2024年七年級(jí)數(shù)學(xué)寒假提升學(xué)與練（滬教版）專題08鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角、垂線（11個(gè)考點(diǎn)+10種題型）（解析版）

專題08鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角、垂線（11個(gè)考點(diǎn)+10種題型）思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)與題型分類聚焦考點(diǎn)一：平面上兩條不重合直線的位置關(guān)系考點(diǎn)二：鄰補(bǔ)角的意義考點(diǎn)三：鄰補(bǔ)角的性質(zhì)考點(diǎn)四：對(duì)頂角的意義考點(diǎn)五：對(duì)頂角的性質(zhì)考點(diǎn)六：垂線的意義考點(diǎn)七：垂直的符號(hào)考點(diǎn)八：垂直公理考點(diǎn)九：中垂線考點(diǎn)十：垂線段的性質(zhì)考點(diǎn)十一：點(diǎn)到直線的距離題型一：鄰補(bǔ)角的定義理解題型二：找鄰補(bǔ)角題型三：利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求角度題型四：對(duì)頂角的定義題型五：對(duì)頂角相等題型六：相交線題型七：垂線的定義理解題型八：畫垂線題型九：垂線段最短題型十：點(diǎn)到直線的距離考點(diǎn)一：平面上兩條不重合直線的位置關(guān)系 相交：兩條直線有一個(gè)交點(diǎn)； 平行：兩條直線沒有交點(diǎn)．考點(diǎn)二：鄰補(bǔ)角的意義 兩個(gè)角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角叫做互為鄰補(bǔ)角．考點(diǎn)三：鄰補(bǔ)角的性質(zhì) 互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角一定互補(bǔ)，但互補(bǔ)的兩個(gè)角不一定互為鄰補(bǔ)角．考點(diǎn)四：對(duì)頂角的意義 兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角兩邊的反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角叫做互為對(duì)頂角．考點(diǎn)五：對(duì)頂角的性質(zhì) 對(duì)頂角相等．考點(diǎn)六：垂線的意義如果兩條直線的夾角為直角，那么就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足．考點(diǎn)七：垂直的符號(hào)記作：“⊥”，讀作：“垂直于”，如：，讀作“AB垂直于CD”． 注：垂直是特殊的相交．考點(diǎn)八：垂直公理 在平面內(nèi)，過直線上或直線外的一點(diǎn)作已知直線的垂線可以作一條，并且只能作一條．簡記為：過一點(diǎn)，有且僅有一條直線與已知直線垂直考點(diǎn)九：中垂線 過線段中點(diǎn)且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，簡稱中垂線．考點(diǎn)十：垂線段的性質(zhì) 聯(lián)結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．考點(diǎn)十一：點(diǎn)到直線的距離 直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做這個(gè)點(diǎn)到直線的距離．如果一個(gè)點(diǎn)在直線上，那么就說這個(gè)點(diǎn)到直線的距離為零．題型一：鄰補(bǔ)角的定義理解【例1】．（2023下·福建泉州·七年級(jí)校考期中）下列圖形中，與是鄰補(bǔ)角的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】鄰補(bǔ)角是指兩個(gè)角有一條公共邊，它們的另一條邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，叫做鄰補(bǔ)角，且兩個(gè)角的和為，由此即可求解．【詳解】解：、不是鄰補(bǔ)角，原選項(xiàng)不符合題意；、是對(duì)頂角，原選項(xiàng)不符合題意；、是鄰補(bǔ)角，原選項(xiàng)符合題意；、不是鄰補(bǔ)角，原選項(xiàng)不符合題意；故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查鄰補(bǔ)角的概念及識(shí)別，理解并掌握其概念，圖形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵．【變式1】．（2023下·江西新余·七年級(jí)新余四中校考期中）如圖，直線，，相交于點(diǎn)，則的鄰補(bǔ)角有個(gè)．

【答案】2【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義即可解答．【詳解】解：根據(jù)鄰可知：的鄰補(bǔ)角是或，共2個(gè)．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了鄰補(bǔ)角的定義，兩個(gè)角有一條公共邊,它們的另一條邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角叫做鄰補(bǔ)角．【變式2】．（2021上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第十七中學(xué)校校考階段練習(xí)）與互為鄰補(bǔ)角，且比的3倍還多，則的度數(shù)是°．【答案】40【分析】由題意可得，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可得關(guān)于的方程，求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，因?yàn)榕c互為鄰補(bǔ)角，所以，所以，解得：；故答案為：40．【點(diǎn)睛】本題考查了鄰補(bǔ)角的定義和一元一次方程的應(yīng)用，熟知鄰補(bǔ)角的定義、建立方程求解是關(guān)鍵．題型二：找鄰補(bǔ)角【例2】．（2021上·黑龍江綏化·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，圖中鄰補(bǔ)角有幾對(duì)（

）

A．4對(duì) B．5對(duì) C．6對(duì) D．8對(duì)【答案】D【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念判斷即可．【詳解】解：與，與，與，與，與，與，與，與是鄰補(bǔ)角，共8對(duì)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是鄰補(bǔ)角的概念，只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，稱為互為鄰補(bǔ)角．【變式1】．（2022上·福建福州·七年級(jí)校考期末）如圖，直線AB、MN相交于一點(diǎn)O，，則∠COM的鄰補(bǔ)角是（

）A．∠AON B．∠AOC C．∠NOC D．∠MOB【答案】C【分析】相鄰且互補(bǔ)的兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角【詳解】解：∠COM與∠NOC相鄰且互補(bǔ)，所以互為鄰補(bǔ)角.故選：C【點(diǎn)睛】熟記鄰補(bǔ)角的定義是解題的關(guān)鍵.【變式2】．（2022下·山東德州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線AB，CD，EF相交于點(diǎn)O，則的鄰補(bǔ)角是（

）A． B． C．和 D．和【答案】D【分析】只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角，根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念解答即可．【詳解】：解：根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可知，∠COF的鄰補(bǔ)角是∠DOF和∠EOC．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了鄰補(bǔ)角的概念，鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角成對(duì)出現(xiàn)，在相交直線中，一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)．鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角都是相對(duì)與兩個(gè)角而言，是指的兩個(gè)角的一種位置關(guān)系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．題型三：利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求角度【例3】．（2023下·上?！て吣昙?jí)階段練習(xí)）如圖所示，直線、相交于，，則直線與直線所夾的銳角是．【答案】【分析】先根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出，再根據(jù)直線的夾角為銳角解答．【詳解】解：∵，∴，∴直線與直線所夾的銳角是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了鄰補(bǔ)角的定義，要注意直線的夾角是銳角．【變式1】．（2023下·上海松江·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，與互為鄰補(bǔ)角，且，那么為度【答案】【分析】先根據(jù)題意設(shè)出與，再根據(jù)互為補(bǔ)角的兩個(gè)角的和等于列式求解即可．【詳解】解：設(shè)，則，根據(jù)題意得，，解得：，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了鄰補(bǔ)角的和等于的性質(zhì)，根據(jù)題意的設(shè)未知數(shù)的方法是解題的關(guān)鍵，此設(shè)法比較簡便且不容易出錯(cuò)．【變式2】．（2023下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOC．如果∠BOE＝65°，那么∠AOC＝度．【答案】50【分析】先根據(jù)角平分線的定義，求出∠BOC的度數(shù)，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的和等于180°求解即可．【詳解】解：∵OE平分∠BOC，∠BOE＝65，∴∠BOC＝2∠BOE＝2×65＝130，∴∠AOC＝180﹣∠BOC＝180﹣130＝50．故答案為：50．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義以及鄰補(bǔ)角的定義．解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的定義以及鄰補(bǔ)角的和等于180，是基礎(chǔ)題，比較簡單．【變式3】．（2023下·上海嘉定·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知DE//BF，AC平分∠BAE，，那么∠ACF的度數(shù)是多少？（完成以下說理過程）解：因?yàn)椋╛_______），（已知），所以∠BAE＝________（等式性質(zhì)）．又因?yàn)锳C平分∠BAE（已知），所以（_______），所以（等式性質(zhì)）．【答案】鄰補(bǔ)角的定義；110°；角平分線的定義．【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可得∠BAE=110°，由角平分線的定義得出∠CAE=BAE，即可得出結(jié)果．【詳解】解：因?yàn)椤螧AD+∠BAE=180°（鄰補(bǔ)角的定義），∠BAD=70°（已知），所以∠BAE=110°（等式性質(zhì)），又因?yàn)锳C平分∠BAE（已知），所以∠CAE=BAE（角平分線的定義），所以∠CAE=55°（等式性質(zhì)）．故答案為：鄰補(bǔ)角的定義；110°；角平分線的定義．【點(diǎn)睛】題目主要考查鄰補(bǔ)角的定義及角平分線的定義，理解這兩個(gè)定義是解題關(guān)鍵．題型四：對(duì)頂角的定義【例1】．（2022下·上?！て吣昙?jí)校聯(lián)考期末）下列所示的四個(gè)圖形中，和是對(duì)頂角的圖形有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)頂角的定義，即可判斷出結(jié)果．【詳解】解：對(duì)頂角：有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角．滿足條件的只有第三個(gè)圖形．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角的定義，解本題的關(guān)鍵在是否能熟練識(shí)別對(duì)頂角．對(duì)頂角：有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角．【變式1】．（2020下·七年級(jí)?？颊n時(shí)練習(xí)）下列說法中：①對(duì)頂角相等；②相等的角是對(duì)頂角；③若兩個(gè)角不相等，則這兩個(gè)角一定不是對(duì)頂角；④若兩個(gè)角不是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角不相等．不正確的有（

）A．①② B．②③ C．②④ D．④③【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)頂角的定義和性質(zhì)，逐一判斷選項(xiàng)，即可得到答案．【詳解】∵對(duì)頂角相等，∴①不符合題意，∵如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角不一定成對(duì)頂角關(guān)系，∴②符合題意，∵若兩個(gè)角不相等，則這兩個(gè)角一定不是對(duì)頂角，∴③不符合題意，∵若兩個(gè)角不是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角可能相等也可能不相等，∴④符合題意，選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)頂角的性質(zhì)和定義，掌握對(duì)頂角的定義和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【變式2】．（2021下·上?！て吣昙?jí)上海市文來中學(xué)?？计谥校?條不重合的直線相交于一點(diǎn)，構(gòu)成的對(duì)頂角共有對(duì)．【答案】72【分析】本題考查對(duì)頂角的定義，兩條直線相交后所得的只有一個(gè)公共頂點(diǎn)且兩個(gè)角的兩邊互為反向延長線，這樣的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角．【詳解】解：①兩條直線相交共2對(duì)對(duì)頂角；②三條直線相交，在2對(duì)的基礎(chǔ)上再加4對(duì)，共6對(duì)；③四條直線相交，在6對(duì)的基礎(chǔ)上再加6對(duì)，共12對(duì)；④五條直線相交，在12對(duì)的基礎(chǔ)上再加8對(duì)，共20對(duì)；即對(duì)頂角的對(duì)數(shù)為，2，6，12，20……，以此類推，當(dāng)n條直線相交時(shí)，對(duì)頂角的總對(duì)數(shù)為：?；根據(jù)n條直線相交于一點(diǎn)，構(gòu)成對(duì)對(duì)頂角的規(guī)律可知，當(dāng)時(shí)，=（92-9）=72（對(duì)），故答案為：72．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角的定義及n條直線相交于一點(diǎn)，構(gòu)成對(duì)頂角的規(guī)律，注意對(duì)頂角是兩條直線相交而成的四個(gè)角中，沒有公共邊的兩個(gè)角．題型五：對(duì)頂角相等【例5】．（2023下·七年級(jí)單元測試）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，若∠AOD＝150°，則∠BOC＝度．【答案】150【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等可得答案．【詳解】解：因?yàn)橹本€AB與CD相交于點(diǎn)O，所以∠AOD與∠BOC是對(duì)頂角，所以∠AOD＝∠BOC，因?yàn)椤螦OD＝150，所以∠BOC＝150，故答案為：150．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角．解題的關(guān)鍵是掌握對(duì)頂角的定義，對(duì)頂角的性質(zhì)．【變式1】．（2023下·七年級(jí)單元測試）如果直線與直線交于點(diǎn)，且，，這兩條直線的夾角是度．【答案】【分析】利用對(duì)頂角的性質(zhì)求得．【詳解】解：和是一對(duì)對(duì)頂角，，，，，則，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等，比較簡單，屬于基礎(chǔ)題目．掌握對(duì)頂角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】．（2023下·七年級(jí)單元測試）如圖，AB、CD交于點(diǎn)O，若，射線OE平分∠AOC，那么∠EOD=度．【答案】125【分析】先根據(jù)對(duì)頂角和平角的定義求出∠AOD和∠AOC的度數(shù)，再由角平分線的定義求出∠AOE的度數(shù)即可求出∠EOD的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，，∵OE平分∠AOC，∴，∴，故答案為：125．【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)頂角相等，角平分線的定義，平角的定義，正確求出∠AOD和∠AOE的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式3】．（2023下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）小明同學(xué)做一道幾何題時(shí)，不小心漏了一些內(nèi)容，請(qǐng)你把空缺之處填完整：題目如下：如圖，直線交于O，平分，求的度數(shù)．小徐的解答如下：解：∵，（已知）∴________（等式性質(zhì)）∵（

）∴__________________（等量代換）∵平分（已知）∴____________（角平分線的意義）∴（

）【答案】∠BOF；對(duì)頂角相等；∠AOE＝32°；∠AOD；等量代換．【分析】利用已知條件，進(jìn)行推理即可．【詳解】解：∵∠COB＝90°，∠COF＝58°（已知），∴∠BOF＝∠COB?∠COF＝32°（等式性質(zhì)），∵∠AOE＝∠FOB（對(duì)頂角相等），∴∠AOE＝32°（等量代換），∵OA平分∠DOE（已知）∴∠AOE＝∠AOD（角平分線的意義），∴∠DOE＝64°（等量代換）．故答案為：∠BOF；對(duì)頂角相等；∠AOE＝32°；∠AOD；等量代換．【點(diǎn)睛】本題考查的是證明的步驟和格式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握對(duì)頂角相等、等量代換、角平分線的意義．題型六：相交線【例6】．（2023上·山東聊城·七年級(jí)統(tǒng)考期中）平面上的三條直線最多可將平面分成（

）部分A．4 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】題目主要考查相交線，理解題意，掌握相交線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，三條直線兩兩相交時(shí)將平面分為7部分，故選C．【變式】．（2023下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）觀察如圖圖形，并閱讀相關(guān)文字：那么10條直線相交，最多交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(

)A．10 B．20 C．36 D．45【答案】D【分析】根據(jù)直線的條數(shù)與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)寫出關(guān)系式，然后把10代入關(guān)系式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】2條直線相交，只有1個(gè)交點(diǎn)，3條直線相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交，最多有6個(gè)交點(diǎn)，…，n條直線相交，最多有個(gè)交點(diǎn)，n=10時(shí)，45．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了直線、射線、線段，寫出直線條數(shù)與交點(diǎn)個(gè)數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．題型七：垂線的定義理解【例7】．（2023下·七年級(jí)單元測試）如圖，，垂足為，為過點(diǎn)的一條直線，若，則．【答案】【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等求出，再根據(jù)垂直的定義求出，然后根據(jù)代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解．【詳解】解：如圖，∵，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角相等的性質(zhì)和垂線的定義，掌握、和之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式1】．（2023下·上海閔行·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，直線平分，則【答案】【分析】根據(jù)垂直，角的平分線的定義，對(duì)頂角即可求解．【詳解】解：如圖所示，∵，∴，∵直線平分，∴，且，∴，∵（對(duì)頂角相等），∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查角的和、差、倍、分，理解直線之間的關(guān)系，垂直的性質(zhì)，角平分線的定義，對(duì)頂角是解題的關(guān)鍵．【變式2】．（2023下·上海徐匯·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線與直線相交于點(diǎn)，，，那么的度數(shù)是度．【答案】65【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等可得，然后根據(jù)，可得，最后由，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：，，，，，故答案為：65．【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)頂角相等，垂線的定義，熟練掌握對(duì)頂角相等，垂線的定義，是解題的關(guān)鍵．【變式3】．（2023下·上海寶山·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，直線與相交于點(diǎn)，平分，．已知，求的度數(shù)．

【答案】【分析】先利用對(duì)頂角的性質(zhì)得到，再根據(jù)角平分線定義得到，接著利用垂直定義得到，則利用互余得到即可求解．【詳解】解：直線與相交于一點(diǎn)，，平分，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線的定義，對(duì)頂角相等，角平分線的定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．題型八：畫垂線【例8】．（2023下·七年級(jí)單元測試）如圖，在紙片上有一直線l，點(diǎn)A在直線l上，過點(diǎn)A作直線l的垂線、嘉嘉使用了量角器，過90°刻度線的直線a即為所求；淇淇過點(diǎn)A將紙片折疊，使得以A為端點(diǎn)的兩條射線重合，折痕a即為所求，下列判斷正確的是（

）A．只有嘉嘉對(duì) B．只有淇淇對(duì)C．兩人都對(duì) D．兩人都不對(duì)【答案】C【分析】根據(jù)垂直的定義即可解答．【詳解】解：嘉嘉利用量角器畫90°角，可以畫垂線，方法正確；淇淇過點(diǎn)A將紙片折疊，使得以A為端點(diǎn)的兩條射線重合，折痕a垂直直線l，方法正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖、垂線的定義，掌握垂直的定義是解答本題的關(guān)鍵．【變式】．（2023下·上海寶山·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）作圖：（使用鉛筆作圖，保留作圖痕跡）如圖，外有一點(diǎn)，畫出點(diǎn)到三角形三邊的垂線分別交于點(diǎn)、、．

【答案】見解析【分析】根據(jù)題意，過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，則即為所求

【點(diǎn)睛】本題考查了作垂線，熟練掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．題型九：垂線段最短【例9】．（2023下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，A是直線l外一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB⊥l于點(diǎn)B，在直線l上取一點(diǎn)C，連結(jié)AC，使AC＝2AB，P在線段BC上連結(jié)AP．若AB＝3，則線段AP的長不可能是（）A．3.5 B．4 C．5.5 D．6.5【答案】D【分析】直接利用垂線段最短以及結(jié)合已知得出AP的取值范圍進(jìn)而得出答案．【詳解】∵過點(diǎn)A作AB⊥l于點(diǎn)B，AC＝2AB，P在線段BC上連結(jié)AP，AB＝3，∴AC＝6，∴3≤AP≤6，故AP不可能是6.5．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線段最短，正確得出AP的取值范圍是解題的關(guān)鍵．【變式1】．（2023下·七年級(jí)單元測試）如圖，把水渠中的水引到水池C，先過C點(diǎn)向渠岸AB畫垂線，垂足為D，再沿垂線CD開溝才能使溝最短，其依據(jù)是．【答案】垂線段最短【分析】過直線外一點(diǎn)作直線的垂線，這一點(diǎn)與垂足之間的線段就是垂線段，且垂線段最短．據(jù)此作答．【詳解】解：其依據(jù)是：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．故答案為垂線段最短．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線的性質(zhì)在實(shí)際生活中的運(yùn)用，關(guān)鍵是掌握垂線段的性質(zhì)：垂線段最短．【變式2】．（2023下·七年級(jí)單元測試）如圖，要把河中的水引到水池A中，應(yīng)在河岸B處開始挖渠才能使水渠的長度最短，請(qǐng)作出圖形，并說明這樣做依據(jù)的幾何學(xué)原理．【答案】圖見解析，垂線段最短【分析】從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的垂線段最短，根據(jù)垂線段的性質(zhì)，可得答案．【詳解】解：過點(diǎn)A作CD的垂線段AB，則AB的長度最短，依據(jù)為：垂線段最短，．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線段最短，利用了垂線段的性質(zhì)：直線外的點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短．【變式3】．（2023下·七年級(jí)單元測試）按照要求完成下列問題：如圖，直線和相交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)．（1）過點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)；（2）過點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)；（3）比較線段和的大小：______．【答案】（1）作圖見詳解；（2）作圖見詳解；（3）．【分析】（1）、（2）利用題中幾何語言畫出對(duì)應(yīng)的幾何圖形即可；（3）根據(jù)垂線段最短求解即可．【詳解】解：（1）如圖，為所作；（2）如圖，為所作；（3）利用垂線段最短可判斷．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖，垂線段最短的性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型十：點(diǎn)到直線的距離【例10】（2023下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）下列圖形中，線段的長表示點(diǎn)到直線的距離是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離的概念判斷．【詳解】解：因?yàn)锳選項(xiàng)中垂直于，所以線段的長表示點(diǎn)P到直線的距離．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到到直線的距離的定義，解題關(guān)鍵在于熟練掌握點(diǎn)到直線距離定義．【變式1】．（2023下·上海楊浦·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，D是邊上一點(diǎn)，且，下列說法中，錯(cuò)誤的是（

）

A．直線與直線的夾角為60° B．直線與直線的夾角為90°C．線段的長是點(diǎn)D到直線的距離 D．線段的長是點(diǎn)B到直線的距離【答案】D【分析】根據(jù)已知角即可判斷A、B；根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義即可判斷C、D．【詳解】A、，直線與直線的夾角是60度，正確，故本選項(xiàng)不符合題意B、直線與直線的夾角是90度，正確，故本選項(xiàng)不符合題意C、線段的長是點(diǎn)D到直線的距離，正確，故本選項(xiàng)不符合題意D、不相互垂直，線段的長不是點(diǎn)B到直線的距離，錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離和兩直線的夾角，熟練掌握點(diǎn)到直線的距離與兩直線的夾角的定義是解題的關(guān)鍵．【變式2】．（2023下·上海靜安·七年級(jí)上海市回民中學(xué)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)A到直線的距離是線段的長度，直線到直線的距離是線段的長度．

【答案】//【分析】直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)定義作出判斷即可．【詳解】解：點(diǎn)A到直線的距離是線段的長度，直線到直線的距離是線段的長度．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，解題的關(guān)鍵是掌握點(diǎn)到直線的距離的概念，點(diǎn)到直線的距離是一個(gè)長度，而不是一個(gè)圖形，也就是垂線段的長度，而不是垂線段．它只能量出或求出，而不能說畫出，畫出的是垂線段這個(gè)圖形．【變式3】．（2023下·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知于，于，，，，，．則：(1)點(diǎn)到直線的距離為_________；(2)點(diǎn)到直線的距離為_________；(3)點(diǎn)到直線的距離為_________；(4)點(diǎn)到直線的距離為_________；(5)點(diǎn)到直線的距離為_________．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得點(diǎn)到直線的距離為線段的長；（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得點(diǎn)到直線的距離為線段的長；（3）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得點(diǎn)到直線的距離為線段的長；（4）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得點(diǎn)到直線的距離為線段的長；（5）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得點(diǎn)到直線的距離為線段的長．【詳解】（1）解：∵，∴點(diǎn)到直線的距離為線段的長，；故答案為：．（2）解：∵，∴點(diǎn)到直線的距離為線段的長，；故答案為：．（3）解：∵，∴點(diǎn)到直線的距離為線段的長，；故答案為：．（4）解：∵，∴點(diǎn)到直線的距離為線段的長，；故答案為：．（5）解：∵，∴點(diǎn)到直線的距離為線段的長，．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查點(diǎn)到直線的距離的定義，兩點(diǎn)間的距離的定義，解題關(guān)鍵在于掌握其定義.【變式4】．（2023下·上海浦東新·七年級(jí)?？计谥校┌聪铝幸螽媹D并填空：如圖，

(1)過點(diǎn)A畫出直線a的垂線，與直線a交于點(diǎn)C；過點(diǎn)B畫出直線a的垂線，與直線b交于點(diǎn)D；(2)如果直線，那么線段、長度的大小關(guān)系是：______（用“＞”、“＝”、“＜”連接），它們的長度都可以表示直線a、b之間的______．【答案】(1)見解析(2)，距離【分析】（1）將三角板的一條直角邊和己知直線重合，然后平移三角板，讓其另一條直角與點(diǎn)重合，過點(diǎn)和三角板的直角頂點(diǎn)作直線，就是已知直線的垂線，同理得出；（2）利用平行線之間的距離定義即可得出AC，BD之間的關(guān)系．【詳解】（1）解：如圖所示：

（2）解：，根據(jù)平行線之間的距離定義可知，由于，故它們的長度都可以表示直線a、b之間的距離．【點(diǎn)睛】點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了過直線外一點(diǎn)作已知直線垂線以及平行線之間的距離性質(zhì)，根據(jù)已知得出，是解題關(guān)鍵.一、單選題1．（2023下·七年級(jí)單元測試）如圖，在三角形中，，，為垂足，則下列說法中，錯(cuò)誤的是(

)A．點(diǎn)到的距離是線段的長 B．點(diǎn)到的距離是線段的長C．點(diǎn)到的距離是線段的長 D．點(diǎn)到的距離是線段的長【答案】A【分析】利用點(diǎn)到直線的距離定義判斷即可．【詳解】解：A、點(diǎn)到的距離是線段的長，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；B、點(diǎn)到的距離是線段的長，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；C、點(diǎn)到的距離是線段的長，故C選項(xiàng)正確，不符合題意；D、點(diǎn)到的距離是線段的長，故D選項(xiàng)正確，不符合題意，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是點(diǎn)到直線的距離，解題的關(guān)鍵是熟練掌握點(diǎn)到直線的距離就是點(diǎn)到直線的垂線段的長．2．（2023下·上?！て吣昙?jí)假期作業(yè)）如圖，，點(diǎn)D到線段的距離指的是下列哪條線段的長度（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)定義直接可得答案．【詳解】解：∵，∴點(diǎn)D到線段的距離指線段的長，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離．掌握點(diǎn)到直線的距離概念是關(guān)鍵.3．（2023下·七年級(jí)單元測試）如圖，直線AC和直線BD相交于點(diǎn)O，若∠1＋∠2＝70°，則∠BOC的度數(shù)是（

）．A．100° B．115° C．135° D．145°【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠1=∠2，即可求出∠1的度數(shù)，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義即可求出∠BOC的度數(shù)．【詳解】解析

∵直線AC和直線BD相交于點(diǎn)O，∴∠1＝∠2，∵∠1＋∠2＝70°，∴∠1＝35°，∵∠1＋∠BOC＝180°，∴∠BOC＝180°－∠1＝180°－35°＝145°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角，對(duì)頂角相等；互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角和為180°．4．（2023下·七年級(jí)單元測試）下列說法正確的是（

）A．相等的角是對(duì)頂角； B．鄰補(bǔ)角一定互補(bǔ)；C．互補(bǔ)的兩角一定是鄰補(bǔ)角； D．兩個(gè)角不是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角不相等；【答案】B【分析】按照對(duì)頂角的概念和鄰補(bǔ)角的概念逐一判斷即可.【詳解】解：A項(xiàng)，對(duì)頂角相等，但相等的角不一定是對(duì)頂角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)，由鄰補(bǔ)角的定義可知，兩個(gè)鄰補(bǔ)角一定互補(bǔ)，故本選項(xiàng)正確；C項(xiàng)，如30°和150°的兩個(gè)角一定互補(bǔ)，但它們不一定是鄰補(bǔ)角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D項(xiàng)，兩個(gè)角不是對(duì)頂角，但它們有可能相等，如角平分線的模型，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的概念和性質(zhì)，熟知對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的概念和性質(zhì)是正確判斷的關(guān)鍵.5．（2023下·七年級(jí)單元測試）如圖AB，交于點(diǎn)O，，，平分，則下列結(jié)論：①圖中的余角有四個(gè)；②∠AOF的補(bǔ)角有2個(gè)；③為的平分線；④．其中結(jié)論正確的序號(hào)是（

）A．①②④ B．①③④ C．①④ D．②③④【答案】C【分析】①根據(jù)余角的定義可求解．②根據(jù)補(bǔ)角的定義可求解．③根據(jù)角平分線的定義無法證明．④根據(jù)對(duì)頂角及余角性質(zhì)可求解．【詳解】①∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴余角有，故①正確．②根據(jù)補(bǔ)角的定義可知的補(bǔ)角為，故②錯(cuò)誤．③∵不能證明，∴無法證明OD為∠EOG的平分線．④根據(jù)對(duì)頂角以及余角的性質(zhì)可知，由①得，∴，故④正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角以及角平分線的性質(zhì)，注意結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)角與角之間的聯(lián)系是解題關(guān)鍵．6．（2023下·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）下列說法：①對(duì)頂角相等；②相等的兩角一定是對(duì)頂角；③如果兩個(gè)角不是對(duì)頂角，那么它們一定不相等；其中正確的說法有(

)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)頂角的定義以及性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：①對(duì)頂角相等，正確；②相等的兩個(gè)角是一定對(duì)頂角，錯(cuò)誤；③如果兩個(gè)角不是對(duì)頂角，那么它們一定不相等；錯(cuò)誤；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角的定義以及對(duì)頂角相等的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，掌握概念與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2023下·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，EF⊥AB于點(diǎn)O，∠COE=50°，那么∠BOD=．【答案】/40度【分析】根據(jù)EF⊥AB，即得出，從而可根據(jù)求解．【詳解】∵EF⊥AB于點(diǎn)O，∴．∵∠COE=50°，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查垂線的定義和角的運(yùn)算．確定出是解題關(guān)鍵．8．（2023下·上海徐匯·七年級(jí)上海市第二初級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，直線的夾角的度數(shù)是

【答案】67【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角可進(jìn)行求解．【詳解】解：由圖可知直線的夾角的度數(shù)是；故答案為67．【點(diǎn)睛】本題主要考查鄰補(bǔ)角，熟練掌握鄰補(bǔ)角是解題的關(guān)鍵．9．（2023下·上海黃浦·七年級(jí)統(tǒng)考期中）若與是對(duì)頂角，與互余，且，那么．【答案】【分析】由與互余，可求得的度數(shù)，再由對(duì)頂角相等即得的度數(shù)．【詳解】解：∵與互余，且，∴，∵與是對(duì)頂角，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)頂角，余角．解答的關(guān)鍵是明確互余的兩角之和為．10．（2023下·上海奉賢·七年級(jí)校考期中）直線和相交于點(diǎn)，，那么這兩條直線的夾角是度【答案】【分析】由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出的度數(shù)即可．【詳解】解：，，兩條直線、的夾角是度．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查鄰補(bǔ)角，關(guān)鍵是掌握鄰補(bǔ)角的性質(zhì)．11．（2023下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，那么點(diǎn)B到直線AD的距離是線段的長度．【答案】BD/DB【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的概念進(jìn)行判斷，直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離．【詳解】解：∵AD⊥BD于D，∴點(diǎn)B到直線AD的距離是線段BD的長，故答案為：BD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離，解題時(shí)注意：點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長度，而不是垂線段．12．（2023下·七年級(jí)單元測試）若與是對(duì)頂角，與互余，且，那么．【答案】53°/53度【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等以及余角的定義，即可求解．【詳解】∵∠1與∠2是對(duì)頂角，∴∠1=∠2，∵∠3與∠2互余，∴∠3+∠2=90°，∴∠3+∠1=90°，∵∠3=37°，∴∠1=53°．故答案是：53°．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)頂角的性質(zhì)以及余角的定義，掌握對(duì)頂角相等以及余角的定義，是解題的關(guān)鍵．13．（2023下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，直線與直線交于點(diǎn)O，平分，已知∠，那么度．【答案】140【分析】根據(jù)角平分線的定義和對(duì)頂角的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴．故答案為：140．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義和對(duì)頂角的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的定義和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．14．（2023下·七年級(jí)單元測試）若與是對(duì)頂角，與互余，且，那么．【答案】/度【分析】由與互余，可求得的度數(shù)，再由對(duì)頂角相等即得的度數(shù)．【詳解】解：與互余，且，，與是對(duì)頂角，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)頂角，余角，解答的關(guān)鍵是明確互余的兩角之和為90°．15．（2023下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，∠AOB＝72°，OC平分∠AOB，OD⊥OC，那么∠AOD＝°．【答案】54【分析】根據(jù)∠AOB＝72°，OC平分∠AOB，可求出∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝36°，再根據(jù)OD⊥OC，得出∠COD＝90°，最后根據(jù)互余求出答案．【詳解】解：∵∠AOB＝72°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝36°，又∵OD⊥OC，∴∠COD＝90°，∴∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝90°﹣36°＝54°，故答案為：54．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線，垂直，理解角平分線和垂直的意義是正確計(jì)算的前提．16．（2023下·上海松江·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知直線、交于點(diǎn)，，，則．【答案】【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等求出，根據(jù)垂直定義求出，代入求出即可．【詳解】解：，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直定義、對(duì)頂角相等、角的有關(guān)計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，能求出和的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．17．（2023下·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線相交于點(diǎn)O．已知把分成兩個(gè)角，且，將射線繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，若時(shí)，的度數(shù)是．【答案】90°或210°【分析】OF在運(yùn)動(dòng)過程中由兩個(gè)位置可以使∠AOF=120°，分別作出對(duì)應(yīng)的圖像，根據(jù)∠AOC的度數(shù)以及∠AOE與∠COE間的比例求出兩角的值，進(jìn)而可求出角α的度數(shù)．【詳解】解：①當(dāng)OF運(yùn)動(dòng)到如圖所示的位置時(shí)，∵∠BOD=75°，∴∠AOC=∠BOD=75°，∵，∴，當(dāng)時(shí)，∴α=∠AOF-∠AOE=120°-30°=90°，②如圖所示，當(dāng)OF運(yùn)動(dòng)到如圖所示的位置時(shí)，∵∠BOD=75°，∴∠AOC=∠BOD=75°，∵，∴，當(dāng)時(shí)，∴α=360°-（∠AOF＋∠AOE）=360°-150°=210°，故答案為：90°或210°．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)頂角，根據(jù)比例求出角的度數(shù)，以及角的和與差，能夠掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．18．（2023下·上海虹口·七年級(jí)上外附中校考期末）若的對(duì)頂角是，的鄰補(bǔ)角是，的余角是，若，則．【答案】145【分析】根據(jù)余角、鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角的性質(zhì)進(jìn)行求解，即可得到答案．【詳解】解：的余角是，，，的鄰補(bǔ)角是，，的對(duì)頂角是，，故答案為：145．【點(diǎn)睛】本意考查了余角、鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．三、解答題19．（2023下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖：直線AB和CD相交于點(diǎn)O，，且，求：的度數(shù)解：∵（已知）∴（垂直定義）∵（_____________）又∵∴（___________________）∵（已知）∴__________（等量代換）∴___________(等式性質(zhì))∴_______（等式性質(zhì)）【答案】；對(duì)頂角相等；；等量代換；；；．【分析】根據(jù)垂直定義，對(duì)頂角相等的性質(zhì)，進(jìn)行等量代換求解即可．【詳解】解：∵（已知）∴（垂直定義）∵（對(duì)頂角相等）又∵∴（等量代換）∵（已知）∴（等量代換）∴(等式性質(zhì))∴（等式性質(zhì)）．【點(diǎn)睛】本題考查幾何圖形中角度計(jì)算，垂直定義，對(duì)頂角性質(zhì)，等量代換概念，關(guān)鍵是要熟記定義和性質(zhì)．20．（2023下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，已知于，于．(1)點(diǎn)到直線的距離是線段_______的長；(2)點(diǎn)到直線的距離是線段_______的長；(3)線段的長表示點(diǎn)到直線_______距離；(4)線段的長表示點(diǎn)到直線_______距離；(5)線段的長表示點(diǎn)_______到直線______距離；(6)線段的長表示點(diǎn)_______到直線______距離；【答案】(1)(2)(3)(4)(5)，(6)，【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得點(diǎn)到直線的距離是線段的長；（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得點(diǎn)到直線的