常微分方程試題庫

PAGEPAGE6常微分方程一、填空題1．微分方程的階數(shù)是____________答：12．若和在矩形區(qū)域內(nèi)是的連續(xù)函數(shù),且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則方程有只與有關(guān)的積分因子的充要條件是_________________________答：3．_________________________________________稱為齊次方程.答：形如的方程4．如果___________________________________________,則存在唯一的解,定義于區(qū)間上,連續(xù)且滿足初始條件,其中 _______________________.答：在上連續(xù)且關(guān)于滿足利普希茲條件5．對于任意的,(為某一矩形區(qū)域),若存在常數(shù)使______________________,則稱在上關(guān)于滿足利普希茲條件.答：6．方程定義在矩形區(qū)域:上,則經(jīng)過點(diǎn)的解的存在區(qū)間是___________________答：7．若是齊次線性方程的個(gè)解,為其伏朗斯基行列式,則滿足一階線性方程___________________________________答：8．若為齊次線性方程的一個(gè)基本解組，為非齊次線性方程的一個(gè)特解,則非齊次線性方程的所有解可表為_____________________答：9．若為畢卡逼近序列的極限，則有__________________答：10．______________________稱為黎卡提方程，若它有一個(gè)特解，則經(jīng)過變換___________________，可化為伯努利方程．答：形如的方程11．一個(gè)不可延展解的存在區(qū)間一定是區(qū)間．答：開12．方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是．答：，（或不含x軸的上半平面）13．方程的所有常數(shù)解是．答：14．函數(shù)組在區(qū)間I上線性無關(guān)的條件是它們的朗斯基行列式在區(qū)間I上不恒等于零．答：充分15．二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解為方程的基本解組充分必要條件是．答：線性無關(guān)（或：它們的朗斯基行列式不等于零）16．方程的基本解組是．答：3．討論方程，的解的存在區(qū)間解：兩邊積分所以方程的通解為故過的解為通過點(diǎn)的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到２，所以解的存在區(qū)間為4．求方程的奇解解:利用判別曲線得消去得即所以方程的通解為,所以是方程的奇解5．解:=,=,=,所以方程是恰當(dāng)方程.得所以故原方程的解為6．解:故方程為黎卡提方程.它的一個(gè)特解為,令,則方程可化為,即,故7．解:兩邊同除以得所以,另外也是方程的解8．解當(dāng)時(shí)，分離變量得等式兩端積分得即通解為9.解齊次方程的通解為令非齊次方程的特解為代入原方程，確定出原方程的通解為+10.解方程兩端同乘以，得令，則，代入上式，得通解為原方程通解為11．解因?yàn)椋栽匠淌侨⒎址匠蹋?，原方程的通積分為即12．解：當(dāng)，時(shí)，分離變量取不定積分，得通積分為13．解原方程可化為于是積分得通積分為14．解：令，則，代入原方程，得分離變量，取不定積分，得（）通積分為：15．解令，則，代入原方程，得，當(dāng)時(shí)，分離變量，再積分，得即通積分為：16．解：齊次方程的通解為令非齊次方程的特解為代入原方程，確定出原方程的通解為+17.解積分因子為原方程的通積分為即18．解：原方程為恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程，可改寫為即分離變量得積分得通積分19．解令，則原方程的參數(shù)形式為由基本關(guān)系式，有積分得得原方程參數(shù)形式通解為20．解原方程可化為于是積分得通積分為21．解：由于，所以原方程是全微分方程．取，原方程的通積分為即四、計(jì)算題1．求方程的通解．解對應(yīng)的齊次方程的特征方程為：特征根為：故齊次方程的通解為：因?yàn)槭菃翁卣鞲?，設(shè)非齊次方程的特解為代入原方程，有，可解出．故原方程的通解為2．求下列方程組的通解．解方程組的特征方程為即特征根為，對應(yīng)的解為其中是對應(yīng)的特征向量的分量，滿足可解得．同樣可算出對應(yīng)的特征向量分量為．所以，原方程組的通解為3．求方程的通解．解：方程的特征根為，齊次方程的通解為因?yàn)椴皇翘卣鞲Ｋ?，設(shè)非齊次方程的特解為代入原方程，比較系數(shù)得確定出，原方程的通解為4．求方程的通解．解對應(yīng)齊次方程的特征方程為，特征根為，，齊次方程的通解為因?yàn)槭翘卣鞲Ｋ?，設(shè)非齊次方程的特解為代入原方程，比較系數(shù)確定出，，原方程的通解為五、證明題1．在方程中，已知，在上連續(xù)，且．求證：對任意和，滿足初值條件的解的存在區(qū)間必為．證明:由已知條件，該方程在整個(gè)平面上滿足解的存在唯一及解的延展定理?xiàng)l件．顯然是方程的兩個(gè)常數(shù)解．任取初值，其中,．記過該點(diǎn)的解為，由上面分析可知，一方面可以向平面無窮遠(yuǎn)處無限延展；另一方面又上方不能穿過，下方不能穿過，否則與惟一性矛盾．故該解的存在區(qū)間必為．2．設(shè)和是方程的任意兩個(gè)解，求證：它們的朗斯基行列式，其中為常數(shù)．證明:如果和是二階線性齊次方程的解，那么由劉維爾公式有現(xiàn)在，故有3．在方程中，已知，在上連續(xù)．求證：該方程的任一非零解在平面上不能與x軸相切．證明:由已知條件可知，該方程滿足解的存在惟一及解的延展定理?xiàng)l件，且任一解的存在區(qū)間都是．顯然，該方程有零解．假設(shè)該方程的任一非零解在x軸上某點(diǎn)處與x軸相切，即有=0，那么由解的惟一性及該方程有零解可知，這是因?yàn)榱憬庖矟M足初值條件=0，于是由解的惟一性，有．這與是非零解矛盾．4．在方程中，在上連續(xù)，求證：若恒不為零，則該方程的任一基本解組的朗斯基行列式是上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)．證明:設(shè)，是方程的基本解組，則對任意，它們朗斯基行列式在上有定義，且．又由劉維爾公式，由于，，于是對一切，有或故是