2024屆上海市寶山區(qū)高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2上海市寶山區(qū)2024屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試卷一、單選題1.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，則，故A正確；，故B錯誤；，故C錯誤；，故D錯誤.故選：A.2.已知隨機變量X服從正態(tài)分布，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由隨機變量X服從正態(tài)分布，因為，可得，所以.故選：A.3.已知直線、、與平面、，下列命題正確是（）A.若，，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗D〖解析〗對于A，若，，，則與可能平行，也可能異面，故A錯誤；對于B，若，，則與可能平行，也可能相交，故B錯誤；對于C，若，，則與可能平行，也可能相交或異面，故C錯誤；對于D，若，則由線面平行的性質(zhì)定理可知，必有，使得，又，則，因為，所以，故D正確.故選：D.4.數(shù)列中，是其前項的和，若對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱數(shù)列為“某數(shù)列”現(xiàn)有如下兩個命題：①等比數(shù)列為“某數(shù)列”；②對任意的等差數(shù)列，總存在兩個“某數(shù)列”和，使得.則下列選項中正確的是（）A.①為真命題，②為真命題 B.①為真命題，②為假命題C.①為假命題，②為真命題 D.①為假命題，②為假命題〖答案〗C〖解析〗對于①，由等比數(shù)列，得，若對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則，即，顯然不成立，①為假命題；對于②，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則.令，，則，下面證是“某數(shù)列”.設(shè)的前項和為，則，于是對任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，所以是“某數(shù)列”.同理，可證也是“某數(shù)列”.所以對任意的等差數(shù)列，總存在兩個“某數(shù)列”和，使得成立，故②為真命題.故選：C二、填空題5.拋物線的焦點坐標(biāo)是__________．〖答案〗〖解析〗因為拋物線方程為，所以焦點在軸上，且焦點為.故〖答案〗為6.已知，則______.〖答案〗〖解析〗因為，所以.故〖答案〗為：.7.將（其中）化為有理數(shù)指數(shù)冪的形式為______.〖答案〗〖解析〗故〖答案〗為：8.已知向量，，若，則實數(shù)______.〖答案〗〖解析〗由，，，得，所以.故〖答案〗為：29.設(shè)實數(shù)、滿足為虛數(shù)單位，則______.〖答案〗〖解析〗由，得，即，則，解得.故〖答案〗為：10.有一組按從小到大順序排列的數(shù)據(jù)：3，5，，8，9，10，若其極差與平均數(shù)相等，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為___________.〖答案〗〖解析〗依題意可得極差為，平均數(shù)為，所以，解得，所以中位線為.故〖答案〗為：11.已知集合，且，則實數(shù)的值為______.〖答案〗〖解析〗由集合，且，得或，解得或，當(dāng)時，，符合題意，當(dāng)時，且，與集合元素的互異性矛盾，所以實數(shù)的值為0.故〖答案〗為：12.在數(shù)列中，，且，則__________.〖答案〗4〖解析〗由題意可得，所以，，……，，累加得，所以，故〖答案〗為：413.某公司為了了解某商品的月銷售量單位：萬件與月銷售單價單位：元件之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了個月的銷售量與銷售單價，并制作了如下對照表：月銷售單價元件月銷售量萬件由表中數(shù)據(jù)可得回歸方程中，試預(yù)測當(dāng)月銷售單價為元件時，月銷售量為______萬件.〖答案〗〖解析〗依題意，，，所以樣本中心點坐標(biāo)為，代入回歸方程得，，解得，所以回歸方程為，當(dāng)時，，即當(dāng)月銷售單價為元件時，月銷售量約為萬件.故〖答案〗為：14.已知雙曲線：的右頂點為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線于交、兩點，若，則的離心率為__________．〖答案〗〖解析〗如圖所示，由題意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，∵∠MAN=60°，∴|AP|=b，∴|OP|=．設(shè)雙曲線C的一條漸近線y=x的傾斜角為θ，則tanθ=．又tanθ=，∴，解得a2=3b2，∴e=．〖答案〗15.某區(qū)域的地形大致如圖，某部門負責(zé)該區(qū)域的安全警戒，在哨位的正上方安裝探照燈對警戒區(qū)域進行探查掃描.假設(shè)：警戒區(qū)域為空曠的扇環(huán)形平地；假設(shè)：視探照燈為點，且距離地面米；假設(shè)：探照燈照射在地面上的光斑是橢圓.當(dāng)探照燈以某一俯角從側(cè)掃描到側(cè)時，記為一次掃描，此過程中照射在地面上的光斑形成一個扇環(huán)由此，通過調(diào)整的俯角，逐次掃描形成扇環(huán)、、.第一次掃描時，光斑的長軸為，米，此時在探照燈處測得點的俯角為如圖記，經(jīng)測量知米，且是公差約為米的等差數(shù)列，則至少需要經(jīng)過______次掃描，才能將整個警戒區(qū)域掃描完畢.〖答案〗〖解析〗因為在中，，，所以，，故，故是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，故，而，，故.所以至少需要次才能將整個警戒區(qū)域掃描完畢.故〖答案〗為：.16.空間直角坐標(biāo)系中，從原點出發(fā)的兩個向量、滿足：，，且存在實數(shù)，使得成立，則由構(gòu)成的空間幾何體的體積是______.〖答案〗〖解析〗由已知得，所以，所以存在實數(shù)，使得不等式有解，則有，解得，又因為且，所以在方向上的數(shù)量投影是，所以圍成的空間幾何體是以原點為頂點，高為，母線長為的圓錐，故由構(gòu)成的空間幾何體的體積為.故〖答案〗為：.三、解答題17.在中，角、、的對邊分別為、、，已知.（1）求角的大小；（2）若的面積為，求的最小值，并判斷此時的形狀.解：（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，因為是三角形內(nèi)角，所以；（2）由三角形面積公式得：，解得，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為，此時為等邊三角形.18.如圖，已知點在圓柱的底面圓的圓周上，為圓的直徑.（1）求證：；（2）若，，圓柱的體積為，求異面直線與所成角的大小.（1）證明：易知，又由平面，平面，得，而平面，則平面，而平面，故.（2）解：延長交圓于點，連接、、，易知或其補角即為所求的角，由題知，解得，中，由余弦定理得，由，從而，所以異面直線與所成角的大小為.19.在課外活動中，甲、乙兩名同學(xué)進行投籃比賽，每人投次，每投進一次得分，否則得分已知甲每次投進的概率為，且每次投籃相互獨立；乙第一次投籃，投進的概率為，從第二次投籃開始，若前一次投進，則該次投進的概率為，若前一次沒投進，則該次投進的概率為.（1）求甲投籃次得分的概率；（2）若乙投籃次得分為，求的分布和期望；（3）比較甲、乙的比賽結(jié)果.解：（1）甲投籃次得分，即只投中次，概率為；（2）由題意知的所有可能取值為，，，，則，，隨機變量的分布為，0246期望；（3）設(shè)甲三次投籃的得分，則，，，，可求得隨機變量的分布為，0246所以，又可算得，因為，，所以甲最終的得分均值等于乙最終的得分均值，但乙贏得的分值不如甲穩(wěn)定.20.已知雙曲線的左、右頂點分別為、，設(shè)點在第一象限且在雙曲線上，為坐標(biāo)原點.（1）求雙曲線兩條漸近線夾角的余弦值；（2）若，求的取值范圍；（3）橢圓的長軸長為，且短軸的端點恰好是、兩點，直線與橢圓的另一個交點為記、的面積分別為、求的最小值，并寫出取最小值時點的坐標(biāo).解：（1）雙曲線的兩條漸近線方程為，則它們的方向向量，設(shè)兩條直線夾角為，則，所以雙曲線的兩條漸近線夾角的余弦值為.（2）設(shè)，，顯然、，，，則，即，又點在雙曲線上，有，即，從而，解得，而點是雙曲線在第一象限的點，則，，所以.（3）在橢圓中，，焦點在軸上，標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，，直線的斜率為，，則直線的方程為，由，得，該方程的兩根分別為和，由，得，同理，于是，記，，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，所以的最小值為，此時點的坐標(biāo)為.21.函數(shù)的表達式為.（1）若，直線與曲線相切于點，求直線的方程；（2）函數(shù)的最小正周期是，令，將函數(shù)的零點由小到大依次記為，證明：數(shù)列是嚴(yán)格減數(shù)列；（3）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，對任意，當(dāng)時，都有且.記，.當(dāng)時，是否存在，使得成立？若存在，求出符合題意的；若不存在，請說明理由.（1）解：當(dāng)時，，求導(dǎo)得，則，所以直線的方程是.（2）證明：由，得，則，令，得，①當(dāng)時，，此時函數(shù)沒有零點；②當(dāng)時，由，知在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，在嚴(yán)格單調(diào)遞減，又在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，在嚴(yán)格單調(diào)遞減，因此時，在時有最小值，在時有最大值，因為，所以在上沒有交點，即在上沒有零點；于是函數(shù)的零點滿足，因為在嚴(yán)格減，所以，又因為，所以數(shù)列是嚴(yán)格減數(shù)列.（3）解：因為，所以是以為周期的周期函數(shù)，因為任意，當(dāng)時，都有且，所以當(dāng)時，在上有唯一的最大值，由，得，，，假設(shè)存在，使得成立，即成立，故當(dāng)時，取得最大值；當(dāng)時，取得最大值，由，可知①時，，又因為是奇函數(shù)，所以當(dāng)時，在上有唯一的最小值，故當(dāng)時，取得最小值；當(dāng)時，取得最小值，由，可知②時，，若成立，則由①②得：，即，因為，，，，此時等式左邊為奇數(shù)，等式右邊為偶數(shù)，所以等式不成立，因此當(dāng)時，不存在，使得成立.上海市寶山區(qū)2024屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試卷一、單選題1.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，則，故A正確；，故B錯誤；，故C錯誤；，故D錯誤.故選：A.2.已知隨機變量X服從正態(tài)分布，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由隨機變量X服從正態(tài)分布，因為，可得，所以.故選：A.3.已知直線、、與平面、，下列命題正確是（）A.若，，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗D〖解析〗對于A，若，，，則與可能平行，也可能異面，故A錯誤；對于B，若，，則與可能平行，也可能相交，故B錯誤；對于C，若，，則與可能平行，也可能相交或異面，故C錯誤；對于D，若，則由線面平行的性質(zhì)定理可知，必有，使得，又，則，因為，所以，故D正確.故選：D.4.數(shù)列中，是其前項的和，若對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱數(shù)列為“某數(shù)列”現(xiàn)有如下兩個命題：①等比數(shù)列為“某數(shù)列”；②對任意的等差數(shù)列，總存在兩個“某數(shù)列”和，使得.則下列選項中正確的是（）A.①為真命題，②為真命題 B.①為真命題，②為假命題C.①為假命題，②為真命題 D.①為假命題，②為假命題〖答案〗C〖解析〗對于①，由等比數(shù)列，得，若對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則，即，顯然不成立，①為假命題；對于②，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則.令，，則，下面證是“某數(shù)列”.設(shè)的前項和為，則，于是對任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，所以是“某數(shù)列”.同理，可證也是“某數(shù)列”.所以對任意的等差數(shù)列，總存在兩個“某數(shù)列”和，使得成立，故②為真命題.故選：C二、填空題5.拋物線的焦點坐標(biāo)是__________．〖答案〗〖解析〗因為拋物線方程為，所以焦點在軸上，且焦點為.故〖答案〗為6.已知，則______.〖答案〗〖解析〗因為，所以.故〖答案〗為：.7.將（其中）化為有理數(shù)指數(shù)冪的形式為______.〖答案〗〖解析〗故〖答案〗為：8.已知向量，，若，則實數(shù)______.〖答案〗〖解析〗由，，，得，所以.故〖答案〗為：29.設(shè)實數(shù)、滿足為虛數(shù)單位，則______.〖答案〗〖解析〗由，得，即，則，解得.故〖答案〗為：10.有一組按從小到大順序排列的數(shù)據(jù)：3，5，，8，9，10，若其極差與平均數(shù)相等，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為___________.〖答案〗〖解析〗依題意可得極差為，平均數(shù)為，所以，解得，所以中位線為.故〖答案〗為：11.已知集合，且，則實數(shù)的值為______.〖答案〗〖解析〗由集合，且，得或，解得或，當(dāng)時，，符合題意，當(dāng)時，且，與集合元素的互異性矛盾，所以實數(shù)的值為0.故〖答案〗為：12.在數(shù)列中，，且，則__________.〖答案〗4〖解析〗由題意可得，所以，，……，，累加得，所以，故〖答案〗為：413.某公司為了了解某商品的月銷售量單位：萬件與月銷售單價單位：元件之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了個月的銷售量與銷售單價，并制作了如下對照表：月銷售單價元件月銷售量萬件由表中數(shù)據(jù)可得回歸方程中，試預(yù)測當(dāng)月銷售單價為元件時，月銷售量為______萬件.〖答案〗〖解析〗依題意，，，所以樣本中心點坐標(biāo)為，代入回歸方程得，，解得，所以回歸方程為，當(dāng)時，，即當(dāng)月銷售單價為元件時，月銷售量約為萬件.故〖答案〗為：14.已知雙曲線：的右頂點為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線于交、兩點，若，則的離心率為__________．〖答案〗〖解析〗如圖所示，由題意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，∵∠MAN=60°，∴|AP|=b，∴|OP|=．設(shè)雙曲線C的一條漸近線y=x的傾斜角為θ，則tanθ=．又tanθ=，∴，解得a2=3b2，∴e=．〖答案〗15.某區(qū)域的地形大致如圖，某部門負責(zé)該區(qū)域的安全警戒，在哨位的正上方安裝探照燈對警戒區(qū)域進行探查掃描.假設(shè)：警戒區(qū)域為空曠的扇環(huán)形平地；假設(shè)：視探照燈為點，且距離地面米；假設(shè)：探照燈照射在地面上的光斑是橢圓.當(dāng)探照燈以某一俯角從側(cè)掃描到側(cè)時，記為一次掃描，此過程中照射在地面上的光斑形成一個扇環(huán)由此，通過調(diào)整的俯角，逐次掃描形成扇環(huán)、、.第一次掃描時，光斑的長軸為，米，此時在探照燈處測得點的俯角為如圖記，經(jīng)測量知米，且是公差約為米的等差數(shù)列，則至少需要經(jīng)過______次掃描，才能將整個警戒區(qū)域掃描完畢.〖答案〗〖解析〗因為在中，，，所以，，故，故是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，故，而，，故.所以至少需要次才能將整個警戒區(qū)域掃描完畢.故〖答案〗為：.16.空間直角坐標(biāo)系中，從原點出發(fā)的兩個向量、滿足：，，且存在實數(shù)，使得成立，則由構(gòu)成的空間幾何體的體積是______.〖答案〗〖解析〗由已知得，所以，所以存在實數(shù)，使得不等式有解，則有，解得，又因為且，所以在方向上的數(shù)量投影是，所以圍成的空間幾何體是以原點為頂點，高為，母線長為的圓錐，故由構(gòu)成的空間幾何體的體積為.故〖答案〗為：.三、解答題17.在中，角、、的對邊分別為、、，已知.（1）求角的大小；（2）若的面積為，求的最小值，并判斷此時的形狀.解：（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，因為是三角形內(nèi)角，所以；（2）由三角形面積公式得：，解得，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為，此時為等邊三角形.18.如圖，已知點在圓柱的底面圓的圓周上，為圓的直徑.（1）求證：；（2）若，，圓柱的體積為，求異面直線與所成角的大小.（1）證明：易知，又由平面，平面，得，而平面，則平面，而平面，故.（2）解：延長交圓于點，連接、、，易知或其補角即為所求的角，由題知，解得，中，由余弦定理得，由，從而，所以異面直線與所成角的大小為.19.在課外活動中，甲、乙兩名同學(xué)進行投籃比賽，每人投次，每投進一次得分，否則得分已知甲每次投進的概率為，且每次投籃相互獨立；乙第一次投籃，投進的概率為，從第二次投籃開始，若前一次投進，則該次投進的概率為，若前一次沒投進，則該次投進的概率為.（1）求甲投籃次得分的概率；（2）若乙投籃次得分為，求的分布和期望；（3）比較甲、乙的比賽結(jié)果.解：（1）甲投籃次得分，即只投中次，概率為；（2）由題意知的所有可能取值為，，，，則，，隨機變量的分布為，0246期望；（3）設(shè)甲三次投籃的得分，則，，，，可求得隨機變量的分布為，0246所以，又可算得，因為，，所以甲最終的得分均值等于乙最終的得分均值，但乙贏得的分值不如甲穩(wěn)定.20.已知雙曲線的左、右頂點分別為、，設(shè)點在第一象限且在雙曲線上，為坐標(biāo)原點.（1）求雙曲線兩條漸近線夾角的余弦值；（2）若，求的取值范圍；（3）橢圓的長軸長為，且短軸的端點恰好是、兩點，直線與橢圓的另一個交點為記、的面積分別為、求的最小值，并寫出取最小值時點的坐標(biāo).解：（1