2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊常見幾何模型全歸納之模型解讀與提分精練（浙教版）專題13 圓中的輔助線模型（解析版）

專題13.圓中的輔助線模型在平面幾何中，與圓有關(guān)的許多題目需要添加輔助線來解決。百思不得其解的題目，添上合適的輔助線，問題就會迎刃而解，思路暢通，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。添加輔助線的方法有很多，本專題通過分析探索歸納八類圓中常見的輔助線的作法。模型1、遇弦連半徑（構(gòu)造等腰三角形）【模型解讀】已知AB是⊙O的一條弦，連接OA，OB，則∠A＝∠B．在圓的相關(guān)題目中，不要忽略隱含的已知條件。當(dāng)我們要解決有關(guān)角度、長度問題時，通?？梢赃B接半徑構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理及圓中的相關(guān)定理，還可連接圓周上一點(diǎn)和弦的兩個端點(diǎn)，根據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角，解決角度或長度的計算問題例1．（2023秋·重慶·九年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)，，在上，，，連接交于點(diǎn)，則的度數(shù)是（

）A．108° B．109° C．110° D．112°【答案】B【分析】連接，由已知條件求得，由，得，繼而求得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和性質(zhì)，即可求得．【詳解】如解圖，連接，，∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角定理，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，等邊對等角，熟悉以上知識是解題的關(guān)鍵．例2．（2023?宜興市期中）如圖所示，AB為⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB、CD的延長線交于點(diǎn)E，已知AB＝2DE，∠AEC＝20°．求∠AOC的度數(shù)．【分析】連接OD，如圖，由AB＝2DE，AB＝2OD得到OD＝DE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠DOE＝∠E＝20°，再利用三角形外角性質(zhì)得到∠CDO＝40°，加上∠C＝∠ODC＝40°，然后再利用三角形外角性質(zhì)即可計算出∠AOC．【解析】連接OD，如圖，∵AB＝2DE，而AB＝2OD，∴OD＝DE，∴∠DOE＝∠E＝20°，∴∠CDO＝∠DOE+∠E＝40°，而OC＝OD，∴∠C＝∠ODC＝40°，∴∠AOC＝∠C+∠E＝60°．【點(diǎn)評】本題考查了圓的認(rèn)識：掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．例3．（2023?浙江一模）如圖，將大小不同的兩塊量角器的零度線對齊，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圓周上，設(shè)圖中兩圓周的交點(diǎn)為P，且點(diǎn)P在小量角器上對應(yīng)的刻度為63°，那么點(diǎn)P在大量角器上對應(yīng)的刻度為（只考慮小于90°的角）（）A．54° B．55° C．56° D．57°【分析】連接O1P，O2P，如圖，先根據(jù)O1P＝O1O2得到∠O1PO2＝∠O1O2P＝63°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠PO1O2即可．【解析】連接O1P，O2P，如圖，∵P在小量角器上對應(yīng)的刻度為63°，即∠O1O2P＝63°，而O1P＝O1O2，∴∠O1PO2＝∠O1O2P＝63°，∴∠PO1O2＝180°﹣63°﹣63°＝54°，即點(diǎn)P在大量角器上對應(yīng)的刻度為54°（只考慮小于90°的角）．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．例4．（2023·重慶初三三模）如圖，AB是⊙O的直徑，且經(jīng)過弦CD的中點(diǎn)H，已知tan∠CDB＝，BD＝10，則OH的長度為（）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】連接OD，由垂徑定理得出AB⊥CD，由三角函數(shù)求出DH＝8，BH＝6，設(shè)OH＝x，則OD＝OB＝x+6，在Rt△ODH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解析】解：連接OD，如圖所示：∵AB是⊙O的直徑，且經(jīng)過弦CD的中點(diǎn)H，∴AB⊥CD，∴∠OHD＝∠BHD＝90°，∵tan∠CDB＝＝，BD＝10，∴DH＝8，BH＝6，設(shè)OH＝x，則OD＝OB＝x+6，在Rt△ODH中，由勾股定理得：x2+82＝（x+6）2，解得：x＝，∴OH＝；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了垂弦定理、三角函數(shù)和勾股定理的知識，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．模型2、遇弦作弦心距（解決有關(guān)弦長的問題）【模型解讀】已知AB是⊙O的一條弦，過點(diǎn)OE⊥AB，則AE＝BE，OE2+AE2=OA2。在圓中，求弦長、半徑或圓心到弦的距離時，常添加弦心距，或作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過弦的端點(diǎn)的半徑。利用垂徑定理、圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系、弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。一般有弦中點(diǎn)、或證明弦相等或已知弦相等時，常作弦心距。例1．（2023年浙江省衢州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖是一個圓形餐盤的正面及其固定支架的截面圖，凹槽是矩形．當(dāng)餐盤正立且緊靠支架于點(diǎn)A，D時，恰好與邊相切，則此餐盤的半徑等于cm．

【答案】10【分析】連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則點(diǎn)為餐盤與邊的切點(diǎn)，由矩形的性質(zhì)得，，，則四邊形是矩形，，得，，，設(shè)餐盤的半徑為，則，，然后由勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】由題意得：，，如圖，連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，

餐盤與邊相切，點(diǎn)為切點(diǎn)，四邊形是矩形，，，，四邊形是矩形，，，，，設(shè)餐盤的半徑為，則，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，餐盤的半徑為，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·湖南九年級期中）如圖，將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心，則折痕AB的長為________．【答案】cm【分析】在圖中構(gòu)建直角三角形，先根據(jù)勾股定理得AD的長，再根據(jù)垂徑定理得AB的長即可．【詳解】如圖：作OD⊥AB于D，連接OA．根據(jù)題意得：OD＝OA＝1cm，再根據(jù)勾股定理得：AD＝＝＝cm，由垂徑定理得：AB＝2cm．故答案為：cm．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，根據(jù)題意構(gòu)造垂徑、應(yīng)用勾股定理是解答本題的關(guān)鍵.例3．（2023·黑龍江九年級期末）⊙的半徑為5cm，AB、CD是⊙的兩條弦，，，．則和之間的距離為_______．【答案】1cm或7cm．【分析】分兩種情況：①弦AB和CD在圓心同側(cè)；②弦AB和CD在圓心異側(cè)；分別作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可．【詳解】解：①當(dāng)弦AB和CD在圓心同側(cè)時，如圖1∵AB＝8cm，CD＝6cm，∴AE＝4cm，CF＝3cm，∵OA＝OC＝5cm，∴EO＝3cm，OF＝4cm，∴EF＝4?3＝1cm；②當(dāng)弦AB和CD在圓心異側(cè)時，如圖2，∵AB＝8cm，CD＝6cm，∴AE＝4cm，CF＝3cm，∵OA＝OC＝5cm，∴EO＝3cm，OF＝4cm，∴EF＝OF＋OE＝7cm．∴AB與CD之間的距離為1cm或7cm．故填1cm或7cm．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理的應(yīng)用，正確作出輔助線、靈活運(yùn)用垂徑定理以及分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想是解答本題的關(guān)鍵．例4．（2023·成都市九年級期末）如圖是一種機(jī)械傳動裝置示意圖，⊙O的半徑為50cm，點(diǎn)A固定在⊙O上，連桿AP定長，點(diǎn)P隨著⊙O的轉(zhuǎn)動在射線OP上運(yùn)動．在一個停止?fàn)顟B(tài)時，AP與⊙O交于點(diǎn)B，測得AB＝60cm，PB＝70cm，此時OP長為__________________．【答案】20cm【分析】作OD⊥AB于D，連接OB，根據(jù)垂徑定理得到AD=BD=30cm，即可得到PD=100cm，利用勾股定理即可求得結(jié)果．【詳解】解：作OD⊥AB于D，連接OB，∴AD＝BDAB＝30cm，∴OD40（cm），∴PD＝PA+AD＝70+30＝100（cm），∴OP20（cm）；故答案為：20cm．．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用，作出輔助線根據(jù)直角三角形是解題的關(guān)鍵．模型3、遇求角可構(gòu)造同弧的圓周角（圓心角）【模型解讀】如圖，已知A、B、P是⊙O上的點(diǎn)，點(diǎn)C是圓上一動點(diǎn)，連接AC、BC，則∠ACB=∠AOB。例1．（2022·遼寧阜新·中考真題）如圖，，，是上的三點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圓周角定理，即可求得的度數(shù)，又由，根據(jù)等邊對等角與三角形內(nèi)角和定理，即可求得的度數(shù)．【詳解】解：連接，，，，．故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理與等腰三角形的性質(zhì)．此題比較簡單，注意在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半定理的應(yīng)用．例2．（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)B，C，D在上，若，則的大小是．

【答案】/度【分析】如圖所示，在優(yōu)弧上取一點(diǎn)E（不與B、D重合），連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)得到，則由圓周角定理可得．【詳解】解：如圖所示，在優(yōu)弧上取一點(diǎn)E（不與B、D重合），連接，∵點(diǎn)B，C，D，E在上，，∴，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角度數(shù)是圓心角度數(shù)的一半是解題的關(guān)鍵．例3．（2023秋·重慶·九年級校考階段練習(xí)）如圖，一塊直角三角板的角的頂點(diǎn)落在上，兩邊分別交于、兩點(diǎn)，若的直徑為8，則弦長為（

）A．8 B．4 C． D．【答案】B【分析】連接AO，BO，求出∠AOB=2∠APB=60°，得到△AOB為等邊三角形，即可求出AB長.【詳解】連接AO，BO，∴OA=OB，∵所對的圓周角是∠APB，所對的圓心角是∠AOB，∠APB=30°，∴∠AOB=2∠APB=60°，∴△AOB為等邊三角形，∴AB=AO，∵直徑為8，∴OA=4，∴AB=4，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角和圓心角，根據(jù)題意作出輔助線，得到等邊三角形是解答此題的關(guān)鍵．例4．（2023·廣西初三一模）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠ABC＝30°，AC＝6，則⊙O直徑為（）A．6 B．12 C．6 D．6【答案】B【分析】連接OA，OC，根據(jù)圓周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝60°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AO＝AC＝6，于是得到結(jié)論．【解析】解：連接OA，OC，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等邊三角形，∴AO＝AC＝6，∴⊙O直徑為2AO＝12，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．模型4、遇直徑作直徑所對的圓周角（構(gòu)造直角三角形）【模型解讀】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)，連接AC、BC，則∠ACB=90o。如圖，當(dāng)圖形中含有直徑時，構(gòu)造直徑所對的圓周角是解問題的重要思路，在證明有關(guān)問題中注意90o的圓周角的構(gòu)造。例1．（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖是的直徑，C，D是上的兩點(diǎn)，若，則．

【答案】/62度【分析】連接，根據(jù)是直徑，可知，然后根據(jù)同弧所對的圓周角可得，然后根據(jù)直角三角形的兩銳角互補(bǔ)可得【詳解】連接，則，∵，∴．∵如圖是的直徑，∴．故答案為：.

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理及推論，直角三角形兩銳角互余；由圓周角定理得到相等角是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，是⊙的直徑，，，，則⊙的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接CO并延長CO交⊙于點(diǎn)E，連接AE，根據(jù)OA=OC，可得∠ACD=∠ACE，從而得到AE=AD=2，然后根據(jù)勾股定理，即可求解．【詳解】解：如圖，連接CO并延長CO交⊙于點(diǎn)E，連接AE，∵OA=OC，∴∠ACE=∠CAB，∵，∴∠ACD=∠ACE，∴，∴AE=AD=2，∵CE是直徑，∴∠CAE=90°，∴，∴⊙的半徑為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，勾股定理，熟練掌握圓周角定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵．例3．（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，弦交于點(diǎn)，，，，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】連接BC，根據(jù)垂徑定理的推論可得AB⊥CD，再由圓周角定理可得∠A=∠CDB=30°，根據(jù)銳角三角函數(shù)可得AE=3，AB=4，即可求解．【詳解】解：如圖，連接BC，∵為的直徑，，∴AB⊥CD，∵∠BAC=∠CDB=30°，，∴，∵為的直徑，∴，∴OA=2，∴OE=AE-OA=1．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形，熟練掌握垂徑定理，圓周角定理，特殊角銳角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．模型5、遇90°的圓周角連直徑【模型解讀】如圖，已知圓周角∠BAC=90o，連接BC，則BC是⊙O的直徑。遇到90°的圓周角時，常連接兩條弦沒有公共點(diǎn)的另一端點(diǎn)，得到直徑。利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑。例1．（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）一圓形玻璃鏡面損壞了一部分，為得到同樣大小的鏡面，工人師傅用直角尺作如圖所示的測量，測得AB=12cm，BC=5cm，則圓形鏡面的半徑為．

【答案】【分析】連接AC，根據(jù)∠ABC=90°得出AC是圓形鏡面的直徑，再根據(jù)勾股定理求出AC即可．【詳解】解：連接AC，

∵∠ABC=90°，且∠ABC是圓周角，∴AC是圓形鏡面的直徑，由勾股定理得：，所以圓形鏡面的半徑為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系和勾股定理等知識點(diǎn)，能根據(jù)圓周角定理得出AC是圓形鏡面的直徑是解此題的關(guān)鍵．例2．（2023·甘肅·中考模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知經(jīng)過原點(diǎn)，與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，與交于點(diǎn)，，則圓中陰影部分的面積為．【答案】/【分析】由圓周角定理可得，在Rt△AOB中，利用解直角三角形求出OA、AB的長，然后根據(jù)S陰=S半-S△ABO求解即可.【詳解】連接，∵，∴是直徑，根據(jù)同弧對的圓周角相等得，∵，∴，，即圓的半徑為2，∴．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了：①同弧對的圓周角相等；②90°的圓周角對的弦是直徑；③銳角三角函數(shù)的概念；④圓、直角三角形的面積分式．熟練掌握圓周角定理是解答本題的關(guān)鍵.例3．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，是矩形的外接圓，若，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留）

【答案】【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角及勾股定理得到，再根據(jù)圓的面積及矩形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：連接，∵四邊形是矩形，∴是的直徑，∵，∴，∴的半徑為，∴的面積為，矩形的面積為，∴陰影部分的面積為；故答案為；

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，圓的面積，矩形的面積，勾股定理，掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．模型6、遇切線連圓心和切點(diǎn)（構(gòu)造垂直）【模型解讀】如圖，已知直線AB連與圓O相切于點(diǎn)C，連接OC，則OC⊥AB。AABCO已知圓的切線時，常把切點(diǎn)與圓心連接起來，得半徑與切線垂直，構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的有關(guān)性質(zhì)解題。例1．（2023·浙江·一模）如圖1，一個圓球放置在形架中，圖2是它的平面示意圖，和都是的切線，切點(diǎn)分別是，若的半徑為，且，則______．【答案】60°【分析】構(gòu)建直角三角形，將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到直角三角形中進(jìn)行計算．連接OC，OA，那么，在Rt△OBD中,OB=2，可求sin∠BOD=，得到∠BOD=60°，再求∠OCB=30°，則可求得∠ACB=60°．【詳解】解：如圖，連接OC，OA，交AB于點(diǎn)D，∵CA、CB分別是⊙O的切線∴CA=CB，∵OA=OB，OC=OC∴∴，即OC平分∠ACB∴OC⊥AB∵AB=6∴在Rt△OBD中∵OB=2，∴sin∠BOD=，∴∠BOD=60°∵B是切點(diǎn)∴OB⊥BC∴∠OCB=30°∴∠ACB=60°．故答案為：60°．【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識點(diǎn)，通過構(gòu)建直角三角形來求度數(shù)是比較常用的方法．例2．（2023秋·山東·九年級專題練習(xí)）如圖，為的直徑，C為上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作的切線交的延長線于點(diǎn)D，連接，若，則的長度為（）A． B． C．8 D．【答案】D【分析】連接，根據(jù)切線的定義得出，推出，根據(jù)勾股定理得出，進(jìn)而得出，根據(jù)圓周角定理得出，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵為的切線，∴，∵，∴，，∴，由圓周角定理得：，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的定義，勾股定理，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識點(diǎn)并熟練運(yùn)用．例3．（2023年湖北省武漢市數(shù)學(xué)真題）如圖，在四邊形中，，以為圓心，為半徑的弧恰好與相切，切點(diǎn)為．若，則的值是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】作延長線于點(diǎn)，連接，根據(jù)圓的基本性質(zhì)以及切線的性質(zhì)，分別利用勾股定理求解在和，最終得到，即可根據(jù)正弦函數(shù)的定義求解．【詳解】解：如圖所示，作延長線于點(diǎn)，連接，

∵，，∴，∴四邊形為矩形，，，∴為的切線，由題意，為的切線，∴，，∵，∴設(shè)，，，則，，在中，，在中，，∵，∴，解得：或（不合題意，舍去），∴，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的判定與性質(zhì)，解直角三角形，以及正弦函數(shù)的定義等，綜合性較強(qiáng)，熟練運(yùn)用圓的相關(guān)性質(zhì)以及切線的性質(zhì)等是解題關(guān)鍵．模型7、證明切線的輔助線（證垂直或直角）【模型解讀】證明直線AB是⊙O的切線.ABABCO遇到證明某一直線是圓的切線時：（1）有點(diǎn)連圓心：當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)已知時，聯(lián)想圓的切線的判定定理，只要將該店與圓心連接，再證明該直徑與直線垂直。如圖，已知過圓上一點(diǎn)C的直線AB，連接OC，證明OC⊥AB，則直線AB是⊙O的切線．（2）無點(diǎn)作垂線：需證明的切線，條件中沒有告知與圓之間有交點(diǎn)，則聯(lián)想切線的定義，過圓心作該直線的垂線，證明圓心到垂足的距離等于半徑。如圖，過點(diǎn)O作OC⊥AB，證明OC等于⊙O的半徑，則直線AB是⊙O的切線．例1．（2023年四川省攀枝花市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，為的直徑，如果圓上的點(diǎn)恰使，求證：直線與相切．

【答案】見詳解【分析】由等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理得出，則，再由切線的判定即可得出結(jié)論．【詳解】證明：如圖，連接，，，為的直徑，，，，，即，，是的半徑，直線與相切．

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定、圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握圓周角定理和切線的判定是解題的關(guān)鍵．例2．（2023秋·福建福州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，，，的直徑為6．求證：直線是的切線．

【答案】見解析【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)三線合一和勾股定理求出的長，即可．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，，∴，∴，∵的直徑為6，∴為的半徑，又，∴直線是的切線．【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定．熟練掌握切線的判定方法，是解題的關(guān)鍵．例3．（2023年遼寧省盤錦市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，延長到點(diǎn)G，使得，連接，過點(diǎn)C作，交于點(diǎn)F，交點(diǎn)于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作．交的延長線于點(diǎn)E．

(1)求證：與相切．(2)若，，求的長．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）連接，結(jié)合圓周角定理，根據(jù)，可得，再根據(jù)平行的性質(zhì)，即有，進(jìn)而可得，問題隨之得證；（2）過C點(diǎn)作于點(diǎn)K，先證明四邊形是平行四邊形，即有，求出，即有，利用三角形函數(shù)有，同理，即可得，，進(jìn)而有，再證明，可得，即可得，在中，有，問題隨之得解．【詳解】（1）連接，如圖，

∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴半徑，∴與相切；（2）過C點(diǎn)作于點(diǎn)K，如圖，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴在，，同理，∵在中，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題是一道綜合題，主要考查了圓周角定理，切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)以及勾股定理等知識，掌握切線的判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．例4．（2023年遼寧省鞍山市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，過點(diǎn)D作，交的延長線于點(diǎn)F，交的延長線于點(diǎn)E，連接．若．

(1)求證：為的切線．(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)的半徑為【分析】（1）連接，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等，得到，等角的余角相等，得到，等邊對等角，得到，推出，得到，即可得證；（2）連接，推出，利用銳角三角函數(shù)求出的長，設(shè)的半徑為，證明，列出比例式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）證明：連接，

∵，，∴，∵為的直徑，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即：，又為的半徑，∴為的切線；（2）連接，則：，

∵為的直徑，∴，∴，∴，在中，，，∴，設(shè)的半徑為，則：，∵，∴，∴，即：，∴；∴的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查圓與三角形的綜合應(yīng)用，重點(diǎn)考查了切線的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)．題目的綜合性較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．模型8、遇三角形的內(nèi)切圓，連內(nèi)心與頂點(diǎn)（切點(diǎn)）當(dāng)遇到三角形內(nèi)切圓，連接內(nèi)心到三角形各頂點(diǎn)，或連接內(nèi)心到各邊切點(diǎn)（或做垂線）。利用內(nèi)心的性質(zhì)可得一內(nèi)心到三角形三個頂點(diǎn)的連線是各角的平分線，內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。例1．（2022·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留π）．【答案】【分析】利用切線長定理求得⊙O的半徑，根據(jù)S陰影=S△ABC-(S扇形EOF+S扇形DOF)-S正方形CDOE列式計算即可求解．【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)分別為D、E、F，連接OD、OE、OF，∵⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，∴AE=AF、BD=BF、CD=CE，OD⊥BC，OE⊥AC，∵∠C=90°，∴四邊形CDOE為正方形，∴∠EOF+∠FOD=360°-90°=270°，設(shè)⊙O的半徑為x，則CD=CE=x，AE=AF=4-x，BD=BF=3-x，∴4-x+3-x=5，解得x=1，∴S陰影=S△ABC-(S扇形EOF+S扇形DOF)-S正方形CDOE=×3×4-×1×1=5-．故答案為：5-．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長定理，扇形的面積公式，熟記各圖形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．例2．（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，于，為的內(nèi)切圓，設(shè)的半徑為，的長為，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形內(nèi)切圓的特點(diǎn)作出圓心和三條半徑，分別表示出的面積，利用面積相等即可解決問題．【詳解】解：如圖所示：為中、、的角平分線交點(diǎn)，過點(diǎn)分別作垂線交、、于點(diǎn)、、，

，，，的長為，，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)切圓的相關(guān)性質(zhì)，本題掌握三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，根據(jù)已知條件利用三角形面積相等推出關(guān)系式是解題關(guān)鍵．例3．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，的內(nèi)切圓與，，分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若的半徑為r，，則的值和的大小分別為（

）A．2r， B．0， C．2r， D．0，【答案】D【分析】如圖，連接．利用切線長定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)解決問題即可．【詳解】解：如圖，連接．∵的內(nèi)切圓與，，分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∴，∴，，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓周角定理，切線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·浙江溫州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，C是的中點(diǎn)，D是上一點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）

A．70° B．55° C．40° D．27.5°【答案】D【分析】根據(jù)弧、弦、圓心角定理，得，根據(jù)圓周角定理進(jìn)一步求解．【詳解】解：連接，∵C是的中點(diǎn)，∴.∵.∴.故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查圓的弧、弦、圓心角關(guān)系定理、圓周角定理；由定理得到角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·江蘇蘇州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，是的直徑，直線切于點(diǎn)，、是上的點(diǎn)，且弦，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，連接，由弦切角定理知，由是的直徑得，接著求出；再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)可以求出，而由得到，由此求出，求出．【詳解】解：如圖，連接，∵直線切于點(diǎn)，，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查弦切角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形兩銳角互余，等邊對等角等知識點(diǎn)．掌握弦切角定理和圓內(nèi)接四邊形是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·福建福州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，中，弦于E，若，的半徑等于6，則弧的長為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連接、，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得，再根據(jù)圓周角定理求得，再利用弧長公式求解即可．【詳解】解：連接、，∵，∴，，∴，∴，∴弧的長為，故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查弧長公式、圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，AB=6,以點(diǎn)A為圓心與邊BC相切于點(diǎn)D，與AC、AB分別相交于點(diǎn)E和點(diǎn)G，點(diǎn)F是優(yōu)弧上一點(diǎn)，，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)垂直的定義得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)圓周角定理即可解答．【詳解】解：連接，∵與相切于點(diǎn)D，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故選：B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理等知識點(diǎn)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·湖北黃石·九年級校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，和分別是的外切正三角形和內(nèi)接正三角形，若的面積為，則的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)O作垂足為N，交于點(diǎn)M，連接，則O，E，B三點(diǎn)一定共線，設(shè)圓的半徑為r，再求得的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)O作垂足為N，交于點(diǎn)M，連接，

設(shè)圓的半徑為r，∵和分別是的外切正三角形和內(nèi)接正三角形，∴，則，∵，∴，，即，，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)接圓與內(nèi)心，三角形外接圓與外心，勾股定理、垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，明確邊心距半徑邊長的一半正好組成直角三角形是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·安徽亳州·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，木工用角尺的短邊緊靠于點(diǎn)A，長邊與相切于點(diǎn)B，角尺的直角頂點(diǎn)為C，已知，，則的半徑為（

）

A．8 B．5 C．10 D．【答案】C【分析】連接，過點(diǎn)A作，垂足為D，利用勾股定理得出，求解即可．【詳解】連接，過點(diǎn)A作，垂足為D，如圖，

∵與相切于點(diǎn)B，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，設(shè)圓的半徑為，在直角中，由勾股定理得，，即，解得，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握知識點(diǎn)并作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·福建福州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，的半徑為是圓外一點(diǎn)，，交于點(diǎn)，則弦的長為（

）

A．4 B．6 C． D．8【答案】D【分析】過作于，連接，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)垂徑定理得出，最后求出答案即可．【詳解】解：過作于，連接，則，

，，，在中，由勾股定理得：，，，即，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是能熟記垂直于弦的直徑平分弦．8．（2023秋·江蘇宿遷·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖：為的直徑，是的弦，、的延長線交于點(diǎn)，已知，，則的大小是°．【答案】16【分析】連接，由，可得．由外角性質(zhì)，得，于是．【詳解】解：連接，∵，∴．∴．∴∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)；由外角性質(zhì)得到角之間數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋·江蘇鹽城·九年級濱?？h第一初級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，過A、C、D三點(diǎn)的圓的圓心為點(diǎn)E，過B、F、E三點(diǎn)的圓的圓心為D，如果，那么°．

【答案】【分析】連接、，過三點(diǎn)的圓的圓心為，且過三點(diǎn)的圓的圓心為，，可知，根據(jù)圓周角定理可得，由即可求解．【詳解】解：如圖，連接、，∵過三點(diǎn)的圓的圓心為，且過，三點(diǎn)的圓的圓心為，

故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外接圓與外心，圓周角定理知識點(diǎn)，熟練掌握圓周角定理并妙使用是解決問題的關(guān)鍵．10．（2023秋·浙江溫州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，是的外接圓，，若點(diǎn)O到的距離為2，則BC的長為．

【答案】【分析】連接、，過點(diǎn)O作于點(diǎn)M，根據(jù)圓周角定理求得，然后結(jié)合等腰三角形三線合一的性質(zhì)和含角的直角三角形的性質(zhì)分析求解即可．【詳解】解：如圖，連接、，過點(diǎn)O作于點(diǎn)M，

∵是的外接圓，，點(diǎn)O到的距離為2，∴，，又∵，，∴，，∴在中，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、等腰三角形三線合一的性質(zhì)、含直角三角形的性質(zhì)，理解相關(guān)性質(zhì)定理正確推理計算是解題的關(guān)鍵．11．（2023春·廣東深圳·九年級?？甲灾髡猩┤鐖D，已知的兩條弦、分別與的同心圓交于點(diǎn)E、F、X、Y，，，，則的長度為．

【答案】5【分析】先設(shè)大圓半徑為R，小圓半徑為r，的長度為．連結(jié)、、、，然后過點(diǎn)分別作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理和勾股定理，得，，即，則，同理得，則，即可作答．【詳解】解：設(shè)大圓半徑為R，小圓半徑為r，的長度為．連結(jié)、、、，然后過點(diǎn)分別作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如圖所示：

由垂徑定理可得，，在和，由勾股定理得，，即，則，那么，在和，由勾股定理得，，即，則，那么，因?yàn)椋?，解得，所以．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理以及勾股定理，解出和是本題解題的關(guān)鍵，難度適中．12．（2023秋·福建福州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，的弦，點(diǎn)E為垂足，，，且則的半徑為．

【答案】【分析】過點(diǎn)O作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，連接，根據(jù)垂徑定理求出、，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)O作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，連接，∵，，，∴，∴，∵，，∴四邊形是矩形，∵，∴，∴四邊形是正方形，∴，在中，，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理、矩形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．13．（2023·江蘇·中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)，在上．若，則度．

【答案】【分析】連接，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，同弧所對的圓周角相等，可得，，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，

∵是直徑，∴，∵，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對的圓周角是直角，同弧所對的圓周角相等，熟練掌握圓周角定理的推論是解題的關(guān)鍵．14．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）為了測量一個圓形光盤的半徑，小明把直尺、光盤和三角尺按圖所示放置于桌面上，并量出，則這張光盤的半徑是．（精確到．參考數(shù)據(jù)：）

【答案】【分析】設(shè)光盤的圓心為O，三角尺和光盤的切點(diǎn)為C，連接，經(jīng)過圓外一點(diǎn)A的兩條直線都與圓O相切，所以為的角平分線，，同時由切線的性質(zhì)得到，在中，，求出，即為圓的半徑，進(jìn)而確定出圓的直徑．【詳解】解：設(shè)光盤的圓心為O，三角尺和光盤的切點(diǎn)為C，連接，如下圖所示：

∵分別為圓O的切線，∴為的角平分線，即，又∵,∴，在中，，，∴，，∴，則這張光盤的半徑為；故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)，切線長定理，銳角三角函數(shù)定義，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．15．（2021·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，⊙O的直徑AB＝4，P為⊙O上的動點(diǎn)，連結(jié)AP，Q為AP的中點(diǎn)，若點(diǎn)P在圓上運(yùn)動一周，則點(diǎn)Q經(jīng)過的路徑長是．【答案】【分析】連接OQ，以O(shè)A為直徑作⊙C，確定出點(diǎn)Q的運(yùn)動路徑即可求得路徑長．【詳解】解：連接OQ．在⊙O中，∵AQ=PQ，OQ經(jīng)過圓心O，∴OQ⊥AP．∴∠AQO=90°．∴點(diǎn)Q在以O(shè)A為直徑的⊙C上．∴當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動一周時，點(diǎn)Q在⊙C上運(yùn)動一周．∵AB=4，∴OA=2．∴⊙C的周長為．∴點(diǎn)Q經(jīng)過的路徑長為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的推論、圓周角定理的推論、圓周長的計算等知識點(diǎn)，熟知相關(guān)定理及其推論是解題的基礎(chǔ)，確定點(diǎn)Q的運(yùn)動路徑是解題的關(guān)鍵．16．（2023·安徽合肥·合肥壽春中學(xué)?？既＃┤鐖D，在中，弦，D是一點(diǎn)，，則劣弧的長為．

【答案】/【分析】連接，根據(jù)90°的圓周角所對的弦是直徑，得到為的直徑，勾股定理求出的長，進(jìn)而求出圓的半徑，利用弧長公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：連接，

∵，∴，∴為的直徑，∵，∴，∴，∵，∴劣弧的長為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理的推論，求弧長．熟練掌握90°的圓周角所對的弦是直徑，以及弧長公式，是解題的關(guān)鍵．17．（2023·河南南陽·統(tǒng)考三模）如圖，在的網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長均為1，點(diǎn)，，，都在格點(diǎn)上，線段與弧交于點(diǎn)，則圖中弧的長度為．

【答案】【分析】連接、，根據(jù)90度的圓周角所對的弦是直徑，推出是直徑，再利用勾股定理，推出，是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)，推出，再求出，即可利用弧長公式求出弧的長度．【詳解】解：連接、，是直角，是直徑，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了90度的圓周角所對的弦是直徑，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，弧長公式，求出半徑以及所對的圓心角是解題關(guān)鍵．18．（2023·廣東東莞·?？家荒＃┤鐖D，從一塊半徑為1米的圓形鐵皮圓O上剪出一個圓心角為90度的扇形，且點(diǎn)A、B、C都在圓上，則此時扇形的面積（保留）是平方米．【答案】【分析】連接，先根據(jù)圓周角定理可得是的直徑，再利用勾股定理可得，然后利用扇形的面積公式求解即可得．【詳解】解：如圖，連接，由題意得：，，是的直徑，米，，，則此時扇形的面積是（平方米），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、扇形的面積、勾股定理，熟練掌握扇形的面積公式是解題關(guān)鍵．19．（2023秋·湖北武漢·九年級校考階段練習(xí)）如圖，的弦與相交于點(diǎn)E，已知，，且。(1)如圖1，若過圓心O，求的半徑；(2)如圖2，若，請直接寫出點(diǎn)的半徑

【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，根據(jù)垂徑定理得到，結(jié)合勾股定理求解即可得到答案；（2）連接，，，過作于，根據(jù)垂徑定理得到，，結(jié)合勾股定理求解即可得到答案【詳解】（1）解：