高中數學圓錐曲線與方程教案

第二章圓錐曲線與方程

一、課程目標

在必修階段學習平面解析幾何初步的基礎上,在本模塊中，學生將學習圓錐曲線與方程,

了解圓錐曲線與二次方程的關系，掌握圓錐曲線的基本幾何性質，感受圓錐曲線在刻畫現實

世界和解決實際問題中的作用。結合已學過的曲線及其方程的實例，了解曲線與方程的對應

關系,進一步體會數形結合的思想0

二、學習目標：

⑴、圓錐曲線:

①了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用。

②經歷從具體情境中抽象出橢圓、拋物線模型的過程，掌握它們的定義、標準方程、幾

何圖形及簡單性質。

③了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道雙曲線的有關性質。

④能用坐標法解決一些與圓錐曲線有關的簡單幾何問題（直線與圓錐曲線的位置關系）

和實際問題。

⑤通過圓錐曲線的學習，進一步體會數形結合的思想。

三、本章知識結構框圖：

2.1求曲線的軌跡方程（新授課）

一、教學目標

知識與技能：結合已經學過的曲線及方程的實例，了解曲線與方程的對應關系，了解兩

條曲線交點的求法；能根據曲線的已知條件求出曲線的方程，并初步學會通過方程來研究曲

線的性質。

過程與方法：通過求曲線方程的學習，可培養(yǎng)我們的轉化能力和全面分析問題的能力，

幫助我們理解研究圓錐曲線的基本方法。

情感、態(tài)度與價值觀：通過曲線與方程概念的學習，可培養(yǎng)我們數與形相互聯系，對立

統(tǒng)一的辯證唯物主義觀。

二、教學重點與難點

重點：求動點的軌跡方程的常用技巧與方法.

難點：作相關點法求動點的軌跡方法.

三、教學過程

（一）復習引入

平面解析幾何研究的主要問題是：

1、根據已知條件，求出表示平面曲線的方程；

2、通過方程，研究平面曲線的性質.

我們已經對常見曲線圓、橢圓、雙曲線以及拋物線進行過這兩個方面的研究，今天在上

面已經研究的基礎上來對根據已知條件求曲線的軌跡方程的常見技巧與方法進行系統(tǒng)分析.

(-)幾種常見求軌跡方程的方法

1.直接法

由題設所給(或通過分析圖形的幾何性質而得出)的動點所滿足的幾何條件列出等式，再

用坐標代替這等式，化簡得曲線的方程，這種方法叫直接法.

例1、⑴求和定圓x"+y2=R2的圓周的距離等于R的動點P的軌跡方程；

(2)過點A(a,o)作圓0:x2+y2=R“a>R>o)的割線，求割線被圓0截得弦的中點的軌跡.

對⑴分析：

動點P的軌跡是不知道的,不能考查其幾何特征，但是給出了動點P的運動規(guī)律：IOP|=2R

或IOP1=0.

解:設動點P(x,y),則有|OP|=2R或|OP|=0.

即x'ygRZ或x?+y2=0.

故所求動點P的軌跡方程為/+丫2=4必或x2+y2=0.

對⑵分析：

題設中沒有具體給出動點所滿足的幾何條件，但可以通過分析圖形的幾何性質而得出，

即圓心與弦的中點連線垂直于弦，它們的斜率互為負倒數.解答為：

設弦的中點為M(x,y),連結OM,

則0M1AM.

?k<>M?k^M——1)

.?心?工…

xx-a

化筒得，(x-y+/=(y.

其軌跡是以0A為直徑的圓在圓0內的一段弧(不含端點).

2.定義法

利用所學過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動

點的軌跡方程，這種方法叫做定義法.這種方法要求題設中有定點與定直線及兩定點距離之

和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識分析得出這些條件.

例2設收圓x?+/=4上的動點,另有點0),線段人次垂

直平分線1交半徑0Q于點P(見圖2—45),當Q點在圓周上運動時，求點P的軌跡方程.

分析：

?.?點P在AQ的垂直平分線上,

/.|PQ|=|PA|.

又P在半徑OQ上.

/.|PO|+|PQ|=R,即|PO|+|PA|=R.

故P點到兩定點距離之和是定值，可用橢圓定義

寫出P點的軌跡方程.

解:連接PAV1XPQ,/.IPAHIPQI.

又P在半徑0Q上.

|PO|+|PQ|=2.

.,.|POH-|PA|=2,且2〉/=|0用.

由橢圓定義可知：P點軌跡是以0、A為焦點的橢圓.

由2a=2.2c=a=I.c=坐.

從而投=-j.

故所求橢圓方程為a-乎y+t=1即為點p的軌跡方程.

3.相關點法

若動點P(x,y)隨已知曲線上的點Q(x。，y。)的變動而變動，且x。、y°可用x、y表示，

則將Q點坐標表達式代入已知曲線方程，即得點P的軌跡方程.這種方法稱為相關點法(或

代換法).

例3、已知拋物線y-x+l,定點A(3,1),B為拋物線上任意一點，點P在線段AB上，

且有BP:PA=1：2,當B點在拋物線上變動時，求點P的軌跡方程.

分析：

P點運動的原因是B點在拋物線上運動，因此B可作為相關點，應先找出點P與點B的

聯系.

解：設點P(x,y),且設點B(xo,yo)

則有y；+1.

VBP：PA=1：2,且P為線段AB的內分點.

由定比分點公式得?

y0=g(3y-l).

將此式代入y；=x0+l中，并整理得，

x=[y'-y+；即為所求軌跡的方程.它是一條拋物線.

4.待定系數法

求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數法求.

例4、已知拋物線y2=4x和以坐標軸為對稱軸、實軸在y軸上的雙曲線僅有兩個公共點,

又直線y=2x被雙曲線所截的的線段長等于2后，求此雙曲線方程。

解:設所求雙曲線方程為m=1,將y—Q此方程整理得：

a2x2-4b!x+a2b2=0

?.?拋物線和雙曲線僅有兩個公共點，根據它們的對稱性，這兩個點的橫坐標應相等，因

此方程a2x2-4b2x+a2b2=0應有等根.

/.△=16b'-4a'b2=0,即/=2b.

(y=2x

由《bX,X3得，(4b)-a?*-a2b2=0.

由弦長公式得：

2\（5—Jl+2,J（X]+x*）2-4x/2

即a2b2=4b2-a2.

p=2b(aa=2

由W=4b7得'M=1

...雙曲線的方程為

(三)鞏固練習

4

1.4ABC一邊的兩個端點是B(O,6)和C(O,-6),另兩邊斜率的積是求頂點A

的軌跡。

2.點P與一定點F(2,0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1:2,求點P的軌

跡方程，并說明軌跡是什么圖形？

3.求拋物線y2=2px(p>0)上各點與焦點連線的中點的軌跡方程.

(四)課時小結

求曲線的軌跡方程一般地有直接法、定義法、相關點法、待定系數法，還有參數法、復

數法也是求曲線的軌跡方程的常見方法，這等到講了參數方程、復數以后再作介紹.

(五)布置作業(yè)：習題2.1A組2.3.4

四、課后反思：

2.2.1橢圓及其標準方程(新授課)

一、教學目標

知識與技能：了解橢圓的實際背景，掌握橢圓的定義及其標準方程。

過程與方法：通過橢圓的概念引入橢圓的標準方程的推導，培養(yǎng)學生的分析探索能力，

熟練掌握解決解析問題的方法一坐標法。

情感、態(tài)度與價值觀：通過對橢圓的定義及標準方程的學習，滲透數形結合的思想，

讓學生體會運動變化、對立統(tǒng)一的思想，提高對各種知識的綜合運用能力.

二、教學重點與難點

重點：橢圓的定義和橢圓的標準方程.

難點：橢圓的標準方程的推導.

三、教學過程

(一)橢圓概念的引入

問題1:什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？

問題21當a>0時，而W=a與f(x)=a‘是同解方程嗎？

當a>0時f(x)=a'o-a)(Jf(x)+a)=0oJf(x)-a.

問題3:圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？

一般學生能回答：“平面內到一定點的距離為常數的點的軌跡是圓”.

對學生提出的軌跡命題如：

“到兩定點距離之和等于常數的點的軌跡.”

“到兩定點距離平方差等于常數的點的軌跡.”

“到兩定點距離之差等于常數的點的軌跡.”

取一條一定長的細繩，把它的兩端固定在畫圖板上的Fi和F2兩點（如圖2-13）,當繩長

大于、和F2的距離時，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，就可以畫出一個

橢圓.

教師進一步追問：“橢圓，在哪些地方見過？”有的同學說：“立體幾何中圓的直觀圖.”

有的同學說：“人造衛(wèi)星運行軌道”等……

在此基礎上，引導學生概括橢圓的定義：

平面內到兩定點Fi、F2的距離之和等于常數（大于IF1F2I）的點的軌跡叫做橢圓.這兩個

定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距.

學生開始只強調主要幾何特征——到兩定點Fi、F2的距離之和等于常數、教師在演示

中要從兩個方面加以強調：

（1）將穿有鉛筆的細線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學生認識到

需加限制條件：“在平面內”.

（2）這里的常數有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學生注意：若常數=|FF2|,則是線段

F1F2；若常數＜|F1F2|,則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數

大于IFIF2|".

（二）橢圓標準方程的推導

1.標準方程的推導

由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對橢圓還具有哪些性質，我們還一無

所知，所以需要用坐標法先建立橢圓的方程.

如何建立橢圓的方程？根據求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設點；(2)點的集合;

(3)代數方程；(4)化簡方程等步驟.

(1)建系設點

建立坐標系應遵循簡單和優(yōu)化的原則，如使關鍵點的坐標、關鍵幾何量(距離、直線斜

率等)的表達式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學生認識到下列選取方法是恰當的.

以兩定點FI、F2的直線為X軸，線段FF2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系(如圖

2-14).設|F1F2|=2C(C>0),M(x,y)為橢圓上任意一點,則有Fi(-1,0),F2(c,0).

(2)點的集合

由定義不難得出橢圓集合為:P={M||MFi|+|MF2|=2a}.

(3)代數方程

',?|MFil=J(x+c)'+yL|蝸|=J(x-c)'yL

得方程J(x+c尸+9+J(x-秋+/=2a.

(4)化筒方程(學生板演，教師點撥)

2.兩種標準方程的比較(引導學生歸納)

=1(a>b>0)表示焦點在點I上的橢圓,焦點是F1(-c.0）、

F2（C,0）,這里c2=a2-b2;

(2)5+布=1(a>b>0)表示焦點在卻I上的橢圓，焦點是耳(0,?、

222

F2(0,c),這里c=a+b,只須將(1)方程的x、y互換即可得到.

教師指出：在兩種標準方程中，：a2>b2，，可以根據分母的大小來判定焦點在哪一個

坐標軸上.

(三)例題講解

例、平面內兩定點的距離是8,寫出到這兩定點的距離的和是10的點的軌跡的方程.

分析：先根據題意判斷軌跡，再建立直角坐標系，采用待定系數法得出軌跡方程.

解：這個軌跡是一個橢圓，兩個定點是焦點，用FjF2表示.取過點Fi和F2的直線

為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系.

?.-2a=10,2c=8.

..a=5,c=4,b2=a2-c2=25-16=9.;.b=3

因此，這個橢圓的標準方程是

x2y2,xJy3,

-r+-r=LBffl1PrrT+=1

yr259

思考：焦點Fi、F2放在y軸上呢？

(四)課堂練習：課本42頁練習1、2、3、4

(五)課時小結

1.定義：橢圓是平面內與兩定點Fi、F2的距離的和等于常數(大于嚴正2|)的點的軌跡.

2.標準方程：號+%=l(a>b>0)或，+

3.圖形

圖2-16

（六）布置作業(yè)：習題2.2A組1、7

四、課后反思

2.2.2橢圓的簡單幾何性質（新授課）

一、教學目標

知識與技能：通過橢圓標準方程的討論，使學生掌握橢圓的幾何性質，能正確地畫出橢

圓的圖形，并能根據幾何性質解決一些簡單的問題，從而培養(yǎng)我們的分析、歸納、推理等能

力。

過程與方法：掌握利用方程研究曲線性質的基本方法，進一步體會數形結合的思想。

情感、態(tài)度與價值觀：通過本小節(jié)的學習，進一步體會方程與曲線的對應關系，感受圓

錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用。

二、教學重點與難點

重點：橢圓的幾何性質及初步運用.

難點：橢圓離心率的概念的理解.

三、教學過程

（一）復習提問

1.柳圓的定義是什么？

2.橢圓的標準方程是什么？

（二）幾何性質

根據曲線的方程研究曲線的幾何性質，并正確地畫出它的圖形，是解析幾何的基本問題

之一。

1、范圍

引導學生從標準方程營=1得出不等式，＜1.5〈1.

即|x|Wa,|y|〈b,這說明橢圓在直線x=±a和直線y=±b所圍成的矩形里，注意結合

圖形講解，并指出描點畫圖時，就不能取范圍以外的點.

2.對稱性

先請大家閱讀課本橢圓的幾何性質2.

設問：為什么“把X換成-X,或把y換成-y?,或把X、y同時換成-X、-y時，方程都

不變，所以圖形關于y軸、x軸或原點對稱的”呢？

事實上，在曲線的方程里，如果把x換成-x而方程不變，那么當點P(x,y)在曲線上時,

點P關于y軸的對稱點Q(-x,y)也在曲線上，所以曲線關于y軸對稱.類似可以證明其他

兩個命題.

同時向學生指出：如果曲線具有關于y軸對稱、關于x軸對稱和關于原點對稱中的任意

兩種，那么它一定具有另一種對稱.如：如果曲線關于x軸和原點對稱，那么它一定關于y

軸對稱.

事實上，設P(x,y)在曲線上，因為曲線關于x軸對稱，所以點R(x,-y)必在曲線上.又

因為曲線關于原點對稱，所以R關于原點對稱點P2(-x,y)必在曲線上.因P(x,y)、R(-x,

y)都在曲線上，所以曲線關于y軸對稱.

最后指出：x軸、y軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心即橢圓中心.

3.頂點

引導學生從橢圓的標準方程，+，=】分析它與盜、在色的交點.

只須令x=0,得y=±b,點Bi(O,-b)>B2(0,b)是橢圓和y軸的兩個交點；令y=0,得

x=±a,點A(-a,0)、Az(a,0)是橢圓和x軸的兩個交點.強調指出：橢圓有四個頂點A1-a,

0)、Az(a,0)、B>(0,-b)、B2(0,b).

教師還需指出：

(1)線段A也、線段BA分別叫橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b；

(2)a、b的幾何意義：a是長半軸的長，b是短半軸的長；

這時，教師可以小結以下：由橢圓的范圍、對稱性和頂點，再進行描點畫圖，只須描出

較少的點，就可以得到較正確的圖形.

4.離心率

教師直接給出橢圓的離心率的定義：

隔圓的焦距與長軸的比。=±.

a

等到介紹橢圓的第二定義時，再講清離心率e的幾何意義.

先分析橢圓的離心率e的取值范圍：

Va>c>0,0<e<l.

再結合圖形分析離心率的大小對橢圓形狀的影響：

(1)當魔近1時,c越接近a,從而6=戶石越小,因此橢圓越扁，

(2)當e接近0時，c越接近0,從而b越接近a,因此橢圓接近圓；

(3)當e=0時，c=0,a=b兩焦點重合，橢圓的標準方程成為/+y2=a2,圖形就是圓了.

(三)應用

為了加深對橢圓的幾何性質的認識，掌握用描點法畫圖的基本方法，給出如下例1.

例1、求橢圓16x2+25y=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標，并用描

點法畫出它的圖形.

本例前一部分請一個同學板演，教師予以訂正，估計不難完成.后一部分由教師講解,

以引起學生重視，步驟是：

鬟2口？41--------r41--------

(1)列表.將會+77=I變形為y=17V25-X3,根據y=+-725-Xr3

251655

在笫一痢限K5蜿圍內算出幾個點的坐標(x,y).

*012...3m4S

y439373.22.40

(2)描點作圖.先描點畫出橢圓在第一象限內的圖形，再利用橢圓的對稱性就可以畫出

整個橢圓(圖2-19).要強調：利用對稱性可以使計算量大大減少.

例2點M(x,y)與定點F(c,0)的走離和它到定直線Lx=匚的

C

電高的比是常數々a>c>0),求點M的軌跡.

a

本例實質上是橢圓的第二定義，是為以后講解拋物線和圓錐曲線的統(tǒng)一定義做準備的,

同時再一次使學生熟悉求曲線方程的一般步驟，因此，要詳細講解：

設d是點M到直線1的距離，根據題意，所求軌跡就是

IMF|二d,—

a

將上式化簡,得:(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).

設就可化成：4+4=1.

這是橢圓的標準方程，所以點M的軌跡是橢圓.

由此例不難歸納出橢圓的第二定義.

(四)橢圓的第二定義

1.定義

平面內點M與一個定點的距離和它到一定直線的距離的比是常數

e=￡(0<e<l)時,這個點M的軌跡是橢圓.定點是慚圓的焦點,定宜

a

線叫做橢圓的準線，常數e是橢圓的離心率.

2.說明

⑴對于飾圓$+g=l,相應于焦點F(c,0)的港線方程是x=；.

根據橢圓的對稱性,相應于焦京F'(c0)的準線方程是x=.《.

C

⑵對于慚圓4+4=1,相應于焦點F(0,。的準線方程是y=/，

abc

相應于焦點Fy(0.-c)的準勘■程是y=--.

c

這時還要講清e的幾何意義是：橢圓上一點到焦點的距離和它到準線的距離的比.

(五)課時小結

解法研究圖形的性質是通過對方程的討論進行的，同一曲線由于坐標系選取不同，方程

的形式也不同，但是最后得出的性質是一樣的，即與坐標系的選取無關.前面我們著重分析

了第一個標準方程的橢圓的性質，類似可以理解第二個標準方程的橢圓的性質.布置學生最

后小結下列表格：

2223

xy

標1#方程-y+b>0)

ab

圖象

范國

對稱性

頂點

長軸

mt

鬃點

(五)布置作業(yè)

1.求下列橢圓的長軸和短軸的長、焦距、離心率、各個頂點和焦點坐標、準線方程：

(l)25x2+4y-100=0,

(2)x2+4y2-l=0.

2.我國發(fā)射的科學實驗人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓，

近地點距地面266Km,遠地點距地面1826Km,求這顆衛(wèi)星的軌道方程.

3.點P與一定點F(2,0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1：2,求點P的軌

跡方程，并說明軌跡是什么圖形.

四、課后反思：

2.3.1雙曲線及其標準方程（新授課）

一、教學目標

知識與技能：使學生理解并掌握雙曲線的定義，掌握雙曲線的標準方程的推導及標準方

程。

過程與方法：了解雙曲線的實際背景，經歷從具體情境中抽象出雙曲線模型的過程，感

受雙曲線定義在解決實際問題中的作用。

情感、態(tài)度與價值觀：通過對雙曲線的定義及標準方程的學習，滲透數形結合的思想，

啟發(fā)我們在研究問題時，抓住問題的本質。

二、教學重點與難點

重點：雙曲線的定義和雙曲線的標準方程.

難點：雙曲線的標準方程的推導.

三、教學過程

（一）復習提問

1.橢圓的定義是什么？

平面內與兩定點B、F2的距離的和等于常數（大于IFF?。的點的軌跡叫做橢圓.教師要

強調條件：（1）平面內；（2）到兩定點b、握的距離的和等于常數；（3）常數2a

2.橢圓的標準方程？

焦點在謝上的橢圓標準方程為%+9=Ka>b>0）；焦點在在由

上的橢圓標準方程為\+9=Ka>b>0）.

（二）雙曲線的概念

把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點的軌跡會怎樣？它的方程是怎

樣的呢？

1.簡單實驗（邊演示、邊說明）

如圖2-23,定點用、J是兩個按釘，MN是一個細套管，兩條細繩分別拴在按釘上且穿

過套管，點M移動時，iMFj-lMFzl是常數,這樣就畫出曲線的一支；由IMF2HMFJ是同一常

數，可以畫出另一支.

M

圖2-23

注意：常數要小于|FR|,否則作不出圖形.這樣作出的曲線就叫做雙曲線.

2.設問

問題1：定點宿、Fz與動點M不在平面上，能否得到雙曲線？

請學生回答，不能.強調“在平面內”.

問題2：|MFj與|MFz|哪個大?

請學生回答，不定：當M在雙曲線右支上時，|MF->|MFz|；當點M在雙曲線左支上時,

|MFI|<|MF2|.

問題3：點M與定點F”F2距離的差是否就是|MF」-|MFz|?

請學生回答，不一定，也可以是IMF2HMFJ.正確表示為

問題4：這個常數是否會大于等于IFRI?

請學生回答，應小于|FE|且大于零.當常數=|FFz|時，軌跡是以宿、F?為端點的兩條

射線；當常數>四&|時，無軌跡.

3.定義

在上述基礎上，引導學生概括雙曲線的定義：

平面內與兩定點宿、國的距離的差的絕對值是常數(小于尸底|)的點的軌跡叫做雙曲

線.這兩個定點R、也叫做雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫做焦距.

教師指出：雙曲線的定義可以與橢圓相對照來記憶，不要死記.

(三)雙曲線的標準方程

現在來研究雙曲線的方程.我們可以類似求橢圓的方程的方法來求雙曲線的方程.這時

設問：求橢圓的方程的一般步驟方法是什么？不要求學生回答，主要引起學生思考，隨即引

導學生給出雙曲線的方程的推導.

標準方程的推導：

(1)建系設點

取過焦點R、F2的直線為x軸，線段FE的垂直平分線為y軸(如圖2-24)

建立直角坐標系.

設M(x,y)為雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距是2c(c>0),那么宿、出的坐標分別是

(-c,0)、(c,0).又設點M與&、Fz的距離的差的絕對值等于常數.

(2)點的集合

由定義可知，雙曲線就是集合：

P={M||MFI|-|MF2||=2a}-{M|MF,|-|MF2H±2a}.

(3)代數方程

|MF||=J(x+c)'+y',|MFj|=J(x-c?+7,

.**J(x+c)2+y2.J(x-c)3+yJ=±2a.

(4)化簡方程(由學生演板)

將這個方程移項，兩邊平方得：

(x+c)J+ya=4a3±4aJ(x-靖+y'+(x-c)a+y1.

化簡整理得：

(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).

(以上推導完全可以仿照橢圓方程的推導.)

由雙曲線定義，2c>2a即c>a,所以c'-a?>。.

設c'-aWAb>。)，代入上式得：

b2x2-a2y2=a2b2.

即7V=k

這就是雙曲線的標準方程.

兩種標準方程的比較(引導學生歸納)：

(】)，?-*=】(a〉0,b>0)表示焦點在x軸上的雙曲線，焦點是

0)、Fa(c,0),這里c2=a?+b\

(2)^--^-=l(a>0.b〉Q)表示焦點在施上的雙曲線，焦點是F1(0,

-c),Fa(0,c),這里<?=『+"(只須將(1)方程的x、y互換即可得到).

說明：

(1)雙曲線標準方程中，a>0,b>0,但a不一定大于b；

(2)如果一項的系數是正的，那么焦點在x軸上；如果一項的系數是正的，那么焦點在

y軸上.注意有別于橢圓通過比較分母的大小來判定焦點在哪一坐標軸上.

(3)雙曲線標準方程中a、b、c的關系是c2=a、b2,不同于橢圓方程中cJaZ-b?.

(四)例題講解：

1.求滿足下列的雙曲線的標準方程:焦點件(-3,0)、F2(3,0),且2a=4；

2.證明：橢圓忘+?=1與雙曲線Y-15y2=15的焦點相同.

3.已知兩點F.(-5,0)、Ez⑸0),求與它們的距離的差的絕對值是6的點的軌跡方程.如

果把這里的數字6改為12,其他條件不變，會出現什么情況？

解：由定義，所求點的軌跡是雙曲線，因為c=5,a=3,所以b2=c-a2=52-32=42.

因此所求方程是奈3■，即，一分】.

因為2a=12,2c=10,且2a>2c.

所以動點無軌跡.

(五)課時小結

1.定義:平面內與兩定點如、尺的距離的差的絕對值等于常數(小于|FR|)的點的軌跡.

2.標茂方程:F-%=l(a>0‘b>Q).-j"-必=1(a>0,b>0).

4.焦點：FGc,0)、F2(C,0)；F,(0,-c)、F2(0,c).

5.a、b、c的關系：c2=a2+b2

五、布置作業(yè)

1.根據下列條件，求雙曲線的標準方程：

⑴焦點的坐標是(-6,0)、(6,0),并且經過點A(-5,2)；

(2?甜點P(-3.277)^00(-6^.-7),焦點在州上.

2.己知；7>+二=1表示雙曲線，求k的取值范圍.

1+k1-k

3.已知圓錐曲線的方程為mx'nyJm+MmVOVm+n),求其焦點坐標.

四、課后反思：

2.3.2雙曲線的幾何性質（新授課）

一、教學目標

知識與技能：理解并掌握雙曲線的幾何性質，并能從雙曲線的標準方程出發(fā)，推導出這

些性質，并能根據這些幾何性質解決一些簡單問題，從而培養(yǎng)我們的分析、歸納和推理等能

力。

過程與方法:在與橢圓的性質的類比中獲得雙曲線的性質，進一步體會數形結合的思想,

掌握利用方程研究曲線性質的基本方法。

情感、態(tài)度與價值觀：通過本小節(jié)的學習，加深對直角坐標系中曲線與方程的關系概念

的理解，這樣才能解決雙曲線中的弦、最值等問題.

二、教學重點與難點

重點：雙曲線的幾何性質及初步運用.

難點：雙曲線的漸近線方程的導出和論證.

三、教學過程

（一）復習提問引入新課

1.橢圓有哪些幾何性質，是如何探討的？

2.雙曲線的兩種標準方程是什么？

下面我們類比橢圓的幾何性質來研究它的幾何性質.

（二）類比聯想得出性質（性質1?3）

引導學生完成下列關于橢圓與雙曲線性質的表格（讓學生回答，教師引導、啟發(fā)、訂正

并板書）.

（三）問題之中導出漸近線（性質4）

在學習橢圓時，以原點為中心，2a、2b為鄰邊的矩形，對于估計

橢圓的形狀，畫出橢圓的簡圖都有很大作用.微問對雙曲線］/=1.

仍以原點為中心，2a、2b為鄰邊作一矩形（板書圖形），那么雙曲線和這個矩形有什么

關系？這個矩形對于估計和畫出雙曲線簡圖（圖2-26）有什么指導意義？這些問題不要求學

生回答，只引起學生類比聯想.

接著再提出問題：當a、b為已知時，這個矩形的兩條對角線的方程是什么？

請一同學回答，應為y=±±x,并畫出兩條對角線，進一步引導學

a

生從圖現察得出結論：雙曲線J1=1的各支向外延伸時,與這兩條漸

下面，我們來證明它：

Z間

22

^-+^-?l(a>b>0)xy

方程一?一?1(<>0<b>0)

a.2b

?>b、c關系c3b%>b>0)c1-收七>0?b>0)

y

的形

-?kn0h/*4

范圍M<a>|y|<bM>a?yeR

對腳軸：x箱.ytt對於軸：xtt).y軸

對稱性

對IS；中心：原點對歌中心：原點

(9?0)?(?，0)(■<?0).(a.0)

(0>4))>(0>b)實輪為2a

J5L4

長軸力X唐物力2b

是軸力2b

雙曲線在第一象限的部分可寫成:

y=-Jx」(x>a)

設M(x,y)是它上面的點.N(x,7)是直線y=±x上與M有相同

a

的橫坐標的點，則彳=±x,

a

?.|MN|=y-y--(x-Jx'-a’)"->

aa

（xyx3a2）（x?vx3-a3）

x*-a3

ab

X+..2

設|MQ|是點M到宜線y=±x的距離.則有

a

當X逐漸增大時，|MN|逐漸減小，X無限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是

說，雙曲線在第一象限的部分從射線ON的下方逐漸接近于射線ON.

在其他象限內也可以證明類似的情況.

我們把兩條直線7=±Rx叫做雙曲線的漸近線.

a

現在來看看實軸在y軸上的雙曲線的漸近線方程是怎樣的？由于焦點在y軸上的雙曲線

方程是由焦點在x軸上的雙曲線方程，將x、y字母對調所得到，自然前者漸近線方程也可

由后者漸近線方程將x、y字母對調

22

定義?直線y=±Px叫做雙曲線的漸近線；直線y=±Px

aaba

叫颯螞=1的漸近線.

這樣，我們就完滿地解決了畫雙曲線遠處趨向問題，從而可比較精

確地畫出雙曲線.例如：畫雙曲線先作漸近線y=士?x.

23103

再描幾個點，就可以隨后畫出比較精確的雙曲線.

（四）離心率（性質5）

由于正確認識了漸近線的概念，對于離心率的直觀意義也就容易掌握了，為此，介紹一

下雙曲線的離心率以及它對雙曲線的形狀的影響：

1.雙曲線的焦距與實軸的比e=￡叫做雙曲線的離心率，且e>l.

a

2,由于:==5=所以港大，:也越大,即

漸近線y=±±X的斜率絕時值越大.這時雙曲線的形狀就從扁狹逐漸

a

變得開闊，從而得出：雙曲線的離心率越大，它的開口就越開闊.

這時，教師指出：焦點在y軸上的雙曲線的幾何性質可以類似得出，雙曲線的幾何性質

與坐標系的選擇無關，即不隨坐標系的改變而改變.

（五）典型例題剖析：

1.求雙曲線9y2-16x2=144的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程.

解：把方程化為標準方程%-f=1.

由此可知，實半軸長a=4,虛半軸長b=3.

3

c=5/a2+b=+3'=5.

焦點坐標是(O,-5),(0,5).

離心率為e=工-7.

a4

漸近線方程為x=士(y,即尸士gx.

a3

2.點M(x,y)到定點F(c,0)的足離和它到定直線hx=一的

c

距離的比是常數(3(c>a>0),求點M的軌跡(圖2-27).

a

本題實質上是雙曲線的第二定義，要重點講解并加以歸納小結.

解：設d是點M到直線1的距離，根據題意，所求軌跡就是集合：

aa

由此得正?。丁,

|x-g|a

c

化簡得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).

設c7=b\就可化為H=1.

這就是雙曲線的標準方程.

由此例不難歸納出雙曲線的第二定義.

(六)雙曲線的第二定義

1.定義(由學生歸納給出)

平面內點M與一定點的距離和它到一條直線的距離的比是常數e=

[e>l)時.這個點M的軌跡是雙曲線.定點是雙曲線的焦點,定直線

a

叫做雙曲線的準線，常數e是雙曲線的離心率.

2.說明

(1)對于雙曲線1?《=1，相應于焦點F(c,0)的準線方程也=寸.

abc

根據雙曲線的對株性，相應于焦點0)的準線方程是x=.《.

C

(2)對于雙曲線4-專=1,相應于焦點F(0,c)的準線方程是y=/，

abc

相應于焦點F'@⑷的準線方程是y=?W.

C

(七)課時小結：

將雙曲線的兒何性質按兩種標準方程形式列表小結.

(A)布置作業(yè)

1.已知雙曲線方程如下，求它們的兩個焦點、離心率e和漸近線方程.

(1)16x-9y2=144；

(2)16x-9y=-144.

2.求雙曲線的標準方程：

(1)實軸的長是10,虛軸長是8,焦點在x軸上；

(2)焦距是10,虛軸長是8,焦點在y軸上；

(3)離心率e=應，？甜點M(53).

(4)兩條漸近線的方程是y=±2(x,經過點M；9,?1).

3.求以橢圓的焦點為頂點,而以就圓的頂點為焦點的雙

O3

曲線的方程.

4.己知雙曲線?-<=1上的P點到左焦點的距離等于3,我

點到兩準線及右焦點的距離.

四、課后反思：

2.4.1拋物線及其標準方程（新授課）

一、教學目標

知識與技能：使學生掌握拋物線的定義，理解焦點、準線方程的幾何意義，能夠根據已

知條件寫出拋物線的標準方程。

過程與方法：掌握開口向右的拋物線的標準方程的推導過程，進一步理解求曲線的方法

一坐標法；通過本節(jié)課的學習，學生在解決問題時應具有觀察、類比、分析和計算的能力。

情感、態(tài)度與價值觀：通過一個簡單實驗引入拋物線的定義，可以對學生進行理論來源

于實踐的辯證唯物主義思想教育.

二、教學重點與難點

重點：拋物線的定義和標準方程.

難點：拋物線的標準方程的推導.

三、教學過程

（一）導出課題

我們已學習了圓、橢圓、雙曲線三種圓錐曲線.今天我們將學習第四種圓錐曲線一一拋

物線，以及它的定義和標準方程.課題是“拋物線及其標準方程”.

請大家思考兩個問題：

問題1：同學們對拋物線已有了哪些認識？

在物理中，拋物線被認為是拋射物體的運行軌道;在數學中，拋物線是二次函數的圖象？

問題2：在二次函數中研究的拋物線有什么特征？

在二次函數中研究的拋物線，它的對稱軸是平行于y軸、開口向上或開口向下兩種情形.

引導學生進一步思考：如果拋物線的對稱軸不平行于y軸，那么就不能作為二次函數的

圖象來研究了.今天，我們突破函數研究中這個限制，從更一般意義上來研究拋物線.

（二）拋物線的定義

1.回顧

平面內與一個定點F的距離和一條定直線1的距離的比是常數e的軌跡，當OVeVl

時是橢圓，當e>l時是雙曲線，那么當e=l時，它又是什么曲線？

2.簡單實驗

如圖2-29,把一根直尺固定在畫圖板內直線1的位置上，一塊三角板的一條直角邊緊

靠直尺的邊緣；把一條繩子的一端固定于三角板另一條直角邊上的點A,截取繩子的長等于

A到直線1的距離AC,并且把繩子另一端固定在圖板上的一點F；用一支鉛筆扣著繩子，緊

靠著三角板的這條直角邊把繩子繃緊，然后使三角板緊靠著直尺左右滑動，這樣鉛筆就描出

一條曲線，這條曲線叫做拋物線.反復演示后，請同學們來歸納拋物線的定義，教師總結.

3.定義

這樣，可以把拋物線的定義概括成：

平面內與一定點F和一條定直線1的距離相等的點的軌跡叫做拋物線（定點F不在定直

線1上）.定點F叫做拋物線的焦點，定直線1叫做拋物線的準線.

（三）拋物線的標準方程

設定點F到定直線1的距離為p（p為已知數且大于0）.下面，我們來求拋物線的方程.怎

樣選擇直角坐標系，才能使所得的方程取較簡單的形式呢？

讓學生議論一下，教師巡視，啟發(fā)輔導，最后簡單小結建立直角坐標系的幾種方案：

方案1：（由第一組同學完成，請一學生板練.）

以1為y軸，過點F與直線1垂直的直線為x軸建立直角坐標系（圖2-

30）.設定點F（p,0）,動點M的坐標為（x,y）,過M作MD_Ly軸于D,拋物線的集合為:

p={M||MF|=|MD|}.

由坐標表示得］J（x-p）2+y?-|x|.

化簡后得：yJ2px-p2（p>0）.

方案2：（由第二組同學完成，請一學生板練）

以定點F為原點，平行1的直線為y軸建立直角坐標系（圖2-31）.設動點M的坐標為

（x,y）,且設直線1的方程為x=-p,定點F（0,0）,過M作MDL1于D,拋物線的集合為：

p={M|iMFhlMDj}.

由坐標表示得：Jx*+義=|x+P|.

化簡得：y2=2px+p：'（p>0）.

方案3：（由第三、四組同學完成，請一學生板練.）

圖2-31

取過焦點F且垂直于準線1的直線為x軸，x軸與1交于K,以線段KF的垂直平分線為

y軸，建立直角坐標系（圖2-32）.

設|KF|=p,則焦點F的坐標為串0),準線1的方程為x=g,設

拋物線上的點M(x,y)到1的距離為d,拋物線是集合p={W|MF|=d}.

???/_今_2Tx+各.

化簡后得：yJ2px(p>0).

比較所得的各個方程，應該選擇哪些方程作為拋物線的標準方程呢？

引導學生分析出：方案3中得出的方程作為拋物線的標準方程.這是因為這個方程不僅

具有較簡的形式，而方程中的系數有明確的幾何意義：一次項系數是焦點到準線距離的2

倍.

由于焦點和準線在坐標系下的不同分布情況，拋物線的標準方程有四種情形(列表如

下)：

焦點圖密

y

4

產2p#p>0)嗚aT

六一2p?p>0)R-扣)7

Jy

VJ

R嶗yx一豈

>0)y20x

-------1

?1

1-----0-

，*.2py(p>0)KG-爭y.P

y2/、一

將上表畫在小黑板上，講解時出示小黑板，并講清為什么會出現四種不同的情形，四種

情形中P>0;并指出圖形的位置特征和方程的形式應結合起來記憶.即：當對稱軸為X軸

時，方程等號右端為±2px,相應地左端為y2；當對稱軸為y軸時，方程等號的右端為±2py,

相應地左端為一.同時注意：當焦點在正半軸上時，取正號；當焦點在負半軸上時，取負號.

(四)四種標準方程的應用

例題：(1)已知拋物線的標準方程是y?=6x,求它的焦點坐標和準線方程；

(2)已知拋物線的焦點坐標是F(0,-2),求它的標準方程.

解,⑴因為p=3,所以焦點坐標是碎，0).準線方程是x=-g.

⑵因為焦點在,由的負半軸上,并且合=2,p=4,所以它的標準

方程是x-8y.

練習：根據下列所給條件，寫出拋物線的標準方程：

⑴焦點是F(3,0)；

(2)準線方程是x=?g1

4

(3)焦點到準線的距離是2.

由三名學生板練，教師予以糾正.

這時，教師小結一下：由于拋物線的標準方程有四種形式，且每一種形式中都只含一個

系數P,因此只要給出確定P的一個條件，就可以求出拋物線的標準方程.當拋物線的焦點

坐標或準線方程給定以后，它的標準方程就唯一確定了；若拋物線的焦點坐標或準線方程沒

有給定，則所求的標準方程就會有多解.

(五)課時小結

本節(jié)課主要介紹了拋物線的定義，推導出拋物線的四種標準方程形式，并加以運用.

(六)布置作業(yè)

1.拋物線/=2px(p〉0)上一點M到焦點的距離是a(a〉鄉(xiāng)，點M

到準線的距