2024年七年級數(shù)學(xué)寒假提升學(xué)與練（滬教版）專題08鄰補角、對頂角、垂線（11個考點+10種題型）（解析版）

專題08鄰補角、對頂角、垂線（11個考點+10種題型）思維導(dǎo)圖核心考點與題型分類聚焦考點一：平面上兩條不重合直線的位置關(guān)系考點二：鄰補角的意義考點三：鄰補角的性質(zhì)考點四：對頂角的意義考點五：對頂角的性質(zhì)考點六：垂線的意義考點七：垂直的符號考點八：垂直公理考點九：中垂線考點十：垂線段的性質(zhì)考點十一：點到直線的距離題型一：鄰補角的定義理解題型二：找鄰補角題型三：利用鄰補角互補求角度題型四：對頂角的定義題型五：對頂角相等題型六：相交線題型七：垂線的定義理解題型八：畫垂線題型九：垂線段最短題型十：點到直線的距離考點一：平面上兩條不重合直線的位置關(guān)系 相交：兩條直線有一個交點； 平行：兩條直線沒有交點．考點二：鄰補角的意義 兩個角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角叫做互為鄰補角．考點三：鄰補角的性質(zhì) 互為鄰補角的兩個角一定互補，但互補的兩個角不一定互為鄰補角．考點四：對頂角的意義 兩個角有公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角兩邊的反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角叫做互為對頂角．考點五：對頂角的性質(zhì) 對頂角相等．考點六：垂線的意義如果兩條直線的夾角為直角，那么就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足．考點七：垂直的符號記作：“⊥”，讀作：“垂直于”，如：，讀作“AB垂直于CD”． 注：垂直是特殊的相交．考點八：垂直公理 在平面內(nèi)，過直線上或直線外的一點作已知直線的垂線可以作一條，并且只能作一條．簡記為：過一點，有且僅有一條直線與已知直線垂直考點九：中垂線 過線段中點且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，簡稱中垂線．考點十：垂線段的性質(zhì) 聯(lián)結(jié)直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短．考點十一：點到直線的距離 直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這個點到直線的距離．如果一個點在直線上，那么就說這個點到直線的距離為零．題型一：鄰補角的定義理解【例1】．（2023下·福建泉州·七年級?？计谥校┫铝袌D形中，與是鄰補角的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】鄰補角是指兩個角有一條公共邊，它們的另一條邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，叫做鄰補角，且兩個角的和為，由此即可求解．【詳解】解：、不是鄰補角，原選項不符合題意；、是對頂角，原選項不符合題意；、是鄰補角，原選項符合題意；、不是鄰補角，原選項不符合題意；故選：．【點睛】本題主要考查鄰補角的概念及識別，理解并掌握其概念，圖形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵．【變式1】．（2023下·江西新余·七年級新余四中校考期中）如圖，直線，，相交于點，則的鄰補角有個．

【答案】2【分析】根據(jù)鄰補角的定義即可解答．【詳解】解：根據(jù)鄰可知：的鄰補角是或，共2個．故答案為：2．【點睛】本題主要考查了鄰補角的定義，兩個角有一條公共邊,它們的另一條邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角叫做鄰補角．【變式2】．（2021上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第十七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）與互為鄰補角，且比的3倍還多，則的度數(shù)是°．【答案】40【分析】由題意可得，根據(jù)鄰補角的定義可得關(guān)于的方程，求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，因為與互為鄰補角，所以，所以，解得：；故答案為：40．【點睛】本題考查了鄰補角的定義和一元一次方程的應(yīng)用，熟知鄰補角的定義、建立方程求解是關(guān)鍵．題型二：找鄰補角【例2】．（2021上·黑龍江綏化·七年級統(tǒng)考期末）如圖，圖中鄰補角有幾對（

）

A．4對 B．5對 C．6對 D．8對【答案】D【分析】根據(jù)鄰補角的概念判斷即可．【詳解】解：與，與，與，與，與，與，與，與是鄰補角，共8對，故選：D．【點睛】本題考查的是鄰補角的概念，只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，稱為互為鄰補角．【變式1】．（2022上·福建福州·七年級校考期末）如圖，直線AB、MN相交于一點O，，則∠COM的鄰補角是（

）A．∠AON B．∠AOC C．∠NOC D．∠MOB【答案】C【分析】相鄰且互補的兩個角互為鄰補角【詳解】解：∠COM與∠NOC相鄰且互補，所以互為鄰補角.故選：C【點睛】熟記鄰補角的定義是解題的關(guān)鍵.【變式2】．（2022下·山東德州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線AB，CD，EF相交于點O，則的鄰補角是（

）A． B． C．和 D．和【答案】D【分析】只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，互為鄰補角，根據(jù)鄰補角的概念解答即可．【詳解】：解：根據(jù)鄰補角的定義可知，∠COF的鄰補角是∠DOF和∠EOC．故選：D．【點睛】本題考查了鄰補角的概念，鄰補角、對頂角成對出現(xiàn)，在相交直線中，一個角的鄰補角有兩個．鄰補角、對頂角都是相對與兩個角而言，是指的兩個角的一種位置關(guān)系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．題型三：利用鄰補角互補求角度【例3】．（2023下·上?！て吣昙夒A段練習(xí)）如圖所示，直線、相交于，，則直線與直線所夾的銳角是．【答案】【分析】先根據(jù)鄰補角的定義求出，再根據(jù)直線的夾角為銳角解答．【詳解】解：∵，∴，∴直線與直線所夾的銳角是．故答案為：．【點睛】本題考查了鄰補角的定義，要注意直線的夾角是銳角．【變式1】．（2023下·上海松江·七年級統(tǒng)考期中）已知，與互為鄰補角，且，那么為度【答案】【分析】先根據(jù)題意設(shè)出與，再根據(jù)互為補角的兩個角的和等于列式求解即可．【詳解】解：設(shè)，則，根據(jù)題意得，，解得：，，故答案為：．【點睛】本題考查了鄰補角的和等于的性質(zhì)，根據(jù)題意的設(shè)未知數(shù)的方法是解題的關(guān)鍵，此設(shè)法比較簡便且不容易出錯．【變式2】．（2023下·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，直線AB、CD相交于點O，OE平分∠BOC．如果∠BOE＝65°，那么∠AOC＝度．【答案】50【分析】先根據(jù)角平分線的定義，求出∠BOC的度數(shù)，再根據(jù)鄰補角的和等于180°求解即可．【詳解】解：∵OE平分∠BOC，∠BOE＝65，∴∠BOC＝2∠BOE＝2×65＝130，∴∠AOC＝180﹣∠BOC＝180﹣130＝50．故答案為：50．【點睛】本題考查了角平分線的定義以及鄰補角的定義．解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的定義以及鄰補角的和等于180，是基礎(chǔ)題，比較簡單．【變式3】．（2023下·上海嘉定·七年級?？计谥校┤鐖D，已知DE//BF，AC平分∠BAE，，那么∠ACF的度數(shù)是多少？（完成以下說理過程）解：因為（________），（已知），所以∠BAE＝________（等式性質(zhì)）．又因為AC平分∠BAE（已知），所以（_______），所以（等式性質(zhì)）．【答案】鄰補角的定義；110°；角平分線的定義．【分析】根據(jù)鄰補角的定義可得∠BAE=110°，由角平分線的定義得出∠CAE=BAE，即可得出結(jié)果．【詳解】解：因為∠BAD+∠BAE=180°（鄰補角的定義），∠BAD=70°（已知），所以∠BAE=110°（等式性質(zhì)），又因為AC平分∠BAE（已知），所以∠CAE=BAE（角平分線的定義），所以∠CAE=55°（等式性質(zhì)）．故答案為：鄰補角的定義；110°；角平分線的定義．【點睛】題目主要考查鄰補角的定義及角平分線的定義，理解這兩個定義是解題關(guān)鍵．題型四：對頂角的定義【例1】．（2022下·上?！て吣昙壭Ｂ?lián)考期末）下列所示的四個圖形中，和是對頂角的圖形有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】根據(jù)對頂角的定義，即可判斷出結(jié)果．【詳解】解：對頂角：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角．滿足條件的只有第三個圖形．故選：B【點睛】本題考查了對頂角的定義，解本題的關(guān)鍵在是否能熟練識別對頂角．對頂角：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角．【變式1】．（2020下·七年級?？颊n時練習(xí)）下列說法中：①對頂角相等；②相等的角是對頂角；③若兩個角不相等，則這兩個角一定不是對頂角；④若兩個角不是對頂角，則這兩個角不相等．不正確的有（

）A．①② B．②③ C．②④ D．④③【答案】C【分析】根據(jù)對頂角的定義和性質(zhì)，逐一判斷選項，即可得到答案．【詳解】∵對頂角相等，∴①不符合題意，∵如果兩個角相等，那么這兩個角不一定成對頂角關(guān)系，∴②符合題意，∵若兩個角不相等，則這兩個角一定不是對頂角，∴③不符合題意，∵若兩個角不是對頂角，則這兩個角可能相等也可能不相等，∴④符合題意，選C．【點睛】本題主要考查對頂角的性質(zhì)和定義，掌握對頂角的定義和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【變式2】．（2021下·上?！て吣昙壣虾Ｊ形膩碇袑W(xué)?？计谥校?條不重合的直線相交于一點，構(gòu)成的對頂角共有對．【答案】72【分析】本題考查對頂角的定義，兩條直線相交后所得的只有一個公共頂點且兩個角的兩邊互為反向延長線，這樣的兩個角叫做對頂角．【詳解】解：①兩條直線相交共2對對頂角；②三條直線相交，在2對的基礎(chǔ)上再加4對，共6對；③四條直線相交，在6對的基礎(chǔ)上再加6對，共12對；④五條直線相交，在12對的基礎(chǔ)上再加8對，共20對；即對頂角的對數(shù)為，2，6，12，20……，以此類推，當(dāng)n條直線相交時，對頂角的總對數(shù)為：?；根據(jù)n條直線相交于一點，構(gòu)成對對頂角的規(guī)律可知，當(dāng)時，=（92-9）=72（對），故答案為：72．【點睛】本題考查了對頂角的定義及n條直線相交于一點，構(gòu)成對頂角的規(guī)律，注意對頂角是兩條直線相交而成的四個角中，沒有公共邊的兩個角．題型五：對頂角相等【例5】．（2023下·七年級單元測試）如圖，直線AB與CD相交于點O，若∠AOD＝150°，則∠BOC＝度．【答案】150【分析】根據(jù)對頂角相等可得答案．【詳解】解：因為直線AB與CD相交于點O，所以∠AOD與∠BOC是對頂角，所以∠AOD＝∠BOC，因為∠AOD＝150，所以∠BOC＝150，故答案為：150．【點睛】本題考查了對頂角．解題的關(guān)鍵是掌握對頂角的定義，對頂角的性質(zhì)．【變式1】．（2023下·七年級單元測試）如果直線與直線交于點，且，，這兩條直線的夾角是度．【答案】【分析】利用對頂角的性質(zhì)求得．【詳解】解：和是一對對頂角，，，，，則，，故答案為：．【點睛】本題主要考查對頂角的性質(zhì)：對頂角相等，比較簡單，屬于基礎(chǔ)題目．掌握對頂角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】．（2023下·七年級單元測試）如圖，AB、CD交于點O，若，射線OE平分∠AOC，那么∠EOD=度．【答案】125【分析】先根據(jù)對頂角和平角的定義求出∠AOD和∠AOC的度數(shù)，再由角平分線的定義求出∠AOE的度數(shù)即可求出∠EOD的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，，∵OE平分∠AOC，∴，∴，故答案為：125．【點睛】本題主要考查了對頂角相等，角平分線的定義，平角的定義，正確求出∠AOD和∠AOE的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式3】．（2023下·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）小明同學(xué)做一道幾何題時，不小心漏了一些內(nèi)容，請你把空缺之處填完整：題目如下：如圖，直線交于O，平分，求的度數(shù)．小徐的解答如下：解：∵，（已知）∴________（等式性質(zhì)）∵（

）∴__________________（等量代換）∵平分（已知）∴____________（角平分線的意義）∴（

）【答案】∠BOF；對頂角相等；∠AOE＝32°；∠AOD；等量代換．【分析】利用已知條件，進(jìn)行推理即可．【詳解】解：∵∠COB＝90°，∠COF＝58°（已知），∴∠BOF＝∠COB?∠COF＝32°（等式性質(zhì)），∵∠AOE＝∠FOB（對頂角相等），∴∠AOE＝32°（等量代換），∵OA平分∠DOE（已知）∴∠AOE＝∠AOD（角平分線的意義），∴∠DOE＝64°（等量代換）．故答案為：∠BOF；對頂角相等；∠AOE＝32°；∠AOD；等量代換．【點睛】本題考查的是證明的步驟和格式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握對頂角相等、等量代換、角平分線的意義．題型六：相交線【例6】．（2023上·山東聊城·七年級統(tǒng)考期中）平面上的三條直線最多可將平面分成（

）部分A．4 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】題目主要考查相交線，理解題意，掌握相交線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，三條直線兩兩相交時將平面分為7部分，故選C．【變式】．（2023下·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）觀察如圖圖形，并閱讀相關(guān)文字：那么10條直線相交，最多交點的個數(shù)是(

)A．10 B．20 C．36 D．45【答案】D【分析】根據(jù)直線的條數(shù)與交點的個數(shù)寫出關(guān)系式，然后把10代入關(guān)系式進(jìn)行計算即可得解．【詳解】2條直線相交，只有1個交點，3條直線相交，最多有3個交點，4條直線相交，最多有6個交點，…，n條直線相交，最多有個交點，n=10時，45．故選D．【點睛】本題考查了直線、射線、線段，寫出直線條數(shù)與交點個數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．題型七：垂線的定義理解【例7】．（2023下·七年級單元測試）如圖，，垂足為，為過點的一條直線，若，則．【答案】【分析】根據(jù)對頂角相等求出，再根據(jù)垂直的定義求出，然后根據(jù)代入數(shù)據(jù)計算即可得解．【詳解】解：如圖，∵，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了對頂角相等的性質(zhì)和垂線的定義，掌握、和之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式1】．（2023下·上海閔行·七年級統(tǒng)考期中）如圖，，直線平分，則【答案】【分析】根據(jù)垂直，角的平分線的定義，對頂角即可求解．【詳解】解：如圖所示，∵，∴，∵直線平分，∴，且，∴，∵（對頂角相等），∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查角的和、差、倍、分，理解直線之間的關(guān)系，垂直的性質(zhì)，角平分線的定義，對頂角是解題的關(guān)鍵．【變式2】．（2023下·上海徐匯·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線與直線相交于點，，，那么的度數(shù)是度．【答案】65【分析】根據(jù)對頂角相等可得，然后根據(jù)，可得，最后由，進(jìn)行計算即可得到答案．【詳解】解：，，，，，故答案為：65．【點睛】本題主要考查了對頂角相等，垂線的定義，熟練掌握對頂角相等，垂線的定義，是解題的關(guān)鍵．【變式3】．（2023下·上海寶山·七年級校考階段練習(xí)）如圖，直線與相交于點，平分，．已知，求的度數(shù)．

【答案】【分析】先利用對頂角的性質(zhì)得到，再根據(jù)角平分線定義得到，接著利用垂直定義得到，則利用互余得到即可求解．【詳解】解：直線與相交于一點，，平分，，，，．【點睛】本題考查了垂線的定義，對頂角相等，角平分線的定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．題型八：畫垂線【例8】．（2023下·七年級單元測試）如圖，在紙片上有一直線l，點A在直線l上，過點A作直線l的垂線、嘉嘉使用了量角器，過90°刻度線的直線a即為所求；淇淇過點A將紙片折疊，使得以A為端點的兩條射線重合，折痕a即為所求，下列判斷正確的是（

）A．只有嘉嘉對 B．只有淇淇對C．兩人都對 D．兩人都不對【答案】C【分析】根據(jù)垂直的定義即可解答．【詳解】解：嘉嘉利用量角器畫90°角，可以畫垂線，方法正確；淇淇過點A將紙片折疊，使得以A為端點的兩條射線重合，折痕a垂直直線l，方法正確，故選：C．【點睛】本題主要考查了作圖、垂線的定義，掌握垂直的定義是解答本題的關(guān)鍵．【變式】．（2023下·上海寶山·七年級?？茧A段練習(xí)）作圖：（使用鉛筆作圖，保留作圖痕跡）如圖，外有一點，畫出點到三角形三邊的垂線分別交于點、、．

【答案】見解析【分析】根據(jù)題意，過點分別作的垂線，垂足分別為，【詳解】解：如圖所示，過點分別作的垂線，垂足分別為，則即為所求

【點睛】本題考查了作垂線，熟練掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．題型九：垂線段最短【例9】．（2023下·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，A是直線l外一點，過點A作AB⊥l于點B，在直線l上取一點C，連結(jié)AC，使AC＝2AB，P在線段BC上連結(jié)AP．若AB＝3，則線段AP的長不可能是（）A．3.5 B．4 C．5.5 D．6.5【答案】D【分析】直接利用垂線段最短以及結(jié)合已知得出AP的取值范圍進(jìn)而得出答案．【詳解】∵過點A作AB⊥l于點B，AC＝2AB，P在線段BC上連結(jié)AP，AB＝3，∴AC＝6，∴3≤AP≤6，故AP不可能是6.5．故選D．【點睛】本題考查了垂線段最短，正確得出AP的取值范圍是解題的關(guān)鍵．【變式1】．（2023下·七年級單元測試）如圖，把水渠中的水引到水池C，先過C點向渠岸AB畫垂線，垂足為D，再沿垂線CD開溝才能使溝最短，其依據(jù)是．【答案】垂線段最短【分析】過直線外一點作直線的垂線，這一點與垂足之間的線段就是垂線段，且垂線段最短．據(jù)此作答．【詳解】解：其依據(jù)是：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短．故答案為垂線段最短．【點睛】本題考查了垂線的性質(zhì)在實際生活中的運用，關(guān)鍵是掌握垂線段的性質(zhì)：垂線段最短．【變式2】．（2023下·七年級單元測試）如圖，要把河中的水引到水池A中，應(yīng)在河岸B處開始挖渠才能使水渠的長度最短，請作出圖形，并說明這樣做依據(jù)的幾何學(xué)原理．【答案】圖見解析，垂線段最短【分析】從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短，根據(jù)垂線段的性質(zhì)，可得答案．【詳解】解：過點A作CD的垂線段AB，則AB的長度最短，依據(jù)為：垂線段最短，．【點睛】本題考查了垂線段最短，利用了垂線段的性質(zhì)：直線外的點與直線上所有點的連線中，垂線段最短．【變式3】．（2023下·七年級單元測試）按照要求完成下列問題：如圖，直線和相交于點，點為上一點．（1）過點作的垂線，交于點；（2）過點作的垂線，交于點；（3）比較線段和的大?。篲_____．【答案】（1）作圖見詳解；（2）作圖見詳解；（3）．【分析】（1）、（2）利用題中幾何語言畫出對應(yīng)的幾何圖形即可；（3）根據(jù)垂線段最短求解即可．【詳解】解：（1）如圖，為所作；（2）如圖，為所作；（3）利用垂線段最短可判斷．【點睛】本題考查了作圖-基本作圖，垂線段最短的性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型十：點到直線的距離【例10】（2023下·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）下列圖形中，線段的長表示點到直線的距離是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離的概念判斷．【詳解】解：因為A選項中垂直于，所以線段的長表示點P到直線的距離．故選：A．【點睛】本題考查了點到到直線的距離的定義，解題關(guān)鍵在于熟練掌握點到直線距離定義．【變式1】．（2023下·上海楊浦·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，D是邊上一點，且，下列說法中，錯誤的是（

）

A．直線與直線的夾角為60° B．直線與直線的夾角為90°C．線段的長是點D到直線的距離 D．線段的長是點B到直線的距離【答案】D【分析】根據(jù)已知角即可判斷A、B；根據(jù)點到直線的距離的定義即可判斷C、D．【詳解】A、，直線與直線的夾角是60度，正確，故本選項不符合題意B、直線與直線的夾角是90度，正確，故本選項不符合題意C、線段的長是點D到直線的距離，正確，故本選項不符合題意D、不相互垂直，線段的長不是點B到直線的距離，錯誤，故本選項符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了點到直線的距離和兩直線的夾角，熟練掌握點到直線的距離與兩直線的夾角的定義是解題的關(guān)鍵．【變式2】．（2023下·上海靜安·七年級上海市回民中學(xué)?？计谥校┤鐖D，點A到直線的距離是線段的長度，直線到直線的距離是線段的長度．

【答案】//【分析】直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離，根據(jù)定義作出判斷即可．【詳解】解：點A到直線的距離是線段的長度，直線到直線的距離是線段的長度．故答案為：，．【點睛】本題考查了點到直線的距離，解題的關(guān)鍵是掌握點到直線的距離的概念，點到直線的距離是一個長度，而不是一個圖形，也就是垂線段的長度，而不是垂線段．它只能量出或求出，而不能說畫出，畫出的是垂線段這個圖形．【變式3】．（2023下·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，已知于，于，，，，，．則：(1)點到直線的距離為_________；(2)點到直線的距離為_________；(3)點到直線的距離為_________；(4)點到直線的距離為_________；(5)點到直線的距離為_________．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】（1）根據(jù)點到直線的距離，可得點到直線的距離為線段的長；（2）根據(jù)點到直線的距離，可得點到直線的距離為線段的長；（3）根據(jù)點到直線的距離，可得點到直線的距離為線段的長；（4）根據(jù)點到直線的距離，可得點到直線的距離為線段的長；（5）根據(jù)點到直線的距離，可得點到直線的距離為線段的長．【詳解】（1）解：∵，∴點到直線的距離為線段的長，；故答案為：．（2）解：∵，∴點到直線的距離為線段的長，；故答案為：．（3）解：∵，∴點到直線的距離為線段的長，；故答案為：．（4）解：∵，∴點到直線的距離為線段的長，；故答案為：．（5）解：∵，∴點到直線的距離為線段的長，．故答案為：．【點睛】此題考查點到直線的距離的定義，兩點間的距離的定義，解題關(guān)鍵在于掌握其定義.【變式4】．（2023下·上海浦東新·七年級校考期中）按下列要求畫圖并填空：如圖，

(1)過點A畫出直線a的垂線，與直線a交于點C；過點B畫出直線a的垂線，與直線b交于點D；(2)如果直線，那么線段、長度的大小關(guān)系是：______（用“＞”、“＝”、“＜”連接），它們的長度都可以表示直線a、b之間的______．【答案】(1)見解析(2)，距離【分析】（1）將三角板的一條直角邊和己知直線重合，然后平移三角板，讓其另一條直角與點重合，過點和三角板的直角頂點作直線，就是已知直線的垂線，同理得出；（2）利用平行線之間的距離定義即可得出AC，BD之間的關(guān)系．【詳解】（1）解：如圖所示：

（2）解：，根據(jù)平行線之間的距離定義可知，由于，故它們的長度都可以表示直線a、b之間的距離．【點睛】點評：此題主要考查了過直線外一點作已知直線垂線以及平行線之間的距離性質(zhì)，根據(jù)已知得出，是解題關(guān)鍵.一、單選題1．（2023下·七年級單元測試）如圖，在三角形中，，，為垂足，則下列說法中，錯誤的是(

)A．點到的距離是線段的長 B．點到的距離是線段的長C．點到的距離是線段的長 D．點到的距離是線段的長【答案】A【分析】利用點到直線的距離定義判斷即可．【詳解】解：A、點到的距離是線段的長，故A選項錯誤，符合題意；B、點到的距離是線段的長，故B選項正確，不符合題意；C、點到的距離是線段的長，故C選項正確，不符合題意；D、點到的距離是線段的長，故D選項正確，不符合題意，故選：A．【點睛】本題考查的是點到直線的距離，解題的關(guān)鍵是熟練掌握點到直線的距離就是點到直線的垂線段的長．2．（2023下·上海·七年級假期作業(yè)）如圖，，點D到線段的距離指的是下列哪條線段的長度（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離，根據(jù)定義直接可得答案．【詳解】解：∵，∴點D到線段的距離指線段的長，故選：D．【點睛】本題主要考查了點到直線的距離．掌握點到直線的距離概念是關(guān)鍵.3．（2023下·七年級單元測試）如圖，直線AC和直線BD相交于點O，若∠1＋∠2＝70°，則∠BOC的度數(shù)是（

）．A．100° B．115° C．135° D．145°【答案】D【分析】根據(jù)對頂角相等可得∠1=∠2，即可求出∠1的度數(shù)，根據(jù)鄰補角的定義即可求出∠BOC的度數(shù)．【詳解】解析

∵直線AC和直線BD相交于點O，∴∠1＝∠2，∵∠1＋∠2＝70°，∴∠1＝35°，∵∠1＋∠BOC＝180°，∴∠BOC＝180°－∠1＝180°－35°＝145°．故選：D．【點睛】本題考查對頂角和鄰補角，對頂角相等；互為鄰補角的兩個角和為180°．4．（2023下·七年級單元測試）下列說法正確的是（

）A．相等的角是對頂角； B．鄰補角一定互補；C．互補的兩角一定是鄰補角； D．兩個角不是對頂角，則這兩個角不相等；【答案】B【分析】按照對頂角的概念和鄰補角的概念逐一判斷即可.【詳解】解：A項，對頂角相等，但相等的角不一定是對頂角，故本選項錯誤；B項，由鄰補角的定義可知，兩個鄰補角一定互補，故本選項正確；C項，如30°和150°的兩個角一定互補，但它們不一定是鄰補角，故本選項錯誤；D項，兩個角不是對頂角，但它們有可能相等，如角平分線的模型，故本選項錯誤；故答案為B.【點睛】本題考查了對頂角和鄰補角的概念和性質(zhì)，熟知對頂角和鄰補角的概念和性質(zhì)是正確判斷的關(guān)鍵.5．（2023下·七年級單元測試）如圖AB，交于點O，，，平分，則下列結(jié)論：①圖中的余角有四個；②∠AOF的補角有2個；③為的平分線；④．其中結(jié)論正確的序號是（

）A．①②④ B．①③④ C．①④ D．②③④【答案】C【分析】①根據(jù)余角的定義可求解．②根據(jù)補角的定義可求解．③根據(jù)角平分線的定義無法證明．④根據(jù)對頂角及余角性質(zhì)可求解．【詳解】①∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴余角有，故①正確．②根據(jù)補角的定義可知的補角為，故②錯誤．③∵不能證明，∴無法證明OD為∠EOG的平分線．④根據(jù)對頂角以及余角的性質(zhì)可知，由①得，∴，故④正確．故選C．【點睛】本題考查了余角、補角、對頂角以及角平分線的性質(zhì)，注意結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)角與角之間的聯(lián)系是解題關(guān)鍵．6．（2023下·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）下列說法：①對頂角相等；②相等的兩角一定是對頂角；③如果兩個角不是對頂角，那么它們一定不相等；其中正確的說法有(

)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)對頂角的定義以及性質(zhì)對各選項分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：①對頂角相等，正確；②相等的兩個角是一定對頂角，錯誤；③如果兩個角不是對頂角，那么它們一定不相等；錯誤；故選B．【點睛】本題考查了對頂角的定義以及對頂角相等的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，掌握概念與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2023下·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，直線AB、CD相交于點O，EF⊥AB于點O，∠COE=50°，那么∠BOD=．【答案】/40度【分析】根據(jù)EF⊥AB，即得出，從而可根據(jù)求解．【詳解】∵EF⊥AB于點O，∴．∵∠COE=50°，∴．故答案為：．【點睛】本題考查垂線的定義和角的運算．確定出是解題關(guān)鍵．8．（2023下·上海徐匯·七年級上海市第二初級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線的夾角的度數(shù)是

【答案】67【分析】根據(jù)鄰補角可進(jìn)行求解．【詳解】解：由圖可知直線的夾角的度數(shù)是；故答案為67．【點睛】本題主要考查鄰補角，熟練掌握鄰補角是解題的關(guān)鍵．9．（2023下·上海黃浦·七年級統(tǒng)考期中）若與是對頂角，與互余，且，那么．【答案】【分析】由與互余，可求得的度數(shù)，再由對頂角相等即得的度數(shù)．【詳解】解：∵與互余，且，∴，∵與是對頂角，∴，故答案為：．【點睛】本題考查對頂角，余角．解答的關(guān)鍵是明確互余的兩角之和為．10．（2023下·上海奉賢·七年級?？计谥校┲本€和相交于點，，那么這兩條直線的夾角是度【答案】【分析】由鄰補角的性質(zhì)求出的度數(shù)即可．【詳解】解：，，兩條直線、的夾角是度．故答案為：．【點睛】本題考查鄰補角，關(guān)鍵是掌握鄰補角的性質(zhì)．11．（2023下·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在△ABC，AD⊥BC，垂足為點D，那么點B到直線AD的距離是線段的長度．【答案】BD/DB【分析】根據(jù)點到直線的距離的概念進(jìn)行判斷，直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離．【詳解】解：∵AD⊥BD于D，∴點B到直線AD的距離是線段BD的長，故答案為：BD．【點睛】本題主要考查了點到直線的距離，解題時注意：點到直線的距離是垂線段的長度，而不是垂線段．12．（2023下·七年級單元測試）若與是對頂角，與互余，且，那么．【答案】53°/53度【分析】根據(jù)對頂角相等以及余角的定義，即可求解．【詳解】∵∠1與∠2是對頂角，∴∠1=∠2，∵∠3與∠2互余，∴∠3+∠2=90°，∴∠3+∠1=90°，∵∠3=37°，∴∠1=53°．故答案是：53°．【點睛】本題主要考查對頂角的性質(zhì)以及余角的定義，掌握對頂角相等以及余角的定義，是解題的關(guān)鍵．13．（2023下·上海·七年級專題練習(xí)）如圖，直線與直線交于點O，平分，已知∠，那么度．【答案】140【分析】根據(jù)角平分線的定義和對頂角的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴．故答案為：140．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義和對頂角的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的定義和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．14．（2023下·七年級單元測試）若與是對頂角，與互余，且，那么．【答案】/度【分析】由與互余，可求得的度數(shù)，再由對頂角相等即得的度數(shù)．【詳解】解：與互余，且，，與是對頂角，．故答案為：．【點睛】本題主要考查對頂角，余角，解答的關(guān)鍵是明確互余的兩角之和為90°．15．（2023下·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，∠AOB＝72°，OC平分∠AOB，OD⊥OC，那么∠AOD＝°．【答案】54【分析】根據(jù)∠AOB＝72°，OC平分∠AOB，可求出∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝36°，再根據(jù)OD⊥OC，得出∠COD＝90°，最后根據(jù)互余求出答案．【詳解】解：∵∠AOB＝72°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝36°，又∵OD⊥OC，∴∠COD＝90°，∴∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝90°﹣36°＝54°，故答案為：54．【點睛】本題考查角平分線，垂直，理解角平分線和垂直的意義是正確計算的前提．16．（2023下·上海松江·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知直線、交于點，，，則．【答案】【分析】根據(jù)對頂角相等求出，根據(jù)垂直定義求出，代入求出即可．【詳解】解：，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了垂直定義、對頂角相等、角的有關(guān)計算等知識點，能求出和的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．17．（2023下·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，直線相交于點O．已知把分成兩個角，且，將射線繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到，若時，的度數(shù)是．【答案】90°或210°【分析】OF在運動過程中由兩個位置可以使∠AOF=120°，分別作出對應(yīng)的圖像，根據(jù)∠AOC的度數(shù)以及∠AOE與∠COE間的比例求出兩角的值，進(jìn)而可求出角α的度數(shù)．【詳解】解：①當(dāng)OF運動到如圖所示的位置時，∵∠BOD=75°，∴∠AOC=∠BOD=75°，∵，∴，當(dāng)時，∴α=∠AOF-∠AOE=120°-30°=90°，②如圖所示，當(dāng)OF運動到如圖所示的位置時，∵∠BOD=75°，∴∠AOC=∠BOD=75°，∵，∴，當(dāng)時，∴α=360°-（∠AOF＋∠AOE）=360°-150°=210°，故答案為：90°或210°．【點睛】本題考查對頂角，根據(jù)比例求出角的度數(shù)，以及角的和與差，能夠掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．18．（2023下·上海虹口·七年級上外附中?？计谀┤舻膶斀鞘?，的鄰補角是，的余角是，若，則．【答案】145【分析】根據(jù)余角、鄰補角、對頂角的性質(zhì)進(jìn)行求解，即可得到答案．【詳解】解：的余角是，，，的鄰補角是，，的對頂角是，，故答案為：145．【點睛】本意考查了余角、鄰補角、對頂角，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．三、解答題19．（2023下·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖：直線AB和CD相交于點O，，且，求：的度數(shù)解：∵（已知）∴（垂直定義）∵（_____________）又∵∴（___________________）∵（已知）∴__________（等量代換）∴___________(等式性質(zhì))∴_______（等式性質(zhì)）【答案】；對頂角相等；；等量代換；；；．【分析】根據(jù)垂直定義，對頂角相等的性質(zhì)，進(jìn)行等量代換求解即可．【詳解】解：∵（已知）∴（垂直定義）∵（對頂角相等）又∵∴（等量代換）∵（已知）∴（等量代換）∴(等式性質(zhì))∴（等式性質(zhì)）．【點睛】本題考查幾何圖形中角度計算，垂直定義，對頂角性質(zhì)，等量代換概念，關(guān)鍵是要熟記定義和性質(zhì)．20．（2023下·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，已知于，于．(1)點到直線的距離是線段_______的長；(2)點到直線的距離是線段_______的長；(3)線段的長表示點到直線_______距離；(4)線段的長表示點到直線_______距離；(5)線段的長表示點_______到直線______距離；(6)線段的長表示點_______到直線______距離；【答案】(1)(2)(3)(4)(5)，(6)，【分析】（1）根據(jù)點到直線的距離，可得點到直線的距離是線段的長；（2）根據(jù)點到直線的距離，可得點到直線的