似比。掌握相似多邊形的性質(zhì),能據(jù)此進行簡單的計算。【知識導圖】【倍速學習五種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點1.相似多邊形的定義(重點)1.相似多邊形的定義:各角分別對應相等;各邊對應成比例的兩個多邊形是相似多邊形。如果五邊形ABCDEG與五邊形相似,記住五邊形ABCDEG五邊形數(shù)學表達式:如圖:“”讀作“相似于”2相似比:相似多邊形對應邊之比叫做相似比特別提醒:(1)兩個全等多邊形一定是相似多邊形,但相似多邊形不一定是全等多邊形;(2)相似多邊形相似比為1時,是全等多邊形,即全等多邊形是相似比為1的相似多邊形;(3)求兩個相似多邊形的相似比時,只求其對應邊之比即可?!纠?】下列各組四邊形中是相似多邊形的是( )(A)一組鄰邊為厘米和厘米與一組鄰邊為厘米和厘米的矩形(B)有一個內(nèi)角為的兩個菱形(C)邊長分別為厘米和厘米的兩個菱形(D)兩個高相等的等腰梯形【答案】B【解析】菱形一個內(nèi)角確定,則每個內(nèi)角都可以確定下來,同時,菱形四邊相等,對應成比例,可知B選項正確;A選項邊不對應成比例,C選項菱形有不穩(wěn)定性,形狀不固定,D選項等腰梯形形狀不固定.【總結(jié)】考查相似圖形的特征.【變式】如圖,有甲、乙、丙三個矩形,其中相似的是(
)
A.甲與丙 B.乙與丙 C.甲與乙 D.三個矩形都不相似【答案】A【分析】如果兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應角相等,對應邊成比例,這兩個多邊形叫做相似多邊形,據(jù)此作答.解:三個矩形的角都是直角,甲、乙、丙相鄰兩邊的比分別為,,,∴甲與丙相似,故選:A.【點撥】本題考查相似多邊形的概念,解題的關(guān)鍵是要考慮對應角相等,對應邊成比例.知識點2.相似多邊形的性質(zhì)及判定(重點)相似多邊形的定義既是它的判定方法,又是它的性質(zhì):1.判定方法:如果兩個多邊形各角分別對應相等;各邊對應成比例,則這兩個多邊形是相似多邊形;2.性質(zhì):相似多邊形各角分別對應相等;各邊對應成比例。如果兩個多邊形是相似形,那么這兩個多邊形的對應角相等,對應邊的長度成比例.當兩個相似的多邊形是全等形時,它們對應邊的長度的比值為1.注意!??!判斷兩個多邊形是否相似時,既要考慮對應角是否相等,又要考慮對應邊長度的比是否相等,二者缺一不可。學法指導:在判斷兩個多邊形是否為相似多邊形時,邊數(shù)相同、角分別相等容易判斷,而邊是否成比例則需要通過計算來確定,即分別計算長邊與長邊的比,短邊與短邊的比,在判斷時應注意對應關(guān)系?!纠?】在菱形與菱形中,,這兩個菱形相似嗎?為什么?【答案】菱形與菱形相似.理由見分析.【分析】根據(jù)如果兩個多邊形的對應角相等,對應邊的比相等,則這兩個多邊形是相似多邊形解答.解:在菱形與菱形中,設,,,,即菱形與菱形的對應角相等;又菱形的四條邊都相等,兩菱形的對應邊成比例,即菱形與菱形的對應邊的比相等,菱形與菱形相似.【點撥】本題考查了相似多邊形的判定,菱形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)和相似多邊形的判定定理.【例3】已知四邊形和四邊形是相似的圖形,并且點與點、點與 點、點與點、點與點分別是對應頂點,已知,, ,,,,,求,的長和的 度數(shù).【答案】.【解析】相似形形狀完全相同,由此相似形各內(nèi)角對應相等,各邊對應成比例. 有,將代入,求得:,根據(jù)四邊形內(nèi)角和,可求得:,相似圖形對應角相等可知.【變式】如圖,已知矩形ABCD中,AB=2,在BC上取一點E,沿AE將△ABE向上折疊,使B點落在AD上的F點,若四邊形EFDC與矩形ABCD相似,則AD=.【答案】1+【分析】根據(jù)相似圖形的性質(zhì)先設未知數(shù)再解方程即可得到結(jié)果.解:∵矩形ABCD中,AF由AB折疊而得,∴ABEF是正方形.又∵AB=2,∴AF=AB=EF=2.設AD=x,則FD=x-2.∵四邊形EFDC與矩形ABCD相似,∴,即解得,(負值舍去).經(jīng)檢驗是原方程的解.∴AD.故答案為【點撥】此題重點考查學生對相似圖形性質(zhì)的理解,掌握相似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【方法二】實例探索法題型1.相似多邊形性質(zhì)的應用1.如圖,一塊矩形綢布的長,寬,按照圖中的方式將它裁成相同的三面矩形彩旗,如果裁出的每面彩旗與矩形綢布相似,則a的值等于(
)
A. B. C. D.【答案】B【分析】由裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同,則可利用相似多邊形的性質(zhì)構(gòu)建比例式,求解后即可得出結(jié)論.解:∵裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同,∴,解得:或(不合題意,舍去),∴,故選:B.【點撥】此題考查了相似多邊形的性質(zhì),掌握相似多邊形的對應邊成比例是解答此題的關(guān)鍵.2.如圖,四邊形∽四邊形,若,,,則.【答案】【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì),當四邊形∽四邊形時,,,,再結(jié)合四邊形內(nèi)角和為可知.解:四邊形∽四邊形,,,,,,,由四邊形內(nèi)角和為可知,故答案為:.【點撥】本題考查利用相似多邊形性質(zhì)求角度問題,涉及四邊形內(nèi)角和為等知識,熟練掌握相似多邊形對應角相等是解決問題的關(guān)鍵.3.如圖,中,的平分線交于點,的平分線交于點.(1)求證:是菱形:(2)若,則的值為______.【答案】(1)見分析;(2)【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定解答即可;(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)可以得到設,根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)可得,列方程求出和的關(guān)系,從而可解答本題解:(1)∵的平分線交于點,∴.∵四邊形是平行四邊形,∴.∴.∴.∴.同理,.∴.∵∴四邊形是平行四邊形.∵,∴四邊形是菱形.(2)由(1)知,四邊形是菱形,又四邊形是平行四邊形,,設,,則有:,即,整理得,解得,,,故答案為:【點撥】本題主要考查了靺的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及相似多邊形的性質(zhì),求出與的數(shù)量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵4.如圖,矩形中,,線段,在上取一點,分別以、為一邊作矩形、矩形,使矩形與矩形相似,且點與點、點與點,點與點,點與點分別是對應頂點,令.求出矩形的面積與的函數(shù)關(guān)系式.【答案】.【解析】根據(jù)矩形與矩形相似,可對應得,因此,進而可求得:.題型2.相似多邊形的判定5.某小區(qū)有一塊矩形草坪長20米,寬10米,沿著草坪四周要修一寬度相等的環(huán)形小路,使得小路內(nèi)外邊緣所成的矩形相似,你能做到嗎?若能,求出這一寬度;若不能,說明理由.
【答案與解析】設小路寬為x米,則小路的外邊緣圍成的矩形的長為(20+2x)米,寬為(10+2x)米,將兩個矩形的長與寬分別相比,得長的比為,而寬的比為,
很明顯,所以做不到.
【總結(jié)升華】通過本題的探索可以發(fā)現(xiàn):把一個矩形的長和寬同時增加或減小相同的長度,所得矩形與原來矩形一定不相似.因為.6.(2023秋·全國·九年級隨堂練習)如圖,一個矩形廣場的長為60m,寬為40m,廣場內(nèi)兩條縱向小路的寬均為1.5m,如果設兩條橫向小路的寬都為xm,那么當x為多少時,小路內(nèi)外邊緣所圍成的兩個矩形相似?【答案】當x為1m時,小路內(nèi)外邊緣所圍成的兩個矩形相似.【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì):對應邊的比相等列出比例式,解出x的值即可.【詳解】試題分析:根據(jù)相似多邊形的性質(zhì):對應邊的比相等列出比例式,解出x的值即可.解:∵小路內(nèi)外邊緣所圍成的兩個矩形相似,∴解得,x=1m,答:當x為1m時,小路內(nèi)外邊緣所圍成的兩個矩形相似.【點睛】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì),掌握相似多邊形的性質(zhì):對應邊的比相等是解題的關(guān)鍵.7.(2023秋·全國·九年級專題練習)如圖,把一個矩形劃分成三個全等的小矩形.(1)若原矩形的長,寬.問:每個小矩形與原矩形相似嗎?請說明理由.(2)若原矩形的長,寬,且每個小矩形與原矩形相似,求矩形長與寬應滿足的關(guān)系式.【答案】(1)不相似;證明過程見詳解(2)【分析】(1)根據(jù)劃分后小矩形的長為,寬為,可得,進而可判斷結(jié)論;(2)根據(jù)劃分后小矩形的長為,寬為,再根據(jù)每個小矩形與原矩形相似,可得,從而可得與的關(guān)系式.【詳解】(1)解:不相似.理由如下:∵原矩形的長,寬,∴劃分后小矩形的長為,寬為,又∵,即原矩形與每個小矩形的邊不成比例,∴每個小矩形與原矩形不相似.(2)∵原矩形的長,寬,∴劃分后小矩形的長為,寬為,又∵每個小矩形與原矩形相似,∴∴,即.【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì),本題的關(guān)鍵是根據(jù)兩矩形相似得到比例式.8.(2023·江蘇·九年級專題練習)如圖1,將A4紙2次折疊,發(fā)現(xiàn)第一次的折痕與A4紙較長的邊重合,如圖2,將1張A4紙對折,使其較長的邊一分為二,沿折痕剪開,可得2張A5紙.(1)A4紙較長邊與較短邊的比為;(2)A4紙與A5紙是否為相似圖形?請說明理由.【答案】(1);(2)相似,理由見解析【分析】(1)根據(jù)邊的關(guān)系得出比例等式解答即可;(2)根據(jù)相似圖形的判定解答即可.【詳解】解:(1)如圖1,設AB=x,由上面兩個圖,由翻折的性質(zhì)我們知道,∠ACF=∠HDF,∠ACB=∠HDB,∠ECF=45°,∴∠BCF=∠BDF=90°,又∵∠ACE=∠ACB+∠ECB=∠BCF=∠BCE+∠ECF,∴∠ACB=∠ECF=45°,∴BC=x,∴BD=BC=x,AD=AB+BD=(+1)x,∴EF=CE=AD=(+1)x,∵DE=AC=AB=x,∴DF=DE+EF=(+2)x,∴,故答案為:.(2)由(1)知:A5紙長邊為A4紙短邊,長為(+1)x,A5紙短邊長為()x,∴對A5紙,長邊:短邊,∴A4紙與A5紙相似.【點睛】此題考查了相似圖形,關(guān)鍵是根據(jù)相似圖形判斷和性質(zhì)解答.【方法三】仿真實戰(zhàn)法考法.相似多邊形的判定1.(2023?威海)如圖,四邊形ABCD是一張矩形紙片.將其按如圖所示的方式折疊:使DA邊落在DC邊上,點A落在點H處,折痕為DE;使CB邊落在CD邊上,點B落在點G處,折痕為CF.若矩形HEFG與原矩形ABCD相似,AD=1,則CD的長為()A.﹣1 B.﹣1 C.+1 D.+1【分析】設HG=x,根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠A=∠ADH=90°,AD=BC=1,再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得:∠A=∠AHE=90°,AD=DH=1,BC=CG=1,從而可得四邊形ADHE是正方形,然后利用正方形的性質(zhì)可得AD=HE=1,最后利用相似多邊形的性質(zhì),進行計算即可解答.【解答】解:設HG=x,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=∠ADH=90°,AD=BC=1,由折疊得:∠A=∠AHE=90°,AD=DH=1,BC=CG=1,∴四邊形ADHE是矩形,∵AD=DH,∴四邊形ADHE是正方形,∴AD=HE=1,∵矩形HEFG與原矩形ABCD相似,∴=,∴=,解得:x=﹣1或x=﹣﹣1,經(jīng)檢驗:x=﹣1或x=﹣﹣1都是原方程的根,∵GH>0,∴GH=﹣1,∴DC=2+x=+1,故選:C.【點評】本題考查了相似多邊形的性質(zhì),解一元二次方程﹣公式法,矩形的性質(zhì),翻折變換(折疊問題),正方形的判定與性質(zhì)熟練掌握相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【方法四】成果評定法一、單選題1.(2023秋·安徽蚌埠·九年級統(tǒng)考期末)下列說法正確的有個(
)(1)任意兩個矩形都相似
(2)任意兩個正方形都相似(3)任意兩個等邊三角形都相似
(4)任意兩個菱形都相似.A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【分析】利用相似多邊形的定義:如果兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應角相等,對應邊成比例,這兩個多邊形叫做相似多邊形,即可進行判斷.【詳解】解:(1)雖然兩個矩形的對應角都是直角,但是對應邊不一定成比例,所以任意兩個矩形不一定相似,故說法錯誤;(2)兩個正方形的對應邊成比例,對應角都是直角,所以任意兩個正方形一定相似,故說法正確;(3)兩個等邊三角形的對應邊一定成比例,對應角都是,所以任意兩個等邊三角形一定相似,故說法正確;(4)兩個菱形的對應邊一定成比例,對應角不一定相等,所以任意兩個菱形不一定相似,故說法錯誤.故選C.【點睛】本題考查了相似多邊形的定義.注意從對應邊與對應角兩個方面考慮.2.(2023秋·全國·九年級專題練習)下列形狀分別為兩個正方形、矩形、正三角形、圓的邊框,其中不一定是相似圖形的是(
)A.
B.
C.
D.
【答案】B【分析】根據(jù)相似圖形的定義,形狀相同,可得出答案.【詳解】解:A、兩個正方形形狀相同,是相似圖形,不符合題意;B、兩個長方形形狀不同,不是相似圖形,符合題意;C、兩個等邊三角形形狀相同,是相似圖形,不符合題意;D、兩圓形形狀相同,是相似圖形,不符合題意;故選:B.【點睛】本題主要考查相似圖形的定義,掌握相似圖形形狀相同是解題的關(guān)鍵.3.(2023秋·九年級課時練習)把一根鐵絲首尾相接圍成一個長為,寬為的矩形,要將它按如圖所示的方式向外擴張得到矩形,使矩形矩形,則這根鐵絲需增加(
)
A. B. C. D.【答案】D【分析】由圖形知,擴張后的長方形寬為,設長為,根據(jù)相似長方形的性質(zhì)列式計算求得,再計算即可求解.【詳解】解:原長方形的長和寬分別為和,由圖形知,擴張后的長方形寬為,設長為,∵矩形矩形,∴,∴,經(jīng)檢驗,是分式方程的解,∴擴張后的長方形長為,原長方形的周長為,擴張后長方形的周長為,,∴這根鐵絲需增加,故選:D.【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì),根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵.4.(2023秋·全國·九年級專題練習)如圖,把一個矩形剪去一個正方形,剩下的矩形與原矩形相似,則原矩形的長與寬的比為(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】設原來矩形的長為,寬為,則減去的正方形的邊長為,剩下的矩形的長為,寬為,剩下的矩形與原矩形相似,利用對應邊成比例得,然后計算求得原矩形的長與寬的比即可.【詳解】解:設:原來矩形的長為,寬為,則減去的正方形的邊長為,剩下的矩形的長為,寬為,∵剩下的矩形與原矩形相似,∴,整理得:,各項同時除以得:,令,則,解得:,(舍),∴原矩形的長與寬的比,故選:A.【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì),根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)列出方程,并舍去不合題意的解是解答本題的關(guān)鍵.5.(2023秋·全國·九年級專題練習)如圖,四邊形四邊形,若,,則(
)
A. B. C. D.【答案】B【分析】利用相似多邊形的性質(zhì)得到,然后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和計算的度數(shù)即可.【詳解】解:四邊形四邊形,,,故選:B.【點睛】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì):相似多邊形的對應角相等,對應邊成比例,也考查了四邊形的內(nèi)角和.6.(2023秋·全國·九年級專題練習)將不等邊三角形、等邊三角形、正方形、矩形各邊向外平移1個單位并適當延長,得到下列圖形,變化前后的兩個圖形不相似的是(
)A.
B.
C.
D.
【答案】D【分析】根據(jù)相似多邊形的定義,結(jié)合圖形,對選項一一分析,排除不符合要求答案.【詳解】解:A、兩個不等邊三角形形狀相同,符合相似形的定義,故A選項不符合題意;B、兩個等邊三角形形狀相同,符合相似形的定義,故B選項不符合題意;C、兩個正方形形狀相同,符合相似形的定義,故C選項不符合題意;D、兩個矩形,雖然四個角對應相等,但對應邊不成比例,故D選項符合題意;故選:D.【點睛】本題考查相似多邊形的定義,熟練掌握相似圖形的定義是解題的關(guān)鍵,相似多邊形的對應角相等,對應邊成比例.7.(2023秋·浙江·九年級專題練習)下列多邊形一定相似的是(
)A.兩個菱形 B.兩個平行四邊形 C.兩個矩形 D.兩個正方形【答案】D【分析】利用相似多邊形的對應邊的比相等,對應角相等分析.【詳解】解:要判斷兩個多邊形是否相似,需要看對應角是否相等,對應邊的比是否相等.矩形、菱形、平行四邊形都屬于形狀不唯一確定的圖形,即對應角、對應邊的比不一定相等,故不一定相似,A、B、D錯誤;而兩個正方形,對應角都是,對應邊的比也都相等,故一定相似,C正確.故選:D.【點睛】本題考查相似多邊形的識別.判定兩個圖形相似的依據(jù)是:對應邊的比相等,對應角相等.兩個條件必須同時具備.8.(2023春·浙江嘉興·九年級??奸_學考試)已知矩形的長與寬分別為4和3,下列矩形與它相似的是(
)A.
B.
C.
D.
【答案】C【分析】根據(jù)相似圖形的定義:所有的對應邊對應成比例,所有的對應角相等,進行判斷即可.【詳解】解:因為矩形的所有內(nèi)角均為90°,∴所有矩形的對應角均相等,∴當兩個矩形相似時,長比長等于寬比寬,∴滿足題意的只有C選項,故選C.【點睛】本題考查相似圖形.熟練掌握相似圖形的定義,是解題的關(guān)鍵.9.(2023秋·全國·九年級專題練習)如圖1是古希臘時期的巴臺農(nóng)神廟(ParthenomTemple),把圖1中用虛線表示的矩形畫成圖2矩形,當以矩形的寬為邊作正方形時,驚奇地發(fā)現(xiàn)矩形與矩形相似,則等于(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)相似圖形的性質(zhì),列出比例式,進行求解即可.【詳解】解:∵矩形與矩形相似,∴,∵四邊形為正方形,∴,∵,∴,∴,∴,即:,設,則:,解得:(負值已舍去);∴;故選D.【點睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì),正方形的性質(zhì),解一元二次方程.熟練掌握相似多邊形的對應邊對應成比例,是解題的關(guān)鍵.10.(2023秋·全國·九年級專題練習)如圖,一塊矩形綢布的長,寬,按照圖中的方式將它裁成相同的三面矩形彩旗,如果裁出的每面彩旗與矩形綢布相似,則a的值等于(
)
A. B. C. D.【答案】B【分析】由裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同,則可利用相似多邊形的性質(zhì)構(gòu)建比例式,求解后即可得出結(jié)論.【詳解】解:∵裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同,∴,解得:或(不合題意,舍去),∴,故選:B.【點睛】此題考查了相似多邊形的性質(zhì),掌握相似多邊形的對應邊成比例是解答此題的關(guān)鍵.二、填空題11.(2023秋·九年級課前預習)如果四邊形ABCD的四條邊長分別為54cm、48cm、45cm、63cm,另一個和它相似的四邊形的最長邊長為21cm,那么這個四邊形的最短邊的長度為.【答案】15cm【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)求解即可.【詳解】解:∵四邊形ABCD與另一個四邊形相似,∴設另一個四邊形的最短邊的長度為x,∴,解得:.∴這個四邊形的最短邊的長度為15cm.故答案為:15cm.【點睛】此題考查了相似多邊形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似多邊形的性質(zhì).相似多邊形的對應邊成比例,對應角相等.12.(2023·陜西西安·??寄M預測)書籍和紙張的長與寬的比值都有固定的尺寸,即同一系列的紙張長與寬的比均相同.將如圖所示的紙張沿長邊對折裁剪,得到兩張A1型號紙張.若A1與原紙張屬同一系列紙張,則該系列紙張的長與寬(長大于寬)之比為.
【答案】【分析】先根據(jù)條件找出已知長和寬,再根據(jù)已知找出等量關(guān)系的兩種紙張長寬比例相等列出比例式子即可求解.【詳解】解:設A1紙的長和寬分別為m,n,則原紙張的長和寬分別為2n,m,根據(jù)題意可得,,即該系列紙張的長與寬之比為.故答案為:.【點睛】本題考查的是矩形的折疊問題.解題的關(guān)鍵在于是否能根據(jù)題意列出等量關(guān)系式.13.(2023秋·陜西西安·九年級??茧A段練習)如圖,已知五邊形與五邊形相似且相似比為,,則.
【答案】【分析】利用相似五邊形的對應邊之比等于相似比建立方程求解即可.【詳解】解:∵五邊形與五邊形相似且相似比為,∴,∵,∴,∴,經(jīng)檢驗符合題意;故答案為:【點睛】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì),熟記相似多邊形的對應邊的比即為相似比是解本題的關(guān)鍵.14.(2023秋·全國·九年級專題練習)已知四邊形四邊形,,,,則.【答案】【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì),兩個四邊形相似,對應邊成比例即可得到答案.【詳解】解:四邊形四邊形,,,,,,故答案為:.【點睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì),熟記兩個多邊形相似,對應邊成比例是解決問題的關(guān)鍵.15.(2023秋·浙江·九年級專題練習)如圖,矩形中,,,剪去一個矩形后,余下的矩形矩形,則的長為.【答案】1【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得,即,然后利用比例性質(zhì)求出即可.【詳解】解:∵四邊形是矩形,∴,∵四邊形是矩形,∴,∵余下的矩形矩形,∴,即,∴,故答案為:1.【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是掌握如果兩個多邊形的對應角相等,對應邊的比相等,則這兩個多邊形是相似多邊形;相似多邊形對應邊的比叫做相似比.16.(2023秋·九年級課時練習)已知五邊形五邊形,,,,,則.【答案】【分析】首先根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得到,,然后根據(jù)五邊形的內(nèi)角和為即可解答.【詳解】解:∵五邊形五邊形,∴,,又∵五邊形的內(nèi)角和為,∴,故答案為:.【點睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì),解題關(guān)鍵是掌握相似多邊形的對應角相等.17.(2023秋·全國·九年級專題練習)如圖,把一個大長方形劃分成三個全等的小長方形,若每一個小長方形均與大長方形相似,則的值為.【答案】【分析】根據(jù)題意可得,矩形矩形,然后利用相似多邊形的性質(zhì)可得,從而可得,進行計算即可解答.【詳解】解:如圖:由題意得:,矩形矩形,∴,∴,∴,∴,∴,故答案為:.【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì),矩形的性質(zhì),熟練掌握相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.18.(2023秋·九年級課時練習)如圖,矩形的對稱軸交于點E,交于點F.若矩形與矩形相似,則的值為.【答案】【分析】根據(jù)相似多邊形的對應邊成比例進行計算即可解答.【詳解】解:∵四邊形是矩形,∴,∵矩形的對稱軸分別交于點E,交于點F,∴,∵矩形與矩形相似,,,,,,,故答案為:.【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì),相似多邊形的性質(zhì),軸對稱的性質(zhì),熟練掌握相似多邊形的對應邊成比例是解題的關(guān)鍵.三、解答題19.(2023秋·全國·九年級專題練習)閱讀理解:給定一個矩形,如果存在另一個矩形,它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的2倍,則這個矩形是給定矩形的“加倍”矩形.如圖,矩形是矩形的“加倍”矩形.解決問題:(1)當矩形的長和寬分別為3,2時,它是否存在“加倍”矩形?若存在,求出“加倍”矩形的長與寬,若不存在,請說明理由.(2)邊長為的正方形存在“加倍”正方形嗎?請做出判斷,并說明理由.【答案】(1)存在;見解析;(2)不存在;見解析.【分析】(1)設“加倍”矩形的一邊為,則另一邊為,根據(jù)面積是已知矩形面積的2倍列出方程,求解即可;(2)根據(jù)題意:若兩個正方形是相似圖形,根據(jù)相似圖形的性質(zhì),面積比是相似比即周長比的平方;故不存在“加倍”正方形;【詳解】(1)解:存在設“加倍”矩形的一邊為,則另一邊為,則:,解之得:,,∴;∴,答:“加倍”矩形的長為,寬為;(2)不存在,因為兩個正方形是相似圖形,當它們的周長比為2時,則面積比必定是4,所以不存在.【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì);正方形的性質(zhì);相似多邊形的性質(zhì),解答本題要充分利用所有正方形相似的特殊性質(zhì).20.(2023秋·全國·九年級專題練習)閱讀理解:給定一個矩形,如果存在另一個矩形,它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的一半,則這個矩形是給定矩形的“減半”矩形.如圖,矩形是矩形的“減半”矩形.請你解決下列問題:(1)當矩形的長和寬分別為,時,它是否存在“減半”矩形?請作出判斷,并說明理由.(2)邊長為的正方形存在“減半”正方形嗎?如果存在,求出“減半”正方形的邊長;如果不存在,請說明理由.【答案】(1)存在;理由見解析;(2)不存在,理由見解析.【分析】(1)假設存在,不妨設“減半”矩形的長和寬分別為x、y,根據(jù)如果存在另一個矩形,它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的一半,可列出方程組求解.(2)正方形和其他的正方形是相似圖形,周長比是2,面積比就應該是4,所以不存在“減半”正方形.【詳解】解:(1)存在假設存在,不妨設“減半”矩形的長和寬分別為,,則,由①,得:,③把③代入②,得,解得,.所以“減半”矩形長和寬分別為與.(2)不存在因為兩個正方形是相似圖形,當它們的周長比為時,面積比必定是,所以正方形不存在“減半”正方形.【點睛】本題考查反證法和相似圖形的性質(zhì),關(guān)鍵知道相似圖形的面積比,周長比的關(guān)系.21.(2023秋·全國·九年級課堂例題)如圖,一塊矩形綢布的長,寬,按照圖中所示的方式將它裁成相同的三面矩形彩旗,且使裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同,即,那么a的值應當是多少?【答案】【分析】由裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同,構(gòu)建方程求解即可.【詳解】解:根據(jù)題意可知,.由,得,即.∴.開平方,得(舍去).【點睛】此題考查了相似多邊形的性質(zhì).注意相似多邊形的對應邊成比例.22.(2023秋·全國·九年級專題練習)如圖,點是菱形對角線的延長線上任意一點,以線段為邊作一個菱形,且菱形菱形,連接,求證:.【答案】證明見解析.【分析】由相似多邊形的性質(zhì)可得∠DAB=∠EAG,根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠EAB=∠GAD,根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AE=AG,AB=AD,利用SAS可證明△EAB≌△GAD,即可證明GD=EB.【詳解】∵菱形菱形,∴∠DAB=∠EAG,∴∠DAB+∠GAB=∠EAG+∠GAB,即∠EAB=∠GAD,∵四邊形ABCD、AEFG都是菱形,∴AE=AG,AB=AD,在△EAB和△GAD中,∴△EAB≌△GAD,∴GD=EB.【點睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì),根據(jù)多邊形的性質(zhì)得出∠DAB=∠EAG是解題關(guān)鍵.23.(2023秋·河南平頂山·九年級統(tǒng)考期末)如圖,閱讀探索:任意給定一個矩形A,是否存在另一個矩形B,它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半?假設存在,那么這個矩形叫作給定矩形的“減半”矩形.如圖矩形就是矩形ABCD的“減半”矩形.(1)當已知矩形A的兩邊長分別為6和1時,小亮同學是這樣研究的:設所求矩形B的兩邊長分別是x和y,由題意,得,消去y可得,∵,∴___________,___________;∴滿足要求的矩形B存在;(完成填空)請你繼續(xù)解決下列問題:(2)當矩形的長和寬分別為7和1時,它是否存在“減半”矩形?請作出判斷,并說明理由;(3)邊長為a的正方形存在“減半”正方形嗎?如果存在,求出“減半”正方形的邊長;如果不存在,說明理由.【答案】(1),;(2)存在,理由見解析;(3)不存在,理由見解析.【分析】(1)根據(jù)題意所列方程,解一元二次方程可得從而可得答案;(2)設所求矩形的兩邊長分別是x和y,由題意,得,消去y可得,再判斷方程是否有解即可得到結(jié)論;(3)利用兩個正方形是相似圖形,則周長之比與面積之比不相等,從而可得答案.【詳解】(1)解:由題意,得,消去y得:,則,∴∴,;當時,當時,,所以方程組的解為:或∴滿足要求的矩形B存在,邊長分別為:.(2)設所求矩形的兩邊長分別是x和y,由題意,得,消去y可得,∵,∴,∴∴存在“減半”矩形;(3)不存在.理由如下:因為兩個正方形是相似圖形,當它們的周長比為時,面積比必定是,所以正方形不存在“減半”正方形.【點睛】本題考查的是一元二次方程的應用,方程組的解法,相似圖形的判定與性質(zhì),理解題意,建立合適的數(shù)學模型解題是解本題的關(guān)鍵.24.(2023秋·全國·九年級專題練習)閱讀理解:給定一個矩形,如果存在另一個矩形,它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積
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