高中數(shù)學(xué)二輪思維提升能力拓展研究性講義

專題I集合、常用邏輯用語(yǔ)中相關(guān)問(wèn)題的再研究

【易錯(cuò)題】

1.（教L1例2）用列舉法表示A=ewZ,=

2.（教L2基7）集合M=卜|04依+1W3},N={4lWx<4},若MUN=N,則

實(shí)數(shù)。的取值范圍是

3.（教L2例3）已知集合A=卜,？-加工+加？-7=（）},8=Mx?-3x+2=o},

。=砧2+4"5=0根足且AnC=0，則實(shí)數(shù)m=

4.（2011屆高三蘇州期末考試19題改編）不等式的解集為

m4

5.（教L3基6改編）命題“<^>1,/+%+1>0”的否定為

k-2X

6.（教L3基8改編）函數(shù)g（x）=------為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)2的取值集合為

\+k-2

7.（同心圓夢(mèng)3）滿足AU8={1,2}的集合共組；滿足集合關(guān)系

AU&u&U…UA“={q,/,/，…，4}（〃€N’）的集合4,…,A“共有組

8.（三角形中的充要關(guān)系的判斷）在A46C中，是sinA>sinB的

條件；在AA8（中，A>B是cosA<cos6的條件；在八46（中，

sin4>co6是AA3C為銳角三角形的條件

【專題研究、方法梳理】

專題1整數(shù)型（整除性）問(wèn)題麗

類型1：方程型的整數(shù)型（整除性）問(wèn)題

引例1（理科做）：已知二項(xiàng)式（網(wǎng)—：）”，其中“eN,且3W〃W2012,在其二項(xiàng)展開(kāi)式

中，若存在連續(xù)三項(xiàng)的三項(xiàng)芭系數(shù)成等差數(shù)列，問(wèn)這樣的〃共有多少個(gè)？

引例2：已知，=！(1—L),問(wèn)是否存在正整數(shù)機(jī)，n,且1＜機(jī)＜〃，使得T”Tm,

33〃+1

7；成等比數(shù)列？若存在，求出〃?，〃的值，若不存在，說(shuō)明理由？

類型2：不等型的整數(shù)型(整除性)問(wèn)題

引例3：已知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為q=白，S”是其前n項(xiàng)的和，問(wèn)是否存在正整數(shù)

m,n,使得;"一二成立?若存在，求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)(根,〃)；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

練習(xí)：

1.已知等差數(shù)列僅“｝的公差d不為0,等比數(shù)列仍“｝的公比q為小于1的正有理數(shù)。若

222

a="力=/,且」,+3z+生是正整數(shù),則q等于

4+4+%

2.mGN,若函數(shù)/(x)=2x-小而二工-加+10存在整數(shù)零點(diǎn)，則機(jī)的取值集合為

3,函數(shù)/(*)=以2-2(。一3)》+。一2中，。為負(fù)整數(shù)，則使函數(shù)至少有一個(gè)整數(shù)零點(diǎn)的

所有的a值的和為

4.設(shè)。力均為大于1的自然數(shù)，函數(shù)/(x)=aS+sinx),g(x)=0+cosx,若存在實(shí)數(shù)m

使得=g(m),則。+Z?=

cinx-I-1

觸題生情：求函數(shù)y=的值域.(有幾種方法？哪種方法能體現(xiàn)本題的原型？)

cosx-3

問(wèn)題源頭分析：不定方程問(wèn)題.

【高考試題背景探源】(2012年江蘇20)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列｛《｝和出“｝滿足：

/=%+，，〃eN*.(1)設(shè)〃川=1+4，〃wN*,求證：數(shù)列］是等差數(shù)歹！J;

J%+bj"八

(2)設(shè)心=近且,neN,,且｛4｝是等比數(shù)列,求“和向的值.

5,各項(xiàng)均為正偶數(shù)的數(shù)列0,。2,僅，。4中前三項(xiàng)依次成公差為d(d>o)的等差數(shù)列,

后三項(xiàng)依次成公比為q的等比數(shù)列.若4-4=88,則q的所有可能的值構(gòu)成的集合為_(kāi)

專題2集合與不等式恒成立(有解)的問(wèn)題研究

引例：已知集合4=｛令4-5x+4W0｝集合8=｛x|d-2or+a+2W0｝

(1)若8=求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若AqB,求實(shí)數(shù)a的取值范圍：

總結(jié)：不等式恒成立問(wèn)題的相關(guān)轉(zhuǎn)換策略，請(qǐng)分析下列恒成立的等價(jià)條件：

1.7(x)=asin2x+Z?cos2x，其中abwO,有/(x)W卜(品對(duì)一切xeR恒成立;

7T7T

2.函數(shù)/(%)=2，山(萬(wàn)工+《)，對(duì)任意XER都有/0］)</0)?/(%2)成立；

3.函數(shù)/(x)=x2-2ar+5(a>l),若/(x)在區(qū)間(—8,2］上是減函數(shù)，且對(duì)任意

的王,修w[l,a+l],總有|/（X]）—/（X2）|W4；

4.已知函數(shù)/(》)=》+』+。2,g(x)=/一標(biāo)+2a+l,若存在X1,x,w—,a(a.>1),

x\_a_

使得|/(%)-g(X2)|<9；

5.已知,f(x)=x2,g(x)=(g)*-機(jī)，若對(duì)X/X|,Bx2e[0,2],f(xl)^g(x2)；

6.函數(shù)/(x)=x2-4x+3,g(x)=nzr+5-2m,若對(duì)任意的玉e[1,4],總存在

We[1,4],使/(xj=g&)成立；

7.上題條件改為“若存在用e限4],總存在/e1,4],使/(xj=g(%)成立''呢？

4"+〃?2工+1

8.函數(shù)/(x)=----------,若對(duì)于任意的％、x2>工3，均存在以/(5)、)(%2)、〃工3)

4+2+1

為三邊長(zhǎng)的三角形.

練習(xí)：已知函數(shù)/⑴定義在區(qū)間上，設(shè)"min{/(x)|xe。}”為函數(shù)/(幻在集合。上

最小值，"max{/(x)|xe￡>}”為函數(shù)/(九)在集合。上最大值?設(shè)力(x)=min{/?)|aW

(xe[a,b])；f2(x)=max{f(t)\a<t<x},(xe[a,b]).若存在最小正整數(shù)k,使得

-力(功￡2。-a)對(duì)任意的工￡向成立,則稱函數(shù)/*)為區(qū)間[見(jiàn)切上的“第k類

壓縮函數(shù)”.

(I)若函數(shù)/(%)=犬3一2、+3,xe[0,2],試寫出力(%)、/j(x)的解析式;

(H)若加>0,函數(shù)且。)=/一3"尢2是[0,3帆]上“第3類壓縮函數(shù)”，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

專題3一類集合交集非空問(wèn)題研究

引例：(教L2例4)集合A=，xy=?,B=｛洶》-3+1)]比一(“+4)]<()｝

若AcBw。，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

變式1：(2011年江蘇14)設(shè)集合A=｛(x,y)|—2)2+y24加2,xye^,

B=｛(x,y)|2m<x+y<2m+\,x,yeR],若AB^0,實(shí)數(shù)m范圍是

變式2：設(shè)A=｛(x,y)|(x-l)2+y2=*｝,8=｛(x,y)|2mKx+yW2m+1,x,yeR｝,

若AcB。。，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

專題4兩組數(shù)列元素所成集合的交并集合的元素問(wèn)題研究

引例1：兩個(gè)集合4=｛-3,0,3,6,Mm｝和6=｛15,19,23,27,，縹；()｝都各有100個(gè)元

素，且每個(gè)集合中元素從小到大都組成等差數(shù)列，則集合A8中元素的最大值為

引例2：設(shè)數(shù)列｛如｝的通項(xiàng)公式為4=2〃—1為數(shù)列｛兒｝的通項(xiàng)公式為6“=3〃-2.集合A

=｛xIx=a?,nCN*｝,8=｛xIx=6“，?eN*｝.將集合AU8中的元素從小到大依次排列，

構(gòu)成數(shù)列............則｛0｝的通項(xiàng)公式為

專題5：數(shù)列隔項(xiàng)成等差(等比)數(shù)列問(wèn)題研究

引例1：(教L4例2)已知數(shù)列｛?！ǎ凉M足a.+a,m=2〃+l(〃eN*),求證：數(shù)列也“｝

為等差數(shù)列的充要條件是q=1

拓展：若數(shù)列｛%+4+J為公差為d的等差數(shù)列，試探究數(shù)列｛a,,｝為等差數(shù)列的充要條

件，并加以證明.

2n+

引例2：已知正項(xiàng)數(shù)列｛凡｝滿足an-an+]=2'(〃wN*),求證：數(shù)列｛a.｝為等比數(shù)列

的充要條件是勾=2.

拓展：若正項(xiàng)數(shù)列｛4｝滿足：數(shù)列｛%/,川｝為公比為q的等比數(shù)列，試探究數(shù)列伍“｝為

等比數(shù)列的充要條件，并加以證明.

練習(xí)：數(shù)列｛%｝滿足an+1+(―l)"q=2〃—1,則｛%｝的前60項(xiàng)和為；S4n=

專題6：復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題研疝"

引例1：(教L4例4)已知函數(shù)/(x)=r+x+q,集合A=M/(x)=0,xe/?｝,

B=｛4/,(/(X))=0,XG/?).若5為單元素集，試求的值.

引例2：已知CHO,函數(shù)/(x)=-c/+ex,g(x)=x3-ex1+ex,如果函數(shù)y=/(x)

與函數(shù)y=g(/(x))有相同的零點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

【高考試題背景探源】(2012年江蘇高考)已知”，〃是實(shí)數(shù)，1和-1是函數(shù)

/(幻=33+以2+云的兩個(gè)極值點(diǎn).(1)求“和b的值；(2)設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)

g'(x)=f(x)+2,求g(x)的極值點(diǎn);(3)設(shè)〃(x)=/(/(x))-c,其中cw[-2,2],求函數(shù)

y=h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

練習(xí)：

1.函數(shù)/(%)=<1-1**°,方程[/(刈2+”(無(wú))+。=0有7個(gè)根的充要條件是一

0,加0

2.已知函數(shù)/'。)=|目-1,關(guān)于x的方程產(chǎn)(x)-|/(x)|+A=O,給出下列四個(gè)命題：

①存在實(shí)數(shù)左，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；②存在實(shí)數(shù)%,使得方程恰有4個(gè)不同

的實(shí)根；③存在實(shí)數(shù)%,使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；④存在實(shí)數(shù)左，使得方程恰有

8個(gè)不同的實(shí)根.其中真命題的序號(hào)為

3.(2007年江蘇高考20)已知a,"c,d是不全為零的實(shí)數(shù)，函數(shù)/(x)=+5+4,

g(x)=ax3+/?x2+cx+J,方程f(x)=0有實(shí)根，且f(x)=0的實(shí)數(shù)根都是g(f(x))

=0的根，反之，g(f(x))=0的實(shí)數(shù)根都是f(x)=0的根.(1)求d的值；(2)若a=0,

求c的取值范圍.

專題n函數(shù)中相關(guān)問(wèn)題的再研究

本專題的認(rèn)知地圖，游覽完本景點(diǎn)，你應(yīng)該能夠處理下列問(wèn)題：

i.含參數(shù)的三次函數(shù)的最值問(wèn)題及討論三層次問(wèn)題

2.簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)、含分式的復(fù)合函數(shù)、含根式的復(fù)合函數(shù)、多元變量函數(shù)的值域

和最值問(wèn)題；

3.恒成立問(wèn)題中參數(shù)范圍的局部縮小策略

4.函數(shù)型方程(不等式)常見(jiàn)求解策略

5.常見(jiàn)的八類非基本初等函數(shù)的問(wèn)題研究

八類函數(shù)分別是：尖底、平底型折線函數(shù)、/(幻=*+￡型函數(shù)、牛頓三叉函

X

數(shù)、可化為二次函數(shù)的絕對(duì)值型的復(fù)合函數(shù)、對(duì)數(shù)與絕對(duì)值函數(shù)的復(fù)合函數(shù)、

指數(shù)與絕對(duì)值函數(shù)的復(fù)合函數(shù)、對(duì)數(shù)與雙曲線型函數(shù)的復(fù)合函數(shù)、對(duì)數(shù)與二次

函數(shù)的復(fù)合函數(shù)

6.二次函數(shù)的零點(diǎn)分布問(wèn)題、最值問(wèn)題

7.高中數(shù)學(xué)中具有將指數(shù)下移功能的運(yùn)算方式問(wèn)題

8.函數(shù)與方程有三種等價(jià)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化問(wèn)題

【易錯(cuò)題】

1.(教L6練7)已知函數(shù)/*)的定義域?yàn)橐阅?，值域?yàn)閇c/],則/(-2x+l)的定義域

為;值域?yàn)?/p>

2.(教L6練8)已知函數(shù)y=/(x)的圖像與y=/+尤的圖像關(guān)于點(diǎn)(-2,3)對(duì)稱,則/(%)

的解析式為_(kāi)_____________

3.(教L7基8)函數(shù)y=/*聲2)的值域?yàn)椋缓瘮?shù)y=2：的值域?yàn)椋?/p>

函數(shù)丁=霽(0<a<l)的值域?yàn)?；y=log2J4—2一的值域是

4.(教L8基6改編)函數(shù)y二2%=—-3的單調(diào)增區(qū)間為

x+1

已知函數(shù)y=竺二°在區(qū)間(-8,-1)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

X+1

5.(教L9例3)設(shè)(見(jiàn)。)為函數(shù)y=f(x)的對(duì)稱中心，則必有恒等式

根據(jù)上述結(jié)論，寫出函數(shù)f(x)=x+sin(x-3)的一個(gè)對(duì)稱中心為

6.(雙對(duì)稱性問(wèn)題)已知定義在A上的奇函數(shù)/(x)滿足=且在區(qū)間［0,2］

上是增函數(shù).若方程/(x)=m(m>0)在區(qū)間［-8,8］上有四個(gè)不同的根項(xiàng),與，龍3，4，則

X)+X7++%4=

ax~5,x>6

7.(教L9練5)已知函數(shù)/(x)=｛a，若函數(shù)/(x)在R上是增函數(shù)，則

(4)x+4,x?6

I2

實(shí)數(shù)。的取值范圍是

a"-',n>6

變式1：已知數(shù)列｛/(〃)｝是單調(diào)遞增數(shù)列，且通項(xiàng)公式為_(kāi)/■(〃)='a，

(4--)n+4,n<6

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

變式2：函數(shù)-1?+4a(x<D在R不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是_

logaX(x>l).........

k2x+k(l-a2),x>0?一.s-

變式3：函數(shù)/(x)=4,,，其中awR.若對(duì)任意的非零實(shí)

x2+(cr-4a)x+(3-a)-,x<0

數(shù)項(xiàng)，存在唯一的非零實(shí)數(shù)/(玉hx2)，使得/(芭)=f(x2)成立，則k的取值范圍為

變式4：已知函數(shù)以)=,Q"?+3"4,x_f,無(wú)論f取何值，函數(shù).穴x)在區(qū)間(-8,+8)

X'-x,x>t

總是不單調(diào).則a的取值范圍是

8.(教L12例3)已知函數(shù)y=bg“(公一一處在區(qū)間-,1上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)"的取值

_2_

范圍是__________

9.(教L14基3)已知函數(shù)y=/(x)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，若/(a)/S)<0,

則函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

10.抽象函數(shù)雖然抽象，但總能從我們所學(xué)的基本初等函數(shù)中找到一個(gè)具體函數(shù)支撐抽象

性質(zhì)，請(qǐng)各找出一個(gè)滿足下列條件的基本初等函數(shù)：

(1)f(m-x)=f(m+x)；(2)f(x+y)+f(x-y)=2/(x)/(

11.(教L16練4)已知偶函數(shù)/(x)滿足/(x+2)=-，當(dāng)2<x<3時(shí)，/(x)=x+l

/(x)

則/(-0,5)=

12.求F(a,Z?)=(a-Z?)2+(/一防+份2的最小值為(注重對(duì)結(jié)構(gòu)的認(rèn)知)

拓展1：已知a,beR滿足(a+Jl+a?)g+Jl+〃)W1,則a+匕的最大值為

(X-1)3+2011(X-1)=-1

拓展2：設(shè)為實(shí)數(shù)，且滿足關(guān)系式\,則x+y=____

(y-1)3+2011(y-l)=l

【專題研究、方法梳理】

專題1：含參數(shù)的三次函數(shù)的最值問(wèn)題及討論三層次研究

引例1：(教L6練9)函數(shù)y=3x2(_i?x<l)的圖像上有A,B兩點(diǎn)，且/<XB,ABHX

軸，點(diǎn)C(2,m),其中加>3,(1)試寫出用點(diǎn)8的橫坐標(biāo)f表示A46C面積S的函數(shù)解

析式5=/。)；(2)記S的最大值為g(/〃),求g(加)

1,

練習(xí)：己知函數(shù)/(x)=lnx—5aY+—，且/⑴=o

(1)試用含有a的式子表示萬(wàn)：(2)求/(x)的單調(diào)區(qū)間

專題2：簡(jiǎn)單的復(fù)合、含分式的復(fù)合、含根式的復(fù)合、多元變量函數(shù)的值域和最值問(wèn)題

第I類：簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)

22X2

引例1：y=1—v4-x；y=log2(4-x)；y=4'+2+1；y=sinx+sinx+1

第H類：帶分式的復(fù)合函數(shù)(換元、部分分式法、反解(判別式法)、公式法)

1—9x

引例2：直接寫出函數(shù)y=一^的值域?yàn)椋€的對(duì)稱中心為；

1+3%

若添加條件X￡[0,1],則值域?yàn)?

根據(jù)以上結(jié)論直接寫出函數(shù)的值域：y=1-2sinX(xefo,^1)；卜二1-2班的

l+3sinxL2j1+36

x2-3

引例3：求函數(shù)y=一~的值域

x+1

x+]

變式：求函數(shù)y的值域

sinx+cosx+27T

變式：求函數(shù)y=-------------（XE0,-）的值域

sinxcosx2

S丫2_i_Qr_L5

引例4：求函數(shù)y=的值域

第HI類：帶根式的復(fù)合函數(shù)

引例5：求函數(shù)y=x—Jl-2x的值域;

思考：根式函數(shù)y=Ax+B+7CX+D(AC豐0)的值域如何研究?

引例5：求函數(shù)/(x)=HTT-Jl-2x的值域;

變式1：求函數(shù)/(x)=xjl—2x的值域;

變式2：求函數(shù)曠=J7TT+J=的值域；

變式3：求函數(shù)y=jm+j匚，+，1一%2的值域;

變式4：求函數(shù)y=+J15-3x的值域;

思考：一般地，求函數(shù)y=jAr+B+、Cx+。(其中ACHO)的值域如何研究？

第IV類：構(gòu)造法求函數(shù)的值域問(wèn)題

引例6：求函數(shù)/(x)=:,的值域是__________

(丁+1)2

探究拓展：多元函數(shù)的最值問(wèn)題研究

4_4

1.設(shè)實(shí)數(shù)“W6,若不等式2工機(jī)+(2—幻”一820對(duì)任意工€[—4,2]都成立，則一的

mn

最小值為_(kāi)_________

2.已知點(diǎn)尸(x,y)到原點(diǎn)的距離為1,則~+＞，~2的最大值為_(kāi)_________

x-y+2

3.F(a,0)=a-+2asm0+2對(duì)于任意實(shí)數(shù)尸(凡夕)的最大值為_(kāi)_______

a+2QCOS0+2

4.已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次不等式?！?b6知(口的解集為R,則

MJ+產(chǎn)+4c的最小值是___________

b-a

專題3：恒成立問(wèn)題中參數(shù)范圍的局部縮小策略

引例1：(教L7例4)若函數(shù)/(x)=a的定義域與值域均為區(qū)間[〃?,〃]

kl

求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

引例2：已知函數(shù)f(x)=(ax2+x)ex,其中e是自然數(shù)的底數(shù)，aeR.若/(x)在［-1,1］上

是單調(diào)增函數(shù)，則。的取值范圍為

練習(xí)：

1.設(shè)aGR,若x>0時(shí)均有［3-1)P1］儼-以-1心0,則。=

2./'(》)=0?3_3%+1對(duì)于xe［-1,1］總有/(x)N。成立，則”

3.設(shè)八x)奇函數(shù)，當(dāng)x'O時(shí)，J［x)=2x-x2,若函數(shù)火x)(xC［a,")的值域?yàn)?，%,則b

的最小值為，實(shí)數(shù)。的取值集合為

專題4函數(shù)型方程(不等式)的常見(jiàn)求解策略

x~4-2犬%>0

引例1：(天津高考)已知函數(shù)y(x)=<，'—，若/(2-。2)>/(。)，則實(shí)數(shù)。的

[2x-x\x<0

取值范圍是_______________

2%+Qxv1

引例2：實(shí)數(shù)a#O,函數(shù)/(x)=',若/(l—a)=/(l+a),則。=_____

-x-2a,x>1

練習(xí)：

X2+IX>0

,,則滿足不等式f(l—x2)>f(2x)的X的范圍是_______

{1,x<u

r2+1r>0

變式：函數(shù)f(x)=4'，則滿足不等式/(2。-3)>/(2-0的。的范圍是一

2,x<0

1

a+2,Cl>—

2

V2/1

1求滿足g(a)=gd)的所有實(shí)數(shù)a

2.己知g(a)=<-a----,-----<a<——

2a22a

,V2

V2a<----

2

專題5：八類常見(jiàn)非基本初等函數(shù)的問(wèn)題研究

函數(shù)模型一：尖底、平底型折線函數(shù)

f(x)=\x+a\+\x+a^+....+\x+a^a］<a2<....<。?)(且｛%｝是等差數(shù)列)

它的圖像是什么？一定是軸對(duì)稱圖像嗎？若是，對(duì)稱軸是什么？最小值何時(shí)取得？

19

引例1：函數(shù)/(X)=￡上一〃|的最小值為

/=1

引例2：設(shè)函數(shù)/0)=歸+1|+k—4的圖像關(guān)于直線》=1對(duì)稱，則a的值為

練習(xí)：/(%)=|x+l|+|x+2|4---i-|x+2011|+|x—1|+|x—2|4---i-|x-201l|(xeR),

且f(a2-3a+2)=f(a-1),則滿足條件的所有整數(shù)a的和是

變式：下列命題中真命題的序號(hào)是.(1)/(x)是偶函數(shù)；

(2)/(x)在(O,M)上是增函數(shù)；(3)不等式/(x)<2010x2011的解集為0；

(4)方程f(a2-3a+2)=/(a-1)有無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)解

拓展：已知函數(shù)人工)=|尸1|+|2%-1|+|3尸1|+…+|100xT|,則當(dāng)戶時(shí)：/(x)取得最小值.

函數(shù)模型二：/(x)=x+￡型函數(shù)

X

函數(shù)/(X)=X+￡的圖像和性質(zhì)如何研究？

X

引例：函數(shù)/(x)=x+￡的定義域是(0,+8),若對(duì)任意的xeN*,都有/(x)2/(2),

X

則實(shí)數(shù)C的取值范圍是

練習(xí)：已知函數(shù)式x)=|e*+自(adR)在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是

函數(shù)模型三：牛頓三叉曲線

y=/+@(。*0)稱為牛頓三叉曲線.運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，總結(jié)“牛頓三叉”函數(shù)的圖像和性質(zhì)

X

練習(xí)：

1.已知函數(shù)/(無(wú))=/在［2,+x>)上為增函數(shù)，則a的取值范圍為

x

變式：若條件改為①(一8,-2］上為減；②［—2,0)上為增；③(0,2)上為減，結(jié)論分別如何？

2.已知二次函數(shù)y="(x)的圖像以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(1,1),反比例函數(shù)丁=力。)的

圖像與y=x的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為8,+試判斷當(dāng)a>3時(shí)，關(guān)于

x的方程/(%)=/(?)的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為

函數(shù)模型四：可化為二次函數(shù)的絕對(duì)值型復(fù)合函數(shù)

引例1：已知aeR,函數(shù)=

(1)判斷函數(shù)/(%)的奇偶性，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間［1,2］上的最小值；

(3)設(shè)a/0,函數(shù)/(x)在區(qū)間?！?〃)上既有最大值又有最小值，請(qǐng)分別求出的取

值范圍.(只要寫出結(jié)果，不需要寫出解題過(guò)程)

思考：已知aeR,函數(shù)/。)=%2忖一《.求函數(shù)丁=/(處在區(qū)間［1,2］上的最小值.

練習(xí)：

1.已知函數(shù)/(x)=2|x—［+以(xeR)有最小值，則實(shí)常數(shù)a的取值范圍是一

變式：函數(shù)/(x)=x+4x—l|在(0,長(zhǎng)。)上有最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是一

2.已知函數(shù)/(%)=區(qū)爐一3,%e［o,m］,其中mwR,且加>0.

(I)如果函數(shù)/(x)的值域是［0,2］,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為；

(2)如果函數(shù)/(幻的值域是［。，石/］,實(shí)數(shù)力的最小值為

函數(shù)模型五：對(duì)數(shù)和絕對(duì)值函數(shù)的復(fù)合型函數(shù)

引例：已知函數(shù)/(x)=x2+?|lnx-l|,g(%)=x|x-a|+2-21n2,a>0.

(I)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)/(x)在區(qū)間［l,e］上的最大值;

3

(H)若/(%)2萬(wàn)a,xe［1,+8)恒成立，求a的取值范圍;

(III)對(duì)任意玉e［1,+℃),總存在卷二的⑵+oo),使得/(X1)=g(/)成立，求〃的取

值范圍.

函數(shù)模型六：指數(shù)和絕對(duì)值函數(shù)的復(fù)合型函數(shù)

引例：(2008江蘇卷20)若工(力=3卜一火力(x)=2-32%xeR，8，P2為常數(shù),

工(x)J(x)〈人(x)

且/(%)=,

工(力，/(力＞人(九)

(I)求/(x)=/(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)成立的充要條件(用0,P2表示);

(II)設(shè)a力為兩實(shí)數(shù)，a(匕且P1,P2(a,b),若/(a)=/(b).求證：/(x)在區(qū)間［a,可

上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度和為一(閉區(qū)間［〃4〃］的長(zhǎng)度定義為〃-機(jī))

函數(shù)模型七：對(duì)數(shù)與雙曲線型函數(shù)的復(fù)合型函數(shù)

引例：設(shè)/(X)是定義在區(qū)間(1,+8)上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為r(x).如果存在實(shí)數(shù)a和函數(shù)

h(x),其中〃(x)對(duì)任意的xe(1,+8)都有〃(尤)>0,使得/'(x)=-ax+1),則

8+2

稱函數(shù)/(%)具有性質(zhì)P(a).(I)設(shè)函數(shù)/(x)=lnx+^―-(%>1),其中b為實(shí)數(shù)

x+1

(i)求證：函數(shù)/(X)具有性質(zhì)P(b)；(ii)求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知函數(shù)g(x)具有性質(zhì)P(2).給定西,々G(L+a)),X[<%2,設(shè)旭為實(shí)數(shù)，

a-mxx+(1-m)x2,(3m)x{+inx2,且

若|g(a)-g(夕)|<|g(X])-g(x2)I，求加的取值范圍.

14

思考：(1)由題定義，給出下列四個(gè)函數(shù)：①yu)=#—f+x+l；②?x)=lnx+37；

③_/(x)=(/-4工+5)"；④/(犬)=五百，其中具有性質(zhì)P(2)的函數(shù)是

(2)己知y=/(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，實(shí)數(shù)MN/，尤。-1，a士”，

1+2

尸=年學(xué)，若/(f)_/(々)|<|79)一/(夕)|,則X的取值范圍為

函數(shù)模型八：對(duì)數(shù)與二次函數(shù)的復(fù)合型函數(shù)

引例：已知函數(shù)/(x)=ax2+2bx-2Inx(a/0),且/(x)在兀=1處取得極值.

(1)試找出a,b的關(guān)系式；

(2)若函數(shù)/(x)在xw(0,g］上不是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；

(3)求函數(shù)/(x)在xw(0,；］的圖像上任意一點(diǎn)處的切線斜率左的最大值

專題6：二次函數(shù)的系列問(wèn)題研窕

問(wèn)題1：二次函數(shù)的零點(diǎn)分布問(wèn)題

引例1：二次函數(shù)/'(尤)=/+ax+a，方程/1(%)一％=0的兩根玉和%滿足0<%<1

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)試比較/(0)/(1)-/(0)與士的大小.并說(shuō)明理由

引例2：已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)/。)=2處2+2》一3-。，如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間[一1,1]

上有零點(diǎn)，求。的取值范圍

練習(xí)：

設(shè)函數(shù)f(x)=x~-ax+a+3,函數(shù)g(x)=ax-2a,若存在與GR,使得/(x0)<0與

g(x0)<0同時(shí)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

變式：設(shè)函數(shù)/0)=/一6+。+3,函數(shù)g(x)=x-a,若不存在使得

/(%)<0與g(x0)<0同時(shí)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

問(wèn)題2：二次函數(shù)的最值問(wèn)題

引例：(2009年江蘇高考)設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)/(%)=212+(九-。)|%一。|.

(1)若7(0)21,求Q的取值范圍；(2)求/(%)的最小值；

(3)設(shè)函數(shù)/i(x)=/(%),xe(a,+8),喜摟耳也不等式〃(%)21的解集.

解法思考：第(2)、(3)問(wèn)有沒(méi)有其他解法？

對(duì)第(2)問(wèn)解法的思考與拓展(雙最值問(wèn)題)：

a,a<b

1.任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,〃定義運(yùn)算“*”如下：a*h=\,函數(shù)

b,a>b

f(x)=x2*[(6一x)*(2九+15)]的最大值.

2.設(shè)。>0/>0,/z=min{a，F(xiàn)---},其中min{x,y}表示兩數(shù)中最小的一個(gè)

a+b

數(shù),

則h的最大值為.

3.已知a,b,c均為正實(shí)數(shù)，記例=max11-+b,1+bc,巴+c］,則M的最小值為_(kāi)

［acabJ

問(wèn)題3：二次函數(shù)的綜合問(wèn)題

引例：已知函數(shù)/,(X)=--蛆+〃2-1

(1)若函數(shù)y=lg［/(x)］定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)加的取值范圍；若值域?yàn)镽,結(jié)論如何？

(2)若函數(shù)|y(x)|在區(qū)間［-1,0］和［2,4］上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(3)是否存在整數(shù)。力(其中a<8)，使得關(guān)于x的不等式a</(x)<b的解集為［a,"?

若存在，求出。力的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

專題7：高中數(shù)學(xué)中具有將指數(shù)下移功能的運(yùn)算方式有哪些？

引例1：(教L11例3)已知均不為1的正數(shù)滿足優(yōu)=/,且J_+JL+JL=O,

xyz

則abc—

910

引例2：己知等式，+2工+2)5=%+q(%+l)+a2(x+l)2++6f9(x+l)+6fl0(x4-l),其中

10

的(i=0,1,2,10)為實(shí)常數(shù)，則2乜的值為

M=1

練習(xí)：

1.(2012江蘇數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽)設(shè)。為正實(shí)數(shù)，k=a以，則女的取值范圍是

2.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足3Wxy?eW8,4W—X<9,則三X'?的最大值是

jy

專題8：函數(shù)與方程的三種語(yǔ)言的等價(jià)轉(zhuǎn)化問(wèn)題

引例1：(教L14例3)己知函數(shù)/(幻=2。/+2x-3在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍是

1x12

引例2：(教114例4(3))設(shè)函數(shù)/(》)=」」一一ax2,其中aeR.若函數(shù)/(x)有四個(gè)

x+2

不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

練習(xí)：

1.已知函數(shù)/(x)=ax3+bx2+(b-a)x(b￥2a且出?m0),試就。力的不同取值情況，

討論函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

2.若函數(shù)/(x)=ax—a(a>0且aw1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是

變式:若存在實(shí)數(shù)m使得a"'=機(jī)(其中a>。且a豐1)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

專題HI導(dǎo)數(shù)中相關(guān)問(wèn)題的再研究

本專題的認(rèn)知地圖，游覽完本景點(diǎn)，你應(yīng)該會(huì)處理以下問(wèn)題：

1.“函數(shù)在某區(qū)間上是增函數(shù)（減函數(shù)）”和“函數(shù)在某區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間（減

區(qū)間”分別如何處理？

2.你知道什么是洛必達(dá)法則（L,Hospital）?它可以用來(lái)優(yōu)化什么問(wèn)題?

【易錯(cuò)題】

1.（教L17基1）水波的半徑以50cm/s的速度向外擴(kuò)展，當(dāng)半徑為250c7W時(shí)，圓面積的

膨脹率是cm1Is

2.（教U7鞏1）半徑為R的圓受熱均勻膨脹，若半徑增加了r,則圓面積的平均膨脹率

是__________

4

3.（教L17鞏4）已知點(diǎn)P在曲線y=---上，a為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則a

+1

的取值范圍

4.（教L18練6）已知函數(shù)/1（X）=x3+ax1+bx+a2在x=1處有極值10,則a+8=_

變式：已知函數(shù)/（￡）=/+d+2/+人，其中若函數(shù)“X）僅在x=0處有

極值，則。的取值范圍是

5.（教L18練8）設(shè)/（x）=—其中。為正實(shí)數(shù).若/（X）為R上的單調(diào)函數(shù)，則。的

\+ax

取值范圍為_(kāi)_______________

6.已知函數(shù)/（無(wú)）=,/-6/+以+1既有極大值又有極小值，實(shí)數(shù)C的取值范圍是一

4

7.（教L19基2）函數(shù)/（x）=l+5-sinx,xw（0,萬(wàn)），則它的單調(diào)遞增區(qū)間為

8.（公切線問(wèn)題）曲線G：y=ln（x+a）；曲線。2：V=---—一，（a〉0）的一條公切

x+aa

線過(guò)點(diǎn)（-a,0）,則實(shí)數(shù)。=

9.（教L19基8）對(duì)于函數(shù)/。）=/+心2一%+1的極值情況，4位同學(xué)有下列說(shuō)法：

甲：該函數(shù)必有2個(gè)極值;乙：該函數(shù)的極大值必大于1

丙：該函數(shù)的極小值必小于1；T：方程/(幻=0一定有3個(gè)不等的實(shí)數(shù)根

這四種說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為

【專題研究、方法梳理】

專題1：導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中兩類問(wèn)題的麗"

引例：設(shè)/(x)=+耳廠+2ac

(12、

(1)若函數(shù)在-上,*上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

I23；

(2)若函數(shù)在(g,+8)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

練習(xí)：設(shè)函數(shù)/(x)=Inx+Y-2o￥+。2,?！闞,

⑴若。=0,求函數(shù)/(%)在［1,同上的最小值；

(2)若函數(shù)/(x)在1,2上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(3)求函數(shù)/(x)的極值點(diǎn).

專題2：洛必達(dá)法則(L?Hospital)簡(jiǎn)介

引例1：(2010年新課標(biāo)全國(guó)卷(理))設(shè)函數(shù)/(X)="-1—X—G：2

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)xNO時(shí)，/(x)20,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

引例2：(2010年湖北理科卷)設(shè)函數(shù)/(為=內(nèi)+2+以。＞0)的圖像在點(diǎn)(1,八1))處的

X

切線方程為y=x—l(1)用a表示出"c；(2)若/(?Ninx在1,+8)上恒成立，求a

的取值范圍.

練習(xí)：

1.設(shè)函數(shù)?r)=a+l)ln(x+l),若對(duì)所有的x20,都有成立，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍為_(kāi)_______________

2.若“xWsinxW/x對(duì)任意的無(wú)￡。，y都成立，則外一4的最小值為.

專題W三角函數(shù)、平面向量中相關(guān)問(wèn)題的再研究

本專題的認(rèn)知地圖，游覽完本景點(diǎn)，你應(yīng)該掌握下列問(wèn)題的處理方法：

I.三角函數(shù)中單位圓問(wèn)題

2.三角函數(shù)中求值和求角問(wèn)題

3.一類與三角函數(shù)圖像有關(guān)的參數(shù)取值問(wèn)題

4.平面向量中算兩次思想

5.平面向量中一類向量系數(shù)和的取值范圍問(wèn)題

6.平面向量中坐標(biāo)法的運(yùn)用舉例與坐標(biāo)法在解題中的應(yīng)用

7.三角形中一個(gè)三角恒等式的深度研究

8.三角恒等變換公式的研究一一個(gè)錯(cuò)誤引發(fā)的若干思考

9.平面向量與三角形四心問(wèn)題的相關(guān)研究

10.對(duì)三角函數(shù)教材中兩個(gè)問(wèn)題的再研究與再思考

11.三角形中的三角問(wèn)題研究

【易錯(cuò)題】

1.(教L20基7)已知角a的終邊上有一點(diǎn)P(4r,-3r)(r工0),則2sina+cosa=

2.(教L20基8)函數(shù)丁=皿!一占￡+叵對(duì)的值域?yàn)?/p>

sinx|tan.r|cosx

3.(教L20鞏4)函數(shù)y=lg(2sinx-l)+Jl-2cosx的定義域?yàn)?/p>

練習(xí)：若cosa=￡2%=-3,又a是第二、三象限角，則次的取值范圍是

4—x

4.(三角函數(shù)中的圖像重合對(duì)稱問(wèn)題)設(shè)函數(shù)/(x)=coss?>0),將y=的圖

像向右平移27T個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖像與原圖像重合，則0的最小值等于:

3

如果所得圖像關(guān)于x軸對(duì)稱，則。的最小值等于

5.(三角函數(shù)中的圖像平移問(wèn)題)將函數(shù)y=sin(2x+?)的圖像向左平移至少個(gè)單

位，可得一個(gè)偶函數(shù)的圖像

Ay

6.(教L22鞏3)函數(shù)/(x)=Asin(tux+Q)(A>0,啰>0,°e[0,2萬(wàn)))

的圖像如圖所示，則°

7.（教L22練10）若函數(shù)y=sin2（x+工）與函數(shù)y=sin2x+acos2x的

圖象的對(duì)稱軸相同，則實(shí)數(shù)a的值為.

8.(教L24練8)已知函數(shù)/(x)=Zasin'-Zgasinxcosx+a+b的定義域是力、萬(wàn)

值域是[2,5],則的值分別為

9.(教L25鞏3)化簡(jiǎn)：j2+2cos8+2jl-sin8的結(jié)果是

53

10.(教L27基6)在△A5C中，已知cosA=—,sinB=-,則cosC=

135

11.（教L27基8）在銳角三角形ABC中，BC=1,B=2A,則AC的取值范圍是

變式:在周長(zhǎng)為16的三角形ABC中，A8所對(duì)的邊分別為〃法，則必gC的取值

范圍是?

12.若】=（1,2）3=（2—網(wǎng)1—%），若兩向量夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是

13.（教L32鞏32）若復(fù)數(shù)z滿足—=則|z+i+l|的最大值為

14.若平面向量滿足：［2。一目43；則的最小值是

【專題研究、方法梳理】

專題1：三角函數(shù)中的單位圓問(wèn)題

引例：2.如圖，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B是單位圓。上的動(dòng)點(diǎn),

C是圓。與x軸正半軸的交點(diǎn)，設(shè)NCQ4=a.

(I)當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為求sina的值;

（H）若04?！瓷?，且當(dāng)點(diǎn)4、B在圓。上沿逆時(shí)針?lè)较蛞?/p>

2

7T

動(dòng)時(shí)，總有乙4。8=—，試求8C的取值范圍.

3

練習(xí)：

1.點(diǎn)P是單位圓上一點(diǎn)，它從初始位置凡開(kāi)始沿單位圓按逆時(shí)針?lè)较?/p>

jr

運(yùn)動(dòng)角a（0＜。＜一）到點(diǎn)片，然后繼續(xù)沿單位圓逆時(shí)針?lè)较?/p>

2

JT4x

運(yùn)動(dòng)§到點(diǎn)?，若點(diǎn)￡的橫坐標(biāo)為-W，cosa的值等于

33

2.角a（04。＜2"）的終邊過(guò)點(diǎn)尸（sin《凡cosgTT）,則&=

專題2：三角函數(shù)中的求值與求角問(wèn)題研究

jl1

引例1：已知--<x<0,sinx+cosx=—，則sinx-cosx=

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變式1：已知乙,萬(wàn)],且一'一十一1—=2后，則sin(2c+工)=______

k2)sinacosa3

變式2：已知tan(a-/7)=g,tan〃=-g,且a,/?w(0,i),求2a-/?的值

思考：已知三角函數(shù)求角選用函數(shù)遵循什么原則？

練習(xí)：

[1Q

1.已知cosa=1,cos(a—/7)=五，.B.0</3<a<—?jiǎng)tCOSP=_______

4

2.(蘇州2013屆零模)己知。為銳角，sin(e+150)=