25屆（新教材QG版）數(shù)學(xué)新考案基礎(chǔ)課36基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積

題盡5也可聯(lián)系第七單元立體幾何基礎(chǔ)課36基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積考點(diǎn)考向課標(biāo)要求真題印證考頻熱度核心素養(yǎng)空間幾何體的結(jié)構(gòu)了解2023年新高考Ⅰ卷T★☆☆直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算空間幾何體的表面積與體積掌握2023年新高考Ⅰ卷T2023年新高考Ⅱ卷T9、★★★直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算命題分析預(yù)測(cè)從近幾年高考的情況來(lái)看，以柱體、錐體和球體為背景求空間幾何體的表面積與體積是高考?？純?nèi)容，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，屬于簡(jiǎn)單題.預(yù)計(jì)2025年高考命題會(huì)出現(xiàn)數(shù)學(xué)文化題，因此在平時(shí)備考時(shí)既要訓(xùn)練常規(guī)題型，又要注重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1.多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相①平行且②全等多邊形互相③平行且④相似側(cè)棱⑤平行且相等相交于⑥一點(diǎn)，但不一定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀⑦平行四邊形⑧三角形梯形2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線互相平行且相等，⑨垂直于底面相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)軸截面⑩矩形?等腰三角形等腰梯形圓面?zhèn)让嬲归_(kāi)圖?矩形?扇形扇環(huán)二、特殊的棱柱與棱錐的結(jié)構(gòu)特征棱柱側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫作斜棱柱；側(cè)棱?垂直于底面的棱柱叫作直棱柱；底面是?正多邊形的直棱柱叫作正棱柱棱錐底面是?正多邊形，并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫作正棱錐；特別地，各棱均相等的正三棱錐叫作?正四面體三、直觀圖的斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則建系在原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，在直觀圖中x′軸，y′軸的夾角為?45°（或135°），z′規(guī)則在原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，在直觀圖中仍分別?平行于坐標(biāo)軸；平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度?不變；平行于y軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的?一半.【注意】直觀圖與原圖形面積間的關(guān)系為S四、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=S圓錐側(cè)=S圓臺(tái)側(cè)=【提醒】幾何體的側(cè)面積是指（各個(gè)）側(cè)面面積之和，而表面積是側(cè)面積與所有底面面積之和.五、柱、錐、臺(tái)、球體的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體（棱柱和圓柱）SV=?錐體（棱錐和圓錐）SV=?臺(tái)體（棱臺(tái)和圓臺(tái)）SV球S=?V=?41.正方體與球的切、接常用結(jié)論：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，（1）若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R=（2）若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R=（3）若球與正方體的各棱相切，則2R=2.若長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，其外接球的半徑為R，則2R=3.正四面體的外接球的半徑R=64a（a為該正四面體的棱長(zhǎng)），內(nèi)切球的半徑4.S原圖形題組1走出誤區(qū)1.判一判.（對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”）（1）有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.(×)（2）有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.(×)（3）菱形的直觀圖仍是菱形.(×)（4）兩個(gè)球的體積之比等于它們的半徑之比的平方.(×)2.（易錯(cuò)題）若把長(zhǎng)、寬分別為4，2的矩形卷成一個(gè)圓柱的側(cè)面，則這個(gè)圓柱的體積為8π或4【易錯(cuò)點(diǎn)】容易忽略母線長(zhǎng)的其中一種情況而致誤.[解析]設(shè)圓柱的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l,高為?.如圖1所示，當(dāng)2πr=4,l=2時(shí)，如圖2所示，當(dāng)2πr=2,l=4時(shí)，r=1π題組2走進(jìn)教材3.（人教A版必修②P119·T1改編）已知圓錐的表面積為3m2，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面直徑為[解析]設(shè)圓錐的底面半徑為rm，母線長(zhǎng)為lm，則由題意得3=πr2+πrl.①又圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，所以2πr=πl(wèi)4.（人教A版必修②P120·T5改編）設(shè)一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上，它的棱長(zhǎng)是acm,則球的體積為(CA.3π4a3cm3 B.3[解析]因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為acm，所以正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為3acm，所以球的半徑R=3題組3走向高考5.[2023·新高考Ⅰ卷]在正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1[解析]如圖，過(guò)點(diǎn)A1作A1M⊥AC，垂足為M，易知A1M為四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1的高，因?yàn)榭键c(diǎn)一基本立體圖形［多維探究］結(jié)構(gòu)特征典例1（1）給出下列四個(gè)命題：①有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱；②側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；③側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長(zhǎng)方體；④若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱．其中所有假命題的序號(hào)是(D).A.②③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④[解析]認(rèn)識(shí)棱柱一般要從側(cè)棱與底面的垂直與否和底面多邊形的形狀兩方面去分析，故①③為假命題；對(duì)等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說(shuō)明，故②為假命題；平行六面體的兩個(gè)相對(duì)側(cè)面也可能與底面垂直且互相平行，故④為假命題.故選D.（2）給出下列結(jié)論：①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓；④用一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)；⑤用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓面，則這個(gè)幾何體一定是球.其中正確結(jié)論的序號(hào)是⑤．[解析]①中若這條邊是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐，①錯(cuò)誤；②中若這條腰不是垂直于兩底的腰，則得到的不是圓臺(tái)，②錯(cuò)誤；圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面，③錯(cuò)誤；④中如果用不平行于圓錐底面的平面截圓錐，那么得到的不是圓錐和圓臺(tái)，④錯(cuò)誤；只有球滿足任意截面都是圓面，⑤正確.空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判定方法定義法緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本要素，再根據(jù)定義進(jìn)行判定反例法通過(guò)反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，要說(shuō)明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，只需舉出一個(gè)反例直觀圖典例2（1）已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，則△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為(DA.34a2 B.38a2[解析]圖①、圖②分別是△ABC由斜二測(cè)畫(huà)法可知，A′B′=在圖②中作C′D′⊥A′B′于點(diǎn)D（2）[2024·遼寧聯(lián)考]已知矩形ABCD，采用斜二測(cè)畫(huà)法作出其直觀圖，若其直觀圖的面積為2，則矩形ABCD的周長(zhǎng)的最小值為8.[解析]設(shè)矩形ABCD的長(zhǎng)與寬分別為a,b，根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法可知，直觀圖的面積S′與原圖的面積S之間滿足S′S=24，即2ab=2斜二測(cè)畫(huà)法中的“3變”與“3不變”1.“三變”坐標(biāo)軸的夾角改變,2.“三不變”平行性不改變,1.給出下列命題：①若在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；③棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等.其中真命題的個(gè)數(shù)是(A).A.0 B.1 C.2 D.3[解析]①為假命題，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線；②為假命題，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體；③為假命題，棱臺(tái)的上、下底面相似且是對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等.故選A.2.[2024·河南模擬]在直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC水平放置（如圖所示）.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A22,0，B22,A.4 B.42 C.8 D.[解析]如圖，畫(huà)出直觀圖，過(guò)點(diǎn)A′作A′D因?yàn)镺′C′=所以O(shè)′C′//A′B′故四邊形O′A′故選A.考點(diǎn)二表面積與體積［多維探究］表面積（側(cè)面積）典例3（1）若六棱柱的底面是邊長(zhǎng)為3的正六邊形，側(cè)面為矩形，側(cè)棱長(zhǎng)為4，則其側(cè)面積為(D).A.12 B.48 C.64 D.72[解析]因?yàn)榱庵牡酌媸沁呴L(zhǎng)為3的正六邊形，所以底面周長(zhǎng)C=6×3=18，又側(cè)面是矩形，側(cè)棱長(zhǎng)為4，所以棱柱的高（2）若圓錐高的平方等于其底面圓的半徑與母線的乘積，則稱此圓錐為“黃金圓錐”.現(xiàn)有一個(gè)“黃金圓錐”，則該“黃金圓錐”的側(cè)面積與表面積的比值是(A).A.5?12 B.3?52[解析]設(shè)該“黃金圓錐”的底面圓半徑為r，母線長(zhǎng)為l，高為?，則?=lr.因?yàn)閘2=?因?yàn)樵搱A錐的側(cè)面積S側(cè)=πl(wèi)r所以S表S側(cè)故選A.求空間幾何體的表面積的方法求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開(kāi)”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過(guò)程及其幾何特征入手，將其展開(kāi)后求表面積，但要搞清楚它們的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開(kāi)圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系求不規(guī)則幾何體的表面積通常將所給幾何體分割（補(bǔ)形）成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺(tái)體的表面積，再通過(guò)求和或作差，求出所給幾何體的表面積體積典例4（1）[2024·廣西聯(lián)考]已知圓錐SO的底面圓半徑OA=1，側(cè)面的平面展開(kāi)圖的面積為3πA.22π3 B.23π3[解析]設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，高為?，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開(kāi)圖面積S=π?OA?則?=l2?O（2）如圖所示，已知三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為1，且AA.312 B.34 C.612[解析]因?yàn)槿忮FB1?ABC1的體積等于三棱錐A?B1BC1（3）如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF//AB，A.23 B.33 C.43[解析]如圖，分別過(guò)點(diǎn)A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，容易求得EG=HF=12，AG=GD∴S∴該多面體的體積V=故選A.求空間幾何體的體積的方法公式法規(guī)則的幾何體的體積問(wèn)題，直接利用公式進(jìn)行求解割補(bǔ)法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)形為規(guī)則的幾何體等體積法通過(guò)選擇合適的底面來(lái)求幾何體體積的一種方法，多用來(lái)求錐體的體積，特別是三棱錐的體積1.[2022·全國(guó)甲卷]甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為2π，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為V甲和V乙.若SA.5 B.22 C.10 D.[解析]如圖，甲、乙兩個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖剛好拼成一個(gè)圓，設(shè)圓的半徑（即圓錐母線長(zhǎng)）為3，甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為r1，r2，高分別為?1則2πr1=4π，由勾股定理可得?1=5∴V甲V2.[2024·北海模擬]如圖，這個(gè)幾何體是由底面直徑為2，高為3的圓柱的上底面挖去半個(gè)球得到的，則該幾何體的表