華師大新版八年級下學(xué)期《19.2.2菱形的判定》同步練習(xí)卷

華師大新版八年級下學(xué)期《19.2.2菱形的判定》

同步練習(xí)卷

一.選擇題（共4小題）

1.如圖，^ABC中，點(diǎn)P是AB邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD〃BC,PE〃AC,分別

交AC,BC于點(diǎn)D,E,連按CP.若四邊形CDPE是菱形，則線段CP應(yīng)滿足的

A.CP平分NACBB.CP1AB

C.CP是AB邊上的中線D.CP=AP

2.如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到E,使DE=AD,連接EB,EC,

DB,下列條件中，不能使四邊形DBCE成為菱形的是（)

C.ZABE=90°D.BE平分NDBC

3.如圖，等邊4ABC沿射線BC向右平移到aDCE的位置，連接AD、BD,則下

列結(jié)論：

①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四邊形ACED是菱形；④/ACD=NDCE,

4.如圖，在口ABCD中，AM,CN分別是/BAD和NBCD的平分線，添加一個(gè)條

件，仍無法判斷四邊形AMCN為菱形的是（）

B.MN±AC

C.MN是NAMC的平分線D.ZBAD=120°

二.填空題（共2小題）

5.平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)0,BD=2AD,E、F、G分別

是0C、0D,AB的中點(diǎn).下列結(jié)論：①EG=EF；②4EFG名Z\GBE；③FB平

分NEFG；④EA平分NGEF；⑤四邊形BEFG是菱形.其中正確的是.

6.如圖在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,D為斜邊AB上一點(diǎn),以CD、

CB為邊作平行四邊形CDEB,當(dāng)AD=,平行四邊形CDEB為菱形.

三.解答題（共32小題）

7.已知：如圖，已知AD是RtAABC斜邊BC上的高，NB的平分線交AD于M

交AC于E,NDAC的平分線交ME于0,交CD于N.求證：四邊形AMNE是

菱形.

8.已知：如圖，AF〃DE,AC平分NBAD交DE于點(diǎn)C,DB平分NADC交AF于

點(diǎn)B,連接BC.求證：四邊形ABCD是菱形

9.如圖，在平行四邊形ABCD中，P是對角線BD上的一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CQ〃DB,

且CQ=DP,連接AP、BQ、PQ.

(1)求證：ZSAPD之△BQC；

(2)若NABP+NBQC=180。，求證：四邊形ABQP為菱形.

0

10.如圖，已知點(diǎn)P為NACB平分線上的一點(diǎn)，ZACB=60°,PDLCA于D,PE±

CB于E.點(diǎn)M是線段CP上的動點(diǎn)(不與兩端點(diǎn)C、P重合)，連接DM,EM.

(1)求證：DM=ME；

(2)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到線段CP的什么位置時(shí)，四邊形PDME為菱形，請說明理由.

11.如圖，在△ABC中，AB=AC,AD_LBC于D,點(diǎn)E,F分別是AB,AC的中點(diǎn).求

證：四邊形AEDF是菱形.

12.如圖,在DABCD中，AB±BD,P,0分別為AD,BD的中點(diǎn)，延長P。交BC

于點(diǎn)Q,連結(jié)BP,DQ,求證：四邊形PBQD是菱形.

13.如圖：在aABC中，NBAC=90°,AD，BC于D,CE平分NACB,交AD于G,

交AB于E,EF1BC于F,

求證：四邊形AEFG是菱形.

14.如圖，AE〃BF,AC平分/BAD,且交BF于點(diǎn)C,BD平分/ABC,且交AE

于點(diǎn)D,連接CD,求證:

(1)AC±BD；

15.如圖，在DABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對角線，過點(diǎn)A

作AG〃DB交CB的延長線于點(diǎn).

(1)求證：AADE^ACBF；

(2)若NG=90。，求證：四邊形DEBF是菱形.

16.在Rt^ABC中NB=90°,ZACB=30°,NBAC的平分線AD交BC于D,過點(diǎn)D

作DE_LAB于E,過A作AF〃BC交DE延長線于點(diǎn)F,連接FC

求證：（1）AAEF^ACED；

17.如圖，在aABC中，ZACB=90°,CD為AB邊上的中線，過點(diǎn)D作DE±BC

于E,過點(diǎn)C作AB的平行線與DE的延長線交于點(diǎn)F,連接BF,AE.

(1)求證：BF=CF.

(2)當(dāng)三角形ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形BDCF為菱形并說明理由.

18.如圖，在AABC中，NABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D,BD的垂直平分線分

別交AB,BD,BC于點(diǎn)E,F,G,連接ED,DG.

判斷四邊形EBGD的形狀，并說明理由.

A

ED

19.已知，在AABC中，AB=AC=a,M為底邊BC上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作AB、

AC的平行線交AC于P,交AB于Q.

(1)求四邊形AQMP的周長；

(2)M位于BC的什么位置時(shí)，四邊形AQMP為菱形？說明你的理由.

A

20.如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA

上，AE=CG,AH=CF,且EG平分NHEF.

求證：(1)AAEH^ACGF；

(2)四邊形EFGH是菱形.

21.如圖，^ABC中，D是AB上一點(diǎn)，DELAC于點(diǎn)E,F是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)G±

BC于點(diǎn)G,與DE交于點(diǎn)H,若FG=AF,AG平分NCAB,連接GE,GD.

(1)求證：ZSECG^4GHD；

(2)小亮同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：AD=AC+EC.請你幫助小亮同學(xué)證明這一結(jié)論.

(3)若NB=30。，判定四邊形AEGF是否為菱形，并說明理由.

22.如圖，RtaABC中NC=90。，D為AB的中點(diǎn)，分別作AE〃CB、BE〃AC,兩

線交于點(diǎn)E,連接DE.作EF〃AB交CB延長線于點(diǎn)F,取EF中點(diǎn)G,連接BG.問

四邊形DEGB是什么特殊四邊形？說明理由.

23.如圖1,RtABAD與RtABCD的直角頂點(diǎn)A、C在斜邊BD所在直線的兩旁.連

接AC,

（1）點(diǎn)。、E分別是AC、BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作AE的平行線與E0的延長線交

于點(diǎn)F,求證：四邊形AFCE是菱形.

（2）如果Rt^BAD與RtaBCD的直角頂點(diǎn)A、C在斜邊BD所在直線的同側(cè)（如

圖2）,保持（1）中其它條件不變，則（1）中的結(jié)論是否成立？請?jiān)趫D2上

畫出相應(yīng)圖形并寫明結(jié)論.（畫出圖形，寫明結(jié)論，不需證明）

（3）在圖2中，過B、D兩點(diǎn)分別向AC所在直線作垂線，垂足為M、N（如圖

3）,則AM與CN是否相等？如果相等，給出證明；如果不相等，請說明理由.

（1）在邊AD上取一點(diǎn)M,使點(diǎn)A關(guān)于BM的對稱點(diǎn)G恰好落在EF上.設(shè)BM

與EF相交于點(diǎn)N,求證：四邊形ANGM是菱形；

(2)設(shè)P是AD上一點(diǎn)，ZPFB=3ZFBC,求線段AP的長.

25.如圖，在RtAABC中，ZB=90°,AC=40cm,ZA=60°,點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿

CA方向以4cm/秒的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以

2cm/秒的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之

停止運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動的時(shí)間是t秒(0<tW10).過點(diǎn)D作DF_LBC于點(diǎn)

F,連接DE,EF.

(1)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，請說

明理由；

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，^DEF為直角三角形？請說明理由.

26.在RtaABC中，ZBAC=90°,D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF

〃BC交BE的延長線于點(diǎn)F.

(1)求證：△AEFgZ\DEB；

(2)證明四邊形ADCF是菱形；

(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面積.

27.在五邊形ADBCE中，ZADB=ZAEC=90°,ZDAB=ZEAC,M、N、0分別為

AC、AB、BC的中點(diǎn).

(1)求證：△EMO之△OND；

(2)若AB=AC,且NBAC=40。，當(dāng)NDAB等于多少時(shí)，四邊形ADOE是菱形，并

28.在AABC中，ZBAC=90°,AD^BC于D,BG平分NABC交AD于E,交AC

于G,GFLBC于F,連接EF.

(1)如圖1,求證：四邊形AEFG是菱形；

(2)如圖2,若E為BG的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EM〃BC交AC于M,在不添加任何

輔助線的情況下，請直接寫出圖2中是CM長?倍的所有線段.

圖1圖2

29.如圖，在平行四邊形ABCD中，CE平分NBCD,交AB邊于點(diǎn)E,EF〃BC,

交CD于點(diǎn)F,點(diǎn)G是BC邊的中點(diǎn)，連接GF,且N1=N2,CE與GF交于點(diǎn)M,

過點(diǎn)M作MH1CD于點(diǎn)H.

(1)求證：四邊形BCFE是菱形；

(2)若CH=1,求BC的長；

(3)求證：EM=FG+MH.

30.如圖,在四邊形ABCD中，BD為一條對角線,AD〃BC,AD=2BC,ZABD=90",

E為AD的中點(diǎn)，連接BE.

(1)求證：四邊形BCDE為菱形；

(2)連接AC,若AC平分NBAD,判斷AC與CD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說

明理由.

31.如圖，^ABC中，NACB的平分線交AB于點(diǎn)D,作CD的垂直平分線，分別

交AC、DC、BC于點(diǎn)E、G、F,連接DE、DF.

(1)求證：四邊形DFCE是菱形；

(2)若NABC=60°,NACB=45°,BD=2,試求BF的長.

32.如圖，在QABCD中，NBAD的平分線交BC于點(diǎn)E,NABC的平分線交AD于

點(diǎn)F,AE與BF相交于點(diǎn)0,連接EF.

(1)求證：四邊形ABEF是菱形;

(2)若AE=6,BF=8,CE=$,求口ABCD的面積.

2

33.如圖，在DABCD中，CE平分NBCD,交AD于點(diǎn)E,DF平分NADC,交BC

于點(diǎn)F,CE與DF交于點(diǎn)P,連接EF,BP.

(1)求證：四邊形CDEF是菱形;

(2)若AB=2,BC=3,ZA=120°,求BP的值.

B

34.如圖1,在RtZXABC中,ZACB=90°,點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，

AE=BE,點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CM,點(diǎn)G在線段CM上，作NGDN=NAEB

交邊BC于N.

（1）如圖2,當(dāng)點(diǎn)G和點(diǎn)M重合時(shí)，求證：四邊形DMEN是菱形；

（2）如圖1,當(dāng)點(diǎn)G和點(diǎn)M、C不重合時(shí)，求證：DG=DN.

35.如圖，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動,

運(yùn)動到點(diǎn)A即停止；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)C即停止.點(diǎn)

P、Q的速度的速度都是lcm/s,連結(jié)PQ,AQ,CP,設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時(shí)間為

t（s）.

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ABQP是矩形？

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形AQCP是菱形？

（3）分別求出（2）中菱形AQCP的周長和面積.

36.如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC,AD平分NBAC交BC于點(diǎn)D,在線段AD

上任取一點(diǎn)P（點(diǎn)A除外），過點(diǎn)P作EF〃AB,分別交AC,BC于點(diǎn)E和點(diǎn)F,

作PQ〃AC,交

AB于點(diǎn)Q,連接QE.

（1）求證：四邊形AEPQ為菱形；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在何處時(shí)，菱形AEPQ的面積為四邊形EFBQ面積的一半？

37.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)0,過點(diǎn)A作AE〃BD,

過點(diǎn)D作ED〃AC,兩線相交于點(diǎn)E.

(1)求證：四邊形A0DE是菱形；

(2)連接BE,交AC于點(diǎn)F.若BELED于點(diǎn)E,求NA0D的度數(shù).

38.如圖1,已知平行四邊形ABCD中，對角線AC,BD交于點(diǎn)0,E是BD延長

線上的點(diǎn)，且4ACE是等邊三角形.

(1)求證：四邊形ABCD是菱形；

(2)如圖2,若NAED=2NEAD,AC=8.求DE的長.

圖2

華師大新版八年級下學(xué)期《1922菱形的判定》

同步練習(xí)卷

參考答案與試題解析

選擇題（共4小題）

1.如圖，AABC中，點(diǎn)P是AB邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD〃BC,PE〃AC,分別

交AC,BC于點(diǎn)D,E,連按CP.若四邊形CDPE是菱形，則線段CP應(yīng)滿足的

條件是（）

A.CP平分NACBB.CP1AB

C.CP是AB邊上的中線D.CP=AP

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：???四邊形CDPE是菱形，

，NDCP=/ECP,

：.CP平分NACB,

故選:A.

【點(diǎn)評】此題考查菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)解答.

2.如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到E,使DE=AD,連接EB,EC,

DB,下列條件中，不能使四邊形DBCE成為菱形的是（）

A.AB=BEB.BE±DCC.ZABE=90°D.BE平分NDBC

【分析】根據(jù)菱形的判定方法一一判斷即可;

【解答】解：???四邊形ABCD為平行四邊形，

，AD〃BC,AD=BC,

又：AD=DE,

，DE〃BC,且DE=BC,

...四邊形BCED為平行四邊形，

A、VAB=BE,DE=AD,ABDlAE,.“DBCE為矩形，故本選項(xiàng)錯誤；

B、?.'BE，DC,.?.對角線互相垂直的平行四邊形為菱形，故本選項(xiàng)正確；

C、?.?NABE=90。，，BD=DE,.?.鄰邊相等的平行四邊形為菱形，故本選項(xiàng)正確；

D、二?BE平分NDBC,...對角線平分對角的平行四邊形為菱形，故本選項(xiàng)正確.

故選:A.

【點(diǎn)評】此題主要考查了平行四邊形的判定以及菱形的判定，正確掌握菱形的判

定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

3.如圖，等邊4ABC沿射線BC向右平移到4DCE的位置，連接AD、BD,則下

列結(jié)論：

①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四邊形ACED是菱形；④NACD=NDCE,

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

【分析】由^ABC、Z^DCE是等邊三角形，可求出NACD=60。，繼而可判斷aACD

是等邊三角形，從而可判斷①是正確的；根據(jù)①的結(jié)論，可判斷四邊形ABCD

是平行四邊形，從而可判斷②是正確的；根據(jù)①的結(jié)論，可判斷四邊形ACED

是菱形，即③正確，繼而判定④正確.

【解答】解：?..△ABC、4DCE是等邊三角形,

/.ZACB=ZDCE=60°,AC=CD,

，ZACD=180°-ZACB-ZDCE=60°,

/.△ACD是等邊三角形，

；.AD=AC=BC,故①正確；

由①可得AD=BC,

VAB=CD,

/.四邊形ABCD是平行四邊形，

，BD、AC互相平分，故②正確；

由①可得AD=AC=CE=DE,

故四邊形ACED是菱形，即③正確；

???四邊形ACED是菱形，

AZACD=ZDCE；故④正確.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了平移的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)

及菱形的判定.解答本題的關(guān)鍵是先判斷出4ACD是等邊三角形.

4.如圖，在DABCD中，AM,CN分別是NBAD和NBCD的平分線，添加一個(gè)條

件，仍無法判斷四邊形AMCN為菱形的是（）

A.AM=ANB.MN1AC

C.MN是NAMC的平分線D.ZBAD=120°

【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)推出NB=ND,NDAB=NDCB,AB=CD,AD=BC,

求出NBAM=NDCN,ilEAABM^ACDN,推出AM=CN,BE=DN,求出AN=CM,

得出四邊形AMCN是平行四邊形，再根據(jù)菱形的判定判斷即可.

【解答】解：如圖，???四邊形ABCD是平行四邊形，

/.ZB=ZD,ZDAB=ZDCB,AB=CD,AD=BC,

?.?AM,CN分別是NBAD和/BCD的平分線，

，NDCN=LNDCB,NBAM」NBAD,

22

NBAM=NDCN,

在△ABM和4CDN中

"ZD=ZB

-AB=CD，

ZDCN=ZBAM

.,.△ABM^ACDN(ASA),

，AM=CN,BM=DN,

VAD=BC,

，AN=CM,

???四邊形AMCN是平行四邊形，

A、?四邊形AMCN是平行四邊形，AM=AN,

,平行四邊形AMCN是菱形，故本選項(xiàng)錯誤；

B、VMN±AC,四邊形AMCN是平行四邊形，

???平行四邊形AMCN是菱形，故本選項(xiàng)錯誤；

C、二?四邊形AMCN是平行四邊形，

，AN〃BC,

；.NMNA=NCMN,

VMN是NAMC的平分線，

，NNMA=NNMC,

/.ZMNA=ZMAC,

/.ZMAC=ZNMA,

，AM=AN,

???四邊形AMCN是平行四邊形，

二四邊形AMCN是菱形，故本選項(xiàng)錯誤；

D、根據(jù)NBAD=120。和平行四邊形AMCN不能推出四邊形是菱形，故本選項(xiàng)正確;

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定、菱形的判定、全等三角形的性質(zhì)

和判定、平行線的性質(zhì)等知識點(diǎn)；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.

二.填空題（共2小題）

5.平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)。，BD=2AD,E、F、G分別

是OC、OD,AB的中點(diǎn).下列結(jié)論：①EG=EF；②^EFG之^GBE；③FB平

分NEFG；④EA平分NGEF；⑤四邊形BEFG是菱形.其中正確的是

D

G

//

--乂

【分析】由中點(diǎn)的性質(zhì)可得出EF〃CD,且EF=LCD=BG,結(jié)合平行即可證得②結(jié)

2

論成立，由BD=2BC得出BO=BC,即而得出BE,AC,由中線的性質(zhì)可知GP〃

BE,且GP=LBE,AO=EO,通過證4APG之4EPG得出AG=EG=EF得出①成立，

2

再證4GPE之4FPE得出④成立，此題得解.

【解答】解：令GF和AC的交點(diǎn)為點(diǎn)P,如圖所示：

VE.F分別是OC、0D的中點(diǎn)，

；.EF〃CD,且EF=LCD,

2

?.?四邊形ABCD為平行四邊形，

，AB〃CD,且AB=CD,

.,.ZFEG=ZBGE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

???點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，

BG=—AB=—CD=FE,

22

'BG二FE

在和AGBE中，,NFEG=NBGE，

GE二EG

.,.△EFG^AGBE（SAS）,即②成立，

/.ZEGF=ZGEB,

.?.GF〃BE（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），

???BD=2BC,點(diǎn)。為平行四邊形對角線交點(diǎn)，

BO=LBD=BC,

2

YE為0C中點(diǎn)，

.,.BE±OC,

AGPlAC,

AZAPG=ZEPG=90°

?.?GP〃BE,G為AB中點(diǎn)，

；.P為AE中點(diǎn)，即AP=PE,且GP=^BE,

2

fAP=EP

在AAPG和4EGP中，(NAPG=NEPG，

GP=GP

.".△APG^AEPG(SAS),

.,.AG=EG=1AB,

2

；.EG=EF,即①成立，

VEF/7BG,GF〃BE,

四邊形BGFE為平行四邊形，

；.GF=BE,

VGP=1BE=1GF,

22

，GP=FP,

VGF±AC,

；.NGPE=NFPE=90°

rGP=FP

在^GPE和AFPE中，＜NGPE=NFPE，

EP=EP

/.△GPE^AFPE(SAS),

；.NGEP=NFEP,

，EA平分NGEF,即④成立.

故答案為：①②④.

【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、中位線定理以及平行線的性質(zhì)定

理，解題的關(guān)鍵是利用中位線，尋找等量關(guān)系，借助于證明全等三角形找到

邊角相等.

6.如圖在RtaABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,D為斜邊AB上一點(diǎn)，以CD、

CB為邊作平行四邊形CDEB,當(dāng)AD=工，平行四邊形CDEB為菱形.

【分析】首先根據(jù)勾股定理求得AB=5；然后利用菱形的對角線互相垂直平分、

鄰邊相等推知OD=OB,CD=CB；最后RtABOC中，根據(jù)勾股定理得，0B的值,

則AD=AB-20B.

【解答】解：如圖，連接CE交AB于點(diǎn)0.

；RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,

AAB=VAC2+BC2=5（勾股定理）?

若平行四邊形CDEB為菱形時(shí)，CE±BD,且OD=OB,CD=CB.

V1AB*OC=1AC*BC,

22

.*.0C=—.

5

...在RtABOC中，根據(jù)勾股定理得，0B=）工!,

；.AD=AB-20B=—.

5

故答案是：工.

5

【點(diǎn)評】本題考查了菱形的判定與性質(zhì).菱形的對角線互相垂直平分.

三.解答題（共32小題）

7.已知：如圖，已知AD是RtAiABC斜邊BC上的高，NB的平分線交AD于M

交AC于E,NDAC的平分線交ME于0,交CD于N.求證：四邊形AMNE是

菱形.

【分析】根據(jù)全等三角形的判定和菱形的判定證明即可.

【解答】證明：,?'BE平分/ABC交AD于M,交AC于E,

VZABE=ZDBM,

VAD是RtAABC斜邊BC上的高，

.,.ZBAC=ZADB=90°,

，ZAEM=ZBMD,

VZAME=ZBMD,

，NAEM=NAME,

，AE=AM,

,/ZDAC的平分線交CD于N,

；.NMAN=NNAE,AN±ME,且AN平分ME,

在aBA。和△BNO中，

"ZABO=ZNBO

<BO=BO，

ZAOB=ZNOB=90"

.,.△ABO四△NBO(ASA),

，AO=NO,

AAN和ME互相垂直平分，

???四邊形AMNE是菱形.

【點(diǎn)評】此題考查菱形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答.

8.己知：如圖，AF〃DE,AC平分NBAD交DE于點(diǎn)C,DB平分NADC交AF于

點(diǎn)B,連接BC.求證：四邊形ABCD是菱形

D

■E

ABF

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和菱形的判定證明即可.

【解答】證明：:AC平分NBAD交DE于點(diǎn)C,

；.NDAC=NCAB,

VAF/7DE,

AZDCA=ZCAB,

/.ZDAC=ZDCA,

，AD〃BC,

四邊形ABCD是平行四邊形，

DB平分NADC交AF于點(diǎn)B,

/.ZADB=ZBDC,

VAF/7DE,

，ZADC+ZDAB=180°,

,ZADB+ZDAC=90°,

.,.DB±AC,

二平行四邊形ABCD是菱形.

【點(diǎn)評】此題考查菱形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形和菱形的判定解答.

9.如圖，在平行四邊形ABCD中，P是對角線BD上的一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CQ〃DB,

且CQ=DP,連接AP、BQ、PQ.

(1)求證：4APD之△BQC；

(2)若/ABP+NBQC=180。，求證：四邊形ABQP為菱形.

【分析】(1)只要證明AD=BC,NADP=NBCQ,DP=CQ即可解決問題;

(2)首先證明四邊形ABQP是平行四邊形，再證明AB=AP即可解決問題;

【解答】(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，

/.AD=BC,AD〃BC,

NADB=NDBC,

?.,CQ〃DB,

.?.NBCQ=NDBC,

；.NADB=NBCQ

VDP=CQ,

.?.△ADP絲△BCQ.

(2)證明：?.?CQ〃DB,且CQ=DP,

...四邊形CQPD是平行四邊形，

；.CD=PQ,CD〃PQ,

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AB=CD,AB〃CD,

，AB=PQ,AB〃PQ,

???四邊形ABQP是平行四邊形，

VAADP^ABCQ,

，NAPD=NBQC,

ZAPD+ZAPB=180°,

，NABP=NAPB,

；.AB=AP,

四邊形ABQP是菱形.

【點(diǎn)評】本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和

性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型.

10.如圖，已知點(diǎn)P為/ACB平分線上的一點(diǎn)，ZACB=60°,PDJ_CA于D,PE±

CB于E.點(diǎn)M是線段CP上的動點(diǎn)（不與兩端點(diǎn)C、P重合），連接DM,EM.

（1）求證：DM=ME；

（2）當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到線段CP的什么位置時(shí)，四邊形PDME為菱形，請說明理由.

A

【分析】（1）先利用角平分線定義得到NACP=NBCP=30。，再根據(jù)角平分線的性

質(zhì)得PD=PE,則利用"HL"可證明RtADCP^RtAECP得到CD=CE,然后證明^

DCM^AECM得至DM=ME；

（2）利用NDCP=30°得到PC=2PD,ZCPD=60°,則當(dāng)DM=DP時(shí)，PD=PE=MD=ME,

則四邊形DMEP為菱形，由于此時(shí)△PDM為等邊三角形，所以PD=PM,從而

得到CM=PM,即當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到線段CP的中點(diǎn)時(shí)，四邊形PDME為菱形.

【解答】（1）證明：???點(diǎn)P為NACB平分線上的一點(diǎn)，

.,.ZACP=ZBCP=30°,

?.,PD_LCA于D,PE_LCB于E,

；.PD=PE,

在RtADCP和RtAECP中

<fCP=CPj

lPD=PE，

RtADCP^RtAECP,

/.CD=CE,

在△DCM和△ECM中

"CD=CE

-NDCM=/ECM，

CM=CM

A△DCMECM,

.*.DM=ME；

（2）解：當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到線段CP的中點(diǎn)時(shí)，四邊形PDME為菱形.

理由如下：VZDCP=30o,

/.PC=2PD,ZCPD=60°,

VPD=PE,MD=ME,

...當(dāng)DM=DP時(shí)，PD=PE=MD=ME,則四邊形DMEP為菱形,

此時(shí)APDIVI為等邊三角形，

，PD=PM,

；.CM=PM,

???當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到線段CP的中點(diǎn)時(shí)，四邊形PDME為菱形.

【點(diǎn)評】本題考查了菱形的判定：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊

形+一組鄰邊相等=菱形）；四條邊都相等的四邊形是菱形.也考查了全等三角

形的判定與性質(zhì)和角平分線的性質(zhì).

11.如圖，在aABC中，AB=AC,ADLBC于D,點(diǎn)E,F分別是AB,AC的中點(diǎn).求

證：四邊形AEDF是菱形.

【分析】先根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，得出DE=1AB=AE,DF=1AC=AF,

22

再根據(jù)AB=AC,點(diǎn)E、F分別是AB、AC的中點(diǎn),即可得到AE=AF=DE=DF,進(jìn)

而判定四邊形AEDF是菱形.

【解答】證明：

?.?AD_LBC,點(diǎn)E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，

，RtZ\ABD中，DE=LAB=AE,

2

RtAACD中，DF=LAC=AF,

2

又?.?AB=AC,點(diǎn)E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，

，AE=AF,

，AE=AF=DE=DF,

四邊形AEDF是菱形.

【點(diǎn)評】本題考查了菱形的判定、三角形的中位線定理、線段的垂直平分線的性

質(zhì)定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

12.如圖I,在DABCD中，AB±BD,P,。分別為AD,BD的中點(diǎn)，延長P0交BC

于點(diǎn)Q,連結(jié)BP,DQ,求證：四邊形PBQD是菱形.

【分析】根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形即可判斷；

【解答】證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

，AB〃CD,AD=BC,

/.ZABD=ZBDC,

VAB±BD,

，ZABD=ZBDC=90°,

VAP=PD,BQ=QC,

；.PB=PD=AP,DQ=BQ=QC,

PB=PD二BQ二DQ,

...四邊形PBQD是菱形.

【點(diǎn)評】本題考查菱形的判定、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

13.如圖：在aABC中，NBAC=90。，AD，BC于D,CE平分NACB,交AD于G,

交AB于E,EF1BC于F,

求證：四邊形AEFG是菱形.

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NB=NCAD,根據(jù)角平分線性質(zhì)求出AE=EF,

由勾股定理求出AC=CF,證△ACGGZ\FCG,推出NCAD=NCFG,得出NB=N

CFG,推出GF〃AB,AD〃EF,得出平行四邊形，根據(jù)菱形的判定判斷即可.

【解答】證明：???AD_LBC,

/.ZADB=90°,

,.,ZBAC=90°,

/.ZB+ZBAD=90",ZBAD+ZCAD=90°,

，NB=NCAD,

「CE平分NACB,EF±BC,ZBAC=90°(EA±CA),

.?.AE=EF(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等)，

VCE=CE,

...由勾股定理得：AC=CF,

,/AACG和aFCG中

AC=CF

<NACG=/FCG，

CG=CG

/.△ACG^AFCG,

/.ZCAD=ZCFG,

VZB=ZCAD,

/.ZB=ZCFG,

，GF〃AB,

VAD±BC,EF±BC,

，AD〃EF,

即AG〃EF,AE〃GF,

四邊形AEFG是平行四邊形，

VAE=EF,

???平行四邊形AEFG是菱形.

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，全等三角形的性質(zhì)

和判定的應(yīng)用，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力，題目比較好，綜合性也

比較強(qiáng).

14.如圖，AE〃BF,AC平分NBAD,且交BF于點(diǎn)C,BD平分/ABC,且交AE

于點(diǎn)D,連接CD,求證：

(1)AC1BD；

(2)四邊形ABCD是菱形.

【分析】(1)證得ABAC是等腰三角形后利用三線合一的性質(zhì)得到ACLBD即可；

(2)首先證得四邊形ABCD是平行四邊形，然后根據(jù)對角線互相垂直得到平行

四邊形是菱形.

【解答】證明:(1)VAE^BF,

；.NBCA=NCAD,

VAC平分/BAD,

NBAC=NCAD,

AZBCA=ZBAC,

/.ABAC是等腰三角形，

VBD平分NABC,

AAClBD；

(2)???△BAC是等腰三角形,

；.AB=CB,

VZCBD=ZABD=ZBDA,

...△ABD也是等腰三角形，

，AB=AD,

；.DA=CB,

BC〃DA,

四邊形ABCD是平行四邊形,

VAC1BD,

四邊形ABCD是菱形.

【點(diǎn)評】本題考查了菱形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的幾個(gè)判定方法，

難度不大.

15.如圖，在口ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對角線，過點(diǎn)A

作AG〃DB交CB的延長線于點(diǎn).

(1)求證：4ADE且ZXCBF；

(2)若/G=90。，求證：四邊形DEBF是菱形.

【分析】(1)根據(jù)已知條件證明AE=CF,從而根據(jù)SAS可證明兩三角形全等;

(2)先證明DE=BE,再根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，從而得出結(jié)論.

【解答】證明：(1)???四邊形ABCD是平行四邊形，

，AB=CD,AD=BC,ZA=ZC,

,點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，

.-.AE=1AB,CF=&D,

22

，AE=CF,

在Z^ADE和ACBF中，

'AD=BC

NA=/C，

AE=CF

.'.△ADE^ACBF(SAS)；

(2)VZG=90°,AG〃BD,AD〃BG,

二四邊形AGBD是矩形,

，ZADB=90°,

在RtAADB中

YE為AB的中點(diǎn),

，AE=BE=DE,

；DF〃BE,DF=BE,

...四邊形DEBF是平行四邊形，

四邊形DEBF是菱形.

【點(diǎn)評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)：

在直角三角形中斜邊中線等于斜邊一半，難度適中.

16.在RtZ\ABC中NB=90。，ZACB=30°,NBAC的平分線AD交BC于D,過點(diǎn)D

作DE_LAB于E,過A作AF〃BC交DE延長線于點(diǎn)F,連接FC

求證：（1）AAEF^ACED；

（2）四邊形ADCF是菱形.

【分析】（1）由全等三角形的判定定理AAS證得4AEF會4CED；

（2）根據(jù)（1）中的全等三角形的性質(zhì)推出四邊形ADCF是平行四邊形，再證明

△AED^AABD,推出DF_LAC,由此即可證明.

【解答】（1）證明：［AF〃CD,

，NAFE=NCDE,

在aAFE和4CDE中，

，ZAFE=ZCDE

<NAEF=NCED，

AE=CE

.,.△AEF^ACED（AAS）.

（2）?在RtZ\ABC中NB=90°,ZACB=30°,

.,.AB=—AC.

2

由（1）知，AAEF^ACED,則AF=CD,

?.?AF〃CD,

/.四邊形ADCF是平行四邊形.

Etl題意知，AE=AB,NEAD=NBAD,AD=AD,

.'.△AED^AABD.

/.ZAED=ZB=90°,即DFJ_AC.

...四邊形ADCF是菱形.

【點(diǎn)評】本題考查菱形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和

性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識解決問題，屬于基礎(chǔ)題，中考

?？碱}型.

17.如圖，在aABC中，ZACB=90°,CD為AB邊上的中線，過點(diǎn)D作DELBC

于E,過點(diǎn)C作AB的平行線與DE的延長線交于點(diǎn)F,連接BF,AE.

（1）求證：BF=CF.

（2）當(dāng)三角形ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形BDCF為菱形并說明理由.

【分析】（1）求出四邊形ADFC是平行四邊形，推出CF=AD=BD,根據(jù)平行四邊

形的判定得出四邊形BDCF是平行四邊形，求CD=BD,進(jìn)而可證明BF=CF；

（2）當(dāng)AC=BC時(shí)，四邊形BCFD為菱形，根據(jù)菱形的判定得出即可；

【解答】解:

（1）證明：DE1BC,NACB=90°,

.ZBED=ZACB,

/.DF/7AC,

VCF/7AB,

...四邊形ADFC是平行四邊形，

，AD=CF,

TD為AB的中點(diǎn)，

；.AD=BD,

，BD=CF,

?.?BD〃CF,

四邊形BDCF是平行四邊形，

/.CD=BF,

，BF=CF；

(2)當(dāng)AC=BC時(shí)，四邊形BDCF為菱形，

VZACB=90°,D為AB的中點(diǎn)，

/.DC=BD,

?.?四邊形BDCF是平行四邊形，

...四邊形BDCF是菱形.

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)

的應(yīng)用，能熟記菱形的性質(zhì)和判定定理是解此題的關(guān)鍵.

18.如圖，在△ABC中，ZABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D,BD的垂直平分線分

別交AB,BD,BC于點(diǎn)E,F,G,連接ED,DG.

判斷四邊形EBGD的形狀，并說明理由.

【分析】首先垂直平分線的性質(zhì)得到BE=DE,BG=DG,再證明4BGF之ADEF,得

到DE=BG,利用四邊相等的四邊形是菱形得到結(jié)論.

【解答】解：四邊形EBGD是菱形，

理由：；EG垂直平分BD,

；.BE=DE,BG=DG,

；.NEBD=NEDB,

VBD平分NABC,

/.ZEBD=ZDBG,

，NDBG=NEDB,

VZEFD=ZGFB,BF=DF,

.,.△BGF^ADEF,

，DE=BG,

；.BE=DE=BG=DG,

四邊形EBGD是菱形.

【點(diǎn)評】本題主要考查了菱形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握四邊形相等的四邊形是

菱形.

19.已知，在aABC中，AB=AC=a,M為底邊BC上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作AB、

AC的平行線交AC于P,交AB于Q.

（1）求四邊形AQMP的周長；

（2）M位于BC的什么位置時(shí)，四邊形AQMP為菱形？說明你的理由.

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得到對應(yīng)角相等對應(yīng)邊相等，從而不難求

得其周長；

（2）根據(jù)中位線的性質(zhì)及菱形的判定不難求得四邊形AQMP為菱形.

【解答】解：（1）TABaMP,QM〃AC,

，四邊形APMQ是平行四邊形，NB=NPMC,NC=/QMB.

VAB=AC,

.?.NB=NC,

，NPMC=NQMB.

，BQ=QM,PM=PC.

/.四邊形AQMP的周長=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a；

（2）當(dāng)點(diǎn)M在BC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形APMQ是菱形，

?.?AB〃MP,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，

???C-M-_-C-P-_-1,

CBAC2

；.P是AC的中點(diǎn)，

APM是三角形ABC的中位線，

同理：QM是三角形ABC的中位線.

VAB=AC,

，QM=PM=LAB」AC.

22

又由（1）知四邊形APMQ是平行四邊形，

二平行四邊形APMQ是菱形.

【點(diǎn)評】此題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，菱形的判定

等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用.

20.如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD>DA

上，AE=CG,AH=CF,且EG平分NHEF.

求證：（1）AAEH^ACGF；

【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS證得結(jié)論；

（2）易證四邊形EFGH是平行四邊形，那么EF〃GH,那么NHGE=NFEG,而EG

是角平分線，易得NHEG=NFEG,根據(jù)等量代換可得NHEG=NHGE,從而有

HE=HG,易證四邊形EFGH是菱形.

【解答】（1）證明：如圖，???四邊形ABCD是平行四邊形，

/.ZA=ZC,

在aAEH與4CGF中，

'AE=CG

</A=NC，

AH=CF

.'.△AEH^ACGF(SAS)；

(2)解：?.?在ABCD中NB=ND,且AB=CDAD=BC

又?.?AE=CGAH=CF,

.".BE=DGDH=BF,

.,.△DHG^ABFE,

AHG=EF

又?.,HE=GF

四邊形EFGH是平行四邊形

又..任仃平分NHEF,

.,.Z1=Z2

又；HG〃EF,

/.Z2=Z3,

，N1=N3,

，HE=HG,

...EFGH是菱形；

【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形

的判定.解題的關(guān)鍵是掌握兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形，一組鄰邊

相等的平行四邊形是菱形.

21.如圖，^ABC中，D是AB上一點(diǎn)，DELAC于點(diǎn)E,F是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)G±

BC于點(diǎn)G,與DE交于點(diǎn)H,若FG=AF,AG平分NCAB,連接GE,GD.

(1)求證：ZSECG^4GHD；

(2)小亮同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：AD=AC+EC.請你幫助小亮同學(xué)證明這一結(jié)論.

（3）若NB=30。，判定四邊形AEGF是否為菱形，并說明理由.

【分析】（1）依據(jù)條件得出/C=NDHG=90。，ZCGE=ZGED,依據(jù)F是AD的中

點(diǎn)，F(xiàn)G〃AE,即可得到FG是線段ED的垂直平分線，進(jìn)而得到GE=GD,ZCGE=

ZGDE,利用AAS即可判定△ECGgaGHD；

（2）過點(diǎn)G作GP±AB于P,判定4CAG絲APAG,可得AC=AP,由（1）可得

EG=DG,即可得到Rt△ECG絲Rt^DPG,依據(jù)EC=PD,即可得出AD=AP+PD=AC+EC；

（3）依據(jù)/B=30。，可得NADE=30。，進(jìn)而得到AE=』AD,故AE=AF=FG,再根據(jù)

2

四邊形AECF是平行四邊形，即可得到四邊形AEGF是菱形.

【解答】解:（1）VAF=FG,

/.ZFAG=ZFGA,

VAG平分/CAB,

/CAG=NFGA,

；.NCAG=NFGA,

；.AC〃FG,

VDEIAC,

AFG±DE,

VFG±BC,

；.DE〃BC,

AAClBC,

AZC=ZDHG=90",ZCGE=ZGED,

是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)G〃AE,

；.H是ED的中點(diǎn)，

...FG是線段ED的垂直平分線，

.GE=GD,ZGDE=ZGED,

/.ZCGE=ZGDE,

/.△ECG^AGHD；

(2)證明：過點(diǎn)G作GPLAB于P,

.*.GC=GP,而AG=AG,

.".△CAG^APAG,

；.AC=AP,

由(1)可得EG=DG,

，RtAECG^RtADPG,

，EC=PD,

，AD=AP+PD=AC+EC；

(3)四邊形AEGF是菱形，

證明：VZB=30°,

，NADE=30°,

.?.AE」AD,

2

，AE=AF=FG,

由(1)得AE〃FG,

...四邊形AECF是平行四邊形，

四邊形AEGF是菱形.

【點(diǎn)評】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了菱形的判定、全等三角形的判定和

性質(zhì)，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)以及含30。角的直角三角形的性質(zhì)的綜合

運(yùn)用，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等是解決問題的關(guān)鍵.

22.如圖，RtaABC中NC=90。，D為AB的中點(diǎn)，分別作AE〃CB、BE〃AC,兩

線交于點(diǎn)E,連接DE.作EF〃AB交CB延長線于點(diǎn)F,取EF中點(diǎn)G,連接BG.問

四邊形DEGB是什么特殊四邊形？說明理由.

【分析】由AE〃CB,BE〃AC,RtaABC中NC=90。，可得四邊形DEGB是矩形，

△AEB和4EBF都是直角三角形，又由D、G分別是AB、EF的中點(diǎn)，可得四

邊形ABFE是平行四邊形，繼而可得ED=BD=EG=BG,則可證得四邊形DEGB是

菱形.

【解答】解：四邊形DEGB是菱形.

理由：：AE〃CB,BE〃AC,

四邊形DEGB是平行四邊形，

XVZC=90%

四邊形ACBE是矩形，

；.NAEB=NCBE=90°,

/.△AEB和4EBF都是直角三角形，

又YD、G分別是AB、EF的中點(diǎn)，

，ED=BD,EG=BG,

?；AE〃BF,EF〃AB,

/.四邊形ABFE是平行四邊形，

，AB=EF,

又二D、G分別是AB、EF的中點(diǎn)，

；.BD=EG,

；.ED=BD=EG=BG,

四邊形DEGB是菱形.

【點(diǎn)評】此題考查了菱形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及直角三角

形的性質(zhì).此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

23.如圖1,RtABAD與RtABCD的直角頂點(diǎn)A、C在斜邊BD所在直線的兩旁.連

接AC,

(1)點(diǎn)0、E分別是AC,BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作AE的平行線與E0的延長線交

于點(diǎn)F,求證：四邊形AFCE是菱形.

（2）如果RtaBAD與RtaBCD的直角頂點(diǎn)A、C在斜邊BD所在直線的同側(cè)（如

圖2）,保持（1）中其它條件不變，則（1）中的結(jié)論是否成立？請?jiān)趫D2上

畫出相應(yīng)圖形并寫明結(jié)論.（畫出圖形，寫明結(jié)論，不需證明）

（3）在圖2中，過B、D兩點(diǎn)分別向AC所在直線作垂線，垂足為M、N（如圖

3）,則AM與CN是否相等？如果相等，給出證明；如果不相等，請說明理由.

【分析】（1）由直角三角形斜邊上的中線長為斜邊的一半，即可證得AE=CE,由

AE〃CF,易證得內(nèi)錯角相等，則可得△AEOgz^CFO,得至UAE=CF,則證得四

邊形AECF是菱形；

（2）同理可得四邊形AECF是菱形；

（3）首先菱形的性質(zhì)，可得EFLAC,OA=OC,利用垂直于同一直線平行，可證

得BM〃OE〃DN,利用平行線分線段成比例定理，即可證得結(jié)論的正確性.

【解答】（1）證明：?..在RtZXBAD與RtZXBCD中,BD是斜邊，E是BD的中點(diǎn),

.,.AE=1BD,CE=1BD,

22

，AE=CE,

?；AE〃CF,

/.ZEAO=ZFCO,ZOEA=ZOFC,

VOE=OF,

/.△AEO^ACFO（AAS）,

；.AE=