專題12相似多邊形（2個知識點2種題型1種中考考法）（解析版）-初中數(shù)學北師大版9年級上冊

專題12相似多邊形（2個知識點2種題型1種中考考法）【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡梳理法知識點1.相似多邊形的定義（重點）知識點2.相似多邊形的性質(zhì)及判定（重點）【方法二】實例探索法題型1.相似多邊形性質(zhì)的應用題型2.相似多邊形的判定【方法四】仿真實戰(zhàn)法考法.相似多邊形的判定【方法五】成果評定法【學習目標】了解相似多邊形和相似比的定義。會根據(jù)條件判斷兩個多邊形是否為相似多邊形，會求兩個相似多邊形的相似比。掌握相似多邊形的性質(zhì)，能據(jù)此進行簡單的計算。【知識導圖】【倍速學習五種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點1.相似多邊形的定義（重點）1.相似多邊形的定義：各角分別對應相等；各邊對應成比例的兩個多邊形是相似多邊形。如果五邊形ABCDEG與五邊形相似，記住五邊形ABCDEG五邊形數(shù)學表達式：如圖：“”讀作“相似于”2相似比：相似多邊形對應邊之比叫做相似比特別提醒：（1）兩個全等多邊形一定是相似多邊形，但相似多邊形不一定是全等多邊形；（2）相似多邊形相似比為1時，是全等多邊形，即全等多邊形是相似比為1的相似多邊形；（3）求兩個相似多邊形的相似比時，只求其對應邊之比即可?！纠?】下列各組四邊形中是相似多邊形的是（ ）（A）一組鄰邊為厘米和厘米與一組鄰邊為厘米和厘米的矩形（B）有一個內(nèi)角為的兩個菱形（C）邊長分別為厘米和厘米的兩個菱形（D）兩個高相等的等腰梯形【答案】B【解析】菱形一個內(nèi)角確定，則每個內(nèi)角都可以確定下來，同時，菱形四邊相等，對應成比例，可知B選項正確；A選項邊不對應成比例，C選項菱形有不穩(wěn)定性，形狀不固定，D選項等腰梯形形狀不固定．【總結(jié)】考查相似圖形的特征．【變式】如圖，有甲、乙、丙三個矩形，其中相似的是（

）

A．甲與丙 B．乙與丙 C．甲與乙 D．三個矩形都不相似【答案】A【分析】如果兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應角相等，對應邊成比例，這兩個多邊形叫做相似多邊形，據(jù)此作答．解：三個矩形的角都是直角，甲、乙、丙相鄰兩邊的比分別為，，，∴甲與丙相似，故選：A．【點撥】本題考查相似多邊形的概念，解題的關(guān)鍵是要考慮對應角相等，對應邊成比例．知識點2.相似多邊形的性質(zhì)及判定（重點）相似多邊形的定義既是它的判定方法，又是它的性質(zhì)：1.判定方法：如果兩個多邊形各角分別對應相等；各邊對應成比例，則這兩個多邊形是相似多邊形；2.性質(zhì)：相似多邊形各角分別對應相等；各邊對應成比例。如果兩個多邊形是相似形，那么這兩個多邊形的對應角相等，對應邊的長度成比例．當兩個相似的多邊形是全等形時，它們對應邊的長度的比值為1．注意！??！判斷兩個多邊形是否相似時，既要考慮對應角是否相等，又要考慮對應邊長度的比是否相等，二者缺一不可。學法指導：在判斷兩個多邊形是否為相似多邊形時，邊數(shù)相同、角分別相等容易判斷，而邊是否成比例則需要通過計算來確定，即分別計算長邊與長邊的比，短邊與短邊的比，在判斷時應注意對應關(guān)系?！纠?】在菱形與菱形中，，這兩個菱形相似嗎？為什么？【答案】菱形與菱形相似．理由見分析．【分析】根據(jù)如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，則這兩個多邊形是相似多邊形解答．解：在菱形與菱形中，設，，，，即菱形與菱形的對應角相等；又菱形的四條邊都相等，兩菱形的對應邊成比例，即菱形與菱形的對應邊的比相等，菱形與菱形相似．【點撥】本題考查了相似多邊形的判定，菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)和相似多邊形的判定定理．【例3】已知四邊形和四邊形是相似的圖形，并且點與點、點與 點、點與點、點與點分別是對應頂點，已知，， ，，，，，求，的長和的 度數(shù)．【答案】．【解析】相似形形狀完全相同，由此相似形各內(nèi)角對應相等，各邊對應成比例． 有，將代入，求得：，根據(jù)四邊形內(nèi)角和，可求得：，相似圖形對應角相等可知．【變式】如圖，已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一點E，沿AE將△ABE向上折疊，使B點落在AD上的F點，若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD＝．【答案】1+【分析】根據(jù)相似圖形的性質(zhì)先設未知數(shù)再解方程即可得到結(jié)果.解：∵矩形ABCD中，AF由AB折疊而得，∴ABEF是正方形．又∵AB=2，∴AF=AB=EF=2．設AD=x，則FD=x－2．∵四邊形EFDC與矩形ABCD相似，∴，即解得，（負值舍去）．經(jīng)檢驗是原方程的解．∴AD.故答案為【點撥】此題重點考查學生對相似圖形性質(zhì)的理解，掌握相似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【方法二】實例探索法題型1.相似多邊形性質(zhì)的應用1.如圖，一塊矩形綢布的長，寬，按照圖中的方式將它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗與矩形綢布相似，則a的值等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，則可利用相似多邊形的性質(zhì)構(gòu)建比例式，求解后即可得出結(jié)論．解：∵裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，∴，解得：或（不合題意，舍去），∴，故選：B．【點撥】此題考查了相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的對應邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．2.如圖，四邊形∽四邊形，若，，，則．【答案】【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)，當四邊形∽四邊形時，，，，再結(jié)合四邊形內(nèi)角和為可知．解：四邊形∽四邊形，，，，，，，由四邊形內(nèi)角和為可知，故答案為：．【點撥】本題考查利用相似多邊形性質(zhì)求角度問題，涉及四邊形內(nèi)角和為等知識，熟練掌握相似多邊形對應角相等是解決問題的關(guān)鍵．3.如圖，中，的平分線交于點，的平分線交于點．（1）求證：是菱形：（2）若，則的值為______．【答案】（1）見分析；（2）【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定解答即可；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)可以得到設，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)可得，列方程求出和的關(guān)系，從而可解答本題解：（1）∵的平分線交于點，∴．∵四邊形是平行四邊形，∴．∴．∴．∴．同理，．∴．∵∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．（2）由（1）知，四邊形是菱形，又四邊形是平行四邊形，，設，，則有：，即，整理得，解得，，，故答案為：【點撥】本題主要考查了靺的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及相似多邊形的性質(zhì)，求出與的數(shù)量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵4.如圖，矩形中，，線段，在上取一點，分別以、為一邊作矩形、矩形，使矩形與矩形相似，且點與點、點與點，點與點，點與點分別是對應頂點，令．求出矩形的面積與的函數(shù)關(guān)系式．【答案】．【解析】根據(jù)矩形與矩形相似，可對應得，因此，進而可求得：．題型2.相似多邊形的判定5.某小區(qū)有一塊矩形草坪長20米，寬10米，沿著草坪四周要修一寬度相等的環(huán)形小路，使得小路內(nèi)外邊緣所成的矩形相似，你能做到嗎？若能，求出這一寬度；若不能，說明理由.

【答案與解析】設小路寬為x米，則小路的外邊緣圍成的矩形的長為(20+2x)米，寬為(10+2x)米，將兩個矩形的長與寬分別相比，得長的比為，而寬的比為，

很明顯，所以做不到.

【總結(jié)升華】通過本題的探索可以發(fā)現(xiàn)：把一個矩形的長和寬同時增加或減小相同的長度，所得矩形與原來矩形一定不相似.因為.6．（2023秋·全國·九年級隨堂練習）如圖，一個矩形廣場的長為60m，寬為40m，廣場內(nèi)兩條縱向小路的寬均為1.5m，如果設兩條橫向小路的寬都為xm，那么當x為多少時，小路內(nèi)外邊緣所圍成的兩個矩形相似？【答案】當x為1m時，小路內(nèi)外邊緣所圍成的兩個矩形相似．【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)：對應邊的比相等列出比例式，解出x的值即可．【詳解】試題分析：根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)：對應邊的比相等列出比例式，解出x的值即可．解：∵小路內(nèi)外邊緣所圍成的兩個矩形相似，∴解得，x=1m，答：當x為1m時，小路內(nèi)外邊緣所圍成的兩個矩形相似．【點睛】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的性質(zhì)：對應邊的比相等是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，把一個矩形劃分成三個全等的小矩形．(1)若原矩形的長，寬．問：每個小矩形與原矩形相似嗎？請說明理由．(2)若原矩形的長，寬，且每個小矩形與原矩形相似，求矩形長與寬應滿足的關(guān)系式．【答案】(1)不相似；證明過程見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)劃分后小矩形的長為，寬為，可得，進而可判斷結(jié)論；（2）根據(jù)劃分后小矩形的長為，寬為，再根據(jù)每個小矩形與原矩形相似，可得，從而可得與的關(guān)系式．【詳解】（1）解：不相似．理由如下：∵原矩形的長，寬，∴劃分后小矩形的長為，寬為，又∵，即原矩形與每個小矩形的邊不成比例，∴每個小矩形與原矩形不相似．（2）∵原矩形的長，寬，∴劃分后小矩形的長為，寬為，又∵每個小矩形與原矩形相似，∴∴，即．【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是根據(jù)兩矩形相似得到比例式．8．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖1，將A4紙2次折疊，發(fā)現(xiàn)第一次的折痕與A4紙較長的邊重合，如圖2，將1張A4紙對折，使其較長的邊一分為二，沿折痕剪開，可得2張A5紙．（1）A4紙較長邊與較短邊的比為；（2）A4紙與A5紙是否為相似圖形？請說明理由．【答案】（1）；（2）相似，理由見解析【分析】（1）根據(jù)邊的關(guān)系得出比例等式解答即可；（2）根據(jù)相似圖形的判定解答即可．【詳解】解：（1）如圖1，設AB＝x，由上面兩個圖，由翻折的性質(zhì)我們知道，∠ACF＝∠HDF，∠ACB＝∠HDB，∠ECF=45°，∴∠BCF＝∠BDF=90°，又∵∠ACE＝∠ACB+∠ECB=∠BCF=∠BCE+∠ECF，∴∠ACB=∠ECF=45°，∴BC=x，∴BD＝BC＝x，AD＝AB+BD＝（+1）x，∴EF＝CE＝AD＝（+1）x，∵DE＝AC＝AB＝x，∴DF＝DE+EF＝（+2）x，∴，故答案為：．（2）由（1）知：A5紙長邊為A4紙短邊，長為（+1）x，A5紙短邊長為（）x，∴對A5紙，長邊：短邊，∴A4紙與A5紙相似．【點睛】此題考查了相似圖形，關(guān)鍵是根據(jù)相似圖形判斷和性質(zhì)解答．【方法三】仿真實戰(zhàn)法考法.相似多邊形的判定1．（2023?威海）如圖，四邊形ABCD是一張矩形紙片．將其按如圖所示的方式折疊：使DA邊落在DC邊上，點A落在點H處，折痕為DE；使CB邊落在CD邊上，點B落在點G處，折痕為CF．若矩形HEFG與原矩形ABCD相似，AD＝1，則CD的長為（）A．﹣1 B．﹣1 C．+1 D．+1【分析】設HG＝x，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠A＝∠ADH＝90°，AD＝BC＝1，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：∠A＝∠AHE＝90°，AD＝DH＝1，BC＝CG＝1，從而可得四邊形ADHE是正方形，然后利用正方形的性質(zhì)可得AD＝HE＝1，最后利用相似多邊形的性質(zhì)，進行計算即可解答．【解答】解：設HG＝x，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADH＝90°，AD＝BC＝1，由折疊得：∠A＝∠AHE＝90°，AD＝DH＝1，BC＝CG＝1，∴四邊形ADHE是矩形，∵AD＝DH，∴四邊形ADHE是正方形，∴AD＝HE＝1，∵矩形HEFG與原矩形ABCD相似，∴＝，∴＝，解得：x＝﹣1或x＝﹣﹣1，經(jīng)檢驗：x＝﹣1或x＝﹣﹣1都是原方程的根，∵GH＞0，∴GH＝﹣1，∴DC＝2+x＝+1，故選：C．【點評】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，解一元二次方程﹣公式法，矩形的性質(zhì)，翻折變換（折疊問題），正方形的判定與性質(zhì)熟練掌握相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【方法四】成果評定法一、單選題1．（2023秋·安徽蚌埠·九年級統(tǒng)考期末）下列說法正確的有個（

）（1）任意兩個矩形都相似

（2）任意兩個正方形都相似（3）任意兩個等邊三角形都相似

（4）任意兩個菱形都相似．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用相似多邊形的定義：如果兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應角相等，對應邊成比例，這兩個多邊形叫做相似多邊形，即可進行判斷．【詳解】解：（1）雖然兩個矩形的對應角都是直角，但是對應邊不一定成比例，所以任意兩個矩形不一定相似，故說法錯誤；（2）兩個正方形的對應邊成比例，對應角都是直角，所以任意兩個正方形一定相似，故說法正確；（3）兩個等邊三角形的對應邊一定成比例，對應角都是，所以任意兩個等邊三角形一定相似，故說法正確；（4）兩個菱形的對應邊一定成比例，對應角不一定相等，所以任意兩個菱形不一定相似，故說法錯誤．故選C．【點睛】本題考查了相似多邊形的定義．注意從對應邊與對應角兩個方面考慮．2．（2023秋·全國·九年級專題練習）下列形狀分別為兩個正方形、矩形、正三角形、圓的邊框，其中不一定是相似圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)相似圖形的定義，形狀相同，可得出答案．【詳解】解：A、兩個正方形形狀相同，是相似圖形，不符合題意；B、兩個長方形形狀不同，不是相似圖形，符合題意；C、兩個等邊三角形形狀相同，是相似圖形，不符合題意；D、兩圓形形狀相同，是相似圖形，不符合題意；故選：B．【點睛】本題主要考查相似圖形的定義，掌握相似圖形形狀相同是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·九年級課時練習）把一根鐵絲首尾相接圍成一個長為，寬為的矩形，要將它按如圖所示的方式向外擴張得到矩形，使矩形矩形，則這根鐵絲需增加（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由圖形知，擴張后的長方形寬為，設長為，根據(jù)相似長方形的性質(zhì)列式計算求得，再計算即可求解．【詳解】解：原長方形的長和寬分別為和，由圖形知，擴張后的長方形寬為，設長為，∵矩形矩形，∴，∴，經(jīng)檢驗，是分式方程的解，∴擴張后的長方形長為，原長方形的周長為，擴張后長方形的周長為，，∴這根鐵絲需增加，故選：D．【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，把一個矩形剪去一個正方形，剩下的矩形與原矩形相似，則原矩形的長與寬的比為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設原來矩形的長為，寬為，則減去的正方形的邊長為，剩下的矩形的長為，寬為，剩下的矩形與原矩形相似，利用對應邊成比例得，然后計算求得原矩形的長與寬的比即可．【詳解】解：設：原來矩形的長為，寬為，則減去的正方形的邊長為，剩下的矩形的長為，寬為，∵剩下的矩形與原矩形相似，∴，整理得：，各項同時除以得：，令，則，解得：，（舍），∴原矩形的長與寬的比，故選：A．【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)列出方程，并舍去不合題意的解是解答本題的關(guān)鍵．5．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，四邊形四邊形，若，，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用相似多邊形的性質(zhì)得到，然后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和計算的度數(shù)即可．【詳解】解：四邊形四邊形，，，故選：B．【點睛】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例，也考查了四邊形的內(nèi)角和．6．（2023秋·全國·九年級專題練習）將不等邊三角形、等邊三角形、正方形、矩形各邊向外平移1個單位并適當延長，得到下列圖形，變化前后的兩個圖形不相似的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)相似多邊形的定義，結(jié)合圖形，對選項一一分析，排除不符合要求答案．【詳解】解：A、兩個不等邊三角形形狀相同，符合相似形的定義，故A選項不符合題意；B、兩個等邊三角形形狀相同，符合相似形的定義，故B選項不符合題意；C、兩個正方形形狀相同，符合相似形的定義，故C選項不符合題意；D、兩個矩形，雖然四個角對應相等，但對應邊不成比例，故D選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查相似多邊形的定義，熟練掌握相似圖形的定義是解題的關(guān)鍵，相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例．7．（2023秋·浙江·九年級專題練習）下列多邊形一定相似的是（

）A．兩個菱形 B．兩個平行四邊形 C．兩個矩形 D．兩個正方形【答案】D【分析】利用相似多邊形的對應邊的比相等，對應角相等分析．【詳解】解：要判斷兩個多邊形是否相似，需要看對應角是否相等，對應邊的比是否相等．矩形、菱形、平行四邊形都屬于形狀不唯一確定的圖形，即對應角、對應邊的比不一定相等，故不一定相似，A、B、D錯誤；而兩個正方形，對應角都是，對應邊的比也都相等，故一定相似，C正確．故選：D．【點睛】本題考查相似多邊形的識別．判定兩個圖形相似的依據(jù)是：對應邊的比相等，對應角相等．兩個條件必須同時具備．8．（2023春·浙江嘉興·九年級?？奸_學考試）已知矩形的長與寬分別為4和3，下列矩形與它相似的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)相似圖形的定義：所有的對應邊對應成比例，所有的對應角相等，進行判斷即可．【詳解】解：因為矩形的所有內(nèi)角均為90°，∴所有矩形的對應角均相等，∴當兩個矩形相似時，長比長等于寬比寬，∴滿足題意的只有C選項，故選C．【點睛】本題考查相似圖形．熟練掌握相似圖形的定義，是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖1是古希臘時期的巴臺農(nóng)神廟（ParthenomTemple），把圖1中用虛線表示的矩形畫成圖2矩形，當以矩形的寬為邊作正方形時，驚奇地發(fā)現(xiàn)矩形與矩形相似，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)相似圖形的性質(zhì)，列出比例式，進行求解即可．【詳解】解：∵矩形與矩形相似，∴，∵四邊形為正方形，∴，∵，∴，∴，∴，即：，設，則：，解得：（負值已舍去）；∴；故選D．【點睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解一元二次方程．熟練掌握相似多邊形的對應邊對應成比例，是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，一塊矩形綢布的長，寬，按照圖中的方式將它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗與矩形綢布相似，則a的值等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，則可利用相似多邊形的性質(zhì)構(gòu)建比例式，求解后即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，∴，解得：或（不合題意，舍去），∴，故選：B．【點睛】此題考查了相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的對應邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2023秋·九年級課前預習）如果四邊形ABCD的四條邊長分別為54cm、48cm、45cm、63cm，另一個和它相似的四邊形的最長邊長為21cm，那么這個四邊形的最短邊的長度為．【答案】15cm【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD與另一個四邊形相似，∴設另一個四邊形的最短邊的長度為x，∴，解得：．∴這個四邊形的最短邊的長度為15cm．故答案為：15cm．【點睛】此題考查了相似多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似多邊形的性質(zhì)．相似多邊形的對應邊成比例，對應角相等．12．（2023·陜西西安·?？寄M預測）書籍和紙張的長與寬的比值都有固定的尺寸，即同一系列的紙張長與寬的比均相同．將如圖所示的紙張沿長邊對折裁剪，得到兩張A1型號紙張．若A1與原紙張屬同一系列紙張，則該系列紙張的長與寬（長大于寬）之比為．

【答案】【分析】先根據(jù)條件找出已知長和寬，再根據(jù)已知找出等量關(guān)系的兩種紙張長寬比例相等列出比例式子即可求解．【詳解】解：設A1紙的長和寬分別為m，n，則原紙張的長和寬分別為2n，m，根據(jù)題意可得，，即該系列紙張的長與寬之比為．故答案為：．【點睛】本題考查的是矩形的折疊問題．解題的關(guān)鍵在于是否能根據(jù)題意列出等量關(guān)系式．13．（2023秋·陜西西安·九年級?？茧A段練習）如圖，已知五邊形與五邊形相似且相似比為，，則．

【答案】【分析】利用相似五邊形的對應邊之比等于相似比建立方程求解即可．【詳解】解：∵五邊形與五邊形相似且相似比為，∴，∵，∴，∴，經(jīng)檢驗符合題意；故答案為：【點睛】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，熟記相似多邊形的對應邊的比即為相似比是解本題的關(guān)鍵．14．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知四邊形四邊形，，，，則．【答案】【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)，兩個四邊形相似，對應邊成比例即可得到答案．【詳解】解：四邊形四邊形，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，熟記兩個多邊形相似，對應邊成比例是解決問題的關(guān)鍵．15．（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖，矩形中，，，剪去一個矩形后，余下的矩形矩形，則的長為．【答案】1【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得，即，然后利用比例性質(zhì)求出即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵余下的矩形矩形，∴，即，∴，故答案為：1．【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，則這兩個多邊形是相似多邊形；相似多邊形對應邊的比叫做相似比．16．（2023秋·九年級課時練習）已知五邊形五邊形，，，，，則．【答案】【分析】首先根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得到，，然后根據(jù)五邊形的內(nèi)角和為即可解答．【詳解】解：∵五邊形五邊形，∴，，又∵五邊形的內(nèi)角和為，∴，故答案為：．【點睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握相似多邊形的對應角相等．17．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，把一個大長方形劃分成三個全等的小長方形，若每一個小長方形均與大長方形相似，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)題意可得，矩形矩形，然后利用相似多邊形的性質(zhì)可得，從而可得，進行計算即可解答．【詳解】解：如圖：由題意得：，矩形矩形，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2023秋·九年級課時練習）如圖，矩形的對稱軸交于點E，交于點F．若矩形與矩形相似，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)相似多邊形的對應邊成比例進行計算即可解答．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∵矩形的對稱軸分別交于點E，交于點F，∴，∵矩形與矩形相似，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似多邊形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握相似多邊形的對應邊成比例是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．（2023秋·全國·九年級專題練習）閱讀理解：給定一個矩形，如果存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的2倍，則這個矩形是給定矩形的“加倍”矩形．如圖，矩形是矩形的“加倍”矩形．解決問題：（1）當矩形的長和寬分別為3，2時，它是否存在“加倍”矩形？若存在，求出“加倍”矩形的長與寬，若不存在，請說明理由．（2）邊長為的正方形存在“加倍”正方形嗎？請做出判斷，并說明理由．【答案】（1）存在；見解析；（2）不存在；見解析．【分析】（1）設“加倍”矩形的一邊為，則另一邊為，根據(jù)面積是已知矩形面積的2倍列出方程，求解即可；（2）根據(jù)題意：若兩個正方形是相似圖形，根據(jù)相似圖形的性質(zhì)，面積比是相似比即周長比的平方；故不存在“加倍”正方形；【詳解】（1）解：存在設“加倍”矩形的一邊為，則另一邊為，則：，解之得：，，∴；∴，答：“加倍”矩形的長為，寬為；（2）不存在，因為兩個正方形是相似圖形，當它們的周長比為2時，則面積比必定是4，所以不存在．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；相似多邊形的性質(zhì)，解答本題要充分利用所有正方形相似的特殊性質(zhì)．20．（2023秋·全國·九年級專題練習）閱讀理解：給定一個矩形，如果存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的一半，則這個矩形是給定矩形的“減半”矩形．如圖，矩形是矩形的“減半”矩形．請你解決下列問題：（1）當矩形的長和寬分別為，時，它是否存在“減半”矩形？請作出判斷，并說明理由．（2）邊長為的正方形存在“減半”正方形嗎？如果存在，求出“減半”正方形的邊長；如果不存在，請說明理由．【答案】（1）存在；理由見解析；（2）不存在，理由見解析．【分析】（1）假設存在，不妨設“減半”矩形的長和寬分別為x、y，根據(jù)如果存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的一半，可列出方程組求解．（2）正方形和其他的正方形是相似圖形，周長比是2，面積比就應該是4，所以不存在“減半”正方形．【詳解】解：（1）存在假設存在，不妨設“減半”矩形的長和寬分別為，，則，由①，得：，③把③代入②，得，解得，．所以“減半”矩形長和寬分別為與．（2）不存在因為兩個正方形是相似圖形，當它們的周長比為時，面積比必定是，所以正方形不存在“減半”正方形．【點睛】本題考查反證法和相似圖形的性質(zhì)，關(guān)鍵知道相似圖形的面積比，周長比的關(guān)系．21．（2023秋·全國·九年級課堂例題）如圖，一塊矩形綢布的長，寬，按照圖中所示的方式將它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，即，那么a的值應當是多少？【答案】【分析】由裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意可知，．由，得，即．∴．開平方，得（舍去）．【點睛】此題考查了相似多邊形的性質(zhì)．注意相似多邊形的對應邊成比例．22．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，點是菱形對角線的延長線上任意一點，以線段為邊作一個菱形，且菱形菱形，連接，求證：．【答案】證明見解析．【分析】由相似多邊形的性質(zhì)可得∠DAB=∠EAG，根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠EAB=∠GAD，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AE=AG，AB=AD，利用SAS可證明△EAB≌△GAD，即可證明GD=EB．【詳解】∵菱形菱形，∴∠DAB=∠EAG，∴∠DAB+∠GAB=∠EAG+∠GAB，即∠EAB=∠GAD，∵四邊形ABCD、AEFG都是菱形，∴AE=AG，AB=AD，在△EAB和△GAD中，∴△EAB≌△GAD，∴GD=EB．【點睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)多邊形的性質(zhì)得出∠DAB=∠EAG是解題關(guān)鍵．23．（2023秋·河南平頂山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，閱讀探索：任意給定一個矩形A，是否存在另一個矩形B，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半？假設存在，那么這個矩形叫作給定矩形的“減半”矩形．如圖矩形就是矩形ABCD的“減半”矩形．(1)當已知矩形A的兩邊長分別為6和1時，小亮同學是這樣研究的：設所求矩形B的兩邊長分別是x和y，由題意，得，消去y可得，∵，∴___________，___________；∴滿足要求的矩形B存在；（完成填空）請你繼續(xù)解決下列問題：(2)當矩形的長和寬分別為7和1時，它是否存在“減半”矩形？請作出判斷，并說明理由；(3)邊長為a的正方形存在“減半”正方形嗎？如果存在，求出“減半”正方形的邊長；如果不存在，說明理由．【答案】(1)，；(2)存在，理由見解析；(3)不存在，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)題意所列方程，解一元二次方程可得從而可得答案；（2）設所求矩形的兩邊長分別是x和y，由題意，得，消去y可得，再判斷方程是否有解即可得到結(jié)論；（3）利用兩個正方形是相似圖形，則周長之比與面積之比不相等，從而可得答案．【詳解】（1）解：由題意，得，消去y得：，則，∴∴，；當時，當時，，所以方程組的解為：或∴滿足要求的矩形B存在，邊長分別為：．（2）設所求矩形的兩邊長分別是x和y，由題意，得，消去y可得，∵，∴，∴∴存在“減半”矩形；（3）不存在．理由如下：因為兩個正方形是相似圖形，當它們的周長比為時，面積比必定是，所以正方形不存在“減半”正方形．【點睛】本題考查的是一元二次方程的應用，方程組的解法，相似圖形的判定與性質(zhì)，理解題意，建立合適的數(shù)學模型解題是解本題的關(guān)鍵．24．（2023秋·全國·九年級專題練習）閱讀理解：給定一個矩形，如果存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積