2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊常見幾何模型全歸納之模型解讀與提分精練（浙教版）專題04 圓中的重要模型之圓冪定理模型（原卷版）

專題04圓中的重要模型之圓冪定理模型圓冪定理是一個總結(jié)性的定理，是對相交弦定理、切割線定理、割線定理、弦切角定理、托勒密定理以及它們推論的統(tǒng)一與歸納?？赡苁窃?9世紀由德國數(shù)學(xué)家施泰納（Steiner）或者法國數(shù)學(xué)家普朗克雷（Poncelet）提出的。圓冪定理的用法：可以利用圓冪定理求解與圓有關(guān)的線段比例、角度、面積等問題。模型1.相交弦模型條件：在圓O中，弦AB與弦CD交于點E，點E在圓O內(nèi)。結(jié)論：。例1．（2023·山東菏澤·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知、、、在同一個圓上，，與交于，若，，且線段、為正整數(shù)，則．

例2．（2022春·廣東九年級期中）如圖，為外接圓⊙O的直徑，交于點F，且．(1)求證：是⊙O的切線；(2)求證：；(3)若，，，求⊙O的半徑．例3．（2023·江西宜春·統(tǒng)考模擬預(yù)測）閱讀與思考九年級學(xué)生小剛喜歡看書，他在學(xué)習(xí)了圓后，在家里突然看到某本數(shù)學(xué)書上居然還有一個相交弦定理（圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等），下面是書上的證明過程，請仔細閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．圓的兩條弦相交，這兩條弦被交點分成的兩條線段的積相等．已知：如圖1，的兩弦相交于點P．求證：．證明：如圖1，連接．∵，．∴，（根據(jù)）∴@，∴，∴兩條弦相交，被交點分成的兩條線段的積相等．任務(wù)：(1)請將上述證明過程補充完整．根據(jù)：____________；@：____________．(2)小剛又看到一道課后習(xí)題，如圖2，AB是的弦，P是上一點，，，，求的半徑．模型2.雙割線模型條件：如圖，割線CH與弦CF交圓O于點E和點G。結(jié)論：例1．（2023·浙江九年級月考）已知、為的兩條割線，，，，，則的半徑為．例2．（2023·北京九年級月考）如圖，PAB為⊙O的割線，且PA＝AB＝3，PO交⊙O于點C，若PC＝2，則⊙O的半徑的長為（）A． B． C． D．7例3．（2022·河南洛陽·統(tǒng)考一模）我們知道，直線與圓有三種位置關(guān)系：相交、相切、相離．當(dāng)直線與圓有兩個公共點（即直線與圓相交）時，這條直線就叫做圓的割線．割線也有一些相關(guān)的定理．比如，割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的距離的積相等．下面給出了不完整的定理“證明一”，請補充完整．已知：如圖①，過外一點作的兩條割線，一條交于、點，另一條交于、點．求證：．證明一：連接、，∵和為所對的圓周角，∴______．又∵，∴______，∴______．即．研究后發(fā)現(xiàn)，如圖②，如果連接、，即可得到學(xué)習(xí)過的圓內(nèi)接四邊形．那么或許割線定理也可以用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)來證明．請根據(jù)提示，獨立完成證明二．證明二：連接、，模型3.切割線模型條件：如圖，CB是圓O的切線，CA是圓O的割線。結(jié)論：例1．（2023春·河南·九年級專題練習(xí)）如圖，切于點A，是的割線，若，則．

例2．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考二模）如圖，是的直徑，點在上，點在的延長線上，連接，且．(1)求證：；(2)判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．

例3．（2022·河南駐馬店·?？级＃┰跀?shù)學(xué)課上，當(dāng)老師講到直線與圓的位置關(guān)系時，張明同學(xué)突發(fā)奇想，特殊線與圓在不同的位置情況下會有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？于是在課下他查閱了老師推薦他的《幾何原本》，這本書是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)著作．它是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛地認為是歷史上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何部分最成功的教科書．其中第三卷命題36-2圓冪定理（切割線定理）內(nèi)容如下：切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長比例中項．（比例中項的定義：如果、、三個量成連比例即，則叫做和的比例中項）(1)為了說明材料中定理的正確性，需要對其進行證明，下面已經(jīng)寫了不完整的“已知”和“求證”，請補充完整，并寫出證明過程．已知：如圖，是圓外一點，是圓的切線，直線為圓的割線．求證：證明：(2)已知，，則的長度是．模型4.弦切角模型條件：如圖，CB是圓O的切線，AB是圓O的直徑。結(jié)論：1）；2）；3）。例1．（2023·廣西九年級期中）定義：弦切角：頂點在圓上，一邊與圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角．問題情景：已知如圖所示，直線是的切線，切點為，為的一條弦，為弧所對的圓周角．（1）猜想：弦切角與之間的關(guān)系．試用轉(zhuǎn)化的思想：即連接并延長交于點，連接，來論證你的猜想．（2）用自己的語言敘述你猜想得到的結(jié)論．例2．（2022·河北秦皇島·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）小高同學(xué)在一本數(shù)學(xué)課外讀物上看到一個與圓相關(guān)的角——弦切角（弦切角的定義：把頂點在圓上，一邊與圓相切，另一邊和圓相交的角叫做弦切角），知道了弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓周角度數(shù)．【證明】在證明時，細心的小高考慮了三種情況，圓心在弦切角的一條邊上，圓心在弦切角外，圓心在弦切角內(nèi)．如圖1，與相切于點，為直徑，當(dāng)圓心在上時，容易得到，所以弦切角，請幫助小高繼續(xù)解決下面的問題．(1)如圖2，是的切線，為切點，為直徑，夾弧所對的圓周角為，求證：(2)如圖3，是的切線，為切點，夾弧所對的圓周角為．求證；【解決問題】(3)如圖4，中，，以為直徑的交于點，過點作的切線交的延長線于點，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系：______例3．（2022·山西大同·九年級校聯(lián)考期中）閱讀與思考閱讀下面內(nèi)容并完成任務(wù)：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角．如圖1，直線與相切于點，為的弦，叫弦切角，叫做弦切角所夾的弧，是所對的圓周角，為直徑時，很容易證明．小華同學(xué)認為這是一種特殊情況，若不是直徑會如何呢？即在圖2中嗎？她連接并延長，交于點，連接…問題得到了解決．小穎同學(xué)利用圖3證明了當(dāng)弦切角為直角時，弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角．小亮積極思考，提出當(dāng)弦切角為鈍角時，能證明（如圖4）嗎？任務(wù)：(1)請按照小華的思路，利用圖2證明；(2)結(jié)合小華、小穎的思路或結(jié)論，利用圖4解答小亮提出的問題；(3)寫出在上面解決問題的過程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想：______（寫出兩種）；(4)解決問題：如圖5，點為的弦延長線上一點，切于點，連接，，，，則______°模型5.托勒密定理模型條件：如圖，AB、CD是圓O的兩條弦；結(jié)論：例1．（2023·山西晉中·九年級統(tǒng)考期末）閱讀以下材料，并完成相應(yīng)任務(wù)：托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希臘著名的天文學(xué)家，他的著作《天文學(xué)大成》被后人稱為“偉大的數(shù)學(xué)書”，托勒密有時把它叫作《數(shù)學(xué)文集》，托勒密從書中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理．托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積之和．已知：如圖1，四邊形內(nèi)接于．求證：下面是該結(jié)論的證明過程：證明：如圖2，作，交于點E．∵∴（依據(jù)1）∴（依據(jù)2）∴∴∵∴∵∴即∴∴∴∴任務(wù)：（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)1：____________________________________________．依據(jù)2：____________________________________________．（2）如圖3，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，，，點D為的中點，求的長．例2．（2023春·河南平頂山·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）請閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：羅狄斯托勒密（ClaudiusPtolemaeus，約90年168年），“地心說”的集大成者，生于埃及，著名的天文學(xué)家，地理學(xué)家、占星學(xué)家和光學(xué)家．托勒密定理實出自依巴谷（Hipparchus）之手，托勒密從他的書中摘出并加以完善．托勒密定理：圓的內(nèi)接四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積．如圖1，四邊形內(nèi)接于，求證：下面是該結(jié)論的證明過程：證明：如圖1，作，交于點E．∵，∴（依據(jù)1），∴（依據(jù)2），∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，…任務(wù)：(1)托勒密定理的逆命題是______；上述證明過程中的“依據(jù)1”為______；“依據(jù)2”為______；(2)請完成后續(xù)證明；(3)如圖2，以為直徑的中，點C為上一點，且，的角平分線交于點D，連接，若，求的長．課后專項訓(xùn)練1．（2023·江蘇九年級期中）如圖，與切于點，是的割線，如果，那么的長為（）A． B． C． D．2．（2023·廣西九年級期中）如圖，為外一點，過點作的兩條割線，分別交于、和、，且為的直徑，已知，弧弧，則的長為（）A． B． C． D．3.（2023·江蘇無錫·九年級階段練習(xí)）如圖，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割線，如果PB=2，PC=4，則PA的長為．4．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）如圖，已知的兩條直角邊的長分別為3，4，以為直徑作圓與斜邊交于點D，則．

5．（2023九年級課時練習(xí)）如圖AB與圓O相切于A，D是圓O內(nèi)一點，DB與圓相交于C．已知BC＝DC＝3，OD＝2，AB＝6，則圓的半徑為．6．（2023春·北京通州·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）在與圓有關(guān)的比例線段探究學(xué)習(xí)中，某興趣小組發(fā)現(xiàn)有三種不同情況，并完成了情況一的證明．請你選擇情況二或者情況三中的一種情況進行證明．為上的點，直線相交于點．證明情況一點P在⊙O內(nèi)時，連接（如圖1）：，∴∴，即情況二點P在⊙O外時（如圖2）：情況三當(dāng)點A和點B重合時（如圖3）7．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）如圖，是的外按圓，是的直徑，點D是外一點，平分，過點A作直線的垂線，垂足為點D，連接，點E是的中點，連接．(1)求證：是的切線；(2)若的直徑為10，，求的長．

8．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，是的外接圓，點在邊上，的平分線交圓于點，連接，過作交的延長線與點，(1)求證：是的切線；(2)若，求的長

9．（2023·云南昆明·統(tǒng)考一模）如圖，P是以O(shè)為圓心的兩個同心圓外一點，過P點的兩條直線分別與大圓O交于A、B、C、D四個點，其中一條直線交小圓O于F點，F(xiàn)為線段的中點，，，垂足為E．(1)求證：為小圓O的切線；(2)若，，求大圓的半徑．

10．（2023·廣東揭陽·統(tǒng)考一模）歐幾里德，古希臘著名數(shù)學(xué)家．被稱為“幾何之父”．他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛地認為是歷史上最成功的教科書．他在第三卷中提出這樣一個命題：“由已知點作直線切于已知圓”．如圖1，設(shè)點是已知點，圓是已知圓，對于上述命題，我們可以進行如下尺規(guī)作圖：①連接，作線段的中點；②以為圓心，以為半徑作圓，與圓交于兩點和；③連接、，則、是圓的切線．(1)按照上述作圖步驟在圖1中補全圖形；(2)為了說明上述作圖的正確性，需要對其證明，請寫出證明“、是圓的切線”的過程；(3)如圖2，連接并延長交圓于點，連接，已知，，求圓的半徑．11．（2023·湖北·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，以的中點為圓心、為半徑的圓交于點，是的中點，連接，．(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)求證；(3)若，，求的長．12．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，為⊙O的直徑，且，與為圓內(nèi)的一組平行弦，弦交于點H．點A在上，點B在上，．(1)求證：．(2)求證：．(3)在⊙O中，沿弦所在的直線作劣弧的軸對稱圖形，使其交直徑于點G．若，求的長．

13．（2023秋·山西大同·九年級?？计谀┤鐖D在中，，以為直徑的交于點D，點E是上的一點．(1)當(dāng)點E在的什么位置，與相切?并說明理由；(2)求證：．

14．（2023秋·黑龍江大慶·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在⊙中，直徑與弦相交于點，連接、．(1)求證：；(2)連接，若，，求⊙的半徑．15．（2023·山東濟寧·一模）如圖，邊長為6的等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，點D為AC上的動點（點A、C除外），BD的延長線交⊙O于點E，連接CE．(1)求證；(2)當(dāng)時，求CE的長．16．（2022·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，對角線，相交于點E，點F在邊上，連接．(1)求證：；(2)當(dāng)時，則___________；___________；___________．（直接將結(jié)果填寫在相應(yīng)的橫線上）(3)①記四邊形，的面積依次為，若滿足，試判斷，的形狀，并說明理由．②當(dāng)，時，試用含m，n，p的式子表示．

17．（2022秋·廣東九年級期中）探究問題：

(1)閱讀理解：①如圖A，在所在平面上存在一點P，若它到三個頂點的距離之和最小，則稱點P為的費馬點，此時的值為的費馬距離．②如圖B，若四邊形的四個頂點在同一個圓上，則有，此為托勒密定理．知識遷移：①請你利用托勒密定理解決如下問題：如圖C，已知點P為等邊外接圓的上任意一點．求證：；②根據(jù)（2）①的結(jié)論，我們有如下探尋（其中均小于）的費馬點和費馬距離的方法：第一步：如圖D，在的外部以為一邊作等邊及其外接圓；第二步：在上任取一點，連接．易知________；第三步：請你根據(jù)（1）①中定義，在圖D中找出的費馬點P，則線段______的長度即為的費馬距離．(2)知識應(yīng)用：今年以來某市持續(xù)干旱，許多村莊出現(xiàn)了人、畜飲水困難的問題，為解決老百姓的飲水問題，解放軍某部來到該市某地打井取水．已知三村莊A、B、C構(gòu)成了如圖E所示的（其中，均小于），現(xiàn)選取一點P打水井，使從水井P到三村莊A、B、C所鋪設(shè)的輸水管總長度最小，求輸水管總長度的最小值．18．（2022秋·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)托勒密，古希臘天問學(xué)家、地理學(xué)家和光學(xué)家，而他在數(shù)學(xué)方面也有重大貢獻，下面就是托勒密發(fā)現(xiàn)的一個定理，圓內(nèi)接四邊形的兩組對邊乘積之和等于兩條對角線的乘積．下面是該定理的證明過程（部分）已知：如圖①四邊形是的內(nèi)接四邊形

求證：證明：以C頂點，為一邊作交于點E，使得又∵∴∴

∴，又，∴∴∴，∴∴

∴

即任務(wù)：(1)請將“托勒密”定理的證明過程補充完整；(2)當(dāng)圓內(nèi)接四邊形是矩形時，托勒密定理就是我們非常熟知的一個定理：．(3)如圖②若，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并利用托勒密定理證明這個結(jié)論．

19．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考二模）請閱讀下列材料，解答問題：克羅狄斯·托勒密（約90年—168年），是希臘數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家，地理學(xué)家和占星家．在數(shù)學(xué)方面，他還論證了四邊形的特性，即有名的托勒密定理．托