高中三年級上學期數(shù)學《離散型隨機變量的方差》教學設計

《7.3.2離散型隨機變量的方差》教學設計（一）教學內容本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學選擇性必修第三冊》，第七章《隨機變量及其分布列》，本節(jié)課主要學習離散型隨機變量的方差（二）學情分析1.認知基礎：本節(jié)課是學生已經學習了隨機變量分布列的基礎，剛剛學習了隨機變量的數(shù)學期望計算的基礎上，進一步學習隨機變量的方差.2.認知障礙：閱讀理解是本節(jié)課學生的認知難點.（三）教學目標（1）通過實例,理解取有限個值的離散型隨機變量的方差、標準差的概念和意義.（2）會求離散型隨機變量的方差、標準差.（3）會利用離散型隨機變量的方差、標準差解決一些實際問題.（四）教學重難點：重點：理解離散型隨機變量的方差、標準差的概念及其求解難點：利用離散型隨機變量的方差、標準差解決一些實際問題.（五）教學過程教學環(huán)節(jié)：新課引入教學內容師生活動設計意圖關于智力的性別差異，目前研究較多，而且結論各異，但基本一致的結論有兩方面：第一，男女智力的總體水平大致相等，但男性智力分布的離散程度比女性大，即很聰明的男性和很笨的男性都比女性多，智力中等的女性比男性多；第二，男女的智力結構存在差異，各自具有自己的優(yōu)勢領域．男性的知覺能力較強，尤其是空間知覺能力，男性明顯優(yōu)于女性．女性的聽覺能力較強，特別是對聲音的辨別和定位，女性明顯優(yōu)于男性．男性偏于抽象思維，喜歡數(shù)學、物理和化學等學科．女性長于形象思維，喜歡語文、歷史、人文地理等學科．一般地，女性比男性口語發(fā)展早，在語言流暢性及讀、寫、拼等方面均占優(yōu)勢，但男性在語言理解、言語推理等方面又比女性強．如何定量地描述智力分布的離散程度呢？情景導學，激發(fā)學生的學習興趣教學環(huán)節(jié)：自學新教材，提煉知識要點教學內容師生活動設計意圖一、知識要點方差、標準差的定義及方差的性質(1)方差及標準差的定義：設離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn①方差D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝_____________________.②稱eq\r(DX)為隨機變量X的標準差，記為σ(X)．(2)方差的性質：D(aX＋b)＝．二、知識點的精準理解和深化探究1：從兩名同學中挑出一名代表班級參加射擊比賽。根據(jù)以往的成績記錄，甲、乙兩名同學擊中目標靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如下表1和表2所示：如何評價這兩名同學的射擊水平？表1X678910P0.090.240.320.280.07表2X678910P0.070.220.380.30.03E(X)=8;E(Y)=8因為兩個均值相等，所以均值不能區(qū)分這兩名同學的射擊水平。探究2：怎樣定量到離散型隨機變量取值的離散程度?我們知道,樣本方差可以度量一組樣本數(shù)據(jù)的離散程度,它是通過計算所有數(shù)據(jù)與樣本均值的“偏差平方的平均值”來實現(xiàn)的,一個自然的想法是,隨機變量的離散程度能否用可能取值與均值的“偏差平方的平均值”來度量呢?問題1.某人射擊10次，所得環(huán)數(shù)分別是：1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；則所得的平均環(huán)數(shù)是多少？X1234P4321問題2.某人射擊10次,所得環(huán)數(shù)分別是:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；則這組數(shù)據(jù)的方差是多少？反映這組數(shù)據(jù)相對于平均值的集中程度的量一般地，若離散型隨機變量X的概率分布列為：Xx1x2…xnPp1p2…pn則稱為隨機變量X的方差，有時也記為Var(X).稱σ(X)=DX因此，問題1中兩名同學射擊成績的方差和標準差來刻畫它們成績的穩(wěn)定性。兩名同學射擊成績的方差和標準差分別為:因為D(Y)<D(X)(等價地，)，所以隨機變量Y的取值相對更集中，即乙同學的射擊成績相對更穩(wěn)定。問題3：方差的計算可以簡化嗎？D

=問題4：離散型隨機變量X加上一個常數(shù)，方差會有怎樣變化？離散型隨機變量X乘以一個常數(shù)，方差又有怎樣的變化？它們和期望的性質有什么不同？提問學生自學看教材的知識要點，從中發(fā)現(xiàn)學生理解的薄弱點學生回答并分析，教師補充完善：射擊水平除了要考慮擊中環(huán)數(shù)的均值外，還要考慮穩(wěn)定性，即擊中環(huán)數(shù)的離散程度，圖一和圖二分別是X和Y的概率分布圖：發(fā)現(xiàn)乙同學的射擊成績更集中于8環(huán)，即乙同學的設計成績更穩(wěn)定。離散型隨機變量取值的方差隨機變量的方差和標準差都可以度量隨機變量的取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取值的離散程度，方差或標準差越小，隨機變量的取值越集中；方差或標準差越大，隨機變量的取值越分散。問題3：方差的計算可以簡化嗎？離散型隨機變量X加上一個常數(shù)b，僅僅使X的值產生一個平移，不改變X與其均值的離散程度，方差保持不變，即D(X+b)=D(X)而離散型隨機變量X乘以一個常數(shù)a,其方差變?yōu)樵讲畹腶2倍，即D(aX)=a2D(X),因此，D(aX+b)=a2D(X).因材施教，根據(jù)學生預習的結果，引導下一步教學發(fā)揮學生的主觀能動性，暴露學生思維，教師精準指導從而建立方差的概念，發(fā)展學生邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。加深學生對方差的理解和運用，發(fā)展學生邏輯推理，數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素教學環(huán)節(jié)：例題剖析教學內容師生活動設計意圖例1：拋擲一枚質地均勻的骰子，求擲出的點數(shù)X的方差。解：隨機變量

E(X【跟蹤訓練1】已知η的分布列為η010205060P12121(1)求η的方差及標準差;(2)設Y=2η-E(η),求D(Y).例2：投資A、B兩種股票，每股收益的分布列分別如表1和表二所示：收益X/元-102概率0.10.30.6表1收益X/元012概率0.30.40.3表2（1）投資哪種股票的期望收益大？（2）投資哪種股票的風險較高？解：(1)股票A和股票B投資收益的期望分別為E(X)=(-1)x0.1+0x0.3+2x0.6=1.1,E(Y)=0x0.3+1x0.4+2x0.3=1.因為E(X)>E(Y),所以投資股票A的期望收益較大。（2)股票A和股票B投資收益的方差分別為D(X)=(-1)2x0.1+02x0.3+22x0.6-1.12=1.29,D(Y)=02x0.3+12x0.4+22x0.3-12=0.6.因為E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y),所以資股票A比投資股票B的風險高。【跟蹤訓練2】.A、B兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X1和X2，根據(jù)市場分析，X1和X2的分布列分別為求：(1)在A、B兩個項目上各投資100萬元，Y1和Y2分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，求方差D(Y1)和D(Y2)；(2)根據(jù)得到的結論，對于投資者有什么建議？師生共同分析后學生計算，教師展示解答，糾正學生中不規(guī)范的問題，總結一般方法:方法總結：方差的計算方法方差的計算需要一定的運算能力,在隨機變量X2的均值比較好計算的情況下,運用關系式D(X)=E(X2)-[E(X)]2不失為一種比較實用的方法.另外注意方差性質的應用,如D(aX+b)=a2D(X)(a≠0).學生到黑板上做，其余學生在練習本上寫過程，做完教師講解評價解:(1)∵E(η)=0×13+10×25+20×115+50×215+60D(η)=(0-16)2×13+(10-16)2×25+(20-16)2×115+(50-16)+(60-16)2×115=∴D(η)=(2)∵Y=2η-E(η),∴D(Y)=D(2η-E(η))=22D(η)=4×384=1536.方法總結：利用均值和方差的意義解決實際問題的步驟1.比較均值.離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平,因此,在實際決策問題中,需先計算均值,看一下誰的平均水平高.2.在均值相等或接近的情況下計算方差.方差反映了離散型隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度.通過計算方差,分析一下誰的水平發(fā)揮相對穩(wěn)定.3.下結論.依據(jù)均值和方差做出結論.解：(1)題目可知，投資項目A和B所獲得的利潤Y1和Y2的分布列為：所以;解：(2)由(1)可知，說明投資A項目比投資B項目期望收益要高；同時，說明投資A項目比投資B項目的實際收益相對于期望收益的平均波動要更大.因此，對于追求穩(wěn)定的投資者，投資B項目更合適;而對于更看重利潤并且愿意為了高利潤承擔風險的投資者，投資A項目更合適.通過典例剖析，讓學生體會方差的一般方法，感受數(shù)學模型在數(shù)學應用中的價值。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。教學環(huán)節(jié)：課堂檢測1．給出下列四個命題：①離散型隨機變量X的均值E(X)反映了X取值的平均值；②離散型隨機變量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；③離散型隨機變量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平；④離散型隨機變量X的方差D(X)反映了X取值偏離于均值的平均程度．則正確命題應該是()A．①④ B．②③ C．①② D．③④2．把下面X的分布列填寫完整：并完成問題其中p∈(0,1)，則E(X)＝________，D(X)＝________.X01PP3.已知離散型隨機變量X的分布列如下表.若E(X)=0,D(X)=1,a=,b=.

X-1012Pabc14.甲、乙兩個野生動物保護區(qū)有相同的自然環(huán)境,且野生動物的種類和數(shù)量也大致相等,而兩個保護區(qū)內每個季度發(fā)現(xiàn)違反保護條例的事件次數(shù)的分布列分別如下,甲保護區(qū):X0123P0.30.30.20.2乙保護區(qū):Y012P0.10.50.4試評定這兩個保護區(qū)的管理水平.發(fā)一張小卷子，當堂10分鐘測驗，交上來批改，其中1-3必做，4根據(jù)具體學生接受情況和課堂時間選做1.D2.解析：而由已知分布列的性質有p＋x＝1，x=1-pE(X)＝0×(1-p)＋1×p＝p，∴D(X)＝(0－p)2(1-p)＋(1－p)2p＝p(1-p).答案：1-p；p；p(1-p)3.解析:由題知a+b+c=1112,-a+c+16=0,12×a+12×c+22×1解得a=512,b=14.4.解:甲保護區(qū)違規(guī)次數(shù)X的數(shù)學期望和方差為E(X)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3,D(X)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.乙保護區(qū)的違規(guī)次數(shù)Y的數(shù)學期望和方差為E(Y)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,D(Y)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.因為E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),所以兩個保護區(qū)內每個季度發(fā)生的