2025版一輪高考總復習數(shù)學第二章　函數(shù)的概念與性質第三節(jié)第1課時　函數(shù)的奇偶性、周期性與對稱性

第1課時函數(shù)的奇偶性、周期性與對稱性函數(shù)的奇偶性考向1函數(shù)奇偶性的判斷【例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）＝x3－1x（2）f（x）＝x2－1（3）f（x）＝36－（4）f（x）＝x解：（1）函數(shù)的定義域為{x｜x≠0}，關于原點對稱，并且對于定義域內的任意一個x都有f（－x）＝（－x）3－1－x＝－x3－1x故函數(shù)f（x）為奇函數(shù).（2）f（x）的定義域為{－1，1}，關于原點對稱.又f（－1）＝f（1）＝0，f（－1）＝－f（1）＝0，所以f（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).（3）由f（x）＝36－x2｜x+3|-3，可得36－x2≥0，｜x+3|-3≠0?－6≤x≤6，x≠0（4）法一（圖象法）畫出函數(shù)f（x）＝x2＋x，x<0，x2－x，x>0的圖象法二（定義法）易知函數(shù)f（x）的定義域為（－∞，0）∪（0，＋∞），關于原點對稱，當x＞0時，f（x）＝x2－x，則當x＜0時，－x＞0，故f（－x）＝x2＋x＝f（x）；當x＜0時，f（x）＝x2＋x，則當x＞0時，－x＜0，故f（－x）＝x2－x＝f（x），故原函數(shù)是偶函數(shù).法三（性質法）f（x）還可以寫成f（x）＝x2－｜x｜（x≠0），故f（x）為偶函數(shù).解題技法函數(shù)奇偶性的判斷方法（1）定義法（2）圖象法（3）性質法：設f（x），g（x）的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.提醒對函數(shù)奇偶性的判斷，不能用特殊值法，如存在x0使f（－x0）＝－f（x0），不能判定函數(shù)f（x）是奇函數(shù).考向2利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值【例2】（2023·全國乙卷4題）已知f（x）＝xexeax－1是偶函數(shù)，A.－2 B.－1C.1 D.2解析：D法一f（x）的定義域為{x｜x≠0}，因為f（x）是偶函數(shù)，所以f（x）＝f（－x），即xexeax－1＝－xe－xe－ax－1，即e（1－a）x－ex＝－e（a－1）x＋e－x，即e（1－a）x＋e（a－1）x＝ex＋e－x，所以a法二因為f（x）是偶函數(shù)，所以f（1）－f（－1）＝eea－1－－e－1e－a－1＝e解題技法利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值的解題策略（1）若定義域含參數(shù)，則利用奇（偶）函數(shù)f（x）的定義域[a，b]關于原點對稱，即利用a＋b＝0求參數(shù)；（2）若解析式含參數(shù)，則根據f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）列式，比較系數(shù)求解，或者根據等價變形求解，對于在x＝0處有定義的奇函數(shù)f（x），也可考慮列等式f（0）＝0求解.考向3利用奇偶性求解析式及函數(shù)值【例3】（1）已知偶函數(shù)f（x），當x∈[0，2）時，f（x）＝2sinx，當x∈[2，＋∞）時，f（x）＝log2x，則f（－π3）＋f（4）＝（CA.－3＋2 B.1C.3＋2 D.3（2）已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x＜0時，f（x）＝x2－x＋1，則函數(shù)f（x）的解析式為f（x）＝x2－解析：（1）∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，當x∈[0，2）時，f（x）＝2sinx，∴f（－π3）＝f（π3）＝2sinπ3＝3.又∵當x∈[2，＋∞）時，f（x）＝log2x，∴f（4）＝log24＝2，∴f（－π3）＋f（4（2）當x＞0時，－x＜0，所以f（－x）＝（－x）2＋x＋1＝x2＋x＋1，因為f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，故f（0）＝0，且f（－x）＝－f（x），所以－f（x）＝x2＋x＋1，所以f（x）＝－x2－x－1，綜上，函數(shù)f（x）的解析式為f（x）＝x解題技法利用函數(shù)奇偶性求解析式及函數(shù)值的解題策略（1）求解析式：先將待求區(qū)間上的自變量轉化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出f（x）的解析式，或充分利用奇偶性構造關于f（x）的方程（組），從而得到f（x）的解析式；（2）求函數(shù)值：利用函數(shù)的奇偶性將待求函數(shù)值轉化為已知區(qū)間上的函數(shù)值，進而求解.1.已知函數(shù)f（x）＝x2－ax，x≤0，A.－1 B.1C.0 D.±1解析：A∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴f（－x）＝－f（x），則有f（－1）＝－f（1），即1＋a＝－a－1，即2a＝－2，得a＝－1（符合題意）.故選A.2.（多選）下列函數(shù)中為非奇非偶函數(shù)的是（）A.y＝x＋ex B.y＝xC.y＝2x＋12x D.y解析：AB記f（x）＝x＋ex，則f（－1）＝－1＋e－1，f（1）＝1＋e，顯然f（－1）≠f（1），f（－1）≠－f（1），故y＝x＋ex為非奇非偶函數(shù)；y＝x2－xx－1的定義域為{x｜x≠1}，不關于原點對稱，故y＝x2－xx－1為非奇非偶函數(shù)；由奇、偶函數(shù)的定義易知3.已知函數(shù)f（x），g（x）分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，f（x）＋g（x）＝2·3x，則函數(shù)f（x）＝3x＋3－x.解析：因為f（x）＋g（x）＝2·3x，所以f（－x）＋g（－x）＝2·3－x，又f（x），g（x）分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x），所以f（－x）＋g（－x）＝f（x）－g（x）＝2·3－x，則f（x）＋g（x）=2·3x，f（x)-g（x）=2·函數(shù)的周期性【例4】（2024·金華調研）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x＋6）＝f（x），當－3≤x＜－1時，f（x）＝－（x＋2）2，當－1≤x＜3時，f（x）＝x，則f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2025）＝339.解析：因為f（x＋6）＝f（x），所以f（x）的周期T＝6，于是f（1）＝1，f（2）＝2，f（3）＝f（－3）＝－（－3＋2）2＝－1，f（4）＝f（－2）＝－（－2＋2）2＝0，f（5）＝f（－1）＝－1，f（6）＝f（0）＝0，所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）＋f（6）＝1，而2025＝6×337＋3，所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2025）＝337×1＋1＋2－1＝339.解題技法函數(shù)周期性的判定與應用（1）判定：判斷函數(shù)為周期函數(shù)只需證明f（x＋T）＝f（x）（T≠0）即可，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質綜合命題；（2）應用：根據函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質得到函數(shù)的整體性質，即周期性與奇偶性都具有將未知區(qū)間上的問題轉化到已知區(qū)間上的功能.在解決具體問題時，要注意結論：若T是函數(shù)的周期，則kT（k∈Z且k≠0）也是函數(shù)的周期.1.函數(shù)f（x）滿足f（x－2）＝f（x＋2），當x∈（0，2）時，f（x）＝x2，則f（2025）＝1.解析：由f（x－2）＝f（x＋2）知f（x）的周期為4，故f（2025）＝f（506×4＋1）＝f（1）＝1.2.已知f（x）是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當0≤x＜2時，f（x）＝x3－x，則函數(shù)y＝f（x）的圖象在區(qū)間[0，4]上與x軸的交點有5個.解析：當0≤x＜2時，令f（x）＝x3－x＝x（x2－1）＝0，所以y＝f（x）的圖象與x軸交點的橫坐標分別為x1＝0，x2＝1.當2≤x＜4時，0≤x－2＜2，又f（x）的最小正周期為2，所以f（x－2）＝f（x），所以f（x）＝（x－2）（x－1）（x－3），所以當2≤x＜4時，y＝f（x）的圖象與x軸交點的橫坐標分別為x3＝2，x4＝3.又f（4）＝f（2）＝f（0）＝0，綜上可知，共有5個交點.函數(shù)的對稱性【例5】（多選）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，對任意x都有f（2＋x）＝f（2－x），且f（－x）＝f（x），則下列結論正確的是（）A.f（x）的圖象關于直線x＝2對稱B.f（x）的圖象關于點（2，0）對稱C.f（x）的周期為4D.y＝f（x＋4）為偶函數(shù)解析：ACD∵f（2＋x）＝f（2－x），則f（x）的圖象關于直線x＝2對稱，故A正確，B錯誤；∵函數(shù)f（x）的圖象關于直線x＝2對稱，則f（－x）＝f（x＋4），又f（－x）＝f（x），∴f（x＋4）＝f（x），∴T＝4，故C正確；∵T＝4且f（x）為偶函數(shù)，故y＝f（x＋4）為偶函數(shù)，故D正確.解題技法求解與函數(shù)的對稱性有關的問題時，先根據題目特征和對稱性的定義，求出函數(shù)圖象的對稱軸或對稱中心，再結合函數(shù)圖象，利用對稱性解決求值或參數(shù)問題.1.已知函數(shù)f（x）對任意的x∈R都有f（x）＝f（2－x）成立，且當x≥1時，f（x）＝2x－1，則（）A.f（13）＜f（32）＜f（B.f（23）＜f（32）＜f（C.f（23）＜f（13）＜f（D.f（32）＜f（23）＜f（解析：B由題意知，函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸方程是x＝1，當x≥1時，f（x）＝2x－1，則函數(shù)f（x）在[1，＋∞）上單調遞增，由f（x）的對稱性知f（x）在（－∞，1）上單調遞減.∵1－23＜32－1＜1－13，∴f（23）＜f（32）＜f（2.（多選）關于函數(shù)f（x）＝sinx＋1sinx有如下四個命題，其中正確的是（A.f（x）的圖象關于y軸對稱B.f（x）的圖象關于原點對稱C.f（x）的圖象關于直線x＝π2D.f（x）的圖象關于點（π，0）對稱解析：BCD∵f（x）＝sinx＋1sinx的定義域為{x｜x≠kπ，k∈Z}，f（－x）＝sin（－x）＋1sin(-x）＝－sinx－1sinx＝－f（x），∴f（x）為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，故A錯誤，B正確；∵f（π2－x）＝cosx＋1cosx，f（π2＋x）＝cosx＋1cosx，∴f（π2－x）＝f（π2＋x），∴f（x）的圖象關于直線x＝π2對稱，故C正確；又f（x＋2π）＝sin（x＋2π）＋1sin（x+2π）＝sinx＋1sinx，f（－x）＝－sinx－1sinx，∴f（x＋2π1.（2024·上海春考）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）A.y＝sinx B.y＝cosxC.y＝x3 D.y＝3x解析：B對于B，因為cos（－x）＝cosx，所以函數(shù)y＝cosx為偶函數(shù)，故B正確；對于A，因為sin（－x）＝－sinx，所以函數(shù)y＝sinx為奇函數(shù)，故A不正確；對于C，因為（－x）3＝－x3，所以函數(shù)y＝x3為奇函數(shù)，故C不正確；對于D，因為3－x＝13x，所以函數(shù)y＝3x為非奇非偶函數(shù)，故D不正確.綜上所述，2.已知函數(shù)f（x）滿足對于任意的實數(shù)x，都有f（x＋3）＝1f（x），且f（3）＝13，則f（2025A.－13B.13C.－1 解析：B由f（x＋3）＝1f（x）得f（x）的周期T＝6，f（2025）＝f（337×6＋3）＝f（33.函數(shù)f（x）＝9x+13x的A.關于x軸對稱 B.關于y軸對稱C.關于坐標原點對稱 D.關于直線y＝x對稱解析：B由題意知f（x）的定義域為R，且f（x）＝32x+13x＝3x＋3－x，f（－x）＝3－x＋3x，∴f（－x）＝f（x），故f（x）為偶函數(shù)，其4.已知f（x）是R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）＝2x－ax.若f（2）＋f（0）＝1，則f（－3）＝（A.－4 B.－3C.－2 D.1解析：A因為f（x）是R上的奇函數(shù)，所以f（0）＝0.又因為f（2）＋f（0）＝1，所以f（2）＝4－a2＝1，解得a＝6，所以f（x）＝2x－6x（x＞0），所以f（－3）＝－f（3）＝－（6－635.設定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關于直線x＝1對稱，且當x≥1時，f（x）＝lnx－1，則f（13），f（23），f（32）的大小關系為A.f（13）＜f（23）＜f（B.f（13）＜f（32）＜f（C.f（23）＜f（32）＜f（D.f（32）＜f（13）＜f（解析：C由題意知，函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，f（32）＝f（12），又因為f（x）在（－∞，1）上單調遞減，所以f（13）＞f（12）＞f（23），即f（13）＞f（32）6.（多選）（2024·汕頭一模）已知f（x）為奇函數(shù)，且f（x＋1）為偶函數(shù)，若f（1）＝0，則（）A.f（3）＝0B.f（3）＝f（5）C.f（x＋3）＝f（x－1）D.f（x＋2）＋f（x＋1）＝1解析：ABC因為函數(shù)f（x＋1）為偶函數(shù)，所以f（x＋1）＝f（1－x），又因為f（x）是R上的奇函數(shù)，所以f（x＋1）＝f（1－x）＝－f（x－1），所以f（x＋2）＝－f（x），f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），所以f（x）的周期為4，又因為f（1）＝0，f（3）＝f（－1）＝－f（1）＝0，f（5）＝f（1）＝0，故A、B正確；f（x＋3）＝f（x＋3－4）＝f（x－1），所以C正確；f（2）＝f（2－4）＝f（－2），同時根據奇函數(shù)的性質得f（2）＝－f（－2），所以f（2），f（－2）既相等又互為相反數(shù)，故f（2）＝0，所以f（2）＋f（1）＝0≠1，即f（x＋2）＋f（x＋1）＝1對于x＝0不成立，故D不正確.7.已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8（a，b是常數(shù)），且f（－3）＝5，則f（3）＝－21.解析：令g（x）＝x5＋ax3＋bx，則g（－x）＝（－x）5＋a（－x）3＋b（－x）＝－g（x），即g（x）是奇函數(shù)，依題意，g（x）＝f（x）＋8，而g（－3）＋g（3）＝0，則f（－3）＋8＋f（3）＋8＝0，又f（－3）＝5，所以f（3）＝－21.8.函數(shù)f（x）＝lg｜2x－1｜圖象的對稱軸方程為x＝12解析：內層函數(shù)t＝｜2x—1｜的對稱軸是直線x＝12，所以函數(shù)f（x）＝lg｜2x－1｜圖象的對稱軸方程是x＝19.寫出一個同時具有性質①②③的函數(shù)f（x）＝2sinπx2（答案不唯一）①f（x）是定義域為R的奇函數(shù)；②f（1＋x）＝f（1－x）；③f（1）＝2.解析：由題意可知，函數(shù)f（x）圖象的對稱軸為直線x＝1，又f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，f（1）＝2，所以f（x）＝2sinπx210.設f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f（x＋2）＝－f（x）.當x∈[0，2]時，f（x）＝2x－x2.（1）求證：f（x）是周期函數(shù)；（2）當x∈[2，4]時，求f（x）的解析式.解：（1）證明：因為f（x＋2）＝－f（x），所以f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x）.所以f（x）是周期為4的周期函數(shù).（2）因為x∈[2，4]，所以－x∈[－4，－2]，所以4－x∈[0，2]，所以f（4－x）＝2（4－x）－（4－x）2＝－x2＋6x－8.因為f（4－x）＝f（－x）＝－f（x），所以－f（x）＝－x2＋6x－8，即f（x）＝x2－6x＋8，x∈[2，4].11.函數(shù)y＝f（x）的圖象關于原點對稱的充要條件是函數(shù)y＝f（x）為奇函數(shù).給定函數(shù)f（x）＝x3＋3x2，則函數(shù)f（x）的圖象的對稱中心是（）A.點（1，－2） B.點（－2，1）C.點（1，2） D.點（－1，2）解析：Df（x）＝x3＋3x2＝（x＋1）3－3x－1＝（x＋1）3－3（x＋1）＋2，易知y＝f（x－1）－2＝x3－3x為奇函數(shù)，故y＝f（x－1）－2的圖象關于點（0，0）對稱，所以f（x）的圖象的對稱中心是點（－1，2）.故選D.12.（多選）已知函數(shù)f（x）對任意x∈R都有f（x＋4）－f（x）＝2f（2），若y＝f（x－1）的圖象關于直線x＝1對稱，且對任意的x1，x2∈（0，2），且x1≠x2，都有f（x1)-f（A.f（x）是偶函數(shù)B.f（x＋4）＝f（x）C.f（22）＝0D.f（x）在（－4，－2）上單調遞減解析：ABC由y＝f（x－1）的圖象關于直線x＝1對稱，則f（1＋x－1）＝f（1－x－1），即f（－x）＝f（x），故f（x）是偶函數(shù)，故選項A正確；由f（x＋4）－f（x）＝2f（2），令x＝－2，可得f（2）＝0，則f（x＋4）＝f（x），則f（x）的周期T＝4，故選項B正確；f（22）＝f（4×5＋2）＝f（2）＝0，故選項C正確；又f（x）在（0，2）上單調遞增，在（－2，0）上單調遞減，因為周期T＝4，則f（x）在（－4，－2）上單調遞增，故選項D錯誤.故選A、B、C.13.設f（x）是R上的奇函數(shù)，f（x＋2）＝－f（x），當0≤x≤1時，f（x）＝x.（1）求f（π）的值；（2）當－4≤x≤4時，求f（x）的圖象與x軸所圍成圖形的面積.解：（1）由f（x＋2）＝－f（x）得，f（x＋4）＝f[（x＋2）＋2]＝－f（x＋2）＝f（x），所以f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，所以f（π）＝f（－1×4＋π）＝f（π－4）＝－f（4－π）＝－（4－π）＝π－4.（2）由f（x）是奇函數(shù)且f（x＋2）＝－f（x），得f[（x－1）＋2]＝－f（x－1）＝f[－（x－1）]，即f（1＋x）＝f（1－x）.故函數(shù)y＝f（x）的圖象關于直線x＝1對稱.又當0≤x≤1時，f（x）