4.5.1　函數(shù)的零點與方程的解

4.5.1函數(shù)的零點與方程的解第四章

§4.5函數(shù)的應用(二)1.了解函數(shù)的零點、方程的解與圖象交點三者之間的聯(lián)系.2.會借助函數(shù)零點存在定理判斷函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間.3.能借助函數(shù)單調(diào)性及圖象判斷零點個數(shù).學習目標一、函數(shù)的零點與方程的解問題1

觀察下列三組方程與函數(shù)：方程函數(shù)x2－2x－3＝0y＝x2－2x－3x2－2x＋1＝0y＝x2－2x＋1x2－2x＋3＝0y＝x2－2x＋3利用函數(shù)圖象探究方程的根與函數(shù)圖象與x軸的交點之間的關(guān)系.提示方程x2－2x－3＝0的根為－1,3，函數(shù)y＝x2－2x－3的圖象與x軸交于點(－1,0)，(3,0)；x2－2x＋1＝0有兩個相等的實數(shù)根，為1，函數(shù)y＝x2－2x＋1的圖象與x軸有唯一交點(1,0)；x2－2x＋3＝0沒有實根，函數(shù)y＝x2－2x＋3的圖象與x軸無交點.問題2問題1中的函數(shù)的零點是函數(shù)圖象與x軸的交點坐標嗎？提示不是，零點不是點，零點是函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標.知識梳理1.概念：對于一般函數(shù)y＝f(x)，我們把使

的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點.2.函數(shù)的零點、函數(shù)的圖象與x軸的交點、對應方程的解的關(guān)系：f(x)＝0f(x)＝0x軸注意點：(1)零點不是點，是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標；(2)求零點可轉(zhuǎn)化為求對應方程的解；(3)不能用公式求解的方程，可以與函數(shù)聯(lián)系起來，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)找零點，然后得到方程的解.√√反思感悟探究函數(shù)零點的兩種求法(1)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實數(shù)根，若存在實數(shù)根，則函數(shù)存在零點，否則函數(shù)不存在零點.(2)幾何法：與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，圖象與x軸的交點的橫坐標即為函數(shù)的零點.跟蹤訓練1

求下列函數(shù)的零點：解當x≤0時，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3(x＝1舍去)；當x>0時，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2.(2)f(x)＝(lgx)2－lgx.解令(lgx)2－lgx＝0，則lgx(lgx－1)＝0，∴l(xiāng)gx＝0或lgx＝1，∴x＝1或x＝10，∴函數(shù)f(x)的零點是1,10.二、函數(shù)零點存在定理問題3探究函數(shù)y＝x2＋4x－5的零點所在區(qū)間及零點所在區(qū)間的端點對應函數(shù)值的正負情況，并說明函數(shù)圖象在零點附近有什么變化規(guī)律？提示利用圖象可知，零點－5∈(－6，－4)，零點1∈(0,2)，且f(－6)·f(－4)<0，f(0)·f(2)<0，且函數(shù)圖象在零點附近是連續(xù)不斷的.知識梳理函數(shù)零點存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條

的曲線，且有

，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得

，這個c也就是方程f(x)＝0的解.注意點：(1)定理要求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且

；(2)閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)y＝f(x)，

是函數(shù)有零點的充分不必要條件；(3)該定理是用來判斷函數(shù)的變號零點，比如y＝x2，有零點為0，但是該零點的兩側(cè)函數(shù)值的符號相同，稱為不變號零點.連續(xù)不斷f(a)f(b)<0f(c)＝0f(a)·f(b)<0f(a)·f(b)<0例2

(多選)若函數(shù)f(x)的圖象在R上連續(xù)不斷，且滿足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，則下列說法錯誤的是A.f(x)在區(qū)間(0,1)上一定有零點，在區(qū)間(1,2)上一定沒有零點B.f(x)在區(qū)間(0,1)上一定沒有零點，在區(qū)間(1,2)上一定有零點C.f(x)在區(qū)間(0,1)上一定有零點，在區(qū)間(1,2)上可能有零點D.f(x)在區(qū)間(0,1)上可能有零點，在區(qū)間(1,2)上一定有零點解析由題知f(0)·f(1)<0，所以根據(jù)函數(shù)零點存在定理可得，f(x)在區(qū)間(0,1)上一定有零點，又f(1)·f(2)>0，因此無法判斷f(x)在區(qū)間(1,2)上是否有零點.√√√反思感悟確定函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間的常用方法(1)解方程法：當對應方程f(x)＝0易解時，可先解方程，再看求得的根是否落在給定區(qū)間上.(2)利用函數(shù)零點存在定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點.(3)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.A.(0,1) B.(1,10) C.(10,100) D.(100，＋∞)解析函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，且函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，√∴在(1,10)內(nèi)，函數(shù)f(x)存在零點.三、函數(shù)零點個數(shù)的問題問題4你現(xiàn)在能說出問題1中的三個函數(shù)的零點的個數(shù)嗎？是怎么判斷的？提示第一個函數(shù)有兩個零點，第二個函數(shù)有一個零點，第三個函數(shù)沒有零點.可以直接求解或利用二次函數(shù)的判別式判斷個數(shù)，對于一般的函數(shù)可利用函數(shù)圖象判斷與x軸的交點個數(shù).例3

判斷下列函數(shù)的零點的個數(shù).(2)f(x)＝lnx＋x2－3.解方法一

函數(shù)對應的方程為lnx＋x2－3＝0，所以原函數(shù)零點的個數(shù)即為函數(shù)y＝lnx與y＝3－x2的圖象交點的個數(shù).在同一平面直角坐標系下，作出兩函數(shù)的圖象(如圖).由圖象知，函數(shù)y＝3－x2與y＝lnx的圖象只有一個交點.從而方程lnx＋x2－3＝0有一個根，即函數(shù)f(x)＝lnx＋x2－3有一個零點.方法二

由于f(1)＝ln1＋12－3＝－2<0，f(2)＝ln2＋22－3＝ln2＋1>0，所以f(1)·f(2)<0，又f(x)＝lnx＋x2－3的圖象在(1,2)上是連續(xù)的，所以f(x)在(1,2)上必有零點，又f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增的，所以零點只有一個.反思感悟判斷函數(shù)零點個數(shù)的四種常用方法(1)利用方程根，轉(zhuǎn)化為解方程，有幾個不同的實數(shù)根就有幾個零點.(2)畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象，判定它與x軸的交點個數(shù)，從而判定零點的個數(shù).(3)結(jié)合單調(diào)性，利用函數(shù)零點存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)內(nèi)零點的個數(shù).(4)轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題.解析作出g(x)與f(x)的圖象如圖，由圖知f(x)與g(x)的圖象有3個交點，即h(x)有3個零點.31.知識清單：(1)函數(shù)的零點定義.(2)函數(shù)的零點與方程的解的關(guān)系.(3)函數(shù)零點存在定理.(4)函數(shù)零點個數(shù)的判斷.2.方法歸納：定理法、方程法、數(shù)形結(jié)合法.3.常見誤區(qū)：零點理解成點；零點個數(shù)問題不能轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象交點個數(shù)的問題.課堂小結(jié)隨堂演練1.函數(shù)f(x)＝log2x的零點是A.1 B.2 C.3 D.41234√解析令f(x)＝log2x＝0，解得x＝1.解析易知f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.√123412343.對于函數(shù)f(x)，若f(－1)·f(3)<0，則A.方程f(x)＝0一定有一實數(shù)解

B.方程f(x)＝0一定無實數(shù)解C.方程f(x)＝0一定有兩實根

D.方程f(x)＝0可能無實數(shù)解√解析∵函數(shù)f(x)的圖象在(－1,3)上未必連續(xù)，故盡管有f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能無實數(shù)解.1234解析∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.4.函數(shù)f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零點有___個.3課時對點練基礎鞏固1234567891011121314151.若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象為一條連續(xù)不斷的曲線，則下列說法正確的是A.若f(a)f(b)>0，不存在實數(shù)c∈(a，b)使得f(c)＝0B.若f(a)f(b)<0，存在且只存在一個實數(shù)c∈(a，b)使得f(c)＝0C.若f(a)f(b)>0，有可能存在實數(shù)c∈(a，b)使得f(c)＝0D.若f(a)f(b)<0，有可能不存在實數(shù)c∈(a，b)使得f(c)＝0解析對于選項A，可能存在；對于選項B，必存在但不一定唯一；選項D顯然不成立.16√2.下列函數(shù)不存在零點的是123456789101112131415解析令y＝0，得選項A和C中的函數(shù)的零點均為1和－1；16√只有選項D中函數(shù)無零點.1234567891011121314153.函數(shù)f(x)＝log3x－8＋2x的零點一定位于區(qū)間A.(5,6) B.(3,4) C.(2,3) D.(1,2)√解析f(3)＝log33－8＋2×3＝－1<0，f(4)＝log34－8＋2×4＝log34>0.又因為f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以其零點一定位于區(qū)間(3,4).161234567891011121314154.已知f(x)為奇函數(shù)，且該函數(shù)有三個零點，則三個零點之和等于A.0 B.1 C.－1 D.不能確定解析因為奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，所以若f(x)有三個零點，則其和必為0.√16123456789101112131415解析當x≤1時，令2x－1＝0，得x＝0.√16綜上所述，函數(shù)f(x)的零點為0.1234567891011121314156.(多選)下列圖象表示的函數(shù)中有兩個零點的有√16√解析根據(jù)零點的定義，零點是函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標，選項A中與x軸沒有交點，即函數(shù)沒有零點；選項B中函數(shù)圖象與x軸只有一個交點，即函數(shù)只有一個零點；選項C，D中函數(shù)圖象與x軸有兩個交點，即函數(shù)有兩個零點.123456789101112131415解析因為函數(shù)f(x)＝x2＋x－1的兩個零點分別為x1和x2，所以x1和x2是x2＋x－1＝0的兩個實數(shù)根，所以x1＋x2＝－1，x1x2＝－1，1611234567891011121314158.已知函數(shù)f(x)＝x2－ax－b的兩個零點是2和3，則函數(shù)g(x)＝bx2－ax－1的零點是__________.解析由題意知，方程x2－ax－b＝0的兩根為2,3，16即為函數(shù)g(x)的零點.1234567891011121314159.判斷下列函數(shù)是否存在零點，如果存在，請求出其零點.(1)f(x)＝－x2＋2x－1；解令－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1，所以函數(shù)f(x)＝－x2＋2x－1的零點為1.16(2)f(x)＝x4－x2；解令f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0或x＝1或x＝－1，故函數(shù)f(x)＝x4－x2的零點為0，－1和1.123456789101112131415(3)f(x)＝4x＋5；16(4)f(x)＝log3(x＋1).解令4x＋5＝0，則4x＝－5，因為4x>0，－5<0，所以方程4x＋5＝0無實數(shù)解.所以函數(shù)f(x)＝4x＋5不存在零點.解令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函數(shù)f(x)＝log3(x＋1)的零點為0.123456789101112131415解∵－1和2是函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的零點，∴－1和2是x2＋ax＋b＝0的兩個實數(shù)解，∴－1＋2＝－a，－1×2＝b，即a＝－1，b＝－2.∴g(x)＝－x3－2x＋4.∵g(1)＝1，g(2)＝－8，g(1)g(2)<0，∴y＝g(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點.又∵y＝g(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，∴y＝g(x)只有一個零點.綜上可知，函數(shù)g(x)的零點所在的大致區(qū)間為(1,2).1610.函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的零點是－1和2，判斷函數(shù)g(x)＝ax3＋bx＋4的零點所在的大致區(qū)間.123456789101112131415綜合運用A.2 B.3 C.4 D.2或3或4√161234567891011121314151612345678910111213141512.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，且圖象是連續(xù)不斷的，若f(a)·f(b)＜0，則方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上A.至少有一實數(shù)根

B.至多有一實數(shù)根C.沒有實數(shù)根

D.必有唯一的實數(shù)根√解析由題意知函數(shù)f(x)為連續(xù)函數(shù)，∵f(a)·f(b)＜0，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上至少有一個零點，又∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上至多有一個零點，故函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有且只有一個零點，即方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]內(nèi)必有唯一的實數(shù)根.1613.已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是條連續(xù)不斷的曲線，有如下對應值，則下列說法正確的是12345678910111213141516x123456y123.5621.45－7.8211.45－53.76－128.88A.函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1,6]上有3個零點B.函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1,6]上至少有3個零點C.函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1,6]上至多有3個零點D.函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1,2]上無零點√解析由表可知f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0.由函數(shù)零點存在定理，知函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(2,3)，(3,4)，(4,5)上分別至少存在1個零點，所以函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1,6]上至少有3個零點.雖然f(1)·f(2)>0，但函數(shù)y＝f(x)在[1,2]上也有可能存在零點.1234567891011121314151614.已知函數(shù)f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零點依次為a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系是_______.(用“<”連接)12345678910111213141516a<b<c解析畫出函數(shù)y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的圖象，如圖所示，觀察圖象可知，函數(shù)f(x)＝3x＋x，g(x)＝log