25屆（新教材QG版）數(shù)學(xué)新考案基礎(chǔ)課51用樣本估計(jì)總體

基礎(chǔ)課51用樣本估計(jì)總體考點(diǎn)考向課標(biāo)要求真題印證考頻熱度核心素養(yǎng)用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體集中趨勢(shì)和離散程度理解2023年新高考Ⅰ卷T2023年新高考Ⅱ卷T2023年全國甲卷T2023年全國乙卷T2023年上海卷T★★★數(shù)據(jù)分析數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)建模命題分析預(yù)測(cè)從近幾年高考的情況來看，對(duì)用樣本估計(jì)總體的考查主要是統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用、總體集中趨勢(shì)和總體離散程度的估計(jì)，單獨(dú)命題常以客觀題的形式出現(xiàn)，也常作為解答題的一問或者一部分出現(xiàn)，屬于低、中檔題，命題熱點(diǎn)是情境化試題.預(yù)計(jì)2025年的高考命題情況變化不大，本基礎(chǔ)課易設(shè)置多選題，在備考復(fù)習(xí)中，要多注意對(duì)多選題的訓(xùn)練，做到全面復(fù)習(xí)一、中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、百分位數(shù)1.中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫作這組數(shù)據(jù)的①中位數(shù).2.眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)②最多的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).3.平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的③算術(shù)平均數(shù)為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，n個(gè)數(shù)據(jù)x1,x2,?,xn4.百分位數(shù)：一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣的一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)⑤小于或等于這個(gè)值，且至少有⑥1005.四分位數(shù)：⑦25%分位數(shù),50%分位數(shù),75二、樣本的數(shù)據(jù)特征如果有n個(gè)數(shù)據(jù)x1,x2,?,1.平均數(shù)x=2.標(biāo)準(zhǔn)差s=3.方差s2平均數(shù)、方差的公式推廣1.若數(shù)據(jù)x1，x2，?，xn（1）數(shù)據(jù)mx1+a，mx2+a，（2）數(shù)據(jù)x1+a1,x2+a2,2.若數(shù)據(jù)x1，x2，?，xn（1）數(shù)據(jù)x1+a，x2+a，（2）數(shù)據(jù)ax1，ax2，?，題組1走出誤區(qū)1.判一判.（對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”）（1）對(duì)一組數(shù)據(jù)來說，平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近.(×)（2）在頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是眾數(shù).(√)（3）方差與標(biāo)準(zhǔn)差具有相同的單位.(×)（4）若一組數(shù)中每個(gè)數(shù)減去同一個(gè)非零常數(shù)，則這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不變.(√)2.（多選題）（易錯(cuò)題）《滿江紅》憑借喜劇元素和家國情懷，以25.96億票房成為檔期內(nèi)票房冠軍，另一部科幻續(xù)作《流浪地球2》則成為最高口碑電影.如圖，這是這兩部電影連續(xù)7天的日票房情況，則(ABD).A.《滿江紅》日票房平均數(shù)大于《流浪地球2》日票房平均數(shù)B.《滿江紅》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差C.《滿江紅》日票房極差小于《流浪地球2》日票房極差D.《滿江紅》日票房的下四分位數(shù)小于《流浪地球2》日票房的上四分位數(shù)【易錯(cuò)點(diǎn)】不能正確利用數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度比較方差大小且不清楚四分位數(shù)的概念而致誤.[解析]由圖表可得《滿江紅》日票房都大于《流浪地球2》日票房，所以《滿江紅》日票房平均數(shù)大于《流浪地球2》日票房平均數(shù)，故A正確;由圖可得《滿江紅》日票房單日票房數(shù)據(jù)波動(dòng)更大，《滿江紅》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差，故B正確；《滿江紅》日票房極差大于《流浪地球2》日票房極差，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?×0.25=1.75，《滿江紅》日票房的下四分位數(shù)是從小到大排序第2個(gè)數(shù)，因?yàn)?×題組2走進(jìn)教材3.（人教A版必修②P222?T2A.平均數(shù)為3，中位數(shù)為2 B.中位數(shù)為3，眾數(shù)為2C.平均數(shù)為2，方差為2.4 D.中位數(shù)為3，方差為2.8[解析]對(duì)于A，當(dāng)骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，1，2，5，6時(shí)，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為2，出現(xiàn)了6點(diǎn)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)骰子出現(xiàn)結(jié)果為2，2，3，4，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，出現(xiàn)了6點(diǎn)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若平均數(shù)為2，且出現(xiàn)了6點(diǎn)，則方差s2>156?22=3.2>4.（雙空題）（人教A版必修②P212·例6改編）某學(xué)校在對(duì)高一年級(jí)學(xué)生的肺活量進(jìn)行調(diào)查時(shí)，采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本.如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生20人，他們肺活量的平均數(shù)為3000mL，方差為10；抽取了女生30人，她們肺活量的平均數(shù)為2500mL，方差為20.由此可得抽取的高一年級(jí)學(xué)生肺活量的平均數(shù)為2700mL，方差為[解析]把抽取的男生肺活量數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為x,方差記為sx2,女生肺活量數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為y,方差記為sy2；把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為z,方差記為s2.由x=3000,y題組3走向高考5.[2023·上海卷改編]現(xiàn)有某地一年四個(gè)季度的GDP（單元：億元），第一季度的GDP為232億元，第四季度的GDP為241億元，四個(gè)季度的GDP逐季度增長，且中位數(shù)與平均數(shù)相同，則該地一年的GDP為946億元.[解析]設(shè)第二季度GDP為x億元，第三季度GDP為y億元，則232<x<y<241，因?yàn)橹形粩?shù)與平均數(shù)相同，所以x+考點(diǎn)一總體百分位數(shù)的估計(jì)［自主練透］1.[2024·安徽模擬]如圖，這是根據(jù)某市3月1日至3月10日的最低氣溫（單位：℃）的情況繪制的折線統(tǒng)計(jì)圖，由圖可知這10天最低氣溫的第80百分位數(shù)是(D).A.?2 B.0 C.1 [解析]由折線圖可知，這10天的最低氣溫按照從小到大的順序排列為?3，?2，?1，?1，0，0，1，2，2，2，因?yàn)楣灿?0個(gè)數(shù)據(jù)，所以10×2.[2024·浙江模擬]（多選題）已知100個(gè)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是9.3，則下列說法不正確的是(ABD).A.這100個(gè)數(shù)據(jù)中一定有75個(gè)數(shù)小于或等于9.3B.把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個(gè)數(shù)據(jù)C.把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個(gè)數(shù)據(jù)和第76個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)D.把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個(gè)數(shù)據(jù)和第74個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)[解析]因?yàn)?00×75%=75為整數(shù)，所以把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，第75個(gè)數(shù)據(jù)和第76個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為第75百分位數(shù)，是9.3，則3.若將高三某班60名學(xué)生參加某次數(shù)學(xué)模擬考試所得的成績（成績均為整數(shù)）整理后畫出頻率分布直方圖如圖所示，則該班的模擬考試成績的80%分位數(shù)約為124.44[解析]由頻率分布直方圖可知，分?jǐn)?shù)在120分以下的學(xué)生所占的比例為0.01+0.015+因此，80%分位數(shù)一定位于[因?yàn)?20+所以該班的模擬考試成績的80%4.（雙空題）一個(gè)容量為20的樣本，若其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為14.5，第86百分位數(shù)為17.[解析]∵75∴第75百分位數(shù)為14+∵86%×20計(jì)算一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟考點(diǎn)二總體集中趨勢(shì)的估計(jì)［多維探究］樣本的數(shù)字特征典例1已知甲、乙兩班各50人，某次數(shù)學(xué)考試的成績情況如表所示：分?jǐn)?shù)段甲班人數(shù)乙班人數(shù)[13[32[95[1614[1011[78[47各分?jǐn)?shù)段成績視為均勻分布，有以下結(jié)論：①甲班平均成績低于乙班；②甲班成績的中位數(shù)與乙班相同；③甲班成績的方差比乙班成績的方差小.其中正確結(jié)論的序號(hào)是(B).A.① B.①③ C.②③ D.①②③[解析]由題可知，x甲x乙因?yàn)榧装嗟闹形粩?shù)位于分?jǐn)?shù)段[110,120因?yàn)閟甲s乙綜上，正確結(jié)論的序號(hào)是①③.故選B.1.求平均數(shù)時(shí)要注意數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，不要重計(jì)或漏計(jì).2.求中位數(shù)時(shí)一定要先對(duì)數(shù)據(jù)按大小排序，若最中間有兩個(gè)數(shù)據(jù)，則中位數(shù)是這兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù).3.若有兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)據(jù)出現(xiàn)得最多，且出現(xiàn)的次數(shù)一樣，則這些數(shù)據(jù)都叫眾數(shù)；若一組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，則沒有眾數(shù).頻率分布直方圖中的數(shù)字特征典例2某滑冰館統(tǒng)計(jì)了2023年9月1日到30日某小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)，得到如圖所示的頻率分布直方圖（將頻率視為概率），則下列說法正確的是(C).A.該小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)在區(qū)間(25B.估計(jì)該小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)的中位數(shù)為16C.估計(jì)該小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)的平均值大于14D.估計(jì)該小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)超過15天的概率為0.456[解析]頻率分布直方圖中，面積最小的矩形條所在的區(qū)間為(20,25]，即樣本中區(qū)間由頻率分布直方圖可得，前三個(gè)小矩形的面積之和為0.020+0.040+由頻率分布直方圖可得，x=0.020×由頻率分布直方圖可得，該小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)超過15天的頻率為0.060+0.013+0.020×5=頻率分布直方圖的數(shù)字特征1.眾數(shù)：眾數(shù)一般用頻率分布表中頻率最高的一組的組中值來表示，即在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，最高小長方形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).2.中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等.3.平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于組中值與對(duì)應(yīng)頻率之積的和.1.[2023·新高考Ⅰ卷]（多選題）有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,?,x6，其中x1是最小值，A.x2,x3,x4,x5的平均數(shù)等于x1,xB.x2,x3,x4,x5的中位數(shù)等于x1,xC.x2,x3,x4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1,xD.x2,x3,x4,x5的極差不大于x1,x[解析]對(duì)于A，設(shè)x2,x3,x4,x5的平均數(shù)為m，x1,x2,則n?因?yàn)闆]有確定2x1+x6,x5+對(duì)于B，不妨設(shè)x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，可知x2,x對(duì)于C，因?yàn)閤1是最小值，x6是最大值，所以x2,x3,x4,x5的波動(dòng)性不大于x1,x2,?,x6的波動(dòng)性，即x2,x3,x4,對(duì)于D，不妨設(shè)x1≤x2≤x3≤x4≤2.為普及科學(xué)用眼知識(shí)，提高群眾健康水平，預(yù)防眼疾，某區(qū)殘聯(lián)在殘疾人綜合服務(wù)中心開展“全國愛眼日”有獎(jiǎng)答題競(jìng)賽活動(dòng).已知5位評(píng)委老師按百分制（只打整數(shù)分）分別對(duì)某參賽小隊(duì)評(píng)分，可以判斷出一定有評(píng)委打滿分的是(D).A.平均數(shù)為98，中位數(shù)為98 B.中位數(shù)為96，眾數(shù)為99C.中位數(shù)為97，極差為9 D.平均數(shù)為98，極差為6[解析]對(duì)于A，當(dāng)打分結(jié)果為98,98,98,98,98時(shí)，滿足平均數(shù)為98，中位數(shù)為98，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)打分結(jié)果為99,99,96,95,94時(shí)，滿足中位數(shù)為96，眾數(shù)為99，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)打分結(jié)果為89,97,97,97,98時(shí)，滿足中位數(shù)為97，極差為9，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，假設(shè)沒有評(píng)委打滿分，結(jié)合極差為6可得總成績S≤99?6+99×3.[2023·新高考Ⅱ卷節(jié)選]（雙空題）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如圖所示的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為pc；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為qc.假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.當(dāng)漏診率pc=0.5%[解析]依題可知，患病者該指標(biāo)在[95,100)內(nèi)的頻率為所以c?95×qc考點(diǎn)三總體離散程度的估計(jì)［師生共研］典例3[2023·全國乙卷]某廠為比較甲、乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行了10次配對(duì)試驗(yàn)，每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，y試驗(yàn)序號(hào)i12345678910伸縮率x545533551522575544541568596548伸縮率y536527543530560533522550576536記zi=xi?yii=1,2,?,（1）求z，s2（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高.（如果z≥[解析]（1）x=y=z=zi=x故s2（2）由（1）知z=11，2s所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化問題的依據(jù)1.平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度就越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度就越小，越穩(wěn)定.2.用樣本估計(jì)總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征.某高校數(shù)學(xué)組積