2022屆新高考數(shù)學(xué)（新高考Ⅰ卷）模擬試卷一（學(xué)生版+解析版）

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2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

新高考I卷數(shù)學(xué)模擬卷一

學(xué)校:姓名：班級：考號:

題號―?二三四總分

得分

注意：本試卷包含I、II兩卷。第I卷為選擇題，所有答案必須用2B鉛筆涂在答題卡

中相應(yīng)的位置。第II卷為非選擇題，所有答案必須填在答題卷的相應(yīng)位置。答案寫在試

卷上均無效，不予記分。

笫I卷（選擇題）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

1.已知全集。=氏，集合A={x|-2vx<3},8={x|xvl},則叫Q/)=()

A.{x|-2<x<l}B.{x|1<x<3}

C.(x|l?x<3}D.UU,-2)

復(fù)數(shù)z=T+?，］為z的共枕復(fù)數(shù),

2.已知i是虛數(shù)單位,則三=()

2z

A."B.*iczD.」+芻

22-4-f

3.已知三棱柱ABC-4與G的所有棱長均相等，側(cè)棱AA，平

面ABC過4用作平面。與BG平行，設(shè)平面。與平面

ACGA的交線為/,記直線/與直線AB,BC,CA所成銳角

分別為a,P，/,則這三個角的大小關(guān)系為（）

A.a>y>PB.a-p>yC.y>(3>aD.a>p=y

4.設(shè)曲線y=/?（e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)）在點（0,1）處的切線及直線

2x—y—1=0和兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的四邊形有外接圓，則a=（）

A.—1B.—C.—D.1

44

22

rv

5.已知尸?,B分別是雙曲線C：—^一二=1(々>。,匕>0)的左、右焦點，點戶是雙

ab

曲線C上在第一象限內(nèi)的一點，若sinN尸56=3sinN尸耳鳥，則雙曲線C的離

心率的取值范圍為()

A.(1,2)B.(1,3)C.(3,+oo)D.(2,3)

6.甲、乙兩人做從裝有14個玻璃球的盒子中抓取玻璃球的游戲，規(guī)定：甲、乙兩人

輪流抓取，每次至少抓取1個，最多抓取4個，最后一次取完者獲勝.若甲先抓取，

為確保甲一定獲勝，則甲第一次應(yīng)該抓取的玻璃球個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

111

7.已知函數(shù)/(幻=一(，+""),記。=/(2*),Z?=/(log7-),c=/U),則小

b,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.c<b<aC,b<c<aD.b<a<c

8.已知小b是兩條相交直線，直線。分別與直線a,b異面，直線。上取4個不同的

點，直線〃上取3個不同的點，直線。上取2個不同的點，由這9個不同點所能確

定的不同平面?zhèn)€數(shù)最多是()

A.36B.24C.12D.11

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分。

9.下列說法中正確的是()

A.設(shè)隨機(jī)變量X服從二項分布8(6」)，則P(X=2)=2

216

B.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布NR,/)且P(Xv4)=0.9,貝ij

P(0<X<2)=0.4

C.小趙、小錢、小孫、小李到4個景點旅游，每人只去一個景點，設(shè)事件A="4

0

個人去的景點互不相同"，事件3="小趙獨自去一個景點”，則P(A|B)=]

D.E(2X+3)=2E(X)十3,D(2X+3)=2D(X)+3

10.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)依次成等差數(shù)列，若這組數(shù)據(jù)丟失了其中的

一個，剩下的六個數(shù)據(jù)分別是2,2,4,2,5,10,則丟失的這個數(shù)據(jù)可能是（）

A.-11B.3C.9D.17

1I.函數(shù)/（此=25訪（3+0）（0>0,|0|〈乃）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確

的是（）

2

B.若把/（x）圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的:倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函

數(shù)在［-二，生］上是增函數(shù)

33

C.若把函數(shù)/（X）的圖像向左平移巴TT個單位，則所得函數(shù)是奇函數(shù)

D.若/（3x）+aJ（1）恒成立，則。的范圍為［6+2,+8）

12.已知正方形A8CD的邊長為2,將aACD沿4c翻折到△ACO的位置，得到四面

體D-ABC,在翻折過程中，點。始終位于△4BC所在平面的同一側(cè)，且皿的

最小值為&，則下列結(jié)論正確的是（）

A.四面體的外接球的表面積為8〃

B.四面體。-48C體積的最大值為g

3

c.點。的運動軌跡的長度為2號

D.邊AD旋轉(zhuǎn)所形成的曲面的面積為宏互

3

第II卷（非選擇題）

三、填空題；本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知等比數(shù)列｛%,｝的前〃項和為S“，%=7,$3=21,則公比g=.

14.已知函數(shù)/(x)滿足以下條件：①在/?上單調(diào)遞增；②對任意％,x2,均有

/&)?/(￡)=4/(%+x2),則f｛x｝的一個解析式為.

15.已知平面向量入b,^是單位向量，且鼠5=0,則|1一1一5|的最大值為.

16.平面凸四邊形A6C￡＞中，ZA=60°,ZB=105。，AB=g4i,AD=2叵,

CO=Z。為常數(shù))，若滿足上述條件的平面凸四邊形ABC。有且只有2個，則,的

取值范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

4x/3

17.在①b+c=5,②c=」一，C=75°,這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的

3

問題(II)中，并完成問題的解答.

A

已知.ABC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=4,bcos—=asinB.

2

⑴求A：

(H)若,求△A5C的面積.

18.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝的前〃項和為S〃，q=l,

4=底+7^7(〃￡N*An..2).

(1)求證；數(shù)列｛￡"｝是等差數(shù)列，并求｛%｝的通項公式；

(2)若口]表示不超過x的最大整數(shù)，如[-1.2]=-2,[2.1]=2,求證:

r111.

19.在一次聯(lián)考中某兩校共有3000名學(xué)生參加，成績的頻率分布直方圖如圖所示：

(1)求在本次考試中成績處于［110,130)內(nèi)的學(xué)生人數(shù).

(2)以兩校這次考試成績估計全省考生的成績情況，現(xiàn)從全省考生中隨機(jī)選取3人,

記成績在110分(包含110)以上的考生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

20.如圖，在四棱錐尸一A5CD中，。是3。的中點,

尸OJ■平面ABO),48=90°,

AD=AC=CD=2y/3,DP=yfb.

(1)求證：平面4)夕_1_平面42(7；

(2)設(shè)兩=4斤(Ov/lvl),若二面角5—DM—P的余弦值為講，求4的值.

21.已知圓。|：。+1)2+丁=8上有一動點。，點。2的坐標(biāo)為(1,0),四邊形QO0/

為平行四邊形，線段。酒的垂直平分線交。2寵于點P.

(I)求點P的軌跡C的方程；

(II)過點。2作直線與曲線。交于4,B兩點，點K的坐標(biāo)為(2,1),直線必，KB

與y軸分別交于M,N兩點，求證：線段MN的中點為定點，尹求出AKVW面積的

最大值.

22.已知函數(shù)/(x)=lnx+--1.

x

(1)若曲線y=/(x)在點(1,/(1))處的切線的斜率為-1,求實數(shù)a的值；

(2)討論/(x)的單調(diào)區(qū)間：

Y—C1

(3)設(shè)函數(shù)----,求證：當(dāng)Ova<l時，g(x)在(1,行)上存在極小值.

Inx

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2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

新高考I卷數(shù)學(xué)模擬卷一

學(xué)校:姓名：班級：考號:

題號―?二三四總分

得分

注意：本試卷包含I、II兩卷。第I卷為選擇題，所有答案必須用2B鉛筆涂在答題卡

中相應(yīng)的位置。第II卷為非選擇題，所有答案必須填在答題卷的相應(yīng)位置。答案寫在試

卷上均無效，不予記分。

笫I卷(選擇題)

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

1.已知全集。=R，集合A="|-2<xv3),B={x|xvl},則A0|@B)=()

A.{x|-2<x<l}B.{x|l<x<3)

C.{x|l?x<3}D.{x\x,,-2}

【答案】C

【解析】解：=.??3={幻工.1},

.?.明@8)={工［-2<%<3}門{工1喇="|1xv3}.

故選：C.

先求集合5的補(bǔ)集，再求交集即可.

本題考查了集合的運算，屬于基礎(chǔ)題.

2.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=_l+",；為2的共挽狂數(shù)，則三=()

2z

Al^x/3.R1x/3.「16.n1V3.

22222222

【答案】D

【解析】解：?.?Z=±色，.?"=土叵，

22

.z_2回2

■-Z--\+?~-1+V3Z-(-1-商(-1+商

2

-2+2x/3/16

=--------=----1---z.

422

故選：D.

根據(jù)已知條件，結(jié)合共挽復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運算，即可求解.

本題考查了共軌復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運算，需要學(xué)生熟練掌握公式,

屬于基礎(chǔ)題.

3.己知三棱柱ABC-A4G的所有棱長均相等，側(cè)棱A4,J■平

面ABC.過A4作平面a與平行，設(shè)平面a與平面

ACGA的交線為人記直線/與直線AB,BC,CA所成銳角

分別為a，尸，/,則這三個角的大小關(guān)系為()

A.a>y>PB.a=C.y>P>aD.a>B=y

【答案】B

【解析】

解：由圖可知AO"/5G，

即BC]〃面ABR,即面a為面AB}D1,

又a。面ACGA=AE，

設(shè)AC=2,。為AC的中點，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,-1,0),E(0,0,2)，3(1,0,0)，C(0,l,0)，

則衣=(0,1,2),AB=(1,1,0),BC=(-1,1,0),AC=(0,2,0),

設(shè)直線AE與直線43,BC,AC所成角分別為a,B、Y，

AEAB,MAEBCtViO

則cosa■1=-------C-OSP=1

\AE\\AB\10\AE\\BC\10\AE\\AC\5

所以cosa=cos^<cos/,

所以a=4>y,

故選：B.

由線面平行的判定、兩平面的交線及利用空間向量數(shù)量積求異面直線所成的角得：由圖

可知即8G〃面A8Q］，即面a為面A片。「

又面ACGA=AE,設(shè)AC=2,。為AC的中點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，則A(O,-1,O),E(0,0,2),6(1,0,0)，C(0,l,0)，則荏=(0,1,2),AB=(1,1,0),

BC=(-1,1,0),*=(0,2,0),設(shè)直線4E與直線AB,BCA。所戊角分別為a,0,

AEABx/10AEBCAEAC,x/5

7,則cosa=|COS夕=1cosy=|-^=—^=-=~-

\AE\\ABi10I荏IImI\AE\\AC\5

所以cosa=cos￡<cosy,所以a=〃>y,得解.

本題考查線面平行的判定、兩平面的交線及利用空間向量數(shù)量積求異面直線所成的角,

屬中檔題.

4.設(shè)曲線y=e2ta(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù))在點(0,1)處的切線及直線

2%一丁一1=0和兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的四邊形有外接圓，則〃=()

A.-1B.-C.-D.1

44

【答案】B

【解析】解：y=的導(dǎo)數(shù)為y，=%,

可得在點(0,1)處的切線的斜率為左二為，

由于切線及直線2工-、-1=0和兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的四邊形有外接圓，

可得切線與直線2x-y-l=0垂直，

所以2k=—1,即4a=—1,

解得a=-‘.

4

故選：B.

求得丁=/"的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由題意可得切線與直線2x-y—l=0垂直，結(jié)

合兩直線垂直的條件，可得。的方程，解方程可得。的值.

本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率，以及兩直線垂直的條件，考查方程思想和運算能

力，屬于基礎(chǔ)題.

X2y2

5.已知月，旦分別是雙曲線。：/一6=13>0/〉0)的左、右焦點，點尸是雙

曲線C上在第一象限內(nèi)的一點，若sinNPgK=3sinNP^K，則雙曲線。的離

心率的取值范圍為()

A.(1,2)B.(1,3)C.(3收)D.(2,3)

【答案】A

【解析】解：因為sinNP6丹=3sinNPf；E,在6中，由正弦定理可得：

\PF}\=3\PF2\.

由雙曲線的定義可得|PFi\-\PF2\=2a,

所以可得|尸乙|二a,|出"二3〃，

由三角形的兩邊之和大于第三邊及兩邊之差小于第三邊可知：3ci-a<2c<3a+a,

即avcvZz,所以可得lvev2,

故選：A.

三角形中由正弦定理可得：|尸￡|與|沙|的關(guān)系，再由雙曲線的定義可得：|尸耳

IPF21的值，由三角形的性質(zhì)三角形的兩邊之和大于第三邊及兩邊之差小于第三邊可得

a,c的美系，進(jìn)而求出離心率的范圍.

本題考查三角形的正弦定理的應(yīng)用即雙曲線的定義的應(yīng)用，屬于中檔題.

6.甲、乙兩人做從裝有14個玻璃球的盒子中抓取玻璃球的游戲，規(guī)定：甲、乙兩人

輪流抓取，每次至少抓取1個，最多抓取4個，最后一次取完者獲勝.若甲先抓取，

為確保甲一定獲勝，則甲第一次應(yīng)該抓取的玻璃球個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】解：因為每人每次至少抓取1個，最多抓取4個，

所以當(dāng)兩人所拿的和為5時,有14+(1+4)-2…4.

則甲第?次應(yīng)該抓4個玻璃球，后面只要滿足甲拿的球與乙拿的球和為5,則甲一定獲

勝.

故選：D.

由14+(1+4)=2…4,分析判斷即可得到答案.

本題考查了概率的基礎(chǔ)概念的理解和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

111

7.已知函數(shù)/(?=/(，+?-"),記a=f(2*),h=/(log^-),c=f(/r)>則a,b,

c的大小關(guān)系為()

A.a<h<cB.c<b<aC.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)的定義域為H,且/(「￥)=/。)，則為偶函

數(shù)，

xx

v/(x)=l(^+^),:.f\X)=^e-e),

當(dāng)x>0時，r(x)>0,則函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，

?/20<2^<2,,/.1<27<2,

</0<llog^1|=|logT2|<l，

-1

/.4>2">|log^—1>0?

:.c>a>b

故選：D.

先判斷函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，再計算可得笈>2+>|log*；|>0,即可求解.

本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，涉及對數(shù)的計算，屬于中檔題.

8.已知a,6是兩條相交直線，直線c分別與直線a,b異面，直線。上取4個不同的

點，直線b上取3個不同的點，直線c上取2個不同的點，由這9個不同點所能確

定的不同平面?zhèn)€數(shù)最多是()

A.36B.24C.12D.11

【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，不共線的三點確定一個平面，由此分5種情況討論：

①直線。上選出2個點，直線〃或b上選出1個點，最多可以確定3+4=7個平面,

②直線。上選2點，直線c上選1點，可以確定2個平面，

③直線人上選2點，直線c上選1點，可以確定2個平面，

④直線，、b上各選1個點，直線c上選1個點，最多有4x3x2=24個平面，

⑤直線a、b確定一個平面，

故最多可以確定7+2+2+24+1=36,

故選：A

根據(jù)題意，平面的基本性質(zhì)，據(jù)此分5種情況討論，由加法原理計算可得答案.

本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分類計數(shù)原理的應(yīng)用，注意平面的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)

題.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得。分。

9.下列說法中正確的是()

A.設(shè)隨機(jī)變量X服從二項分布8(6,；),則尸。=2)=磊

B.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,/)且尸(Xv4)=0.9,則

P(0<X<2)=0.4

C.小趙、小錢、小孫、小李到4個景點旅游，每人只去一個景點，設(shè)事件"4

個人去的景點互不相同"，事件8="小趙獨自去一個景點”，則尸(A|B)=2

D.E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=2D(X)+3

【答案】BC

【解析】解：對于4：隨機(jī)變量X服從二項分布5(6」)，則尸(X=2)=屐(34d產(chǎn)=2，

22264

故A錯誤；

對于&隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,")且尸(Xv4)=0.9,貝J

P(0<X<2)=P(2<X<4)=0.9-0.5=0.4,故B正確；

對于C：事件A="4個人去的景點互不相同"，事件5="小趙獨自去一個景點”，

則P(A8)=乎，尸(8)=與'，所以P(A|B)=隼魯=|,故C正確；

對于。：石(2X+3)=2E(X)+3,ZX2X+3)=4D(X),故。錯誤.

故選：BC.

直接利用二項分布，條件概率的應(yīng)用，排列數(shù)和組合數(shù)，正態(tài)分布的應(yīng)用判斷A、8、C、

。的結(jié)論.

本題考查的知識要點：二項分布，條件概率的應(yīng)用，排列數(shù)和組合數(shù)，正態(tài)分布的應(yīng)用，

主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)依次成等差數(shù)列，若這組數(shù)據(jù)丟失了其中的

一個，剩下的六個數(shù)據(jù)分別是2,2,4,2,5,10,則丟失的這個數(shù)據(jù)可能是（）

A.-11B.3C.9D.17

【答案】ABD

【解析】解：設(shè)丟失的這個數(shù)據(jù)為小由題意可得，眾數(shù)為2,平均數(shù)為空衛(wèi)，

7

①當(dāng)@2時，這列數(shù)位小2,2,2,4,5,10,則中位數(shù)為2,

所以至士g,2,2,成等差數(shù)列，貝IJ生土3=2,解得。符合題意；

77

②當(dāng)2va<4時，這列數(shù)位2,2,2,a,4,5,10,則中位數(shù)為“，

所以空0,如2成等差數(shù)列，則加=空吆+2,解得。=3,符合題意；

77

③當(dāng)a.4時，這列數(shù)為2,2,,2,4,m,5,10,則中位數(shù)為乙，

所以空4,2成等差數(shù)列，則有2乂4=竺±q+2,解得。=17,符合題意.

77

故選：ABD.

設(shè)丟失的這個數(shù)據(jù)為小先求出眾數(shù)和平均數(shù)，然后分別求出當(dāng)出2,當(dāng)2vav4,

當(dāng)a.4情況下的中位數(shù)，由等差中項的定義求解即可.

本題考查了特征數(shù)的理解和應(yīng)用，涉及了等差中項定義的運用，解題的關(guān)鍵是掌握眾數(shù)、

中位數(shù)、平均數(shù)的定義以及求解方法，屬于基礎(chǔ)題.

11.函數(shù)/（x）=2sin（3r+0）（0>O,|0|v;r）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確

的是（）

2

B.若把，(x)圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的§倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函

數(shù)在［一4,也］上是增函數(shù)

33

C.若把函數(shù)/(")的圖像向左平移］71個單位，則所得函數(shù)是奇函數(shù)

D.VXG［--,-］,若/(3x)+aJ(守恒成立，則々的范圍為回2,+8)

由于：|°|v4，

解得：0=-5.故人錯誤；

故函數(shù)的解析式為：f(x)=2sin(-x-—).

36

2

對于B：把f(x)圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的§倍，縱坐標(biāo)不變，所以函數(shù)的

解析式為g(x)=2sin(L-馬；

令：一至+2女超4x—三2k兀+又kwZ),整理得：一二+4&赭*4Z:^+—(A:GZ)>

226233

當(dāng)％=°時'函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為［一笄,與卜故B正確;

對于C：若把函數(shù)f(x)的圖像向左平移,個單位，得至ij/z(x)=2sin4x,則所得函數(shù)是

23

奇函數(shù)，故C正確；

對于￡>：由于/(四)=G，VAG/(3x)+〃../(/)恒成立,

2332

故2sin(x—三)+a,在工￡[,一]怛成立,

633

當(dāng)x一尖號令時’.E

即a.h/5-2sin(x-?)]1rax=0-2乂(-1)=，5+2,故4的范圍為［6+2,+8),故。止確;

故選：BCD.

直接利用函數(shù)的圖象求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用和函數(shù)的

圖象的平移變換和函數(shù)的恒成立問題的應(yīng)用判斷4、8、C、。的結(jié)論.

本題考查的知識要點：三角函數(shù)的關(guān)系式的求法，三角函數(shù)的圖象的平移變換，函數(shù)的

恒成立問題，三角函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題.

12.已知正方形A5a＞的邊長為2,將△ACD沿4c翻折到“S的位置，得到四面

體。-ABC,在翻折過程中，點。始終位于所在平面的同一側(cè)，且的

最小值為血，則卜列結(jié)論止確的是()

A.四面體。-ABC的外接球的表面積為8乃

B.四面體Z7-ABC體積的最大值為必

3

c.點。的運動軌跡的長度為其友

3

D.邊A。旋轉(zhuǎn)所形成的曲面的面積為名后

3

【答案】ACD

tr

【解析】解：對于4因為NA5C=90°,ZADC=90°.

所以AC中點即為四面體D-ABC的外接球的球心，且AC

為球的直徑，

故球的半徑R=

B

所以S表面枳=4乃a=4乃（夜）2=8萬,

故選項A正確；

對于8,當(dāng)平面A￡TC_L平面45c時、四面體。-A8c的體積最大，此時高為友,

所以（％_八網(wǎng)）的=；x；x2x2x拉.

故選項B錯誤；

對于C,設(shè)正方形A8CD對角線4c與BO交于點0,

由題意，翻折后當(dāng)呂〃的最小值為時，△88是邊長為的等邊三角形，此時

^DOB=-，

3

所以點。的運動軌跡是以。為圓心，夜為半徑，圓心角為二的圓弧，

3

則點D的運動軌跡的長度為空xa=漢互，

33

故選項C正確；

對于O,結(jié)合選項C的分析可知，邊旋轉(zhuǎn)所形成的曲面是：以A為頂點,底面圓是

以。為圓心，也為半徑的圓錐的側(cè)面的工，

3

即所求曲面的面積為［笈〃=1x;rxJ5x2=亞生，

333

故選項O正確.

故選：ACD

由條件確定AC為球的直徑，由球的表面積公式進(jìn)行求解，即可判斷選項4,當(dāng)平面

ADC_L平面ABC時，四面體。-A8C的體積最大，求解此時的體積,即可判斷選項B,

2乃

確定點。的運動軌跡是以。為圓心，Ji為半徑，圓心角為——的圓弧，由弧長公式進(jìn)

3

行求解，即可判斷選項C,先確定邊A。旋轉(zhuǎn)所形成的曲面是：以人為頂點，底面圓是

以。為圓心，8=0為半徑的圓錐的側(cè)面的;，求解即可判斷選項。.

本題考查了空間幾何體的綜合應(yīng)用，涉及了空間幾何體的體積問題，外接球問題，空間

中動點的軌跡問題，考查了邏輯推理能力，空間想象能力，化簡運算能力，屬于中檔題.

第II卷（非選擇題）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知等比數(shù)列｛q｝的前〃項和為S”，《=7,S3=21,則公比夕=.

【答案】1或」

2

【解析】解：設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q.

,：%=1,S3=21,

當(dāng)q=l時，4“=%=7,53=21?滿足題意；

當(dāng)4W1時,4（1一爐）/可得%2_4_1=0,

i-q

解得4=一耳.

綜上，公比q=l或—.

故答案為：?或一L

2

利用等比數(shù)列的通項公式及其前〃項和公式即可得出.

本題主要考查等比數(shù)列的通項公式及前〃項和公式，考查分類討論思想與方程思想，屬

于基礎(chǔ)題.

14.已知函數(shù)/（為滿足以下條件：①在R上單調(diào)遞增；②對任意％,x2,均有

/（X1）?/（占）=4/（X1+x2）,則/（x）的一個解析式為.

【答案】f（x）=T+2

【解析】

【分析】本題考查了基本初等函數(shù)性質(zhì)的理解與應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的理解與應(yīng)用，考

查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

由條件②，考慮為基本初等函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)，再利用單調(diào)性，即可得到答案.

【解答】

解：因為函數(shù)/(X)滿足對任意X1,X2,均有/(.r,)-f3)=4/(.r,+x2),

故考慮基本初等函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)，

又/(X)在R上單調(diào)遞增，

則指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于1，

所以/(x)的一個解析式為了(幻=22.

故答案為：f(x)=2x+\

15.已知平面向量1,5,乙是單位向量，且無■=(),則-萬-臼的最大值為，

【答案】V2+1

【解析】解：由|西=|5|=1,且保出=0,

建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，

再設(shè)二=(x,y),Mc-?-5=(x-l,y-l),

.?■^一4一1|="。-1)2+6，-1)2?其幾何意義為單位圓上的動點與定點F(l,l)間的距離.

則其最大值為|OP|+1=4+/+]=&+]

故答案為：V2+I.

由題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)a=(l,0),5=(0,1),e=(x,y),則

\c-a-b\=yl(x-1)2+(y-1)2,其幾何意義為單位圓上的動點與定點尸(1,1)間的距離,

數(shù)形結(jié)合得答案.

本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及應(yīng)用，考查向量模的求法，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中

檔題.

16.平面凸四邊形A8C￡>中，ZA=60°,NB=105。，43=〃十四，A￡>=2>/5,

8=々為常數(shù)），若滿足上述條件的平面凸四邊形ABC。有且只有2個，貝h的

取值范圍是.

【答案】（3,2百）

【解析】解：如下圖所示：

在AAB。中：NA=600,AB=娓+五,AD=2&,由余弦定理得，

BONG+揚?+（2揚2_2、（《一揚、2丘；=2"：

小七一…詼俎ADBDnn2&2x/3.八夜

由正弦理得，---------=-------,即---------=―尸-,sinZABD=——，

sinZABDsinZAsinNAB。32

T

ZABD=45°,:.ZADB=7苧、ZDBC=60°.

過點。作。CJLUC,垂足為C',則ZX7-3.

作OB關(guān)于OC的對稱線段。方，點8'在BC上，則NB￡>8=60c,.?.NAD8=135。,

<180°.

/.若滿足條件的平面凸四邊形ABCD有且只有2個，則，的取值范圍是（2,2百）.

故答案為：（2,2石）.

本題通過正余弦定理解三角形ABD,把問題轉(zhuǎn)化到中，可解決此題.

本題考查正余弦定理的應(yīng)用、數(shù)形結(jié)合思想，考查數(shù)學(xué)運算能力，屬于較難題.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步睇。

17.在①b+c=5,?c=—rC=75°,這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的

3

問題(II)中，并完成問題的解答.

已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且。=4,Z?cos—=?sinR

2

⑴求A；

(II)若,求△ABC的面積.

【答案】解：⑴?.,)8s3=asinB,

A

rh正弦定理可得sinBcos—=sinAsinB,

2

AAA

又,.?sinB。。，/.cos—=sinA=2cos—sin—，

222

A1jr

又Ae(0,4),則sin—=一,所以A=一；

223

(H)若選①：由余弦定理得：a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,

]1-^3

:A6=25-3bc,bc-3,S,Rr=—Z?csinA=—x3x^^=----.

△A5c2224

若選②：由余弦定理得：〃2=6+。2_次8sA=〃+更-延力=16,即〃

33

4瓦32n

-----b----=0,

33

解得：人苧，或b=_竽(舍去)，

c1,..18>/34>/3>/385/3

“k223323

若選③：若C=75。，則3=180°-75。-60。=45。，

由正弦定理得：=—可得力=gn45：=生四,

sin60sin45sin603

nr田c1/?「1/4".小—Qg1(4"瓜-叵12+4x/3

可行SA”=-67Z?sinC=—x4x---sin(45+30)=—x4x----x-------=--------.

we2232343

A1

【解析】(I)由正弦定理化簡已知等式，結(jié)合sinBwO,利用二倍角公式可求sin—=—,

22

結(jié)合4的范圍即可求解；

(II)若選①由已知利用余弦定理可求he的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

若選②由余弦定理整理得〃-華力-專=0,解得b的值，根據(jù)三角形的面積公式即可

計算得解.

若選③利用三角形內(nèi)角和定理可求B的值，由正弦定理可求b的值，根據(jù)三角形的面積

公式即可計算得解.

本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考

查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

18.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝的前〃項和為，q=l,

q=瘋+'且九.2）.

（1）求證；數(shù)列｛#:｝是等差數(shù)列，并求｛4｝的通項公式；

（2）若[幻表示不超過x的最大整數(shù)，如[-1.2]=-2,[2.1]=2,求證：

[―+!+???+-]=1.

a\a2an

【答案】證明：（1）法一：因為勺=向+心;，

所以當(dāng)幾.2時，S.-S“T=￡+6二，

所以（底一67）（瘋+卮）=病+67

又因為6>0,

所以后+67>o-

所以瘋一匹二1（乩-2>

所以數(shù)列｛n｝是以6=苑=1為首項，公差為1的等差數(shù)列.

所以#7=1+（〃-1）x1=〃，

所以S〃=〃2.

所以當(dāng)兒.2時，q=瘋+括;=〃+〃-1=2〃-1.

又因為q=1滿足上式，

所以｛〃”｝的通項公式為4=2力-1.

2

法二：當(dāng)〃..2時，an=Sn-Sn_,=rf-（n-1）=2n-1,

當(dāng)〃=1時，4=1,滿足上式，

所以｛q｝的通項公式為4=2力-1.

證明：(2)二=—J=——.

a；(2n-1)~4n~-4/1+1

當(dāng)〃..2時，-y</~J

a~4〃~-4〃4/!-1n

當(dāng)〃=1時，4=i<2,

可4

所以對任意的〃eN"都有4+4?+…+

4G4

5

所以L,~~r—r+…^—~<

4

所以［］+二+…+《］=L

4生可

【解析】(1)直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項公式；

(2)利用裂項相消法的應(yīng)用和放縮法的應(yīng)用求出數(shù)列的和.

本題考查的知識要點：數(shù)列的遞推關(guān)系式，數(shù)列的通項公式的求法及應(yīng)用.放縮法，裂

項相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

19.在一次聯(lián)考中某兩校共有3000名學(xué)生參加，成績的頻率分布直方圖如圖所示：

(1)求在本次考試中成績處于［110,130)內(nèi)的學(xué)生人數(shù).

(2)以兩校這次考試成績估計全省考生的成績情況，現(xiàn)從全省考生中隨機(jī)選取3人,

記成績在110分(包含110)以上的考生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】解：⑴?.?［110,130］的頻率為0.01x20=0.2,

.?.[110,130]的人數(shù)為3000x0.2=600人.

(2)由題可知110分及以上的考生概率為(0.01+0.0025)x20=0.25=

成績在“°分及以上的考生人數(shù)為*~8(3,5),

P(X=A)=C；(；>(I一；產(chǎn)=《(》?嚴(yán),

.?.X的分布歹ij為:

X0123

272791

p

64646464

.?.E(X)=3x；=；

【解析】(1)由頻率分布直方圖可求得［110,130］的頻率，從而可求得［110,130)內(nèi)的學(xué)

生人數(shù);

(2)由題意可得X?8(3,，從而可求得分布列及其數(shù)學(xué)期望.

本題主要考查頻率分布直方圖，離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，考杳運算求解能

力，屬于中檔題.

20.如圖，在四棱錐P—ABCD中，。是的中點,

PO_L平面ABC。，ZZMB=ZBC￡>=90°,

AD=AC=CD=2j3,DP=限

(1)求證：平面4)「_1平面42。；

(2)設(shè)兩=4斤(0<2<1),若二面角8-?！耙皇挠嘞抑禐闀?，求2的值.

【答案】解：(1)證明：設(shè)人。「|8。=乂,連接尸M

\-ZDAB=ZBCD=90°,O為BD中點、,

:.OA=OD=OC,即。為△A6C的中心，

又rAD=CD,

：.ACLBD,

由尸O_L平面ABC。，ACu平面84CQ,

..POrAC,

又尸00|8。=0,PO、BOu平面PQ8,

AC_L平面PDB,

?.￡)PJ平面PDB,

..ACA-DP,

AO=AC=C￡>=26，DP=R,

.\DN=3,BD=2OD=4,OP=y/DP2-OD2=yf2,PN=>JOP2+ON2=75,

DP2+PN2=DN2,則。P_LPN,

又PN「