2024屆上海市寶山區(qū)高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2上海市寶山區(qū)2024屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試卷一、單選題1.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，則，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤.故選：A.2.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，因?yàn)?，可得，所?故選：A.3.已知直線(xiàn)、、與平面、，下列命題正確是（）A.若，，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，若，，，則與可能平行，也可能異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則與可能平行，也可能相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，則與可能平行，也可能相交或異面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理可知，必有，使得，又，則，因?yàn)?，所以，故D正確.故選：D.4.數(shù)列中，是其前項(xiàng)的和，若對(duì)任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱(chēng)數(shù)列為“某數(shù)列”現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：①等比數(shù)列為“某數(shù)列”；②對(duì)任意的等差數(shù)列，總存在兩個(gè)“某數(shù)列”和，使得.則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.①為真命題，②為真命題 B.①為真命題，②為假命題C.①為假命題，②為真命題 D.①為假命題，②為假命題〖答案〗C〖解析〗對(duì)于①，由等比數(shù)列，得，若對(duì)任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則，即，顯然不成立，①為假命題；對(duì)于②，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則.令，，則，下面證是“某數(shù)列”.設(shè)的前項(xiàng)和為，則，于是對(duì)任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，所以是“某數(shù)列”.同理，可證也是“某數(shù)列”.所以對(duì)任意的等差數(shù)列，總存在兩個(gè)“某數(shù)列”和，使得成立，故②為真命題.故選：C二、填空題5.拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)閽佄锞€(xiàn)方程為，所以焦點(diǎn)在軸上，且焦點(diǎn)為.故〖答案〗為6.已知，則______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?故〖答案〗為：.7.將（其中）化為有理數(shù)指數(shù)冪的形式為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗故〖答案〗為：8.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)______.〖答案〗〖解析〗由，，，得，所以.故〖答案〗為：29.設(shè)實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足為虛數(shù)單位，則______.〖答案〗〖解析〗由，得，即，則，解得.故〖答案〗為：10.有一組按從小到大順序排列的數(shù)據(jù)：3，5，，8，9，10，若其極差與平均數(shù)相等，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為_(kāi)__________.〖答案〗〖解析〗依題意可得極差為，平均數(shù)為，所以，解得，所以中位線(xiàn)為.故〖答案〗為：11.已知集合，且，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗由集合，且，得或，解得或，當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，且，與集合元素的互異性矛盾，所以實(shí)數(shù)的值為0.故〖答案〗為：12.在數(shù)列中，，且，則__________.〖答案〗4〖解析〗由題意可得，所以，，……，，累加得，所以，故〖答案〗為：413.某公司為了了解某商品的月銷(xiāo)售量單位：萬(wàn)件與月銷(xiāo)售單價(jià)單位：元件之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了個(gè)月的銷(xiāo)售量與銷(xiāo)售單價(jià)，并制作了如下對(duì)照表：月銷(xiāo)售單價(jià)元件月銷(xiāo)售量萬(wàn)件由表中數(shù)據(jù)可得回歸方程中，試預(yù)測(cè)當(dāng)月銷(xiāo)售單價(jià)為元件時(shí)，月銷(xiāo)售量為_(kāi)_____萬(wàn)件.〖答案〗〖解析〗依題意，，，所以樣本中心點(diǎn)坐標(biāo)為，代入回歸方程得，，解得，所以回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)月銷(xiāo)售單價(jià)為元件時(shí)，月銷(xiāo)售量約為萬(wàn)件.故〖答案〗為：14.已知雙曲線(xiàn)：的右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)于交、兩點(diǎn)，若，則的離心率為_(kāi)_________．〖答案〗〖解析〗如圖所示，由題意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，∵∠MAN=60°，∴|AP|=b，∴|OP|=．設(shè)雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)y=x的傾斜角為θ，則tanθ=．又tanθ=，∴，解得a2=3b2，∴e=．〖答案〗15.某區(qū)域的地形大致如圖，某部門(mén)負(fù)責(zé)該區(qū)域的安全警戒，在哨位的正上方安裝探照燈對(duì)警戒區(qū)域進(jìn)行探查掃描.假設(shè)：警戒區(qū)域?yàn)榭諘绲纳拳h(huán)形平地；假設(shè)：視探照燈為點(diǎn)，且距離地面米；假設(shè)：探照燈照射在地面上的光斑是橢圓.當(dāng)探照燈以某一俯角從側(cè)掃描到側(cè)時(shí)，記為一次掃描，此過(guò)程中照射在地面上的光斑形成一個(gè)扇環(huán)由此，通過(guò)調(diào)整的俯角，逐次掃描形成扇環(huán)、、.第一次掃描時(shí)，光斑的長(zhǎng)軸為，米，此時(shí)在探照燈處測(cè)得點(diǎn)的俯角為如圖記，經(jīng)測(cè)量知米，且是公差約為米的等差數(shù)列，則至少需要經(jīng)過(guò)______次掃描，才能將整個(gè)警戒區(qū)域掃描完畢.〖答案〗〖解析〗因?yàn)樵谥?，，，所以，，故，故是以為首?xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，故，而，，故.所以至少需要次才能將整個(gè)警戒區(qū)域掃描完畢.故〖答案〗為：.16.空間直角坐標(biāo)系中，從原點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量、滿(mǎn)足：，，且存在實(shí)數(shù)，使得成立，則由構(gòu)成的空間幾何體的體積是______.〖答案〗〖解析〗由已知得，所以，所以存在實(shí)數(shù)，使得不等式有解，則有，解得，又因?yàn)榍?，所以在方向上的?shù)量投影是，所以圍成的空間幾何體是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，高為，母線(xiàn)長(zhǎng)為的圓錐，故由構(gòu)成的空間幾何體的體積為.故〖答案〗為：.三、解答題17.在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，已知.（1）求角的大小；（2）若的面積為，求的最小值，并判斷此時(shí)的形狀.解：（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，因?yàn)槭侨切蝺?nèi)角，所以；（2）由三角形面積公式得：，解得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，此時(shí)為等邊三角形.18.如圖，已知點(diǎn)在圓柱的底面圓的圓周上，為圓的直徑.（1）求證：；（2）若，，圓柱的體積為，求異面直線(xiàn)與所成角的大小.（1）證明：易知，又由平面，平面，得，而平面，則平面，而平面，故.（2）解：延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，連接、、，易知或其補(bǔ)角即為所求的角，由題知，解得，中，由余弦定理得，由，從而，所以異面直線(xiàn)與所成角的大小為.19.在課外活動(dòng)中，甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行投籃比賽，每人投次，每投進(jìn)一次得分，否則得分已知甲每次投進(jìn)的概率為，且每次投籃相互獨(dú)立；乙第一次投籃，投進(jìn)的概率為，從第二次投籃開(kāi)始，若前一次投進(jìn)，則該次投進(jìn)的概率為，若前一次沒(méi)投進(jìn)，則該次投進(jìn)的概率為.（1）求甲投籃次得分的概率；（2）若乙投籃次得分為，求的分布和期望；（3）比較甲、乙的比賽結(jié)果.解：（1）甲投籃次得分，即只投中次，概率為；（2）由題意知的所有可能取值為，，，，則，，隨機(jī)變量的分布為，0246期望；（3）設(shè)甲三次投籃的得分，則，，，，可求得隨機(jī)變量的分布為，0246所以，又可算得，因?yàn)?，，所以甲最終的得分均值等于乙最終的得分均值，但乙贏得的分值不如甲穩(wěn)定.20.已知雙曲線(xiàn)的左、右頂點(diǎn)分別為、，設(shè)點(diǎn)在第一象限且在雙曲線(xiàn)上，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求雙曲線(xiàn)兩條漸近線(xiàn)夾角的余弦值；（2）若，求的取值范圍；（3）橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且短軸的端點(diǎn)恰好是、兩點(diǎn)，直線(xiàn)與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為記、的面積分別為、求的最小值，并寫(xiě)出取最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).解：（1）雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)方程為，則它們的方向向量，設(shè)兩條直線(xiàn)夾角為，則，所以雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)夾角的余弦值為.（2）設(shè)，，顯然、，，，則，即，又點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，有，即，從而，解得，而點(diǎn)是雙曲線(xiàn)在第一象限的點(diǎn)，則，，所以.（3）在橢圓中，，焦點(diǎn)在軸上，標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，，直線(xiàn)的斜率為，，則直線(xiàn)的方程為，由，得，該方程的兩根分別為和，由，得，同理，于是，記，，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.21.函數(shù)的表達(dá)式為.（1）若，直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切于點(diǎn)，求直線(xiàn)的方程；（2）函數(shù)的最小正周期是，令，將函數(shù)的零點(diǎn)由小到大依次記為，證明：數(shù)列是嚴(yán)格減數(shù)列；（3）已知定義在上的奇函數(shù)滿(mǎn)足，對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有且.記，.當(dāng)時(shí)，是否存在，使得成立？若存在，求出符合題意的；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（1）解：當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，則，所以直線(xiàn)的方程是.（2）證明：由，得，則，令，得，①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，由，知在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，在嚴(yán)格單調(diào)遞減，又在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，在嚴(yán)格單調(diào)遞減，因此時(shí)，在時(shí)有最小值，在時(shí)有最大值，因?yàn)?，所以在上沒(méi)有交點(diǎn)，即在上沒(méi)有零點(diǎn)；于是函數(shù)的零點(diǎn)滿(mǎn)足，因?yàn)樵趪?yán)格減，所以，又因?yàn)?，所以?shù)列是嚴(yán)格減數(shù)列.（3）解：因?yàn)椋允且詾橹芷诘闹芷诤瘮?shù)，因?yàn)槿我?，?dāng)時(shí)，都有且，所以當(dāng)時(shí)，在上有唯一的最大值，由，得，，，假設(shè)存在，使得成立，即成立，故當(dāng)時(shí)，取得最大值；當(dāng)時(shí)，取得最大值，由，可知①時(shí)，，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，在上有唯一的最小值，故當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，取得最小值，由，可知②時(shí)，，若成立，則由①②得：，即，因?yàn)?，，，，此時(shí)等式左邊為奇數(shù)，等式右邊為偶數(shù)，所以等式不成立，因此當(dāng)時(shí)，不存在，使得成立.上海市寶山區(qū)2024屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試卷一、單選題1.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，則，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤.故選：A.2.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，因?yàn)?，可得，所?故選：A.3.已知直線(xiàn)、、與平面、，下列命題正確是（）A.若，，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，若，，，則與可能平行，也可能異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則與可能平行，也可能相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，則與可能平行，也可能相交或異面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理可知，必有，使得，又，則，因?yàn)?，所以，故D正確.故選：D.4.數(shù)列中，是其前項(xiàng)的和，若對(duì)任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱(chēng)數(shù)列為“某數(shù)列”現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：①等比數(shù)列為“某數(shù)列”；②對(duì)任意的等差數(shù)列，總存在兩個(gè)“某數(shù)列”和，使得.則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.①為真命題，②為真命題 B.①為真命題，②為假命題C.①為假命題，②為真命題 D.①為假命題，②為假命題〖答案〗C〖解析〗對(duì)于①，由等比數(shù)列，得，若對(duì)任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則，即，顯然不成立，①為假命題；對(duì)于②，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則.令，，則，下面證是“某數(shù)列”.設(shè)的前項(xiàng)和為，則，于是對(duì)任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，所以是“某數(shù)列”.同理，可證也是“某數(shù)列”.所以對(duì)任意的等差數(shù)列，總存在兩個(gè)“某數(shù)列”和，使得成立，故②為真命題.故選：C二、填空題5.拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)閽佄锞€(xiàn)方程為，所以焦點(diǎn)在軸上，且焦點(diǎn)為.故〖答案〗為6.已知，則______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所?故〖答案〗為：.7.將（其中）化為有理數(shù)指數(shù)冪的形式為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗故〖答案〗為：8.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)______.〖答案〗〖解析〗由，，，得，所以.故〖答案〗為：29.設(shè)實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足為虛數(shù)單位，則______.〖答案〗〖解析〗由，得，即，則，解得.故〖答案〗為：10.有一組按從小到大順序排列的數(shù)據(jù)：3，5，，8，9，10，若其極差與平均數(shù)相等，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為_(kāi)__________.〖答案〗〖解析〗依題意可得極差為，平均數(shù)為，所以，解得，所以中位線(xiàn)為.故〖答案〗為：11.已知集合，且，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗由集合，且，得或，解得或，當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，且，與集合元素的互異性矛盾，所以實(shí)數(shù)的值為0.故〖答案〗為：12.在數(shù)列中，，且，則__________.〖答案〗4〖解析〗由題意可得，所以，，……，，累加得，所以，故〖答案〗為：413.某公司為了了解某商品的月銷(xiāo)售量單位：萬(wàn)件與月銷(xiāo)售單價(jià)單位：元件之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了個(gè)月的銷(xiāo)售量與銷(xiāo)售單價(jià)，并制作了如下對(duì)照表：月銷(xiāo)售單價(jià)元件月銷(xiāo)售量萬(wàn)件由表中數(shù)據(jù)可得回歸方程中，試預(yù)測(cè)當(dāng)月銷(xiāo)售單價(jià)為元件時(shí)，月銷(xiāo)售量為_(kāi)_____萬(wàn)件.〖答案〗〖解析〗依題意，，，所以樣本中心點(diǎn)坐標(biāo)為，代入回歸方程得，，解得，所以回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)月銷(xiāo)售單價(jià)為元件時(shí)，月銷(xiāo)售量約為萬(wàn)件.故〖答案〗為：14.已知雙曲線(xiàn)：的右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)于交、兩點(diǎn)，若，則的離心率為_(kāi)_________．〖答案〗〖解析〗如圖所示，由題意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，∵∠MAN=60°，∴|AP|=b，∴|OP|=．設(shè)雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)y=x的傾斜角為θ，則tanθ=．又tanθ=，∴，解得a2=3b2，∴e=．〖答案〗15.某區(qū)域的地形大致如圖，某部門(mén)負(fù)責(zé)該區(qū)域的安全警戒，在哨位的正上方安裝探照燈對(duì)警戒區(qū)域進(jìn)行探查掃描.假設(shè)：警戒區(qū)域?yàn)榭諘绲纳拳h(huán)形平地；假設(shè)：視探照燈為點(diǎn)，且距離地面米；假設(shè)：探照燈照射在地面上的光斑是橢圓.當(dāng)探照燈以某一俯角從側(cè)掃描到側(cè)時(shí)，記為一次掃描，此過(guò)程中照射在地面上的光斑形成一個(gè)扇環(huán)由此，通過(guò)調(diào)整的俯角，逐次掃描形成扇環(huán)、、.第一次掃描時(shí)，光斑的長(zhǎng)軸為，米，此時(shí)在探照燈處測(cè)得點(diǎn)的俯角為如圖記，經(jīng)測(cè)量知米，且是公差約為米的等差數(shù)列，則至少需要經(jīng)過(guò)______次掃描，才能將整個(gè)警戒區(qū)域掃描完畢.〖答案〗〖解析〗因?yàn)樵谥?，，，所以，，故，故是以為首?xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，故，而，，故.所以至少需要次才能將整個(gè)警戒區(qū)域掃描完畢.故〖答案〗為：.16.空間直角坐標(biāo)系中，從原點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量、滿(mǎn)足：，，且存在實(shí)數(shù)，使得成立，則由構(gòu)成的空間幾何體的體積是______.〖答案〗〖解析〗由已知得，所以，所以存在實(shí)數(shù)，使得不等式有解，則有，解得，又因?yàn)榍遥栽诜较蛏系臄?shù)量投影是，所以圍成的空間幾何體是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，高為，母線(xiàn)長(zhǎng)為的圓錐，故由構(gòu)成的空間幾何體的體積為.故〖答案〗為：.三、解答題17.在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，已知.（1）求角的大小；（2）若的面積為，求的最小值，并判斷此時(shí)的形狀.解：（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，因?yàn)槭侨切蝺?nèi)角，所以；（2）由三角形面積公式得：，解得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，此時(shí)為等邊三角形.18.如圖，已知點(diǎn)在圓柱的底面圓的圓周上，為圓的直徑.（1）求證：；（2）若，，圓柱的體積為，求異面直線(xiàn)與所成角的大小.（1）證明：易知，又由平面，平面，得，而平面，則平面，而平面，故.（2）解：延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，連接、、，易知或其補(bǔ)角即為所求的角，由題知，解得，中，由余弦定理得，由，從而，所以異面直線(xiàn)與所成角的大小為.19.在課外活動(dòng)中，甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行投籃比賽，每人投次，每投進(jìn)一次得分，否則得分已知甲每次投進(jìn)的概率為，且每次投籃相互獨(dú)立；乙第一次投籃，投進(jìn)的概率為，從第二次投籃開(kāi)始，若前一次投進(jìn)，則該次投進(jìn)的概率為，若前一次沒(méi)投進(jìn)，則該次投進(jìn)的概率為.（1）求甲投籃次得分的概率；（2）若乙投籃次得分為，求的分布和期望；（3）比較甲、乙的比賽結(jié)果.解：（1）甲投籃次得分，即只投中次，概率為；（2）由題意知的所有可能取值為，，，，則，，隨機(jī)變量的分布為，0246期望；（3）設(shè)甲三次投籃的得分，則，，，，可求得隨機(jī)變量的分布為，0246所以，又可算得，因?yàn)?，，所以甲最終的得分均值等于乙最終的得分均值，但乙贏得的分值不如甲穩(wěn)定.20.已知雙曲線(xiàn)的左、右頂點(diǎn)分別為、，設(shè)點(diǎn)在第一象限且在雙曲線(xiàn)上，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求雙曲線(xiàn)兩條漸近線(xiàn)夾角的余弦值；（2）若，求的取值范圍；（3）橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且短軸的端點(diǎn)恰好是、兩點(diǎn)，直線(xiàn)與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為記、的面積分別為、求的最小值，并寫(xiě)出取最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).解：（1