2024年八年級數(shù)學(xué)寒假提升學(xué)與練（人教版）專題10 矩形的性質(zhì)（原卷版）

第10講矩形的性質(zhì)1．矩形的定義：（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形，也稱為長方形．（2）矩形的定義有兩個(gè)要素：①四邊形是平行四邊形；②有一個(gè)角是直角．二者缺一不可．【注意】不要錯(cuò)誤地把定義理解為有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形，矩形是特殊的平行四邊形．2．矩形的性質(zhì)：（1）矩形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的所有性質(zhì)，即對邊互相平行，對邊相等，對角相等，對角線互相平分．（2）矩形的性質(zhì)可綜述為：①矩形的對邊平行且相等；②矩形的對角相等且四個(gè)角都是直角；③矩形的對角線互相平分且相等；④矩形是軸對稱圖形，對邊中點(diǎn)所確定的直線是它的對稱軸，矩形有兩條對稱軸．（3）矩形的兩條對角線將矩形分成兩對全等的等腰三角形，因此在解決相關(guān)問題時(shí)，常常用到等腰三角形的性質(zhì)，并且分成的四個(gè)等腰三角形的面積相等．3．直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．【注意】定理的條件有兩個(gè)：一是直角三角形；二是斜邊上的中線．矩形性質(zhì)1：矩形的四個(gè)角都是直角．已知：如圖，四邊形ABCD是矩形，且∠A=90°，求證：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C=∠A=90°，∠D=∠B，AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∴∠D=∠B=180°-∠A=180°-90°=90°，即矩形的四個(gè)角都是直角.矩形性質(zhì)2：矩形的對角線相等．已知：四邊形ABCD是矩形，求證：AC=BD.證明：在矩形ABCD中，∠ABC=∠DCB=90°，又∵AB=DC，BC=CB，∴△ABC≌△DCB，∴AC=BD.直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中線，求證：BO=AC.證明:延長BO至D,使OD=BO,連接AD、DC.∵AO=OC,BO=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形.∵∠ABC=90°，∴平行四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，∴BO=BD=AC.考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一、矩形性質(zhì)的理解【例1】下列性質(zhì)中，矩形具有但平行四邊形不一定具有的是（

）A．對邊相等 B．對角線互相平分 C．對角線相等 D．對邊平行【變式1】下列性質(zhì)中，矩形不一定具有的是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二、利用矩形的性質(zhì)求角度【例2】如圖，在矩形中，對角線與相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，已知，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式2】如圖，延長矩形的邊至點(diǎn)E，使，連接，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)三、利用矩形的性質(zhì)求線段的長【例3】如圖，在矩形中，，，對角線，相交于點(diǎn)O．點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，連接，則的周長為（

）A．12 B．18 C．20 D．16【變式3】如圖，在矩形中，，對角線，相交于點(diǎn)O，垂直平分于點(diǎn)，則的長為．考點(diǎn)四、利用矩形的性質(zhì)求面積【例4】如圖，矩形的對角線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，若，，則圖中陰影部分的面積為．【變式4】如圖，若過矩形對角線的交點(diǎn)O，且分別交、于點(diǎn)E、F，則陰影部分的面積是矩形面積的（

）

A． B． C． D．考點(diǎn)五、矩形的性質(zhì)與坐標(biāo)【例5】如圖，四邊形是矩形，其中點(diǎn)和點(diǎn)分別在軸和軸上，連接，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的平分線與軸相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【變式5】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)，，點(diǎn)在軸上，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．考點(diǎn)六、矩形的性質(zhì)與翻折問題【例6】如圖，在矩形中，，，E、F分別是邊上一點(diǎn)，，將沿翻折得，連接，當(dāng)時(shí)，是以為腰的等腰三角形．

【變式6】如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿翻折得到，當(dāng)點(diǎn)恰好落在直線上時(shí)，的長為．考點(diǎn)七、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)【例7】如圖，在四邊形中，，為對角線的中點(diǎn)，連接、、，若，則的度數(shù)為．【變式7-1】如圖所示，為的中位線，點(diǎn)在上，且，若，，則的長為．【變式7-2】如圖，中，，點(diǎn)D，E分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)F在的延長線上，且．求證：．考點(diǎn)八、矩形性質(zhì)的綜合問題【例8】如圖1，在矩形中，過矩形對角線的中點(diǎn)O作，分別交、于、點(diǎn)．(1)求證：；(2)如圖2，若為的中點(diǎn)，且，求證：．【變式8】在矩形中，點(diǎn)E在上，，垂足為F．(1)求證：；(2)若，且，求的值．過關(guān)檢測一、單選題1．如圖，在矩形中，對角線，交于點(diǎn)，下列說法錯(cuò)誤的是（

）

A． B． C． D．2．如圖，矩形中，連接，延長至點(diǎn)，使，連接．若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．3．如圖，點(diǎn)P是矩形的對角線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，分別交，于，，連接，，若，，則圖中陰影部分的面積為（）A．12 B．24 C．27 D．544．如圖，在中，D，E分別是，的中點(diǎn)，，F(xiàn)是上一點(diǎn)，連接，，．若，則的長度為（）

A．10 B．12 C．14 D．165．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，將沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，則的長是（

）A． B． C． D．二、填空題6．如圖，在矩形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E．若∠ODA=30°，則∠BOE的度數(shù)為．7．在矩形中，E、F分別在和上，，若，，則．8．如圖，矩形中，對角線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，已知，的面積為5，則的長為．9．如圖，在矩形中，、相交于點(diǎn)，是邊上任意一點(diǎn)，，，、分別是垂足，若，，則=．10．在矩形中，對角線、相交于點(diǎn)O，平分交于點(diǎn)E，，連接，①是等邊三角形；②是等腰三角形；③；④．則結(jié)論中正確的有．

三、解答題11．如圖，矩形中，與相交于點(diǎn)．若，，求矩形的面積．

12．如圖，在矩形中，，，邊上有一點(diǎn)E，連接，，．

(1)求的長；(2)求的度數(shù)．13．如圖，將矩形沿直線折疊，頂點(diǎn)D恰好落在邊上的F點(diǎn)處，已知，．(1)求的長；(2)求的長．14．如圖，已知矩形的對角線，相交于點(diǎn)，，．(1)求矩形對角線的長；(2)過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．求的長．15．如圖，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，連接OB、OC，并將AB、OB、OC、AC的中點(diǎn)、、、