工程流體力學(xué)第三章

第三章流體靜力學(xué)概述流體靜力學(xué)著重研究流體在外力作用下處于平衡狀態(tài)的規(guī)律及其在工程實際中的應(yīng)用。這里所指的靜止包括絕對靜止和相對靜止兩種。其中，絕對靜止是指流體整體對于地球無相對運(yùn)動；相對靜止是指流體整體對于地球有相對運(yùn)動，但流體質(zhì)點(diǎn)間無相對運(yùn)動。無論流體處于絕對靜止還是相對靜止?fàn)顟B(tài)，兩者都不顯示黏性，即切向應(yīng)力都等于零。因此，流體靜力學(xué)中所得的結(jié)論無論對實際流體還是理想流體都是適用的。靜止流體的應(yīng)力特性3.1靜止流體的應(yīng)力特性3.1.1靜止流體的壓力與壓強(qiáng)處于相對靜止?fàn)顟B(tài)下的流體，由于本身的重力或其他外力的作用，在流體內(nèi)部及流體與容器壁面之間存在著垂直于接觸面的作用力，這種作用力稱為流體的靜壓力，也就是我們前面所講的表面力。靜壓力用符號P表示，單位為N。3.1靜止流體的應(yīng)力特性3.1.1靜止流體的壓力與壓強(qiáng)靜止的流體內(nèi)，取通過某點(diǎn)的任意截面積△A，垂直作用于該面積上的靜壓力為△P，在此情況下，單位面積上所受的壓力稱為流體的靜壓強(qiáng)，簡稱壓強(qiáng)。靜壓強(qiáng)以表示，其公式為：

（3-1）它反映了受壓面△A上流體靜壓強(qiáng)的平均值。當(dāng)面積△A無限縮小至點(diǎn)A時，比值

的極限定義為A點(diǎn)的流體靜壓強(qiáng)，該靜壓強(qiáng)以p表示，其公式為：

（3-2)3.1靜止流體的應(yīng)力特性3.1.2靜止流體的應(yīng)力特性這一特性可由反證法給予證明：假設(shè)在靜止流體中，流體靜壓強(qiáng)方向不與作用面相垂直，而與作用面的切線方向成α角，如圖所示。那么靜壓強(qiáng)p可以分解成兩個分力，即切向壓強(qiáng)pt和法向壓強(qiáng)pn。由于切向壓強(qiáng)是一個剪切力，由第2章可知，流體具有流動性，受任何微小剪切力作用都將連續(xù)變形，即流體要流動，這顯然與我們假設(shè)的靜止流體相矛盾。流體要保持靜止?fàn)顟B(tài)，不能有剪切力存在，唯一的作用力便是沿作用面內(nèi)法線方向的壓強(qiáng)。①靜壓強(qiáng)的方向與受壓面垂直，并與作用面的內(nèi)法線方向相同。3.1靜止流體的應(yīng)力特性3.1.2靜止流體的應(yīng)力特性為證明這個特性，在靜止流體內(nèi)部任一點(diǎn)M附近取一微小四面體，它的三個棱邊分別作為x、y、z三個坐標(biāo)軸，其三個棱邊長度分別為dx、dy、dz，如圖所示。三個垂直于x、y、z軸的面的面積分別為△Ax、△Ay、△Az，斜面面積為△An。因為四面體處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以，作用于四面體上的力是平衡的，這些力包括：表面力：△Px、△Py、△Pz、△Pn②作用于靜止流體中同一點(diǎn)的壓強(qiáng)的大小各向相等，與作用面的方向無關(guān)。3.1靜止流體的應(yīng)力特性3.1.2靜止流體的應(yīng)力特性質(zhì)量力：四面體的質(zhì)量為

。假定單位質(zhì)量力在各方向上分別為X、Y、Z，則質(zhì)量力在各方向上的分量分別為：上述質(zhì)量力和表面力在各坐標(biāo)軸上的投影之和應(yīng)分別等于零。即：

，

，

。②作用于靜止流體中同一點(diǎn)的壓強(qiáng)的大小各向相等，與作用面的方向無關(guān)。3.1靜止流體的應(yīng)力特性3.1.2靜止流體的應(yīng)力特性以x方向為例，由

，有即式中，（n，x）為傾斜平面ABC（面積dAn）的內(nèi)法線方向與x軸的夾角。又除上式，得②作用于靜止流體中同一點(diǎn)的壓強(qiáng)的大小各向相等，與作用面的方向無關(guān)。3.1靜止流體的應(yīng)力特性3.1.2靜止流體的應(yīng)力特性令四面體向M點(diǎn)收縮，對上式取極限，則于是，

。同理，由

，

可知

，

，則

。②作用于靜止流體中同一點(diǎn)的壓強(qiáng)的大小各向相等，與作用面的方向無關(guān)。3.1靜止流體的應(yīng)力特性3.1.2靜止流體的應(yīng)力特性上式說明，在靜止流體中，任一點(diǎn)流體靜壓強(qiáng)的大小與作用面的方位無關(guān)，但流體中不同點(diǎn)上的流體靜壓強(qiáng)可以不等，因此，流體靜壓強(qiáng)是空間坐標(biāo)的標(biāo)量函數(shù)，即

（3-3）②作用于靜止流體中同一點(diǎn)的壓強(qiáng)的大小各向相等，與作用面的方向無關(guān)。靜止流體力的平衡3.2靜止流體力的平衡3.2.1平衡流體受力分析在靜止流體內(nèi)，任取一點(diǎn)O'（x，y，z），該點(diǎn)的壓強(qiáng)p＝p（x，y，z）。以O(shè)'點(diǎn)為中心作微元直角六面體，正交的三個邊分別與三個坐標(biāo)軸平行，長度分別為dx、dy和dz。微元直角六面體應(yīng)在所有表面力和質(zhì)量力的作用下處于平衡狀態(tài)，如圖所示。3.2靜止流體力的平衡3.2.1平衡流體受力分析只有作用在abcd和a‘b’c‘d’面上的壓力。設(shè)六面體中心點(diǎn)的壓強(qiáng)為p＝p（x，y，z），則兩個受壓面中心點(diǎn)M、N的壓強(qiáng)分別為其中，

為為壓強(qiáng)沿x方向的變化率，稱為壓強(qiáng)梯度；

為由于x方向的位置變化而引起的壓強(qiáng)差。微元直角六面體各面上壓強(qiáng)均勻分布，并用面中心點(diǎn)上的壓強(qiáng)代表該面上的平均壓強(qiáng)。表面力3.2靜止流體力的平衡3.2.1平衡流體受力分析作用于abcd和a'b'c'd'面上的總壓力分別為表面力3.2靜止流體力的平衡3.2.1平衡流體受力分析

質(zhì)量力3.2靜止流體力的平衡3.2.2力平衡當(dāng)微元直角六面體處于平衡狀態(tài)時，在x方向有化簡整理可得同理，y、z方向可得3.2靜止流體力的平衡3.2.2力平衡將三式聯(lián)合，可得

（3-4）該方程被稱為歐拉平衡微分方程，它表示了處于平衡狀態(tài)的流體中單位質(zhì)量表面力和質(zhì)量力之間的關(guān)系。3.2靜止流體力的平衡3.2.2力平衡現(xiàn)將式（3-4）依次乘以dx、dy、dz，并相加得到 (3-5)式中左邊是平衡流體壓強(qiáng)p（x，y，z）的全微分。即 (3-6)如果流體是不可以壓縮的，流體的密度為常數(shù)，即ρ＝C。因此，式（3-6）可以表示為某一函數(shù)U（x，y，z）的全微分，即 (3-7)3.2靜止流體力的平衡3.2.2力平衡而

因此 (3-8)滿足式（3-8）的函數(shù)U（x，y，z）的全微分，即稱為勢函數(shù)。具有這樣勢函數(shù)的力稱為有勢的力。由此得出，流體只有在有勢的質(zhì)量力作用下才能平衡。重力、慣性力都是有勢的質(zhì)量力。3.2靜止流體力的平衡3.2.3等壓面壓強(qiáng)相等的空間點(diǎn)構(gòu)成的平面或曲面稱為等壓面。等壓面上，dp=0。又，式（3-6）中ρ≠0，故 (3-9)式中，dx、dy、dz可設(shè)想為流體質(zhì)點(diǎn)在等壓面上任一微小位移ds在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影。因此，式（3-9）表示，當(dāng)流體質(zhì)點(diǎn)沿等壓面移動距離ds時，質(zhì)量力所做的微功為0。而質(zhì)量力和位移ds都不能為0，所以等壓面和質(zhì)量力必然正交，這是等壓面的重要特征。由等壓面這一特征，便可以根據(jù)質(zhì)量力的方向來判斷等壓面的形狀。例如，質(zhì)量力只有重力時，因重力的方向是鉛垂向下，可以知道等壓面是水平面。流體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律3.3流體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律概述實際工程中最常見的質(zhì)量力是重力，因此，在流體平衡一般規(guī)律的基礎(chǔ)上，研究重力作用下流體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律具有實用意義。3.3流體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律3.3.1流體靜壓強(qiáng)的基本方程式如圖所示，設(shè)某密閉容器中的液體在重力作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)，液體的密度為ρ，自由液面上的壓強(qiáng)為p0。對于液體中任一點(diǎn)的壓強(qiáng)，由于質(zhì)量力只有重力，故X=Y=0。Z=-g。將其代入式（3-6），得dp=-ρgdz將其代入式（3-6），得 (3-10)3.3流體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律3.3.1流體靜壓強(qiáng)的基本方程式式（3-10）即為重力作用下靜止流體的壓強(qiáng)分布關(guān)系，式中C為積分常數(shù)。把邊界條件z=z0、p=p0代入式（3-10），得C=p0+ρgz0，再代回式（3-10），得 (3-11)3.3流體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律3.3.1流體靜壓強(qiáng)的基本方程式式（3-10）除以單位體積液體的重量ρg，得

故

（3-12）3.3流體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律3.3.1流體靜壓強(qiáng)的基本方程式式（3-11）、（3-12）以不同形式表示了重力作用下有自由液面的均質(zhì)不可壓縮靜止流體的壓強(qiáng)計算公式，它們都被稱為流體靜力學(xué)基本方程式。式（3-11）中，h為液面至計算點(diǎn)的液深，又稱淹深。式（3-12）中，z為計算點(diǎn)的海拔高度。3.3流體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律3.3.1流體靜壓強(qiáng)的基本方程式對于僅在重力作用下的同一連續(xù)均質(zhì)靜止流體而言，通過分析該公式，可以得出以下三點(diǎn)結(jié)論：①

深度h相同的點(diǎn)壓強(qiáng)相等，靜壓強(qiáng)的大小與液體的體積無直接關(guān)系。盛有相同液體的容器，盡管各容器的容積不同，液體的重量不同，但只要深度h相同，容器底面上各點(diǎn)的壓強(qiáng)就相同。②

流體中任一點(diǎn)的壓強(qiáng)隨深度h按線性關(guān)系增加，如圖所示。③

平衡狀態(tài)下，液體內(nèi)任意點(diǎn)壓強(qiáng)的變化，等值地傳遞到其他各點(diǎn)。3.3流體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律3.3.1流體靜壓強(qiáng)的基本方程式【例3-1】如圖所示，容器中有兩層互不摻混的液體，密度分別為ρ1和ρ2。計算圖中A、B兩點(diǎn)的靜壓強(qiáng)。解：由式（3-11）得3.3流體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律3.3.2流體靜壓強(qiáng)基本方程式的意義z的物理意義是單位重量液體具有的，相對于基準(zhǔn)面的重力勢能，簡稱位能；

的物理意義是單位重量液體所具有的壓強(qiáng)勢能，簡稱壓能；位能和壓能之和稱為總勢能。流體靜力學(xué)基本方程式的物理意義是：在重力作用下，靜止的均質(zhì)不可壓縮流體中，各點(diǎn)單位質(zhì)量流體的總勢能保持不變。1.物理意義3.3流體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律3.3.2流體靜壓強(qiáng)基本方程式的意義

表明，在同一種流體相互連通的靜止流體中，任意點(diǎn)上的

具有相同的數(shù)值。式中各項單位為m，即可以用液柱高度來表示，稱為水頭。z為某一點(diǎn)的位置相對于基準(zhǔn)面的高度，稱為位置水頭；是該點(diǎn)在壓強(qiáng)作用下沿側(cè)壓管所能上升的高度，稱為壓強(qiáng)水頭；位置水頭與壓強(qiáng)水頭之和稱為靜水頭，又稱為測壓秘水頭。各點(diǎn)的靜水頭連線為靜水頭線。流體靜力學(xué)基本方程式的幾何意義是：在重力作用下，靜止的不可壓縮流體中，任意點(diǎn)的靜水頭線保持不變，其靜水頭線為水平線。2.幾何意義壓強(qiáng)的度量和測量3.4壓強(qiáng)的度量和測量概述在工程上，度量流體壓強(qiáng)的大小，可以采用絕對壓強(qiáng)和相對壓強(qiáng)等不同的計量基準(zhǔn)，度量壓強(qiáng)的單位有國際標(biāo)準(zhǔn)單位、液注高度和工程單位等多種。3.4壓強(qiáng)的度量和測量3.4.1絕對壓強(qiáng)和相對壓強(qiáng)壓強(qiáng)的大小可從不同的基準(zhǔn)算起，由于起算基準(zhǔn)的不同，壓強(qiáng)可分為絕對壓強(qiáng)和相對壓強(qiáng)。以完全沒有氣體存在的絕對真空為零點(diǎn)算起的壓強(qiáng)，稱為絕對壓強(qiáng)，以符號pabs表示。如果液面的絕對壓強(qiáng)為p0，流體密度為ρ，則流體中深度為h的點(diǎn)的絕對壓強(qiáng)為pabs=

p0+

ρgh。當(dāng)問題涉及流體本身的性質(zhì)時，如采用氣體狀態(tài)方程進(jìn)行計算，必須采用絕對壓強(qiáng)。3.4壓強(qiáng)的度量和測量3.4.1絕對壓強(qiáng)和相對壓強(qiáng)以當(dāng)?shù)卮髿鈮簆a為基準(zhǔn)起算的壓強(qiáng)，稱為相對壓強(qiáng)，以p表示。絕對壓強(qiáng)和相對壓強(qiáng)之間相差一個當(dāng)?shù)卮髿鈮?，即p=pabs-pa，如圖所示。某一點(diǎn)的絕對壓強(qiáng)只能是正值，不可能出現(xiàn)負(fù)值，相對壓強(qiáng)可能是正值也可能是負(fù)值。當(dāng)相對壓強(qiáng)為正值時，可用壓力表測量，稱為表壓強(qiáng)（壓力表讀數(shù)）；當(dāng)相對壓強(qiáng)為負(fù)值時，稱該壓強(qiáng)為負(fù)壓。負(fù)壓強(qiáng)的絕對值稱為真空度（真空表讀數(shù)），以pv表示。

(3-13)3.4壓強(qiáng)的度量和測量3.4.1絕對壓強(qiáng)和相對壓強(qiáng)【例3-2】一封閉水箱如圖3-8所示。水面上的絕對壓強(qiáng)P0=85kPa，求水面下h=1m處C點(diǎn)的絕對壓強(qiáng)、相對壓強(qiáng)和真空壓強(qiáng)。已知當(dāng)?shù)卮髿鈮篜a=98kPa，ρ=1000kg/m3。C點(diǎn)的絕對壓強(qiáng)pabs=p0+

ρgh=85+1×9.8×1=94.8(kPa)。C點(diǎn)的相對壓強(qiáng)p=pabs-pa=94.8-98=-3.2(kPa)。相對壓強(qiáng)為負(fù)值，說明C點(diǎn)存在真空。相對壓強(qiáng)的絕對值即為真空壓強(qiáng)，即pv=3.2kPa。3.4壓強(qiáng)的度量和測量3.4.2壓強(qiáng)的單位度量壓強(qiáng)的常用到三種單位：標(biāo)準(zhǔn)單位、液柱單位及工程單位。1．標(biāo)準(zhǔn)單位壓強(qiáng)的標(biāo)準(zhǔn)單位為帕斯卡，簡稱帕，符號為Pa，1Pa=1N/m2。另外，氣體的壓強(qiáng)常用kPa表示，液體的壓強(qiáng)常用MPa表示。3.4壓強(qiáng)的度量和測量3.4.2壓強(qiáng)的單位度量壓強(qiáng)的常用到三種單位：標(biāo)準(zhǔn)單位、液柱單位及工程單位。2．液柱單位測量和工程中還常用液柱高度作為度量壓強(qiáng)的單位。常用的有水柱和汞柱，其單位為mH2O、mmH2O、mmHg。壓強(qiáng)與液柱高度的關(guān)系為 (3-14)3.4壓強(qiáng)的度量和測量3.4.2壓強(qiáng)的單位度量壓強(qiáng)的常用到三種單位：標(biāo)準(zhǔn)單位、液柱單位及工程單位。壓強(qiáng)與液柱高度的關(guān)系為

（3-14）如1標(biāo)準(zhǔn)大氣壓可維持的水柱高1工程大氣壓可維持的水柱高

3.4壓強(qiáng)的度量和測量3.4.2壓強(qiáng)的單位度量壓強(qiáng)的常用到三種單位：標(biāo)準(zhǔn)單位、液柱單位及工程單位。3．工程單位工程上常用工程大氣壓的倍數(shù)來表示壓強(qiáng)。所謂工程大氣壓是指海拔高度200米處正常氣候條件下的大氣壓強(qiáng)，其數(shù)值為每cm2上作用1公斤力，即kgf/cm2，用符號at表示。1at=1kgf/cm2=(1×9.8/10-4)Pa=98kPa上述三種壓強(qiáng)單位表達(dá)法之間的關(guān)系為：1個工程大氣壓=98kPa=10m（H2O）=736mm（Hg）1個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓=101.325kPa=10.33m（H2O）=760mm（Hg）3.4壓強(qiáng)的度量和測量3.4.2壓強(qiáng)的單位【例3-3】如圖3-9所示，有一開敞水箱，已知當(dāng)?shù)卮髿鈮篜a=98kPa，水的密度ρ=1000kg/m3，重力加速度g=9.8m/s2。求水面下h=0.68m處M點(diǎn)的相對壓強(qiáng)和絕對壓強(qiáng)，并分別用應(yīng)力單位、工程大氣壓和水柱高度表示?！窘狻縈點(diǎn)的相對壓強(qiáng)（工程大氣壓）3.4壓強(qiáng)的度量和測量3.4.2壓強(qiáng)的單位【例3-3】如圖

所示，有一開敞水箱，已知當(dāng)?shù)卮髿鈮篜a=98kPa，水的密度ρ=1000kg/m3，重力加速度g=9.8m/s2。求水面下h=0.68m處M點(diǎn)的相對壓強(qiáng)和絕對壓強(qiáng)，并分別用應(yīng)力單位、工程大氣壓和水柱高度表示?！窘狻縈點(diǎn)的絕對壓強(qiáng)（工程大氣壓）3.4壓強(qiáng)的度量和測量3.4.3壓強(qiáng)的測量1.測壓管測壓管是一根玻璃直管，其一端連接在被測管路或容器側(cè)壁，另一端開口直接和大氣相通，如圖所示。由于相對壓強(qiáng)的作用，水在管中上升或下降，與大氣相接觸的液面相對壓強(qiáng)為零。因此，只要根據(jù)測壓管中液面上升的高度，即可測出管路或容器內(nèi)流體靜壓強(qiáng)的大小。3.4壓強(qiáng)的度量和測量3.4.3壓強(qiáng)的測量1.測壓管測壓管的優(yōu)點(diǎn)是結(jié)構(gòu)簡單，測量準(zhǔn)確；缺點(diǎn)是只適用于測量較小的壓強(qiáng)，一般不超過9800Pa，相當(dāng)于1mH2O。如果被測壓強(qiáng)較大，則需加長測壓管的長度，使用很不方便。此外，測壓管中的工作介質(zhì)是被測容器中的流體，所以測壓管只能用于測量液體的壓強(qiáng)。3.4壓強(qiáng)的度量和測量3.4.3壓強(qiáng)的測量2．壓差計壓差計是量測兩點(diǎn)壓強(qiáng)差的儀器。常用的壓差計有空氣壓差計、水銀壓差計和斜式壓差計等。各種壓差計多用U形管制成，并根據(jù)靜壓強(qiáng)規(guī)律計算壓強(qiáng)差。3.4壓強(qiáng)的度量和測量3.4.3壓強(qiáng)的測量（1）空氣壓差計圖是一空氣壓差計。因空氣的密度較小，可認(rèn)為U形管中液面上壓強(qiáng)P0均相等。設(shè)兩管水面高差為△h則若管路水平放置，則A、B兩點(diǎn)在同一水平面上，即zA=0，則

（3-15）3.4壓強(qiáng)的度量和測量3.4.3壓強(qiáng)的測量（2）水銀壓差計當(dāng)所測兩點(diǎn)的壓差較大時，可使用水銀壓差計，如圖所示。設(shè)A、B兩點(diǎn)處液體密度分別為ρA和ρB。兩點(diǎn)的相對位置及U形管中水銀面之高差如圖所示。根據(jù)等壓面的概念，斷面1和斷面2處壓強(qiáng)相等，即p1=p2。其中：故得3.4壓強(qiáng)的度量和測量3.4.3壓強(qiáng)的測量（2）水銀壓差計如A、B兩點(diǎn)處為同一液體，即ρA=ρB=ρ，則如A、B兩點(diǎn)處為同一液體，且在同一高程，即z2-z1=0，則如A、B兩點(diǎn)處的液體都是水，因為水銀與水的密度之比為13.6，故3.4壓強(qiáng)的度量和測量3.4.3壓強(qiáng)的測量（3）傾斜式壓差計當(dāng)量測很小的壓差時，為了提高量測精度，可采用傾斜式壓差計。如圖3-13所示，垂向空氣壓差計中的液面高差△h增大為△h’(△h=△h’/sinθ)其中，θ=10°~30°，讀數(shù)增大2~5倍。3.4壓強(qiáng)的度量和測量3.4.3壓強(qiáng)的測量【例3-4】在某供水管路上裝一復(fù)式U形水銀測壓計，如圖所示。已知測壓管顯示的各液面的標(biāo)高和A點(diǎn)的標(biāo)高為試確定管中A點(diǎn)壓強(qiáng)。其中，【解】已知液面1上壓強(qiáng)為當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)，因此從點(diǎn)1開始，應(yīng)用等壓面和流體靜壓強(qiáng)基本公式逐點(diǎn)推算，便可求得A點(diǎn)壓強(qiáng)。因2－2、3－3、4－4為等壓面，可得聯(lián)立求得將已知值代入上式得pA=298.5kpa。液體作用在平面上的壓力3.5液體作用在平面上的壓力概述工程上除要確定點(diǎn)壓強(qiáng)外，還需確定流體作用在受壓面上的總壓力。對于氣體，因面上各點(diǎn)的壓強(qiáng)相等，總壓力的大小等于壓強(qiáng)與受壓面面積的乘積。對于液體，因不同高度壓強(qiáng)不等，計算總壓力必須考慮壓強(qiáng)的分布。計算液體總壓力，實質(zhì)是求受壓面上分布力的合力。3.5液體作用在平面上的壓力3.5.1流體靜壓強(qiáng)分布圖根據(jù)靜壓強(qiáng)公式p=ρgh，以及靜壓強(qiáng)的方向垂直指向受壓面的特性，可以用圖形來表示靜壓強(qiáng)的大小和方向，稱此圖形為流體靜壓強(qiáng)分布圖。靜壓強(qiáng)分布圖繪制規(guī)則如下：①按一定比例用線段長度代表該點(diǎn)靜壓強(qiáng)的大??；②用箭頭表示靜壓強(qiáng)的方向，并與受壓面垂直。3.5液體作用在平面上的壓力3.5.1流體靜壓強(qiáng)分布圖不同情況流體靜壓強(qiáng)分布圖的畫法列舉如下：①圖為一垂向平板閘門AB。A點(diǎn)位于自由液體上，相對壓強(qiáng)為零；B點(diǎn)在水面下h，相對壓強(qiáng)pB=ρgh。繪制帶箭頭線段CB，線段長度為ρgh，并垂直指向AB。連接直線AC，并在三角形ABC內(nèi)作數(shù)條平行于CB帶箭頭的線段，則ABC即表示AB面上的流體相對壓強(qiáng)分布圖。如果閘門兩邊同時承受不同水深的靜壓力作用，如圖所示。因閘門受力方向不同，先分別繪出左右受壓面的壓強(qiáng)分布圖，然后兩圖疊加，消去大小相同方向相反的部分，余下的梯形即為流體靜壓強(qiáng)分布圖。3.5液體作用在平面上的壓力3.5.1流體靜壓強(qiáng)分布圖②圖為受壓面是一折面的流體靜壓強(qiáng)分布圖。3.5液體作用在平面上的壓力3.5.1流體靜壓強(qiáng)分布圖③圖中有上下兩種密度不同的液體作用在平面AC上，兩種液體分界面在B點(diǎn)。B點(diǎn)壓強(qiáng)pB=ρ1gh1，C點(diǎn)壓強(qiáng)pC=ρ1gh1+ρ2g(h2-

h1)。流體靜壓強(qiáng)分布如圖所示。3.5液體作用在平面上的壓力3.5.1流體靜壓強(qiáng)分布圖④圖為作用在弧形閘門上的流體靜壓強(qiáng)分布圖。閘門為一圓弧面，面上各點(diǎn)壓強(qiáng)逐點(diǎn)算出，各點(diǎn)壓強(qiáng)均沿法向指向圓弧的中心。3.5液體作用在平面上的壓力3.5.2圖解法圖解法是利用壓強(qiáng)分布圖計算靜水總壓力的辦法。該方法在計算作用于矩形平面上所受的靜水總壓力時最為方便。3.5液體作用在平面上的壓力3.5.2圖解法1.靜水總壓力的大小作用于平面上靜水總壓力的大小等于分布在平面上各點(diǎn)靜壓強(qiáng)的總和。因此，作用于單位寬度上的靜水總壓力等于靜壓強(qiáng)分布圖的面積；作用于矩形平面的靜水總壓力等于矩形平面的寬度乘以靜壓強(qiáng)分布圖的面積。圖所示為一任意傾斜放置的矩形平面ABEF，平面長為l、寬為b。令其靜壓強(qiáng)分布圖的面積為Ω，則作用于矩形平面上的靜水總壓力因為靜壓強(qiáng)分布圖為梯形，其面積于是3.5液體作用在平面上的壓力3.5.2圖解法2．靜水總壓力的作用點(diǎn)矩形平面有縱向?qū)ΨQ軸，壓力中心即P的作用點(diǎn)D必位于縱向?qū)ΨQ軸O－O上。同時，總壓力P的作用點(diǎn)還應(yīng)通過壓強(qiáng)分布圖的形心點(diǎn)Q。如果壓強(qiáng)呈矩形分布，其形心必在中點(diǎn)處；如果壓強(qiáng)呈三角形分布，形心必在距底邊1/3高度處。在圖中，壓強(qiáng)呈梯形分布，則形心位置距梯形底邊的距離3.5液體作用在平面上的壓力3.5.3解析法當(dāng)受壓面為任意形狀時，常用解析法求解其靜水總壓力的大小和作用點(diǎn)位置。3.5液體作用在平面上的壓力3.5.3解析法1.靜水總壓力的大小設(shè)任意形狀平面，面積為A，與水平夾角α。首先建立坐標(biāo)系，其中，以平面的延伸面與液面的交線為Ox軸，Oy軸垂直于Ox軸向下，且位于平面上。將平面所在坐標(biāo)面繞Oy軸旋轉(zhuǎn)90°，以展現(xiàn)受壓平面，如圖所示。在受壓面上，圍繞任一點(diǎn)(x，y)取微元面積dA，液體作用在dA上的微小壓力3.5液體作用在平面上的壓力3.5.3解析法1.靜水總壓力的大小作用在平面上的總壓力是平行力系的合力積分為受壓面A對Ox軸的靜面距。若設(shè)C點(diǎn)為面積A的形心，則根據(jù)靜面距定理，它等于受壓面積A與其形心C到Ox軸的距離yC的乘積，即3.5液體作用在平面上的壓力3.5.3解析法1.靜水總壓力的大小將該式代入上式，得

（3-19）式中

P——平面上靜水總壓力；

yC——受壓面形心到Ox軸的距離；

hC——受壓面形心點(diǎn)的淹沒深度；

pC——受壓面形心點(diǎn)的壓強(qiáng)。式（3-19）表明，任意形狀平面上，靜水總壓力的大小等于受壓面面積與其形心點(diǎn)的壓強(qiáng)的乘積?？倝毫Φ姆较蜓厥軌好娴膬?nèi)法線方向。3.5液體作用在平面上的壓力3.5.3解析法2．總壓力的作用點(diǎn)總壓力作用線與平面的交點(diǎn)稱為壓力中心。設(shè)總壓力作用點(diǎn)（壓力中心）為D，其坐標(biāo)為（xD，yD）。由于靜壓強(qiáng)p與深度h成正比，越靠下部，其壓強(qiáng)越大。因此，壓力中心D通常低于平面的形心C，只有當(dāng)作用面水平時，壓強(qiáng)均勻地分布在作用面上，這時壓力中心才與作用面的形心重合。3.5液體作用在平面上的壓力3.5.3解析法2．總壓力的作用點(diǎn)根據(jù)合力矩定理，合力對任一軸的力矩等于各分力對該軸的力矩之和。由于D到Ox軸的距離為yD，則

式中，積分

為受壓面A對Ox軸的慣性矩。將其代入上式，得將代入化簡得3.5液體作用在平面上的壓力3.5.3解析法2．總壓力的作用點(diǎn)由慣性距的平行移軸定理，代入上式得

（3-20）式中yD——總壓力作用點(diǎn)到Ox軸的距離； yC——受壓面形心到Ox軸的距離；

——受壓面對平行Ox軸的形心軸的慣性矩；A——受壓面的面積。3.5液體作用在平面上的壓力3.5.3解析法2．總壓力的作用點(diǎn)式（3-20）中，因為

總是一個正值，故yD>yC。也就是說，總壓力作用點(diǎn)D總是在受壓面形心點(diǎn)C之下，這是由于壓強(qiáng)沿淹沒深度增加的結(jié)果。隨著受壓面淹沒深度的增加，yC增大，

減小，總壓力作用點(diǎn)靠近受壓面形心。當(dāng)受壓面水平放置時，總壓力作用點(diǎn)與受壓面的形心重合。3.5液體作用在平面上的壓力3.5.3解析法2．總壓力的作用點(diǎn)同理，對Oy軸取力矩，可以得到壓力中心D到Oy軸的距離xD，則式中，

為受壓面A對Ox、Oy軸的慣性積，記為則3.5液體作用在平面上的壓力3.5.3解析法2．總壓力的作用點(diǎn)在實際工程中，受壓面多為軸對稱平面（與Oy軸平行），如矩形、梯形、圓形等?？倝毫的作用點(diǎn)必然位于該對稱軸上，在這種情況下，只需算出yD，作用點(diǎn)的位置便完全確定，不再需要計算xD。否則，如果受壓面為非對稱面，則還需要算出xD，以確定中心點(diǎn)D的位置。3.5液體作用在平面上的壓力3.5.3解析法幾何圖形名稱面積A形心坐標(biāo)yC通過形心軸的慣性矩

矩形bh3.5液體作用在平面上的壓力3.5.3解析法幾何圖形名稱面積A形心坐標(biāo)yC通過形心軸的慣性矩

三角形3.5液體作用在平面上的壓力3.5.3解析法幾何圖形名稱面積A形心坐標(biāo)yC通過形心軸的慣性矩

半圓3.5液體作用在平面上的壓力3.5.3解析法幾何圖形名稱面積A形心坐標(biāo)yC通過形心軸的慣性矩

梯形3.5液體作用在平面上的壓力3.5.3解析法幾何圖形名稱面積A形心坐標(biāo)yC通過形心軸的慣性矩

圓形r3.5液體作用在平面上的壓力3.5.3解析法幾何圖形名稱面積A形心坐標(biāo)yC通過形心軸的慣性矩

橢圓形3.5液體作用在平面上的壓力3.5.3解析法【例3-5】寬為1m，長為AB的矩形閘門，傾角為45°，左側(cè)水深h1=3m，右側(cè)水深h2=2m，如圖所示。求作用在閘門上的水的靜壓力及其作用點(diǎn)?！窘夥ㄒ弧拷馕龇ǎ洪l門左側(cè)受力分析：靜水總壓力：受壓面形心到Ox軸的距離：3.5液體作用在平面上的壓力3.5.3解析法【例3-5】寬為1m，長為AB的矩形閘門，傾角為45°，左側(cè)水深h1=3m，右側(cè)水深h2=2m，如圖所示。求作用在閘門上的水的靜壓力及其作用點(diǎn)。受壓面對平行Ox軸的形心軸的慣性矩：受壓面面積：總壓力作用點(diǎn)到Ox軸的距離：3.5液體作用在平面上的壓力3.5.3解析法【例3-5】寬為1m，長為AB的矩形閘門，傾角為45°，左側(cè)水深h1=3m，右側(cè)水深h2=2m，如圖所示。求作用在閘門上的水的靜壓力及其作用點(diǎn)。閘門右側(cè)受力分析：靜水總壓力：受壓面形心到Ox軸的距離：受壓面對平行Ox軸的形心軸的慣性矩：3.5液體作用在平面上的壓力3.5.3解析法【例3-5】寬為1m，長為AB的矩形閘門，傾角為45°，左側(cè)水深h1=3m，右側(cè)水深h2=2m，如圖所示。求作用在閘門上的水的靜壓力及其作用點(diǎn)。受壓面面積：總壓力作用點(diǎn)到Ox軸的距離：閘門總的受力：考慮P1、P2對O’點(diǎn)的合力矩3.5液體作用在平面上的壓力3.5.3解析法【例3-5】寬為1m，長為AB的矩形閘門，傾角為45°，左側(cè)水深h1=3m，右側(cè)水深h2=2m，如圖所示。求作用在閘門上的水的靜壓力及其作用點(diǎn)。得出或3.5液體作用在平面上的壓力3.5.3解析法【例3-5】寬為1m，長為AB的矩形閘門，傾角為45°，左側(cè)水深h1=3m，右側(cè)水深h2=2m，如圖所示。求作用在閘門上的水的靜壓力及其作用點(diǎn)。【解法二】圖解法：作閘門左右側(cè)的壓強(qiáng)分布圖3.5液體作用在平面上的壓力3.5.3解析法【例3-5】寬為1m，長為AB的矩形閘門，傾角為45°，左側(cè)水深h1=3m，右側(cè)水深h2=2m，如圖所示。求作用在閘門上的水的靜壓力及其作用點(diǎn)。則參考【解法一】，考慮P1、P2對O’點(diǎn)的合力矩，得或3.5液體作用在平面上的壓力3.5.3解析法顯然，對矩形平面受力，用圖解法較簡練；對平面兩側(cè)受水體作用的問題，可分解成兩個獨(dú)立的單面受力問題，分別求出靜水壓力的大小和壓力中心，再根據(jù)理論力學(xué)平面平行力系的簡化，求出靜水總壓力的壓力中心和大?。辉诮馕龇ㄖ?，由于兩側(cè)的坐標(biāo)系原點(diǎn)在不同的液面上，盡管y軸軸線是重合的，還是應(yīng)將坐標(biāo)系的符號加以區(qū)別。液體作用在曲面上的壓力3.6液體作用在曲面上的壓力概述在實際工程中，我們經(jīng)常會遇到承受水壓力的作用面是曲面的情況，如圓形儲水池壁面、圓管壁面、弧形閘門以及球形容器等。作用在曲面上任一點(diǎn)的靜水壓強(qiáng)也是沿著作用面的法線方向指向作用面，并且其大小與該點(diǎn)所在的水深成正比。因此，與平面類似，我們也可以由此繪出曲面上的壓強(qiáng)分布圖，如圖所示。3.6液體作用在曲面上的壓力概述由壓強(qiáng)分布圖可以看出，曲面上各點(diǎn)的曲率是變化的，各點(diǎn)的法線方向各不相同，彼此既不平行，也不一定交匯于一點(diǎn)。因此，求曲面上的合力不能像平面那樣，直接積分求其代數(shù)和。為了將求曲面總壓力問題也變?yōu)槠叫辛ο登蠛狭Φ膯栴}，以便于積分求和，通常需要將曲面上的總壓力P分解為水平分力Px和垂直分力Py，然后再合成為合力P。另外，由于工程中的曲面多為二維曲面，即為有平行母線的柱面，因此，下面重點(diǎn)討論這種情況。3.6液體作用在曲面上的壓力3.6.1曲面上的總壓力設(shè)有二維曲面AB（柱面），母線垂直于圖面，曲面的面積為A，一側(cè)承壓。選坐標(biāo)系，令xOy平面與液面重合，Oz軸向下，如圖所示。3.6液體作用在曲面上的壓力3.6.1曲面上的總壓力在曲面上沿母線方向任取條形微元面EF，因各微元面上的壓力dP方向不同，故不能直接積分求作用在曲面上的總壓力。為此，將dP分解為水平分力和鉛垂分力。式中 dAx——EF面在鉛垂面yOz上的投影；dAz——EF面在水平面xOy上的投影。3.6液體作用在曲面上的壓力3.6.1曲面上的總壓力則總壓力的水平分力為其中，積分是曲面的鉛垂投影面Ax對水平軸Oy軸的靜面矩。如以hC表示垂直投影面Ax的形心在液面以下的深度，則3.6液體作用在曲面上的壓力3.6.1曲面上的總壓力則

（3-22）式中

Px——曲面上總壓力的水平分力；

Ax——曲面的鉛垂投影面積；

hC——投影面Ax形心點(diǎn)的淹沒深度；

pC——投影面Ax形心點(diǎn)的壓強(qiáng)。3.6液體作用在曲面上的壓力3.6.1曲面上的總壓力式（3-22）表明，液體作用在曲面上總壓力的水平分力，等于作用在該曲面的鉛垂投影面的壓力?？倝毫Φ你U垂分力

（3-23）是曲面到自由液面（或自由液面延伸面）之間的鉛垂柱體——壓力體的體積。式（3-23）表明，液體作用在曲面上總壓力的鉛垂分力等于壓力體的重量。3.6液體作用在曲面上的壓力3.6.1曲面上的總壓力求出了水平分力