人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)全冊(cè)教案

第十六章分式

16.1分式

16.1.1從分?jǐn)?shù)到分式

一、教學(xué)目的

1.了解分式、有理式的概念.

2.理解分式有意義的條件，分式的值為零的條件；能熟練地求出分式有意義的條件，分

式的值為零的條件.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：理解分式有意義的條件，分式的值為零的條件.

2.難點(diǎn)：能熟練地求出分式有意義的條件，分式的值為零的條件.

三、課堂引入

1.讓學(xué)生填寫P4［思考］,學(xué)生自己依次填出：12,￡,200,V.

7a33s

2.學(xué)生看P3的問題：一艘輪船在靜水中的最大航速為20千米/時(shí)，它沿江以最大航速

順流航行100千米所用實(shí)踐，與以最大航速逆流航行60千米所用時(shí)間相等，江水的流速為多

少？

請(qǐng)同學(xué)們跟著教師一起設(shè)未知數(shù)，列方程.

設(shè)江水的流速為X千米/時(shí).

輪船順流航行100千米所用的時(shí)間為100小時(shí),逆流航行60千米所用時(shí)間60小時(shí),所

20+v20-v

以100=60.

20+v20-v

3.以上的式子反，q,￡,人有什么共同點(diǎn)？它們與分?jǐn)?shù)有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

20+v20-vas

五、例題講解

P5例1.當(dāng)x為何值時(shí)，分式有意義.

［分析］已知分式有意義，就可以知道分式的分母不為零，進(jìn)一步解

出字母x的取值范圍.

［提問］如果題目為：當(dāng)x為何值時(shí)，分式無意義.你知道怎么解題嗎？這樣可以使學(xué)生

一題二用，也可以讓學(xué)生更全面地感受到分式及有關(guān)概念.

(補(bǔ)充)例2.當(dāng)m為何值時(shí)，分式的值為0?

"Im-2->

(D^T(2)用(3)J

m4-1

［分析］分式的值為0時(shí)，必須同時(shí)■滿足兩個(gè)條件：①分母不能為零；②分子為零，這樣

求出的m的解集中的公共部分，就是這類題目的解.

［答案］(1)m=0(2)m=2(3)m=l

六、隨堂練習(xí)

1.判斷下列各式哪些是整式，哪些是分式？

9x+4,1,2+2(mz4>8y-3,_J_

x205y2x-9

2.當(dāng)x取何值時(shí)，下列分式有意義？

3t+52X-5

(1)771(2)五(3)7^4

3.當(dāng)x為何值時(shí)，分式的值為0?

⑴山(2U^(3)44

5x21-3x

七、課后練習(xí)

1.列代數(shù)式表示下列數(shù)量關(guān)系，并指出哪些是正是？哪些是分式?

(1)甲每小時(shí)做X個(gè)零件，則他8小時(shí)做零件個(gè)，做80個(gè)零件需小吐

(2)輪船在靜水中每小時(shí)走a千米,水流的速度是b千米/時(shí)，輪船的順流速度是T-

米/時(shí)，輪船的逆流速度是千米/時(shí).

(3)x與y的差于4的商是：.

2.當(dāng)x取何值時(shí)，分式裝工無意義？

3.當(dāng)x為何值時(shí)，分式明的值為0?

尸-X

八、答案：

六、1.整式：9x+4,212,竺a分式：Z,如口，__L

205xy2x-9

3

2.(1)xW-2(2)水W(3)xN±2

3.(1)x=-7(2)x=0(3)x=-l

七、1.18x,—,a+b,--s-，-x---y-，.整式:8x,a+b,x-y

Xa+b44

分式：空，上

xa+b

2.X=23.X=-1

3

課后反思:

16.1.2分式的基本性質(zhì)

一、教學(xué)目的

1.理解分式的基本性質(zhì).

2.會(huì)用分式的基本性質(zhì)將分式變形.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：理解分式的基本性質(zhì).

2.難點(diǎn)：靈活應(yīng)用分式的基本性質(zhì)將分式變形.

三、例、習(xí)題的意圖分析

1.P7的例2是使學(xué)生觀察等式左右的已知的分母（或分子），乘以或除以了什么整式,

然后應(yīng)用分式的基本性質(zhì)，相應(yīng)地把分子（或分母）乘以或除以了這個(gè)整式，填到括號(hào)里作

為答案，使分式的值不變.

2.P9的例3、例4地目的是進(jìn)?步運(yùn)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分、通分.值得注意的是:

約分是要找準(zhǔn)分子和分母的公因式，最后的結(jié)果要是最簡分式；通分是要正確地確定各個(gè)分

母的最簡公分母，一般的取系數(shù)的最小公倍數(shù)，以及所有因式的最高次幕的積，作為最簡公

分母.

教師要講清方法，還要及時(shí)地糾正學(xué)生做題時(shí)出現(xiàn)的錯(cuò)誤，使學(xué)生在做提示加深對(duì)相應(yīng)

概念及方法的理解.

3.P11習(xí)題16.1的第5題是：不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含

號(hào).這一類題教材里沒有例題，但它也是由分式的基本性質(zhì)得出分子、分母和分式本身的符號(hào),

改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變.

“不改變分式的值，使分式的分子和分母都不含號(hào)”是分式的基本性質(zhì)的應(yīng)用之一，所

以補(bǔ)充例5.

四、課堂引入

1.請(qǐng)同學(xué)們考慮：1與非相等嗎吟與（相等嗎？為什么？

2.說出:與蔣之間變形的過程，焉與|之間變形的過程，并說出變形依據(jù)？

3.提問分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，讓學(xué)生類比猜想出分式的基本性質(zhì).

五、例題講解

P7例2.填空：

［分析］應(yīng)用分式的基本性質(zhì)把已知的分子、分母同乘以或除以同一個(gè)整式，使分式的值

不變.

P11例3.約分：

［分析］約分是應(yīng)用分式的基本性質(zhì)把分式的分子、分母同除以同一個(gè)整式，使分式的值

不變.所以要找準(zhǔn)分子和分母的公因式，約分的結(jié)果要是最簡分式.

P11例4.通分:

［分析］通分要想確定各分式的公分母，一般的取系數(shù)的最小公倍數(shù)，以及所有因式的最

高次累的積，作為最簡公分母.

（補(bǔ)充）例5.不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含號(hào).

-6b,=，_,-7m,-3x°

-5a3y-n6〃-4y

［分析］每個(gè)分式的分子、分母和分式本身都有自己的符號(hào)，其中兩個(gè)符號(hào)同時(shí)改變，分

式的值不變.

解：36b-XX2m_2m

9-------—，

-5a5a3y3y-nn

-Im7m-3x3x

---------=——,=——o

6〃-6n-4y4y

六、隨堂練習(xí)

1.填空：

(1)口(2)"i碧

x2+3xx+38b3()

(3)"1=()(4)-ij-y

a+can+cn(x+y)2()

2.約分：

(1)吟(2)吟(3)(4)讓過

6abc2mn16xyzy~x

3.通分：

(1)3和22(2)和2

2ab35a2h2c2xy3r

(3)3T和4(4)—L和—L

lab18機(jī)Jy-1y+l

4.不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”號(hào).

-x3y一〃3

⑴⑵⑶-5a(4)一(”4

3ab2-lib2-13x2m

七、課后練習(xí)

1.判斷下列約分是否正確:

a+ca1

(1)⑵c

b+cbx2-y2x+y

(3)^^=0

m+n

2.通分:

12X—1x-1

(1)和(2)和

3ab)7a2bx2—xX2+X

3.不改變分式的值，使分子第一項(xiàng)系數(shù)為正，分式本身不帶“-”號(hào).

⑴⑵一第

一a+b

八、答案:

六、1.⑴2x(2)4b(3)bn+n(4)x+y

2.(1)—⑵駟(3)--二(4)-2(x-y)2

2hcn

3.通分：

(1)—1-^=5ac24b

2ab3\Oa2b3c15a2b2c10a263c

3axb2by

(2)—=

293F-2

2孫6xy6xy

3

(3)-3^c-=12caab

2ab28ab2c2Sbc28a82c2

y+i1y-l

(4)—=-

y-1?(y-D(y+i)y+i(y-D(y+i)

4.⑴A■⑵-工⑶二L(4)僅一：)2

3ab2lib2i3x2'/m

課后反思:

16.2分式的運(yùn)算

16.2.1分式的乘除（一）

一、教學(xué)目的：理解分式乘除法的法則，會(huì)進(jìn)行分式乘除運(yùn)算.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：會(huì)用分式乘除的法則進(jìn)行運(yùn)算.

2.難點(diǎn)：靈活運(yùn)用分式乘除的法則進(jìn)行運(yùn)算.

三、例、習(xí)題的意圖分析

1.P13本節(jié)的引入還是用問題1求容積的高，問題2求大拖拉機(jī)的工作效率是小拖拉機(jī)

的工作效率的多少倍，這兩個(gè)引例所得到的容積的高是上?竺，大拖拉機(jī)的工作效率是小拖

abn

拉機(jī)的工作效率的j巴+21倍.引出了分式的乘除法的實(shí)際存在的意義，進(jìn)一步引出P14［觀察］

n）

從分?jǐn)?shù)的乘除法引導(dǎo)學(xué)生類比出分式的乘除法的法則.但分析題意、列式子時(shí)，不易耽誤太多

時(shí)間.

2.P14例1應(yīng)用分式的乘除法法則進(jìn)行計(jì)算，注意計(jì)算的結(jié)果如能約分，應(yīng)化簡到最簡.

3.P14例2是較復(fù)雜的分式乘除，分式的分子、分母是多項(xiàng)式，應(yīng)先把多項(xiàng)式分解因式，

再進(jìn)行約分.

4.P14例3是應(yīng)用題，題意也比較容易理解，式子也比較容易列出來，但要注意根據(jù)問

題的實(shí)際意義可知a>l,因此(aT)2=a2-2a+l〈a2-2+l,即(aTW/T.這一點(diǎn)要給學(xué)生講清楚，

才能分析清楚“豐收2號(hào)”單位面積產(chǎn)量高.(或用求差法比較兩代數(shù)式的大小)

四、課堂引入

1.出示P13本節(jié)的引入的問題1求容積的高2?二，問題2求大拖拉機(jī)的工作效率是小

abn

拖拉機(jī)的工作效率的倍.

n)

［引入］從上面的問題可知，有時(shí)需要分式運(yùn)算的乘除.本節(jié)我們就討論數(shù)量關(guān)系需要進(jìn)行

分式的乘除運(yùn)算.我們先從分?jǐn)?shù)的乘除入手，類比出分式的乘除法法則.

1.P14［觀察］從上面的算式可以看到分式的乘除法法則.

3.［提問］P14［思考］類比分?jǐn)?shù)的乘除法法則，你能說出分式的乘除法法則？

類似分?jǐn)?shù)的乘除法法則得到分式的乘除法法則的結(jié)論.

五、例題講解

P14例1.

［分析］這道例題就是直接應(yīng)用分式的乘除法法則進(jìn)行運(yùn)算.應(yīng)該注意的是運(yùn)算結(jié)果應(yīng)約

分到最簡，還應(yīng)注意在計(jì)算時(shí)跟整式運(yùn)算一樣，先判斷運(yùn)算符號(hào)，在計(jì)算結(jié)果.

P15例2.

［分析］這道例題的分式的分子、分母是多項(xiàng)式，應(yīng)先把多項(xiàng)式分解因式，再進(jìn)行約分.

結(jié)果的分母如果不是單一的多項(xiàng)式，而是多個(gè)多項(xiàng)式相乘是不必把它們展開.

P15例.

［分析］這道應(yīng)用題有兩問，第一問是：哪一種小麥的單位面積產(chǎn)量最高？先分別求出“豐

收1號(hào)”、“豐收2號(hào)”小麥試驗(yàn)田的面積，再分別求出“豐收1號(hào)”、“豐收2號(hào)”小麥

試驗(yàn)田的單位面積產(chǎn)量，分別是萼、還要判斷出以上兩個(gè)分式的值，哪一個(gè)值更

-1(a-1)2

大.要根據(jù)問題的實(shí)際意義可知a>l,因此(aT)2=a2-2a+l〈a2-2+l,即(a-l)2〈a2-l,可得出“豐

收2號(hào)”單位面積產(chǎn)量高.

六、隨堂練習(xí)

計(jì)算

(1)Ja2b2(2)(3)

abc2m5n37xIx)

(4)-8xy+互(5)"J(6)。-6丫+9

y)

5xa2-2a+\a2+4Q+4y+2(

七、課后練習(xí)

計(jì)算

⑴⑵"察⑶等式"

(4)a?”abXX(6)42,-y2)-r

(5)----~-----i-(4A-x)\

3ab2a-2bx-1x35(＞，T)3

八、答案：

六、(1)ab(2)一次(3).上(4)-20x2(5)(a+1)(。-2)

5n14(a-l)(a+2)

(6)

y+2

七、(1)_1(2)_2L(3)(4)且

X2c210ax3b

(5)X(6)6x(、+y)

\-x5(x-y)2

課后反思:

16.2.1分式的乘除（二）

一、教學(xué)目的：熟練地進(jìn)行分式乘除法的混合運(yùn)算.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式乘除法的混合運(yùn)算.

2.難點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式乘除法的混合運(yùn)算.

三、例、習(xí)題的意圖分析

1.P17頁例4是分式乘除法的混合運(yùn)算.分式乘除法的混合運(yùn)算先把除法統(tǒng)一成乘法

運(yùn)算，再把分子、分母中能因式分解的多項(xiàng)式分解因式，最后進(jìn)行約分，注意最后的結(jié)果要

是最簡分式或整式.

教材.P17例4只把運(yùn)算統(tǒng)一一乘法，而沒有把25/-9分解因式,就得出了最后的結(jié)果，教

師在見解是不要跳步太快，以免學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生理解不了，造成新的疑點(diǎn).

2,P17頁例4中沒有涉及到符號(hào)問題，可運(yùn)算符號(hào)問題、變號(hào)法則是學(xué)生學(xué)習(xí)中重點(diǎn)，

也是難點(diǎn)，故補(bǔ)充例題，突破符號(hào)問題.

四、課堂引入

計(jì)算

（1）2+2（一馬（2）3x_3x1

xyx4yy2x

五、例題講解

（P17）例4.計(jì)算

［分析］是分式乘除法的混合運(yùn)算.分式乘除法的混合運(yùn)算先統(tǒng)一成為乘法運(yùn)算，再把分

子、分母中能因式分解的多項(xiàng)式分解因式，最后進(jìn)行約分，注意最后的計(jì)算結(jié)果要是最簡的.

（補(bǔ)充）例.計(jì)算

/八3ab28xy、3x

(1)—^―?(z----y-)---------

2x3y9a2b(-4/?)

_3ab2Sxy-4。

--------?-------1-------（先把除法統(tǒng)一成乘法運(yùn)算）

2x3y9a2，3x

_3ab28xy4b

（判斷運(yùn)算的符號(hào)）

2x3y9a2b3x

_16b2

（約分到最簡分式）

9ax

⑵高小+3）.總爐

2x—61(x+3)(x—2)

（先把除法統(tǒng)一成乘法運(yùn)算）

4-4x+4x2x+33-x

_2(x-3)1(x+3)(x-2)

（分子、分母中的多項(xiàng)式分解因式）

(2-x)~x+33—x

_2(x-3)1(x+3)(x-2)

(x-2尸x+3—(x—3)

2

x-2

六、隨堂練習(xí)

計(jì)算

23

/八3bbe.2a5c20c

⑴——+—7(-----(2)士(-6帥6,2)+

16。2a2b2a2b&30。3少。

（3）返工…、工（4）（盯_x2）「2-2x），+）。二

（y-x）y-xxyX

七、課后練習(xí)

計(jì)算

⑴一可々十(一3(2)'-6〃+93-a〃?

-4y$6z4-b2-'2+b3a-9

⑶)'2_4y+4_1_+12-6)，⑷學(xué)工(X+y)+4

2y-6y+39-y2x-xyy-xy

八、答案：

六?⑴-丁⑵-3⑶亨1(4)-y

七?⑴等⑵為⑶骨⑷T

課后反思:

16.2.1分式的乘除（三）

一、教學(xué)目的：理解分式乘方的運(yùn)算法則，熟練地進(jìn)行分式乘方的運(yùn)算.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式乘方的運(yùn)算.

2.難點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式乘、除、乘方的混合運(yùn)算.

三、例、習(xí)題的意圖分析

1.P17例5第（1）題是分式的乘方運(yùn)算，它與整式的乘方一樣應(yīng)先判

斷乘方的結(jié)果的符號(hào)，在分別把分子、分母乘方.第（2）題是分式的乘除與乘方的混合運(yùn)算,

應(yīng)對(duì)學(xué)生強(qiáng)調(diào)運(yùn)算順序：先做乘方，再做乘除..

2.教材P17例5中象第（1）題這樣的分式的乘方運(yùn)算只有一題，對(duì)于初學(xué)者來說，練習(xí)

的量顯然少了些，故教師應(yīng)作適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充練習(xí).同樣象第（2）題這樣的分式的乘除與乘方的

混合運(yùn)算，也應(yīng)相應(yīng)的增加兒題為好.

分式的乘除與乘方的混合運(yùn)算是學(xué)生學(xué)習(xí)中重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，故補(bǔ)充例題，強(qiáng)調(diào)運(yùn)算順

序，不要盲目地跳步計(jì)算，提高正確率，突破這個(gè)難點(diǎn).

四、課堂引入

計(jì)算下列各題：

⑴（q）2=q.q=（）⑵（23=幺幺q=（）

bbbbbbh

（3）（_）4=_.（）

bbhhh

［提問］由以上計(jì)算的結(jié)果你能推出g）"（n為正整數(shù)）的結(jié)果嗎？

五、例題講解

（P17）例5.計(jì)算

［分析］第（1）題是分式的乘方運(yùn)算，它與整式的乘方一樣應(yīng)先判斷乘方的結(jié)果的符號(hào)，再

分別把分子、分母乘方.第（2）題是分式的乘除與乘方的混合運(yùn)算，應(yīng)對(duì)學(xué)生強(qiáng)調(diào)運(yùn)算順

序：先做乘方，再做乘除.

六、隨堂練習(xí)

1.判斷下列各式是否成立，并改正.

(1)匹)2=^⑵亮)T

2a2a2

(3)(包)3=駕工產(chǎn)以2,

(4)

-3x91x-bx2-b2

2.計(jì)算

5r23a2ba3,

⑴(A(2)⑶(、＞+(-3

3y3xy

⑷(』，一(~2

—)25)(-鏟.(十)+(%)

-Z

⑹（一2）2?（-把）3+（-至）2

2x2ylay

七、課后練習(xí)

計(jì)算

（-—）2

（4）（上產(chǎn)(六)3.d_62)

abb-a

八、答案:

A3~3b_9b2

六、1.（l）不成立，（±）2=」（2）不成立，（2

2a4a22」4a2

（3）不成立，（立）3=-8y33x.9x2

（4）不成立，（----)2=----------

—3x27/x—bx2—2bx4-/?"

25/8a中

2.(1)⑵壽(3)-⑷-4

9y29y2z

⑸！32

2

七、⑴-￥不Ca+b

⑵(3)(4)

ab2n+2滔~~b~

課后反思:

16.2.2分式的加減（一）

一、教學(xué)目的：（1）熟練地進(jìn)行同分母的分式加減法的運(yùn)算.

（2）會(huì)把異分母的分式通分，轉(zhuǎn)化成同分母的分式相加減.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：熟練地進(jìn)行異分母的分式加減法的運(yùn)算.

2.難點(diǎn)：熟練地進(jìn)行異分母的分式加減法的運(yùn)算.

三、例、習(xí)題的意圖分析

1.P18問題3是一個(gè)工程問題，題意比較簡單，只是用字母n天來表示甲工程隊(duì)完成

一項(xiàng)工程的時(shí)間，乙工程隊(duì)完成這一項(xiàng)工程的時(shí)間可表示為n+3天，兩隊(duì)共同工作一天完成

這項(xiàng)工程的工+—匚.這樣引出分式的加減法的實(shí)際背景，問題4的目的與問題3一樣，從上

n〃+3

面兩個(gè)問題可知，在討論實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系時(shí)，需要進(jìn)行分式的加減法運(yùn)算.

2.P19［觀察］是為了讓學(xué)生回憶分?jǐn)?shù)的加減法法則，類比分?jǐn)?shù)的加減法，分式的加減法

的實(shí)質(zhì)與分?jǐn)?shù)的加減法相同，讓學(xué)生自己說出分式的加減法法則.

3.P20例6計(jì)算應(yīng)用分式的加減法法則.第（1）題是同分母的分式減法的運(yùn)算，第二個(gè)

分式的分子式個(gè)單項(xiàng)式，不涉及到分子變號(hào)的問題，比較簡單，所以要補(bǔ)充分子是多項(xiàng)式的

例題，教師要強(qiáng)調(diào)分子相減時(shí)第二個(gè)多項(xiàng)式注意變號(hào)；

第（2）題是異分母的分式加法的運(yùn)算，最簡公分母就是兩個(gè)分母的乘積，沒有涉及分母

要因式分解的題型.例6的練習(xí)的題量明顯不足，題型也過于簡單，教師應(yīng)適當(dāng)補(bǔ)充一些題，

以供學(xué)生練習(xí)，鞏固分式的加減法法則.

（4）P21例7是一道物理的電路題，學(xué)生首先要有并聯(lián)電路總電阻R與各支路電阻R”

k…，乩的關(guān)系為，=_!_+_!_+…+_L.若知道這個(gè)公式，就比較容易地用含有K的式子表示

RK&R*

R?,列出l=_L+_^,下面的計(jì)算就是異分母的分式加法的運(yùn)算了，得到L2a+50,再

R&/?,+50R/?,（/?,+50）

利用倒數(shù)的概念得到R的結(jié)果.這道題的數(shù)學(xué)計(jì)算并不難，但是物理的知識(shí)若不熟悉，就為數(shù)

學(xué)計(jì)算設(shè)置了難點(diǎn).鑒于以上分析，教師在講這道題時(shí)要根據(jù)學(xué)生的物理知識(shí)掌握的情況，以

及學(xué)生的具體掌握異分母的分式加法的運(yùn)算的情況，可以考慮是否放在例8之后講.

四、課堂堂引入

1.出示P18問題3、問題4,教師引導(dǎo)學(xué)生列出答案.

引語：從上面兩個(gè)問題可知，在討論實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系時(shí)，需要進(jìn)行分式的加減法運(yùn)

2.下面我們先觀察分?jǐn)?shù)的加減法運(yùn)算，請(qǐng)你說出分?jǐn)?shù)的加減法運(yùn)算的法則嗎？

3.分式的加減法的實(shí)質(zhì)與分?jǐn)?shù)的加減法相同，你能說出分式的加減法法則？

4.請(qǐng)同學(xué)們說出下的最簡公分母是什么？你能說出最簡公分母的確定

3/）,29盯2

方法嗎？

五、例題講解

（P20）例6.計(jì)算

［分析］第（1）題是同分母的分式減法的運(yùn)算，分母不變，只把分子相減，第二個(gè)分式

的分子式個(gè)單項(xiàng)式，不涉及到分子是多項(xiàng)式時(shí)，第二個(gè)多項(xiàng)式要變號(hào)的問題，比較簡單；第

（2）題是異分母的分式加法的運(yùn)算，最簡公分母就是兩個(gè)分母的乘積.

（補(bǔ)充）例.計(jì)算

x+3yx+2y2x—3y

(1)

［分析］第（1）題是同分母的分式加減法的運(yùn)算，強(qiáng)調(diào)分子為多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)把多項(xiàng)事看

作一個(gè)整體加上括號(hào)參加運(yùn)算，結(jié)果也要約分化成最簡分式.

x+3yx+2y2x-3y

解:-----------------------------------1----------------

x2-y2x2-y2x2一》2

(x+3y)(x+2y)+(2x3y)

_2x-2y

,2(x-y)

(x-y)(x+y)

2

x+y

11-x6

⑵------------1----------------------Z--------

x—36+2xx—9

［分析］第（2）題是異分母的分式加減法的運(yùn)算，先把分母進(jìn)行因式分解，再確定最簡

公分母，進(jìn)行通分，結(jié)果要化為最簡分式.

11-x6

解:

-x----3-----—6+---2--x-------x-*25-----9--

---1----1----1-----x--------------6--------

x-32(x+3)(x+3)(%-3)

_2(x+3)+(l—x)(x—3)—12

2(x+3)(x-3)

_-(x2-6x+9)

―2(x+3)(無一3)

__(x-3)2

2(x+3)(x-3)

x—3

2x4-6

六、隨堂練習(xí)

計(jì)算

/1、3。+2ba+bb-am+2〃n2m

()_J_

\1i/今1c'乙，

5a2b5a2b5612bn-mm-nn-m

、3a-6b5a-6b4a-5b7a-8b

1/ca)14-6(4)

a+3ci—9a+ba-ba+ba-b

七、課后練習(xí)

計(jì)算

⑴5a+6b^3b-4aa+3b⑵3b-aa+2b3a-4b

3a2be3ba2c3cba2a-oa-oo-a

22

ba113x

(3)-^—+-^—+a+b+\(4)

a-hh-a6x-4y6x-4y4y2-6x2

八、答案:

⑵3加+3〃⑶—!―

(4)1

四?⑴嶗Fn-ma-3

2

五.⑴4⑵(4)---

a2b3x—2))

課后反思:

16.2.2分式的加減(-)

一、教學(xué)目的：明確分式混合運(yùn)算的順序，熟練地進(jìn)行分式的混合運(yùn)算.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式的混合運(yùn)算.

2.難點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式的混合運(yùn)算.

三、例、習(xí)題的意圖分析

1.P21例8是分式的混合運(yùn)算.分式的混合運(yùn)算需要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的

混合運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，然后加減，最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意最后的結(jié)

果要是最簡分式或整式.

例8只有一道題，訓(xùn)練的力度不夠，所以應(yīng)補(bǔ)充一些練習(xí)題，使學(xué)生熟練掌握分式的混

合運(yùn)算.

2.P22頁練習(xí)1：寫出第18頁問題3和問題4的計(jì)算結(jié)果.這道題與第一節(jié)課相呼應(yīng)，

也解決了本節(jié)引言中所列分式的計(jì)算，完整地解決了應(yīng)用問題.

四、課堂引入

1.說出分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的順序.

2.教師指出分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算與分式的混合運(yùn)算的順序相同.

五、例題講解

(P21)例8.計(jì)算

［分析］這道題是分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序：先

乘方，再乘除，然后加減，最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要是最簡分式.

(補(bǔ)充)計(jì)算

/r、x+2x—14—x

(1)(―--------------)+----

x-2xx-4x+4x

［分析］這道題先做括號(hào)里的減法，再把除法轉(zhuǎn)化成乘法，把分母的號(hào)提到分式本

身的前邊..

x~-2xx~-4x+4x

x+2x-\x

x(x-2)(%—2/—(x—4)

_(x+2)(x-2)x(x-l)X

X(X-2)2X(X-2)2一(x—4)

x?—4—%2+xx

x(x-2)2一(x-4)

］

x2-4x+4

242

xyxyx

(2)'44-~?7

x-yx+yx-yx+y

［分析］這道題先做乘除，再做減法，把分子的“一”號(hào)提到分式本身的前邊.

xy2x4y.x2

x-y%+yx4-y4,x*>+y2

2422

_Xy___________￡2_______X+y

x-yx+y(x2+y2)(x2-y2)x2

22

_盯，y

(x—y)(x+y)x2-y2

孫-x)

(x-y)(x+y)

_盯

x+y

六、隨堂練習(xí)

計(jì)算

(1)(-+—)-—

x-22-x2x⑵點(diǎn)-占W)

,312、，21

(3)a-2+a2-4"a-2

Q+2

七、課后練習(xí)

1.計(jì)算

⑴(1+上)(1__

x-yx+y

。+2a-1ci-24-a

⑵)?

a"—2aQ2—4。+4aa2

il孫

⑶++

尤yzxy+yz+zx

2.計(jì)算(」------并求出當(dāng)。=T的值.

a+2a-2a

八、答案：

六、(1)2x(2).(3)3

a-h

1.2

七、1.⑴$方(2)—(3)9

x2-y2a-2z'/一4'3

課后反思：

16.2.3整數(shù)指數(shù)嘉

一、教學(xué)目的：

1.知道負(fù)整數(shù)指數(shù)累(a70,n是正整數(shù)).

an

2.掌握整數(shù)指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì).

3.會(huì)用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示小于1的數(shù).

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：掌握整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì).

2.難點(diǎn)：會(huì)用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示小于1的數(shù).

三、例、習(xí)題的意圖分析

1.P23思考提出問題，引出本節(jié)課的主要內(nèi)容負(fù)整數(shù)指數(shù)毒的運(yùn)算性質(zhì).

2.P24觀察是為了引出同底數(shù)的基的乘法：am-a"=a'n+n,這條性質(zhì)適用于m,n是任

意整數(shù)的結(jié)論，說明正整數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)具有延續(xù)性.其它的正整數(shù)指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)，

在整數(shù)范圍里也都適用.

3.P24例9計(jì)算是應(yīng)用推廣后的整數(shù)指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)，教師不要因?yàn)檫@部分知識(shí)已

經(jīng)講過，就認(rèn)為學(xué)生已經(jīng)掌握，要注意學(xué)生計(jì)算時(shí)的問題，及時(shí)矯正，以達(dá)到學(xué)生掌握整數(shù)

指數(shù)幕的運(yùn)算的教學(xué)目的.

4.P25例10判斷下列等式是否正確？是為了類比負(fù)數(shù)的引入后使減法轉(zhuǎn)化為加法，而

得到負(fù)指數(shù)基的引入可以使除法轉(zhuǎn)化為乘法這個(gè)結(jié)論，從而使分式的運(yùn)算與整式的運(yùn)算統(tǒng)一

起來.

5.P25最后一段是介紹會(huì)用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示小于1的數(shù).用科學(xué)計(jì)算法表示小于1的數(shù),

運(yùn)用了負(fù)整數(shù)指數(shù)累的知識(shí).用科學(xué)計(jì)數(shù)法不僅可以表示小于1的正數(shù)，也可以表示一個(gè)負(fù)

數(shù).

6.P26思考提出問題，讓學(xué)生思考用負(fù)整數(shù)指數(shù)累來表示小于1的數(shù)，從而歸納出：對(duì)

于一個(gè)小于1的數(shù)，如果小數(shù)點(diǎn)后至第一個(gè)非0數(shù)字前有兒個(gè)0,用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示這個(gè)數(shù)

時(shí)，10的指數(shù)就是負(fù)幾.

7.P26例11是一個(gè)介紹納米的應(yīng)用題，使學(xué)生做過這道題后對(duì)納米有一個(gè)新的認(rèn)識(shí).更

主要的是應(yīng)用用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示小于1的數(shù).

四、課堂引入

1.回憶正整數(shù)指數(shù)界的運(yùn)算性質(zhì)：

(1)同底數(shù)的基的乘法：=a+"(m,n是正整數(shù))；

(2)幕的乘方：("")"=a'm(m,n是正整數(shù))；

(3)積的乘方：(帥)"=。"夕(n是正整數(shù));

(4)同底數(shù)的幕的除法：am^an=am-n(aWO,m,n是正整數(shù)，

m>n)；

(5)商的乘方：(/"="(n是正整數(shù))；

2.回憶0指數(shù)基的規(guī)定，即當(dāng)aWO時(shí)，?°=1.

3.你還記得1納米=l(r米,即1納米米嗎？

4.計(jì)算當(dāng)aWO時(shí)，/+/=(=1匚=3,再假設(shè)正整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)

aa-aa

a"+a"=屋"一"(aWO,m,n是正整數(shù)，m>n)中的m>n這個(gè)條件去掉，那么/+々5=43-5=4-2.

于是得到(aWO),就規(guī)定負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)：當(dāng)n是正整數(shù)時(shí)，(a

aan

WO).

五、例題講解

(P24)例9.計(jì)算

［分析］是應(yīng)用推廣后的整數(shù)指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，與用正整數(shù)

指數(shù)界的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算一樣，但計(jì)算結(jié)果有負(fù)指數(shù)幕時(shí)，要寫成分式形式.

(P25)例10.判斷下列等式是否正確？

［分析］類比負(fù)數(shù)的引入后使減法轉(zhuǎn)化為加法，而得到負(fù)指數(shù)累的引入可以使除法轉(zhuǎn)化為

乘法這個(gè)結(jié)論，從而使分式的運(yùn)算與整式的運(yùn)算統(tǒng)一起來，然后再判斷下列等式是否正確.

(P26)例11.

［分析］是一個(gè)介紹納米的應(yīng)用題，是應(yīng)用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示小于1的數(shù).

六、隨堂練習(xí)

1.填空

(1)-22=(2)(-2尸=(3)(-2)°=

(4)2=(5)23=(6)(-2)3=

2.計(jì)算

(1)(x3y2)2(2)x2y2?(x'y)3(3)(3xY2)2^(x2y)3

七、課后練習(xí)

1.用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示下列各數(shù)：

0.00004,-0.034,0.00000045,0.003009

2.計(jì)算

(1)(3X108)X(4X103)(2)(2X10).a?！?/p>

八、答案：

六、1.(1)-4(2)4(3)1(4)1(5)(6)--

88

2.(1)-4(2)-4(3)9x10

yxy1

七、1.(1)4X105(2)3.4X102(3)4.5X1073.009X103

2.(1)1.2X105(2)4X10：'課后反思：

16.3分式方程(一)

一、教學(xué)目的：

1.了解分式方程的概念，和產(chǎn)生增根的原因.

2.掌握分式方程的解法，會(huì)解可化為一元一次方程的分式方程，會(huì)檢

驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不是原方程的增根.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：會(huì)解可化為一元一次方程的分式方程，會(huì)檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不是

原方程的增根.

2.難點(diǎn)：會(huì)解可化為一元一次方程的分式方程，會(huì)檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不是

原方程的增根.

三、例、習(xí)題的意圖分析

1.P31思考提出問題，引發(fā)學(xué)生的思考，從而引出解分式方程的解法以及產(chǎn)生增根的

原因.

2.P32的歸納明確地總結(jié)了解分式方程的基本思路和做法.

3.P33思考提出問題，為什么有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就是原方程

的解，而有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就不是原方程的解，引出分析產(chǎn)生增根

的原因，及P33的歸納出檢驗(yàn)增根的方法.

4.P34討論提出P33的歸納出檢驗(yàn)增根的方法的理論根據(jù)是什么？

5.教材P38習(xí)題第2題是含有字母系數(shù)的分式方程，對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生，教師可以

點(diǎn)撥一下解題的思路與解數(shù)字系數(shù)的方程相似，只是在系數(shù)化1時(shí)，要考慮字母系數(shù)不為0,

才能除以這個(gè)系數(shù).這種方程的解必須驗(yàn)根.

四、課堂引入

1.回憶一元一次方程的解法，并且解方程土吆-土江=1

46

2.提出本章引言的問題：

一艘輪船在靜水中的最大航速為20千米/時(shí)，它沿江以最大航速順流航行100千米所用

時(shí)間，與以最大航速逆流航行60千米所用時(shí)間相等，江水的流速為多少？

分析：設(shè)江水的流速為丫千米/時(shí)，根據(jù)''兩次航行所用時(shí)間相同”這一等量關(guān)系，得到

+工口10060

方程-----=------.

20+v20—v

像這樣分母中含未知數(shù)的方程叫做分式方程.

五、例題講解

(P34)例1.解方程

［分析］找對(duì)最簡公分母x(x-3),方程兩邊同乘x(x-3),把分式方程轉(zhuǎn)化

為整式方程，整式方程的解必須驗(yàn)根

這道題還有解法二：利用比例的性質(zhì)“內(nèi)項(xiàng)積等于外項(xiàng)積”，這樣做也比較簡便.

(P34)例2.解方程

［分析］找對(duì)最簡公分母(xT)(x+2),方程兩邊同乘(x-l)(x+2)時(shí),學(xué)生容易把整數(shù)1漏乘

最簡公分母(xT)(x+2),整式方程的解必須驗(yàn)根.

六、隨堂練習(xí)

解方程

(1)-=-^-(2)工+3=^1_

xx-6x+1x-1x-1

(3)---=1(4)-^+^—

x—1—12x—1x—2

七、課后練習(xí)

1.解方程

6,4x-7

(1)—-----—=0⑵----=1-------

5+x1+x3x-88-3x

234153

⑶-----1--5------；--=0------------

X*+xX-xX-1x+12x+24

2

2.X為何值時(shí)，代數(shù)式2r-三i-Q？--1---4的值等于2?

x+3x-3x

八、答案:

4

六、(1)x=18(2)原方程無解(3)x=l(4)x=1

3

七、1.(1)x=3(2)x=3(3)原方程無解(4)x=l2.x=-

2

課后反思:

16.3分式方程（二）

一、教學(xué)目的：

1.會(huì)分析題意找出等量關(guān)系.

2.會(huì)列出可化為一元一次方程的分式方程解決實(shí)際問題.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：利用分式方程組解決實(shí)際問題.

2.難點(diǎn)：列分式方程表示實(shí)際問題中的等量關(guān)系.

三、例、習(xí)題的意圖分析

本節(jié)的P35例3不同于舊教材的應(yīng)用題有兩點(diǎn)：（1）是一道工程問題應(yīng)用題，它的問題

是甲乙兩個(gè)施工隊(duì)哪一個(gè)隊(duì)的施工速度快？這與過去直接問甲隊(duì)單獨(dú)干多少天完成或乙隊(duì)單

獨(dú)干多少天完成有所不同，需要學(xué)生根據(jù)題意，尋找未知數(shù)，然后根據(jù)題意找出問題中的等

量關(guān)系列方程.求得方程的解除了要檢驗(yàn)外，還要比較甲乙兩個(gè)施工隊(duì)哪一個(gè)隊(duì)的施工速度

快，才能完成解題的全過程（2）教材的分析是填空的形式，為學(xué)生分析題意、設(shè)未知數(shù)搭好

了平臺(tái)，有助于學(xué)生找出題目中等量關(guān)系，列出方程.

P36例4是一道行程問題的應(yīng)用題也與舊教材的這類題有所不同（1）本題中涉及到的列

車平均提速v千米/時(shí)，提速前行駛的路程為s千米，

完成.用字母表示已知數(shù)（量）在過去的例題里并不多見，題目的難度也增加了；（2）例題

中的分析用填空的形式提示學(xué)生用已知量v、s和未知數(shù)x,表示提速前列車行駛s千米所用

的時(shí)間，提速后列車的平均速度設(shè)為未知數(shù)x千米/時(shí)，以及提速后列車行駛（x+50）千米所

用的時(shí)間.

這兩道例題都設(shè)置了帶有探究性的分析，應(yīng)注意鼓勵(lì)學(xué)生積極探究，當(dāng)學(xué)生在探究過程

中遇到困難時(shí)，教師應(yīng)啟發(fā)誘導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)過自己的努力，在克服困難后體會(huì)如何探究，教

師不要替代他們思考，不要過早給出答案.

教材中為學(xué)生自己動(dòng)手、動(dòng)腦解題搭建了一些提示的平臺(tái)，給了設(shè)未知數(shù)、解題思路和

解題格式，但教學(xué)目的要求學(xué)生還是要獨(dú)立地分析、解決實(shí)際問題，所以教師還要給學(xué)生一

些問題，讓學(xué)生發(fā)揮他們的才能，找到解題的思路，能夠獨(dú)立地完成任務(wù).特別是題目中的數(shù)

量關(guān)系清晰，教師就放手讓學(xué)生做，以提高學(xué)生分析問解決問題的能力.

四、例題講解

P35例3

分析：本題是一道工程問題應(yīng)用題，基本關(guān)系是：工作量=工作效率X工作時(shí)間.這題沒

有具體的工作量，工作量虛擬為1,工作的時(shí)間單位為“月”.

等量關(guān)系是：甲隊(duì)單獨(dú)做的工作量+兩隊(duì)共同做的工作量=1

P36例4

分析：是一道行程問題的應(yīng)用題，基本關(guān)系是:速度=絲.這題用字母表示已知數(shù)（量）.