高中數(shù)學(xué)圓錐曲線與方程教案

第二章圓錐曲線與方程

一、課程目標(biāo)

在必修階段學(xué)習(xí)平面解析幾何初步的基礎(chǔ)上,在本模塊中，學(xué)生將學(xué)習(xí)圓錐曲線與方程,

了解圓錐曲線與二次方程的關(guān)系，掌握圓錐曲線的基本幾何性質(zhì)，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)

世界和解決實(shí)際問題中的作用。結(jié)合已學(xué)過的曲線及其方程的實(shí)例，了解曲線與方程的對應(yīng)

關(guān)系,進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想0

二、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

⑴、圓錐曲線:

①了解圓錐曲線的實(shí)際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用。

②經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓、拋物線模型的過程，掌握它們的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾

何圖形及簡單性質(zhì)。

③了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道雙曲線的有關(guān)性質(zhì)。

④能用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題（直線與圓錐曲線的位置關(guān)系）

和實(shí)際問題。

⑤通過圓錐曲線的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想。

三、本章知識結(jié)構(gòu)框圖：

2.1求曲線的軌跡方程（新授課）

一、教學(xué)目標(biāo)

知識與技能：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的曲線及方程的實(shí)例，了解曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，了解兩

條曲線交點(diǎn)的求法；能根據(jù)曲線的已知條件求出曲線的方程，并初步學(xué)會通過方程來研究曲

線的性質(zhì)。

過程與方法：通過求曲線方程的學(xué)習(xí)，可培養(yǎng)我們的轉(zhuǎn)化能力和全面分析問題的能力，

幫助我們理解研究圓錐曲線的基本方法。

情感、態(tài)度與價值觀：通過曲線與方程概念的學(xué)習(xí)，可培養(yǎng)我們數(shù)與形相互聯(lián)系，對立

統(tǒng)一的辯證唯物主義觀。

二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：求動點(diǎn)的軌跡方程的常用技巧與方法.

難點(diǎn)：作相關(guān)點(diǎn)法求動點(diǎn)的軌跡方法.

三、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)引入

平面解析幾何研究的主要問題是：

1、根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程；

2、通過方程，研究平面曲線的性質(zhì).

我們已經(jīng)對常見曲線圓、橢圓、雙曲線以及拋物線進(jìn)行過這兩個方面的研究，今天在上

面已經(jīng)研究的基礎(chǔ)上來對根據(jù)已知條件求曲線的軌跡方程的常見技巧與方法進(jìn)行系統(tǒng)分析.

(-)幾種常見求軌跡方程的方法

1.直接法

由題設(shè)所給(或通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出)的動點(diǎn)所滿足的幾何條件列出等式，再

用坐標(biāo)代替這等式，化簡得曲線的方程，這種方法叫直接法.

例1、⑴求和定圓x"+y2=R2的圓周的距離等于R的動點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)過點(diǎn)A(a,o)作圓0:x2+y2=R“a>R>o)的割線，求割線被圓0截得弦的中點(diǎn)的軌跡.

對⑴分析：

動點(diǎn)P的軌跡是不知道的,不能考查其幾何特征，但是給出了動點(diǎn)P的運(yùn)動規(guī)律：IOP|=2R

或IOP1=0.

解:設(shè)動點(diǎn)P(x,y),則有|OP|=2R或|OP|=0.

即x'ygRZ或x?+y2=0.

故所求動點(diǎn)P的軌跡方程為/+丫2=4必或x2+y2=0.

對⑵分析：

題設(shè)中沒有具體給出動點(diǎn)所滿足的幾何條件，但可以通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出，

即圓心與弦的中點(diǎn)連線垂直于弦，它們的斜率互為負(fù)倒數(shù).解答為：

設(shè)弦的中點(diǎn)為M(x,y),連結(jié)OM,

則0M1AM.

?k<>M?k^M——1)

.?心?工…

xx-a

化筒得，(x-y+/=(y.

其軌跡是以0A為直徑的圓在圓0內(nèi)的一段弧(不含端點(diǎn)).

2.定義法

利用所學(xué)過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動

點(diǎn)的軌跡方程，這種方法叫做定義法.這種方法要求題設(shè)中有定點(diǎn)與定直線及兩定點(diǎn)距離之

和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識分析得出這些條件.

例2設(shè)收圓x?+/=4上的動點(diǎn),另有點(diǎn)0),線段人次垂

直平分線1交半徑0Q于點(diǎn)P(見圖2—45),當(dāng)Q點(diǎn)在圓周上運(yùn)動時，求點(diǎn)P的軌跡方程.

分析：

?.?點(diǎn)P在AQ的垂直平分線上,

/.|PQ|=|PA|.

又P在半徑OQ上.

/.|PO|+|PQ|=R,即|PO|+|PA|=R.

故P點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和是定值，可用橢圓定義

寫出P點(diǎn)的軌跡方程.

解:連接PAV1XPQ,/.IPAHIPQI.

又P在半徑0Q上.

|PO|+|PQ|=2.

.,.|POH-|PA|=2,且2〉/=|0用.

由橢圓定義可知：P點(diǎn)軌跡是以0、A為焦點(diǎn)的橢圓.

由2a=2.2c=a=I.c=坐.

從而投=-j.

故所求橢圓方程為a-乎y+t=1即為點(diǎn)p的軌跡方程.

3.相關(guān)點(diǎn)法

若動點(diǎn)P(x,y)隨已知曲線上的點(diǎn)Q(x。，y。)的變動而變動，且x。、y°可用x、y表示，

則將Q點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式代入已知曲線方程，即得點(diǎn)P的軌跡方程.這種方法稱為相關(guān)點(diǎn)法(或

代換法).

例3、已知拋物線y-x+l,定點(diǎn)A(3,1),B為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AB上，

且有BP:PA=1：2,當(dāng)B點(diǎn)在拋物線上變動時，求點(diǎn)P的軌跡方程.

分析：

P點(diǎn)運(yùn)動的原因是B點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動，因此B可作為相關(guān)點(diǎn)，應(yīng)先找出點(diǎn)P與點(diǎn)B的

聯(lián)系.

解：設(shè)點(diǎn)P(x,y),且設(shè)點(diǎn)B(xo,yo)

則有y；+1.

VBP：PA=1：2,且P為線段AB的內(nèi)分點(diǎn).

由定比分點(diǎn)公式得?

y0=g(3y-l).

將此式代入y；=x0+l中，并整理得，

x=[y'-y+；即為所求軌跡的方程.它是一條拋物線.

4.待定系數(shù)法

求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法求.

例4、已知拋物線y2=4x和以坐標(biāo)軸為對稱軸、實(shí)軸在y軸上的雙曲線僅有兩個公共點(diǎn),

又直線y=2x被雙曲線所截的的線段長等于2后，求此雙曲線方程。

解:設(shè)所求雙曲線方程為m=1,將y—Q此方程整理得：

a2x2-4b!x+a2b2=0

?.?拋物線和雙曲線僅有兩個公共點(diǎn)，根據(jù)它們的對稱性，這兩個點(diǎn)的橫坐標(biāo)應(yīng)相等，因

此方程a2x2-4b2x+a2b2=0應(yīng)有等根.

/.△=16b'-4a'b2=0,即/=2b.

(y=2x

由《bX,X3得，(4b)-a?*-a2b2=0.

由弦長公式得：

2\（5—Jl+2,J（X]+x*）2-4x/2

即a2b2=4b2-a2.

p=2b(aa=2

由W=4b7得'M=1

...雙曲線的方程為

(三)鞏固練習(xí)

4

1.4ABC一邊的兩個端點(diǎn)是B(O,6)和C(O,-6),另兩邊斜率的積是求頂點(diǎn)A

的軌跡。

2.點(diǎn)P與一定點(diǎn)F(2,0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1:2,求點(diǎn)P的軌

跡方程，并說明軌跡是什么圖形？

3.求拋物線y2=2px(p>0)上各點(diǎn)與焦點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程.

(四)課時小結(jié)

求曲線的軌跡方程一般地有直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、待定系數(shù)法，還有參數(shù)法、復(fù)

數(shù)法也是求曲線的軌跡方程的常見方法，這等到講了參數(shù)方程、復(fù)數(shù)以后再作介紹.

(五)布置作業(yè)：習(xí)題2.1A組2.3.4

四、課后反思：

2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(新授課)

一、教學(xué)目標(biāo)

知識與技能：了解橢圓的實(shí)際背景，掌握橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程。

過程與方法：通過橢圓的概念引入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的分析探索能力，

熟練掌握解決解析問題的方法一坐標(biāo)法。

情感、態(tài)度與價值觀：通過對橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，

讓學(xué)生體會運(yùn)動變化、對立統(tǒng)一的思想，提高對各種知識的綜合運(yùn)用能力.

二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

難點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).

三、教學(xué)過程

(一)橢圓概念的引入

問題1:什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？

問題21當(dāng)a>0時，而W=a與f(x)=a‘是同解方程嗎？

當(dāng)a>0時f(x)=a'o-a)(Jf(x)+a)=0oJf(x)-a.

問題3:圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？

一般學(xué)生能回答：“平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓”.

對學(xué)生提出的軌跡命題如：

“到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.”

“到兩定點(diǎn)距離平方差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.”

“到兩定點(diǎn)距離之差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.”

取一條一定長的細(xì)繩，把它的兩端固定在畫圖板上的Fi和F2兩點(diǎn)（如圖2-13）,當(dāng)繩長

大于、和F2的距離時，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，就可以畫出一個

橢圓.

教師進(jìn)一步追問：“橢圓，在哪些地方見過？”有的同學(xué)說：“立體幾何中圓的直觀圖.”

有的同學(xué)說：“人造衛(wèi)星運(yùn)行軌道”等……

在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括橢圓的定義：

平面內(nèi)到兩定點(diǎn)Fi、F2的距離之和等于常數(shù)（大于IF1F2I）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個

定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距.

學(xué)生開始只強(qiáng)調(diào)主要幾何特征——到兩定點(diǎn)Fi、F2的距離之和等于常數(shù)、教師在演示

中要從兩個方面加以強(qiáng)調(diào)：

（1）將穿有鉛筆的細(xì)線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學(xué)生認(rèn)識到

需加限制條件：“在平面內(nèi)”.

（2）這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學(xué)生注意：若常數(shù)=|FF2|,則是線段

F1F2；若常數(shù)＜|F1F2|,則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數(shù)

大于IFIF2|".

（二）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

1.標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無

所知，所以需要用坐標(biāo)法先建立橢圓的方程.

如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設(shè)點(diǎn)；(2)點(diǎn)的集合;

(3)代數(shù)方程；(4)化簡方程等步驟.

(1)建系設(shè)點(diǎn)

建立坐標(biāo)系應(yīng)遵循簡單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)、關(guān)鍵幾何量(距離、直線斜

率等)的表達(dá)式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學(xué)生認(rèn)識到下列選取方法是恰當(dāng)?shù)?

以兩定點(diǎn)FI、F2的直線為X軸，線段FF2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系(如圖

2-14).設(shè)|F1F2|=2C(C>0),M(x,y)為橢圓上任意一點(diǎn),則有Fi(-1,0),F2(c,0).

(2)點(diǎn)的集合

由定義不難得出橢圓集合為:P={M||MFi|+|MF2|=2a}.

(3)代數(shù)方程

',?|MFil=J(x+c)'+yL|蝸|=J(x-c)'yL

得方程J(x+c尸+9+J(x-秋+/=2a.

(4)化筒方程(學(xué)生板演，教師點(diǎn)撥)

2.兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)

=1(a>b>0)表示焦點(diǎn)在點(diǎn)I上的橢圓,焦點(diǎn)是F1(-c.0）、

F2（C,0）,這里c2=a2-b2;

(2)5+布=1(a>b>0)表示焦點(diǎn)在卻I上的橢圓，焦點(diǎn)是耳(0,?、

222

F2(0,c),這里c=a+b,只須將(1)方程的x、y互換即可得到.

教師指出：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，：a2>b2，，可以根據(jù)分母的大小來判定焦點(diǎn)在哪一個

坐標(biāo)軸上.

(三)例題講解

例、平面內(nèi)兩定點(diǎn)的距離是8,寫出到這兩定點(diǎn)的距離的和是10的點(diǎn)的軌跡的方程.

分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標(biāo)系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程.

解：這個軌跡是一個橢圓，兩個定點(diǎn)是焦點(diǎn)，用FjF2表示.取過點(diǎn)Fi和F2的直線

為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系.

?.-2a=10,2c=8.

..a=5,c=4,b2=a2-c2=25-16=9.;.b=3

因此，這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2y2,xJy3,

-r+-r=LBffl1PrrT+=1

yr259

思考：焦點(diǎn)Fi、F2放在y軸上呢？

(四)課堂練習(xí)：課本42頁練習(xí)1、2、3、4

(五)課時小結(jié)

1.定義：橢圓是平面內(nèi)與兩定點(diǎn)Fi、F2的距離的和等于常數(shù)(大于嚴(yán)正2|)的點(diǎn)的軌跡.

2.標(biāo)準(zhǔn)方程：號+%=l(a>b>0)或，+

3.圖形

圖2-16

（六）布置作業(yè)：習(xí)題2.2A組1、7

四、課后反思

2.2.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)（新授課）

一、教學(xué)目標(biāo)

知識與技能：通過橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，使學(xué)生掌握橢圓的幾何性質(zhì)，能正確地畫出橢

圓的圖形，并能根據(jù)幾何性質(zhì)解決一些簡單的問題，從而培養(yǎng)我們的分析、歸納、推理等能

力。

過程與方法：掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想。

情感、態(tài)度與價值觀：通過本小節(jié)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會方程與曲線的對應(yīng)關(guān)系，感受圓

錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用。

二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用.

難點(diǎn)：橢圓離心率的概念的理解.

三、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)提問

1.柳圓的定義是什么？

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

（二）幾何性質(zhì)

根據(jù)曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形，是解析幾何的基本問題

之一。

1、范圍

引導(dǎo)學(xué)生從標(biāo)準(zhǔn)方程營=1得出不等式，＜1.5〈1.

即|x|Wa,|y|〈b,這說明橢圓在直線x=±a和直線y=±b所圍成的矩形里，注意結(jié)合

圖形講解，并指出描點(diǎn)畫圖時，就不能取范圍以外的點(diǎn).

2.對稱性

先請大家閱讀課本橢圓的幾何性質(zhì)2.

設(shè)問：為什么“把X換成-X,或把y換成-y?,或把X、y同時換成-X、-y時，方程都

不變，所以圖形關(guān)于y軸、x軸或原點(diǎn)對稱的”呢？

事實(shí)上，在曲線的方程里，如果把x換成-x而方程不變，那么當(dāng)點(diǎn)P(x,y)在曲線上時,

點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)Q(-x,y)也在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對稱.類似可以證明其他

兩個命題.

同時向?qū)W生指出：如果曲線具有關(guān)于y軸對稱、關(guān)于x軸對稱和關(guān)于原點(diǎn)對稱中的任意

兩種，那么它一定具有另一種對稱.如：如果曲線關(guān)于x軸和原點(diǎn)對稱，那么它一定關(guān)于y

軸對稱.

事實(shí)上，設(shè)P(x,y)在曲線上，因?yàn)榍€關(guān)于x軸對稱，所以點(diǎn)R(x,-y)必在曲線上.又

因?yàn)榍€關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以R關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)P2(-x,y)必在曲線上.因P(x,y)、R(-x,

y)都在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對稱.

最后指出：x軸、y軸是橢圓的對稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對稱中心即橢圓中心.

3.頂點(diǎn)

引導(dǎo)學(xué)生從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，+，=】分析它與盜、在色的交點(diǎn).

只須令x=0,得y=±b,點(diǎn)Bi(O,-b)>B2(0,b)是橢圓和y軸的兩個交點(diǎn)；令y=0,得

x=±a,點(diǎn)A(-a,0)、Az(a,0)是橢圓和x軸的兩個交點(diǎn).強(qiáng)調(diào)指出：橢圓有四個頂點(diǎn)A1-a,

0)、Az(a,0)、B>(0,-b)、B2(0,b).

教師還需指出：

(1)線段A也、線段BA分別叫橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b；

(2)a、b的幾何意義：a是長半軸的長，b是短半軸的長；

這時，教師可以小結(jié)以下：由橢圓的范圍、對稱性和頂點(diǎn)，再進(jìn)行描點(diǎn)畫圖，只須描出

較少的點(diǎn)，就可以得到較正確的圖形.

4.離心率

教師直接給出橢圓的離心率的定義：

隔圓的焦距與長軸的比。=±.

a

等到介紹橢圓的第二定義時，再講清離心率e的幾何意義.

先分析橢圓的離心率e的取值范圍：

Va>c>0,0<e<l.

再結(jié)合圖形分析離心率的大小對橢圓形狀的影響：

(1)當(dāng)魔近1時,c越接近a,從而6=戶石越小,因此橢圓越扁，

(2)當(dāng)e接近0時，c越接近0,從而b越接近a,因此橢圓接近圓；

(3)當(dāng)e=0時，c=0,a=b兩焦點(diǎn)重合，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程成為/+y2=a2,圖形就是圓了.

(三)應(yīng)用

為了加深對橢圓的幾何性質(zhì)的認(rèn)識，掌握用描點(diǎn)法畫圖的基本方法，給出如下例1.

例1、求橢圓16x2+25y=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并用描

點(diǎn)法畫出它的圖形.

本例前一部分請一個同學(xué)板演，教師予以訂正，估計不難完成.后一部分由教師講解,

以引起學(xué)生重視，步驟是：

鬟2口？41--------r41--------

(1)列表.將會+77=I變形為y=17V25-X3,根據(jù)y=+-725-Xr3

251655

在笫一痢限K5蜿圍內(nèi)算出幾個點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y).

*012...3m4S

y439373.22.40

(2)描點(diǎn)作圖.先描點(diǎn)畫出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形，再利用橢圓的對稱性就可以畫出

整個橢圓(圖2-19).要強(qiáng)調(diào)：利用對稱性可以使計算量大大減少.

例2點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(c,0)的走離和它到定直線Lx=匚的

C

電高的比是常數(shù)々a>c>0),求點(diǎn)M的軌跡.

a

本例實(shí)質(zhì)上是橢圓的第二定義，是為以后講解拋物線和圓錐曲線的統(tǒng)一定義做準(zhǔn)備的,

同時再一次使學(xué)生熟悉求曲線方程的一般步驟，因此，要詳細(xì)講解：

設(shè)d是點(diǎn)M到直線1的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是

IMF|二d,—

a

將上式化簡,得:(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).

設(shè)就可化成：4+4=1.

這是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以點(diǎn)M的軌跡是橢圓.

由此例不難歸納出橢圓的第二定義.

(四)橢圓的第二定義

1.定義

平面內(nèi)點(diǎn)M與一個定點(diǎn)的距離和它到一定直線的距離的比是常數(shù)

e=￡(0<e<l)時,這個點(diǎn)M的軌跡是橢圓.定點(diǎn)是慚圓的焦點(diǎn),定宜

a

線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率.

2.說明

⑴對于飾圓$+g=l,相應(yīng)于焦點(diǎn)F(c,0)的港線方程是x=；.

根據(jù)橢圓的對稱性,相應(yīng)于焦京F'(c0)的準(zhǔn)線方程是x=.《.

C

⑵對于慚圓4+4=1,相應(yīng)于焦點(diǎn)F(0,。的準(zhǔn)線方程是y=/，

abc

相應(yīng)于焦點(diǎn)Fy(0.-c)的準(zhǔn)勘■程是y=--.

c

這時還要講清e的幾何意義是：橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比.

(五)課時小結(jié)

解法研究圖形的性質(zhì)是通過對方程的討論進(jìn)行的，同一曲線由于坐標(biāo)系選取不同，方程

的形式也不同，但是最后得出的性質(zhì)是一樣的，即與坐標(biāo)系的選取無關(guān).前面我們著重分析

了第一個標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓的性質(zhì)，類似可以理解第二個標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓的性質(zhì).布置學(xué)生最

后小結(jié)下列表格：

2223

xy

標(biāo)1#方程-y+b>0)

ab

圖象

范國

對稱性

頂點(diǎn)

長軸

mt

鬃點(diǎn)

(五)布置作業(yè)

1.求下列橢圓的長軸和短軸的長、焦距、離心率、各個頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程：

(l)25x2+4y-100=0,

(2)x2+4y2-l=0.

2.我國發(fā)射的科學(xué)實(shí)驗(yàn)人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個焦點(diǎn)的橢圓，

近地點(diǎn)距地面266Km,遠(yuǎn)地點(diǎn)距地面1826Km,求這顆衛(wèi)星的軌道方程.

3.點(diǎn)P與一定點(diǎn)F(2,0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1：2,求點(diǎn)P的軌

跡方程，并說明軌跡是什么圖形.

四、課后反思：

2.3.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（新授課）

一、教學(xué)目標(biāo)

知識與技能：使學(xué)生理解并掌握雙曲線的定義，掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及標(biāo)準(zhǔn)方

程。

過程與方法：了解雙曲線的實(shí)際背景，經(jīng)歷從具體情境中抽象出雙曲線模型的過程，感

受雙曲線定義在解決實(shí)際問題中的作用。

情感、態(tài)度與價值觀：通過對雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，

啟發(fā)我們在研究問題時，抓住問題的本質(zhì)。

二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

難點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).

三、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)提問

1.橢圓的定義是什么？

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)B、F2的距離的和等于常數(shù)（大于IFF?。的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.教師要

強(qiáng)調(diào)條件：（1）平面內(nèi)；（2）到兩定點(diǎn)b、握的距離的和等于常數(shù)；（3）常數(shù)2a

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？

焦點(diǎn)在謝上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為%+9=Ka>b>0）；焦點(diǎn)在在由

上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為\+9=Ka>b>0）.

（二）雙曲線的概念

把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點(diǎn)的軌跡會怎樣？它的方程是怎

樣的呢？

1.簡單實(shí)驗(yàn)（邊演示、邊說明）

如圖2-23,定點(diǎn)用、J是兩個按釘，MN是一個細(xì)套管，兩條細(xì)繩分別拴在按釘上且穿

過套管，點(diǎn)M移動時，iMFj-lMFzl是常數(shù),這樣就畫出曲線的一支；由IMF2HMFJ是同一常

數(shù)，可以畫出另一支.

M

圖2-23

注意：常數(shù)要小于|FR|,否則作不出圖形.這樣作出的曲線就叫做雙曲線.

2.設(shè)問

問題1：定點(diǎn)宿、Fz與動點(diǎn)M不在平面上，能否得到雙曲線？

請學(xué)生回答，不能.強(qiáng)調(diào)“在平面內(nèi)”.

問題2：|MFj與|MFz|哪個大?

請學(xué)生回答，不定：當(dāng)M在雙曲線右支上時，|MF->|MFz|；當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線左支上時,

|MFI|<|MF2|.

問題3：點(diǎn)M與定點(diǎn)F”F2距離的差是否就是|MF」-|MFz|?

請學(xué)生回答，不一定，也可以是IMF2HMFJ.正確表示為

問題4：這個常數(shù)是否會大于等于IFRI?

請學(xué)生回答，應(yīng)小于|FE|且大于零.當(dāng)常數(shù)=|FFz|時，軌跡是以宿、F?為端點(diǎn)的兩條

射線；當(dāng)常數(shù)>四&|時，無軌跡.

3.定義

在上述基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括雙曲線的定義：

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)宿、國的距離的差的絕對值是常數(shù)(小于尸底|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲

線.這兩個定點(diǎn)R、也叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩個焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距.

教師指出：雙曲線的定義可以與橢圓相對照來記憶，不要死記.

(三)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

現(xiàn)在來研究雙曲線的方程.我們可以類似求橢圓的方程的方法來求雙曲線的方程.這時

設(shè)問：求橢圓的方程的一般步驟方法是什么？不要求學(xué)生回答，主要引起學(xué)生思考，隨即引

導(dǎo)學(xué)生給出雙曲線的方程的推導(dǎo).

標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：

(1)建系設(shè)點(diǎn)

取過焦點(diǎn)R、F2的直線為x軸，線段FE的垂直平分線為y軸(如圖2-24)

建立直角坐標(biāo)系.

設(shè)M(x,y)為雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距是2c(c>0),那么宿、出的坐標(biāo)分別是

(-c,0)、(c,0).又設(shè)點(diǎn)M與&、Fz的距離的差的絕對值等于常數(shù).

(2)點(diǎn)的集合

由定義可知，雙曲線就是集合：

P={M||MFI|-|MF2||=2a}-{M|MF,|-|MF2H±2a}.

(3)代數(shù)方程

|MF||=J(x+c)'+y',|MFj|=J(x-c?+7,

.**J(x+c)2+y2.J(x-c)3+yJ=±2a.

(4)化簡方程(由學(xué)生演板)

將這個方程移項(xiàng)，兩邊平方得：

(x+c)J+ya=4a3±4aJ(x-靖+y'+(x-c)a+y1.

化簡整理得：

(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).

(以上推導(dǎo)完全可以仿照橢圓方程的推導(dǎo).)

由雙曲線定義，2c>2a即c>a,所以c'-a?>。.

設(shè)c'-aWAb>。)，代入上式得：

b2x2-a2y2=a2b2.

即7V=k

這就是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)：

(】)，?-*=】(a〉0,b>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，焦點(diǎn)是

0)、Fa(c,0),這里c2=a?+b\

(2)^--^-=l(a>0.b〉Q)表示焦點(diǎn)在施上的雙曲線，焦點(diǎn)是F1(0,

-c),Fa(0,c),這里<?=『+"(只須將(1)方程的x、y互換即可得到).

說明：

(1)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a>0,b>0,但a不一定大于b；

(2)如果一項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果一項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在

y軸上.注意有別于橢圓通過比較分母的大小來判定焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)軸上.

(3)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c的關(guān)系是c2=a、b2,不同于橢圓方程中cJaZ-b?.

(四)例題講解：

1.求滿足下列的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:焦點(diǎn)件(-3,0)、F2(3,0),且2a=4；

2.證明：橢圓忘+?=1與雙曲線Y-15y2=15的焦點(diǎn)相同.

3.已知兩點(diǎn)F.(-5,0)、Ez⑸0),求與它們的距離的差的絕對值是6的點(diǎn)的軌跡方程.如

果把這里的數(shù)字6改為12,其他條件不變，會出現(xiàn)什么情況？

解：由定義，所求點(diǎn)的軌跡是雙曲線，因?yàn)閏=5,a=3,所以b2=c-a2=52-32=42.

因此所求方程是奈3■，即，一分】.

因?yàn)?a=12,2c=10,且2a>2c.

所以動點(diǎn)無軌跡.

(五)課時小結(jié)

1.定義:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)如、尺的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|FR|)的點(diǎn)的軌跡.

2.標(biāo)茂方程:F-%=l(a>0‘b>Q).-j"-必=1(a>0,b>0).

4.焦點(diǎn)：FGc,0)、F2(C,0)；F,(0,-c)、F2(0,c).

5.a、b、c的關(guān)系：c2=a2+b2

五、布置作業(yè)

1.根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

⑴焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(-6,0)、(6,0),并且經(jīng)過點(diǎn)A(-5,2)；

(2?甜點(diǎn)P(-3.277)^00(-6^.-7),焦點(diǎn)在州上.

2.己知；7>+二=1表示雙曲線，求k的取值范圍.

1+k1-k

3.已知圓錐曲線的方程為mx'nyJm+MmVOVm+n),求其焦點(diǎn)坐標(biāo).

四、課后反思：

2.3.2雙曲線的幾何性質(zhì)（新授課）

一、教學(xué)目標(biāo)

知識與技能：理解并掌握雙曲線的幾何性質(zhì)，并能從雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，推導(dǎo)出這

些性質(zhì)，并能根據(jù)這些幾何性質(zhì)解決一些簡單問題，從而培養(yǎng)我們的分析、歸納和推理等能

力。

過程與方法:在與橢圓的性質(zhì)的類比中獲得雙曲線的性質(zhì)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想,

掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法。

情感、態(tài)度與價值觀：通過本小節(jié)的學(xué)習(xí)，加深對直角坐標(biāo)系中曲線與方程的關(guān)系概念

的理解，這樣才能解決雙曲線中的弦、最值等問題.

二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用.

難點(diǎn)：雙曲線的漸近線方程的導(dǎo)出和論證.

三、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)提問引入新課

1.橢圓有哪些幾何性質(zhì)，是如何探討的？

2.雙曲線的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

下面我們類比橢圓的幾何性質(zhì)來研究它的幾何性質(zhì).

（二）類比聯(lián)想得出性質(zhì)（性質(zhì)1?3）

引導(dǎo)學(xué)生完成下列關(guān)于橢圓與雙曲線性質(zhì)的表格（讓學(xué)生回答，教師引導(dǎo)、啟發(fā)、訂正

并板書）.

（三）問題之中導(dǎo)出漸近線（性質(zhì)4）

在學(xué)習(xí)橢圓時，以原點(diǎn)為中心，2a、2b為鄰邊的矩形，對于估計

橢圓的形狀，畫出橢圓的簡圖都有很大作用.微問對雙曲線］/=1.

仍以原點(diǎn)為中心，2a、2b為鄰邊作一矩形（板書圖形），那么雙曲線和這個矩形有什么

關(guān)系？這個矩形對于估計和畫出雙曲線簡圖（圖2-26）有什么指導(dǎo)意義？這些問題不要求學(xué)

生回答，只引起學(xué)生類比聯(lián)想.

接著再提出問題：當(dāng)a、b為已知時，這個矩形的兩條對角線的方程是什么？

請一同學(xué)回答，應(yīng)為y=±±x,并畫出兩條對角線，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)

a

生從圖現(xiàn)察得出結(jié)論：雙曲線J1=1的各支向外延伸時,與這兩條漸

下面，我們來證明它：

Z間

22

^-+^-?l(a>b>0)xy

方程一?一?1(<>0<b>0)

a.2b

?>b、c關(guān)系c3b%>b>0)c1-收七>0?b>0)

y

的形

-?kn0h/*4

范圍M<a>|y|<bM>a?yeR

對腳軸：x箱.ytt對於軸：xtt).y軸

對稱性

對IS；中心：原點(diǎn)對歌中心：原點(diǎn)

(9?0)?(?，0)(■<?0).(a.0)

(0>4))>(0>b)實(shí)輪為2a

J5L4

長軸力X唐物力2b

是軸力2b

雙曲線在第一象限的部分可寫成:

y=-Jx」(x>a)

設(shè)M(x,y)是它上面的點(diǎn).N(x,7)是直線y=±x上與M有相同

a

的橫坐標(biāo)的點(diǎn)，則彳=±x,

a

?.|MN|=y-y--(x-Jx'-a’)"->

aa

（xyx3a2）（x?vx3-a3）

x*-a3

ab

X+..2

設(shè)|MQ|是點(diǎn)M到宜線y=±x的距離.則有

a

當(dāng)X逐漸增大時，|MN|逐漸減小，X無限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是

說，雙曲線在第一象限的部分從射線ON的下方逐漸接近于射線ON.

在其他象限內(nèi)也可以證明類似的情況.

我們把兩條直線7=±Rx叫做雙曲線的漸近線.

a

現(xiàn)在來看看實(shí)軸在y軸上的雙曲線的漸近線方程是怎樣的？由于焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線

方程是由焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程，將x、y字母對調(diào)所得到，自然前者漸近線方程也可

由后者漸近線方程將x、y字母對調(diào)

22

定義?直線y=±Px叫做雙曲線的漸近線；直線y=±Px

aaba

叫颯螞=1的漸近線.

這樣，我們就完滿地解決了畫雙曲線遠(yuǎn)處趨向問題，從而可比較精

確地畫出雙曲線.例如：畫雙曲線先作漸近線y=士?x.

23103

再描幾個點(diǎn)，就可以隨后畫出比較精確的雙曲線.

（四）離心率（性質(zhì)5）

由于正確認(rèn)識了漸近線的概念，對于離心率的直觀意義也就容易掌握了，為此，介紹一

下雙曲線的離心率以及它對雙曲線的形狀的影響：

1.雙曲線的焦距與實(shí)軸的比e=￡叫做雙曲線的離心率，且e>l.

a

2,由于:==5=所以港大，:也越大,即

漸近線y=±±X的斜率絕時值越大.這時雙曲線的形狀就從扁狹逐漸

a

變得開闊，從而得出：雙曲線的離心率越大，它的開口就越開闊.

這時，教師指出：焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)可以類似得出，雙曲線的幾何性質(zhì)

與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，即不隨坐標(biāo)系的改變而改變.

（五）典型例題剖析：

1.求雙曲線9y2-16x2=144的實(shí)半軸長和虛半軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程.

解：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程%-f=1.

由此可知，實(shí)半軸長a=4,虛半軸長b=3.

3

c=5/a2+b=+3'=5.

焦點(diǎn)坐標(biāo)是(O,-5),(0,5).

離心率為e=工-7.

a4

漸近線方程為x=士(y,即尸士gx.

a3

2.點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)F(c,0)的足離和它到定直線hx=一的

c

距離的比是常數(shù)(3(c>a>0),求點(diǎn)M的軌跡(圖2-27).

a

本題實(shí)質(zhì)上是雙曲線的第二定義，要重點(diǎn)講解并加以歸納小結(jié).

解：設(shè)d是點(diǎn)M到直線1的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合：

aa

由此得正?。丁,

|x-g|a

c

化簡得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).

設(shè)c7=b\就可化為H=1.

這就是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

由此例不難歸納出雙曲線的第二定義.

(六)雙曲線的第二定義

1.定義(由學(xué)生歸納給出)

平面內(nèi)點(diǎn)M與一定點(diǎn)的距離和它到一條直線的距離的比是常數(shù)e=

[e>l)時.這個點(diǎn)M的軌跡是雙曲線.定點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn),定直線

a

叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率.

2.說明

(1)對于雙曲線1?《=1，相應(yīng)于焦點(diǎn)F(c,0)的準(zhǔn)線方程也=寸.

abc

根據(jù)雙曲線的對株性，相應(yīng)于焦點(diǎn)0)的準(zhǔn)線方程是x=.《.

C

(2)對于雙曲線4-專=1,相應(yīng)于焦點(diǎn)F(0,c)的準(zhǔn)線方程是y=/，

abc

相應(yīng)于焦點(diǎn)F'@⑷的準(zhǔn)線方程是y=?W.

C

(七)課時小結(jié)：

將雙曲線的兒何性質(zhì)按兩種標(biāo)準(zhǔn)方程形式列表小結(jié).

(A)布置作業(yè)

1.已知雙曲線方程如下，求它們的兩個焦點(diǎn)、離心率e和漸近線方程.

(1)16x-9y2=144；

(2)16x-9y=-144.

2.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)實(shí)軸的長是10,虛軸長是8,焦點(diǎn)在x軸上；

(2)焦距是10,虛軸長是8,焦點(diǎn)在y軸上；

(3)離心率e=應(yīng)，？甜點(diǎn)M(53).

(4)兩條漸近線的方程是y=±2(x,經(jīng)過點(diǎn)M；9,?1).

3.求以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn),而以就圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙

O3

曲線的方程.

4.己知雙曲線?-<=1上的P點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離等于3,我

點(diǎn)到兩準(zhǔn)線及右焦點(diǎn)的距離.

四、課后反思：

2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（新授課）

一、教學(xué)目標(biāo)

知識與技能：使學(xué)生掌握拋物線的定義，理解焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程的幾何意義，能夠根據(jù)已

知條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

過程與方法：掌握開口向右的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，進(jìn)一步理解求曲線的方法

一坐標(biāo)法；通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生在解決問題時應(yīng)具有觀察、類比、分析和計算的能力。

情感、態(tài)度與價值觀：通過一個簡單實(shí)驗(yàn)引入拋物線的定義，可以對學(xué)生進(jìn)行理論來源

于實(shí)踐的辯證唯物主義思想教育.

二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程.

難點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).

三、教學(xué)過程

（一）導(dǎo)出課題

我們已學(xué)習(xí)了圓、橢圓、雙曲線三種圓錐曲線.今天我們將學(xué)習(xí)第四種圓錐曲線一一拋

物線，以及它的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程.課題是“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”.

請大家思考兩個問題：

問題1：同學(xué)們對拋物線已有了哪些認(rèn)識？

在物理中，拋物線被認(rèn)為是拋射物體的運(yùn)行軌道;在數(shù)學(xué)中，拋物線是二次函數(shù)的圖象？

問題2：在二次函數(shù)中研究的拋物線有什么特征？

在二次函數(shù)中研究的拋物線，它的對稱軸是平行于y軸、開口向上或開口向下兩種情形.

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：如果拋物線的對稱軸不平行于y軸，那么就不能作為二次函數(shù)的

圖象來研究了.今天，我們突破函數(shù)研究中這個限制，從更一般意義上來研究拋物線.

（二）拋物線的定義

1.回顧

平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F的距離和一條定直線1的距離的比是常數(shù)e的軌跡，當(dāng)OVeVl

時是橢圓，當(dāng)e>l時是雙曲線，那么當(dāng)e=l時，它又是什么曲線？

2.簡單實(shí)驗(yàn)

如圖2-29,把一根直尺固定在畫圖板內(nèi)直線1的位置上，一塊三角板的一條直角邊緊

靠直尺的邊緣；把一條繩子的一端固定于三角板另一條直角邊上的點(diǎn)A,截取繩子的長等于

A到直線1的距離AC,并且把繩子另一端固定在圖板上的一點(diǎn)F；用一支鉛筆扣著繩子，緊

靠著三角板的這條直角邊把繩子繃緊，然后使三角板緊靠著直尺左右滑動，這樣鉛筆就描出

一條曲線，這條曲線叫做拋物線.反復(fù)演示后，請同學(xué)們來歸納拋物線的定義，教師總結(jié).

3.定義

這樣，可以把拋物線的定義概括成：

平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線1的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線（定點(diǎn)F不在定直

線1上）.定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線1叫做拋物線的準(zhǔn)線.

（三）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

設(shè)定點(diǎn)F到定直線1的距離為p（p為已知數(shù)且大于0）.下面，我們來求拋物線的方程.怎

樣選擇直角坐標(biāo)系，才能使所得的方程取較簡單的形式呢？

讓學(xué)生議論一下，教師巡視，啟發(fā)輔導(dǎo)，最后簡單小結(jié)建立直角坐標(biāo)系的幾種方案：

方案1：（由第一組同學(xué)完成，請一學(xué)生板練.）

以1為y軸，過點(diǎn)F與直線1垂直的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（圖2-

30）.設(shè)定點(diǎn)F（p,0）,動點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,過M作MD_Ly軸于D,拋物線的集合為:

p={M||MF|=|MD|}.

由坐標(biāo)表示得］J（x-p）2+y?-|x|.

化簡后得：yJ2px-p2（p>0）.

方案2：（由第二組同學(xué)完成，請一學(xué)生板練）

以定點(diǎn)F為原點(diǎn)，平行1的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系（圖2-31）.設(shè)動點(diǎn)M的坐標(biāo)為

（x,y）,且設(shè)直線1的方程為x=-p,定點(diǎn)F（0,0）,過M作MDL1于D,拋物線的集合為：

p={M|iMFhlMDj}.

由坐標(biāo)表示得：Jx*+義=|x+P|.

化簡得：y2=2px+p：'（p>0）.

方案3：（由第三、四組同學(xué)完成，請一學(xué)生板練.）

圖2-31

取過焦點(diǎn)F且垂直于準(zhǔn)線1的直線為x軸，x軸與1交于K,以線段KF的垂直平分線為

y軸，建立直角坐標(biāo)系（圖2-32）.

設(shè)|KF|=p,則焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為串0),準(zhǔn)線1的方程為x=g,設(shè)

拋物線上的點(diǎn)M(x,y)到1的距離為d,拋物線是集合p={W|MF|=d}.

???/_今_2Tx+各.

化簡后得：yJ2px(p>0).

比較所得的各個方程，應(yīng)該選擇哪些方程作為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？

引導(dǎo)學(xué)生分析出：方案3中得出的方程作為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.這是因?yàn)檫@個方程不僅

具有較簡的形式，而方程中的系數(shù)有明確的幾何意義：一次項(xiàng)系數(shù)是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的2

倍.

由于焦點(diǎn)和準(zhǔn)線在坐標(biāo)系下的不同分布情況，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種情形(列表如

下)：

焦點(diǎn)圖密

y

4

產(chǎn)2p#p>0)嗚aT

六一2p?p>0)R-扣)7

Jy

VJ

R嶗yx一豈

>0)y20x

-------1

?1

1-----0-

，*.2py(p>0)KG-爭y.P

y2/、一

將上表畫在小黑板上，講解時出示小黑板，并講清為什么會出現(xiàn)四種不同的情形，四種

情形中P>0;并指出圖形的位置特征和方程的形式應(yīng)結(jié)合起來記憶.即：當(dāng)對稱軸為X軸

時，方程等號右端為±2px,相應(yīng)地左端為y2；當(dāng)對稱軸為y軸時，方程等號的右端為±2py,

相應(yīng)地左端為一.同時注意：當(dāng)焦點(diǎn)在正半軸上時，取正號；當(dāng)焦點(diǎn)在負(fù)半軸上時，取負(fù)號.

(四)四種標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用

例題：(1)已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y?=6x,求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

(2)已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(0,-2),求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解,⑴因?yàn)閜=3,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是碎，0).準(zhǔn)線方程是x=-g.

⑵因?yàn)榻裹c(diǎn)在,由的負(fù)半軸上,并且合=2,p=4,所以它的標(biāo)準(zhǔn)

方程是x-8y.

練習(xí)：根據(jù)下列所給條件，寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

⑴焦點(diǎn)是F(3,0)；

(2)準(zhǔn)線方程是x=?g1

4

(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2.

由三名學(xué)生板練，教師予以糾正.

這時，教師小結(jié)一下：由于拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，且每一種形式中都只含一個

系數(shù)P,因此只要給出確定P的一個條件，就可以求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)

坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程給定以后，它的標(biāo)準(zhǔn)方程就唯一確定了；若拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程沒

有給定，則所求的標(biāo)準(zhǔn)方程就會有多解.

(五)課時小結(jié)

本節(jié)課主要介紹了拋物線的定義，推導(dǎo)出拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程形式，并加以運(yùn)用.

(六)布置作業(yè)

1.拋物線/=2px(p〉0)上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離是a(a〉鄉(xiāng)，點(diǎn)M

到準(zhǔn)線的距