北師大版2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊強(qiáng)化提分系列專題1.4運(yùn)用勾股定理解決最短路徑問題【八大題型】學(xué)案(學(xué)生版+解析)

專題1.4運(yùn)用勾股定理解決最短路徑問題【八大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1正方體中的最短路徑】 1【題型2長方體中的最短路徑】 2【題型3圓柱中的最短路徑】 3【題型4圓錐中的最短路徑】 4【題型5臺階中的最短路徑】 6【題型6由垂線段最短求最短路徑】 7【題型7由將軍飲馬求最短路徑】 8【題型8不規(guī)則圖形中求最短路徑】 9【題型1正方體中的最短路徑】【例1】（23-24八年級·江西撫州·階段練習(xí)）如圖，在棱長為3cm的正方體上有一些線段，把所有的面都分成9個小正方形，每個小正方形的邊長都為1cm．若一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下底面A點沿表面爬行至右側(cè)B

【變式1-1】（23-24八年級·四川樂山·期末）如圖，正方體盒子的棱長為2，M為BC的中點，則一只螞蟻從M點沿盒子的表面爬行到A點的最短距離為（

）A．12 B．13 C．14 D．17【變式1-2】（23-24八年級·山東青島·期中）如圖，有一棱長為3dm的正方體盒子，現(xiàn)要按圖中箭頭所指方向從點A到點D拉一條捆綁線繩，使線繩經(jīng)過ABFE、BCGF、EFGH、CDHG四個面，則所需捆綁線繩的長至少為（

）dm．A．15 B．9 C．313 D．【變式1-3】（23-24八年級·河南鄭州·期中）棱長分別為5cm，3cm兩個正方體如圖放置，點P在E1F1上，且E1【題型2長方體中的最短路徑】【例2】（23-24八年級·黑龍江佳木斯·期末）如圖是一塊長、寬、高分別是6cm、4cm和3cm的長方體木塊，一只螞蟻要從長方體木塊的一個頂點A處，沿著長方體的表面到長方體上和頂點A相對的頂點

A．3+213cm B．97cm C．85cm【變式2-1】（23-24八年級·全國·競賽）如圖，一個長方體建筑物的長、寬、高分別為3米、1米和6米，為了美觀，現(xiàn)要在該建筑物上纏繞燈線以便安裝小彩燈，燈線的繞法是從下底面的頂點A開始經(jīng)過四個側(cè)面繞到上底面的頂點B，如果纏繞的圈數(shù)是n，那么用在該建筑物上的燈線最短需要米．【變式2-2】（23-24八年級·安徽阜陽·期末）如圖，在一個邊長為6cm的正方形紙片ABCD上，放著一根長方體木塊，已知該木塊的較長邊與AD平行，橫截面是邊長為1cm的正方形，一只螞蟻從點A爬過木塊到達(dá)蜂蜜C處需爬行的最短路程是【變式2-3】（23-24八年級·陜西西安·期中）如圖，一個長方體蛋糕盒的長、寬、商分別為40cm、30cm、20cm，點E到點D的距離為10cm．現(xiàn)有一只螞蟻從點

A．1029cm B．1037cm C．【題型3圓柱中的最短路徑】【例3】（23-24八年級·廣西北海·期中）如圖，動點P從點A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動到BC的中點S，若BC=6，點P移動的最短距離為5，則圓柱的底面周長為（

）A．4 B．4π C．8 D．10【變式3-1】（23-24八年級·四川成都·階段練習(xí)）如圖，已知圓柱底面的周長為12dm，圓柱高為9dm，在圓柱的側(cè)面上，過點A和點C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長最小為dm【變式3-2】（23-24八年級·陜西西安·期末）如圖，圓柱底面圓的周長為6cm，CD、AB分別是上、下底面的直徑，高BC=3cm，用一條無彈性的絲帶從A至C按如圖所示的圈數(shù)纏繞，則絲帶的最短長度為【變式3-3】（23-24八年級·廣西河池·階段練習(xí)）如圖所示，已知圓柱的底面周長為36，高AB=5，P點位于圓周頂面13處，小蟲在圓柱側(cè)面爬行，從A點爬到P點，然后再爬回C點，則小蟲爬行的最短路程為【題型4圓錐中的最短路徑】【例4】（23-24八年級·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）已知圓錐的底面半徑是4cm，母線長為12cm，C為母線PB的中點，螞蟻在圓錐側(cè)面上從A爬到C的最短距離是【變式4-1】（23-24八年級·河北保定·期末）如圖，小明用半徑為20，圓心角為θ的扇形，圍成了一個底面半徑r為5的圓錐.（1）扇形的圓心角θ為；（2）一只蜘蛛從圓錐底面圓周上一點A出發(fā)，沿圓錐的側(cè)面爬行一周后回到點A的最短路程是.【變式4-2】（23-24·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）某班學(xué)生表演課本劇，要制作一頂圓錐形的小丑帽．如圖，這個圓錐的底面圓周長為20πcm，母線AB長為30cm，為了使帽子更美觀，要粘貼彩帶進(jìn)行裝飾，其中需要粘貼一條從點A處開始，繞側(cè)面一周又回到點A的彩帶（彩帶寬度忽略不計），這條彩帶的最短長度是（

v

A．30cm B．303cm C．60cm D．20π【變式4-3】（23-24八年級·安徽·單元測試）如圖，圓錐的軸截面是邊長為6cm的正三角形ABC，P是母線AC的中點，則在圓錐的側(cè)面上從B點到P點的最短路線的長為（）A． B．2 C．3 D．4【題型5臺階中的最短路徑】【例5】（23-24八年級·重慶九龍坡·期中）如圖是一個二級臺階，每一級臺階的長、寬、高分別為60cm、30cm、10cm．A和B是臺階兩個相對的端點，在B點有一只螞蟻，想到AA．60cm B．80cm C．100cm【變式5-1】（23-24八年級·河北廊坊·階段練習(xí)）如圖，學(xué)校實驗樓前一個三級臺階，它的每—級的長、寬、高分別為24dm，3dm，3dm，點M和點N是這個臺階上兩個相對的端點，M點有一只螞蟻，想到N點處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點N的最短路程（

）A．10dm B．20dm C．30dm【變式5-2】（23-24八年級·山東煙臺·期中）如圖，是一個三級臺階，它每一級長，寬，高分別為4m，34m和14m，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻想到B點去吃可口的食物，則它所走的最短路線長度為（A．3.5m B．4.5m C．5m D．5.5m【變式5-3】（23-24八年級·山東濟(jì)南·期末）如圖，這是一個臺階的示意圖，每一層臺階的高是20cm、長是50cm、寬是40cm，一只螞蟻沿臺階從點A出發(fā)爬到點B【題型6由垂線段最短求最短路徑】【例6】（12-13八年級·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，點D，E分別是AB、AC的中點，在CD上找一點P，連接AP、EP，當(dāng)AP+EP最小時，這個最小值是．【變式6-1】（23-24八年級·廣西梧州·期中）如下圖，某國道通過A、B兩個村莊，而C村莊離國道較遠(yuǎn)，為了相應(yīng)政府“村村通公路”的號召，C村決定采用自己籌集一部分，政府補(bǔ)貼一部分的方法修建一條水泥路直通國道，已知C村到A、B兩村的距離分別為6km、8km，A，B兩村的距離為【變式6-2】（23-24·四川宜賓·模擬預(yù)測）如圖A，B，C為三個村莊，A，B兩村沿河而建且相距17千米，A，C相距52千米，B，C相距13千米，C村需從河邊修建一條引水渠到村莊，每千米造價1.5萬元，則費(fèi)用最低為（

A．6 B．1522 C．4.5【變式6-3】（23-24八年級·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，AD平分∠CAB交BC于D點，E，F(xiàn)分別是AD，AC上的動點，則CE+EF的最小值為系，可得到勾股定理：S梯形ABCDS△EBCS四邊形則它們滿足的關(guān)系式為______，經(jīng)化簡，可得到勾股定理a2知識運(yùn)用：（1）如圖2，鐵路上A、B兩點（看作直線上的兩點）相距40千米，C、D為兩個村莊（看作兩個點），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A、B，AD=25千米，BC=16千米，則兩個村莊的距離為______千米（直接填空）；（2）在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，要在AB上建造一個供應(yīng)站P，使得PC=PD，求出AP的距離．知識遷移：借助上面的思考過程與幾何模型，求代數(shù)式x2+9+【變式7-3】（23-24八年級·福建福州·期中）如圖，已知直線a∥b，且a與b之間的距離為4，點A到直線a的距離為2，點B到直線b的距離為3，AB=12，試在直線a上找一點M，在直線b上找一點N，滿足MN⊥a且AM+MN+NB的長度和最短，則此時AM+NB=

【題型8不規(guī)則圖形中求最短路徑】【例8】（23-24八年級·云南昆明·期中）如圖，教室墻面ADEF與地面ABCD垂直，點P在墻面上，若PA=17米，AB=2米，點P到AF的距離是4米，一只螞蟻要從點P爬到點B，它的最短行程是（

A．22 B．23 C．5 D．26【變式8-1】（23-24八年級·河南鄭州·期末）在一個長11cm，寬5cm的長方形紙片上，如圖放置一根正三棱柱的木塊，它的側(cè)棱平行且大于紙片的寬AD，它的底面邊長為1cm的等邊三角形，一只螞蟻從點A處到點C處的最短路程是cm．【變式8-2】（23-24八年級·廣東深圳·期末）如圖是一個供滑板愛好者使用的U型池，該U型池可以看作是一個長方體去掉一個半圓柱而成，中間可供滑行部分的截面是半徑為4m的半圓，其邊緣AB=CD=20m，點E在CD上，CE=4m，一滑行愛好者從A點滑行到E點，則他滑行的最短距離為

【變式8-3】（23-24八年級·河南鄭州·期末）固定在地面上的一個正方體木塊如圖①所示，其棱長為4，沿其相鄰三個面的對角線（圖中虛線）去掉一角，得到如圖②所示的幾何體木塊，一只螞蟻沿著該木塊的表面從點A爬行到點B的最短路程為（

）A．22+26 B．42+4 專題1.4運(yùn)用勾股定理解決最短路徑問題【八大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1正方體中的最短路徑】 1【題型2長方體中的最短路徑】 4【題型3圓柱中的最短路徑】 8【題型4圓錐中的最短路徑】 12【題型5臺階中的最短路徑】 15【題型6由垂線段最短求最短路徑】 18【題型7由將軍飲馬求最短路徑】 22【題型8不規(guī)則圖形中求最短路徑】 28【題型1正方體中的最短路徑】【例1】（23-24八年級·江西撫州·階段練習(xí)）如圖，在棱長為3cm的正方體上有一些線段，把所有的面都分成9個小正方形，每個小正方形的邊長都為1cm．若一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下底面A

【答案】2.5【分析】把正方形的點A所在的面展開，然后在平面內(nèi)，由于展開圖有兩種情況：在直角三角形中，一條直角邊長等于5，另一條直角邊長等于2；一條直角邊長等于4，另一條直角邊長等于3；利用勾股定理求點A和點B間的線段長，即可得到螞蟻爬行的最短距離．再比較即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，分兩種情況討論：①如圖1，將正方體的正前和右側(cè)兩面展開，使點A，B在同一平面內(nèi)．則點A到點B的最短路徑是線段AB，由題意，得AO=4cm，BO=3根據(jù)勾股定理，得AB=A②如圖2，將正方體的正前和上底兩面展開，使點A，B在同一平面內(nèi)，則點A到點B的最短路徑為線段AB，由題意，得AO=2cm，BO=5根據(jù)勾股定理．得AB=A∵29>5∴圖1中的路徑最短，∴這只螞蟻至少要爬行的時間為5÷2=2.5s

【點睛】本題考查了勾股定理的拓展應(yīng)用，“化曲面為平面”是解決“怎么爬行最近”這類問題的關(guān)鍵．【變式1-1】（23-24八年級·四川樂山·期末）如圖，正方體盒子的棱長為2，M為BC的中點，則一只螞蟻從M點沿盒子的表面爬行到A點的最短距離為（

）A．12 B．13 C．14 D．17【答案】B【分析】本題考查了兩點之間線段最短、正方體的展開圖、勾股定理等知識，先利用展開圖確定最短路徑，再由勾股定理求解即可，牢記相關(guān)概念和靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，螞蟻沿路線AM爬行路程最短，∵BC=2，M為BC的中點，∴MD=3,AD=2，∴AM=3故選：A．【變式1-2】（23-24八年級·山東青島·期中）如圖，有一棱長為3dm的正方體盒子，現(xiàn)要按圖中箭頭所指方向從點A到點D拉一條捆綁線繩，使線繩經(jīng)過ABFE、BCGF、EFGH、CDHG四個面，則所需捆綁線繩的長至少為（

）dm．A．15 B．9 C．313 D．【答案】C【分析】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，把此正方體的一面展開，然后在平面內(nèi)，利用勾股定理求點A和D點間的線段長，即可得到捆綁線繩的最短距離．在直角三角形中，一條直角邊長等于兩個棱長，另一條直角邊長等于3個棱長，利用勾股定理可求得，“化曲面為平面”是解決“怎樣爬行最近”解題的關(guān)鍵．【詳解】如圖，將正方體展開，根據(jù)“兩點之間，線段最短”知，線段AD即為最短路線，展開后由勾股定理得：AD∴AD2=故選：D．【變式1-3】（23-24八年級·河南鄭州·期中）棱長分別為5cm，3cm兩個正方體如圖放置，點P在E1F1上，且E1【答案】45【分析】求出兩種展開圖PA的值，比較即可判斷；【詳解】解：如圖，有兩種展開方法：方法一∶PA=(5+3)方法二∶PA=(5+3+1)故需要爬行的最短距離是45故答案為：45【點睛】本題考查平面展開-最短問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．【題型2長方體中的最短路徑】【例2】（23-24八年級·黑龍江佳木斯·期末）如圖是一塊長、寬、高分別是6cm、4cm和3cm的長方體木塊，一只螞蟻要從長方體木塊的一個頂點A處，沿著長方體的表面到長方體上和頂點A相對的頂點

A．3+213cm B．97cm C．85cm【答案】C【分析】展成平面圖形，根據(jù)兩點之間線段最短，可求出解．本題考查平面展開路徑問題、勾股定理，本題關(guān)鍵知道螞蟻爬行的路線不同，求出的值就不同，有三種情況，可求出值找到最短路線．【詳解】解：AB就是螞蟻爬的最短路線．

但有三種情況：當(dāng)：AD=3，DB=4+6=10．AB=3當(dāng)AD=4，DB=6+3=9．AB=97當(dāng)AD=6，DB=3+4=7AB=85∵109∴第三種情況最短．故選：D．【變式2-1】（23-24八年級·全國·競賽）如圖，一個長方體建筑物的長、寬、高分別為3米、1米和6米，為了美觀，現(xiàn)要在該建筑物上纏繞燈線以便安裝小彩燈，燈線的繞法是從下底面的頂點A開始經(jīng)過四個側(cè)面繞到上底面的頂點B，如果纏繞的圈數(shù)是n，那么用在該建筑物上的燈線最短需要米．【答案】2【分析】本題主要考查最短路徑問題，畫出展開圖，運(yùn)用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，AA'=8n由勾股定理得，AB=A故答案為：216【變式2-2】（23-24八年級·安徽阜陽·期末）如圖，在一個邊長為6cm的正方形紙片ABCD上，放著一根長方體木塊，已知該木塊的較長邊與AD平行，橫截面是邊長為1cm的正方形，一只螞蟻從點A爬過木塊到達(dá)蜂蜜C處需爬行的最短路程是【答案】3【分析】本題考查了勾股定理在最短路徑中的應(yīng)用，將長方體側(cè)面展開得螞蟻的爬行的最短路徑為AC的長，用勾股定理即可求解；能找出最短路徑是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，將長方體側(cè)面展開得，∴螞蟻的爬行的最短路徑為AC的長，∴AB=6+3=9（cm），∴AC===313∴螞蟻的爬行的最短路徑為313cm故答案：313【變式2-3】（23-24八年級·陜西西安·期中）如圖，一個長方體蛋糕盒的長、寬、商分別為40cm、30cm、20cm，點E到點D的距離為10cm．現(xiàn)有一只螞蟻從點

A．1029cm B．1037cm C．【答案】C【分析】考慮螞蟻從正面和上面沿直線爬到點E，從正面和右側(cè)面沿直線爬到點E，從左側(cè)面和上面沿直線爬到點E，畫出圖形，利用勾股定理求出距離，進(jìn)行比較即可解答．【詳解】解：當(dāng)螞蟻從正面和上面沿直線爬到點E，如圖所示：

此時BC=40cm，CD=20cm∴BE=B當(dāng)螞蟻從正面和右側(cè)面沿直線爬到點E，如圖所示：

此時AB=20cm,AD=40cm∴BE=A從左側(cè)面和上面沿直線爬到點E，如圖所示：

此時AB=20cm,AD=40cm∴BE=D∵50<1029∴螞蟻需要爬行的報短距離是50cm故選：D．【點睛】此題考查了最短路徑問題，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解題的關(guān)鍵是將立體圖形展為平面圖形，利用勾股定理的知識求解．【題型3圓柱中的最短路徑】【例3】（23-24八年級·廣西北?！て谥校┤鐖D，動點P從點A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動到BC的中點S，若BC=6，點P移動的最短距離為5，則圓柱的底面周長為（

）A．4 B．4π C．8 D．10【答案】C【分析】本題考查平面展開—最短路徑問題，先根據(jù)題意畫出圓柱的側(cè)面展開圖，然后連接AS，再利用勾股定理即可得出AB的長即可得到結(jié)論．利用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接AS，在圓柱的側(cè)面展開圖ABCD中，BC=6，BC⊥AB，設(shè)AB=x，∵點P移動的最短距離為5，∴AS=5，∵點S是BC的中點，∴BS=1∴AB=A∴圓柱的底面周長為：2AB=2×4=8．故選：D．【變式3-1】（23-24八年級·四川成都·階段練習(xí)）如圖，已知圓柱底面的周長為12dm，圓柱高為9dm，在圓柱的側(cè)面上，過點A和點C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長最小為dm【答案】6【分析】本題考查了平面展開﹣最短路徑問題，圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形，此矩形的長等于圓柱底面周長，高等于圓柱的高，本題就是把圓柱的側(cè)面展開成矩形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．要求絲線的長，需將圓柱的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結(jié)果，在求線段長時，根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】解：如圖，把圓柱的側(cè)面展開，得到矩形，則這圈金屬絲的周長最小為2AC的長度．∵圓柱底面的周長為12dm，圓柱高為9dm，∴AB=9dm,∴AC∴AC=313∴這圈金屬絲的周長最小為2AC=613故答案為：613【變式3-2】（23-24八年級·陜西西安·期末）如圖，圓柱底面圓的周長為6cm，CD、AB分別是上、下底面的直徑，高BC=3cm，用一條無彈性的絲帶從A至C按如圖所示的圈數(shù)纏繞，則絲帶的最短長度為【答案】3【分析】本題考查了平面展開-最短路線問題和勾股定理的應(yīng)用，把立體圖形展開成平面圖形，依題意，從A到C纏繞了一圈半，則AB=1.5×6=9cm，BC=3cm，根據(jù)兩點之間線段最短求出【詳解】解：如圖所示，∵無彈性的絲帶從A至C，繞了1.5圈，∴展開后AB=1.5×6=9cm，BC=3由勾股定理得：AC=故答案為：310【變式3-3】（23-24八年級·廣西河池·階段練習(xí)）如圖所示，已知圓柱的底面周長為36，高AB=5，P點位于圓周頂面13處，小蟲在圓柱側(cè)面爬行，從A點爬到P點，然后再爬回C點，則小蟲爬行的最短路程為【答案】13+61/【分析】本題主要考查了平面展開圖最短路徑問題，先“化曲面為平面”，把圓柱的側(cè)面展開成矩形，此矩形的長等于圓柱底面周長，矩形的寬即高等于圓柱的母線長．再根據(jù)兩點之間線段最短，由勾股定理可得出．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意，AB=CD=5，AC=BD=362∵P點位于圓周頂面13∴BP=13×36=12∴小蟲爬行的最短路程=AP+PC=5故選：13+61【題型4圓錐中的最短路徑】【例4】（23-24八年級·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）已知圓錐的底面半徑是4cm，母線長為12cm，C為母線PB的中點，螞蟻在圓錐側(cè)面上從A爬到C的最短距離是【答案】6【分析】根據(jù)題意可得圓錐的底面周長是8πcm，即可得圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是120°【詳解】解：圓錐的底面周長是：2π×4=8π(cm則8π=n=120°，即圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是120°，如圖所示，∴∠APB=60°，∵PA=PB，∴△PAB是等邊三角形，∵C是PB的中點，∴AC⊥PB，∴∠ACB=90°，∵在圓錐側(cè)面展開圖中AP=12cm，PC=6∴在圓錐側(cè)面展開圖中：AC=A∴螞蟻在圓錐側(cè)面上從A爬到C的最短距離是：63故答案為：63【點睛】本題考查了最短距離問題，解題的關(guān)鍵是掌握圓錐的計算，勾股定理，將最短距離轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的距離并正確計算．【變式4-1】（23-24八年級·河北保定·期末）如圖，小明用半徑為20，圓心角為θ的扇形，圍成了一個底面半徑r為5的圓錐.（1）扇形的圓心角θ為；（2）一只蜘蛛從圓錐底面圓周上一點A出發(fā)，沿圓錐的側(cè)面爬行一周后回到點A的最短路程是.【答案】90°/90度20【分析】（1）由于圓錐的底面圓周長就是圓錐的側(cè)面展開圖的弧長，利用弧長公式即可求出側(cè)面展開圖的圓心角；（2）根據(jù)兩點之間線段最短，把圓錐的側(cè)面展開成平面圖形，構(gòu)造直角三角形根據(jù)勾股定理即可求得．【詳解】解（1）∵圓錐的底面周長=2π∴θ解得θ=90°；故答案為90°．（2）圓錐的側(cè)面展開圖如圖所示，構(gòu)造Rt△AOA'故答案為202【點睛】本題考查了最短路徑問題，根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑，在平面圖形上構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（23-24·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）某班學(xué)生表演課本劇，要制作一頂圓錐形的小丑帽．如圖，這個圓錐的底面圓周長為20πcm，母線AB長為30cm，為了使帽子更美觀，要粘貼彩帶進(jìn)行裝飾，其中需要粘貼一條從點A處開始，繞側(cè)面一周又回到點A的彩帶（彩帶寬度忽略不計），這條彩帶的最短長度是（

v

A．30cm B．303cm C．60cm D．20π【答案】B【分析】根據(jù)圓錐的底面圓周長求得半徑為10，根據(jù)母線長求得展開后的扇形的圓心角為120°，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵這個圓錐的底面圓周長為20πcm∴2解得：r=10∵n解得：n=120∴側(cè)面展開圖的圓心角為120°如圖所示，AC即為所求，過點B作BD⊥AC，∵∠ABC=120°，BA=BC，則∠BAC=30°∵AB=30，則BD=15∴AD=153，AC=2AD=30

故選：A．【點睛】本題考查了圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)，勾股定理解直角三角形，求得側(cè)面展開圖的圓心角為120°解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（23-24八年級·安徽·單元測試）如圖，圓錐的軸截面是邊長為6cm的正三角形ABC，P是母線AC的中點，則在圓錐的側(cè)面上從B點到P點的最短路線的長為（）A． B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】求出圓錐底面圓的周長，則以AB為一邊，將圓錐展開，就得到一個以A為圓心，以AB為半徑的扇形，根據(jù)弧長公式求出展開后扇形的圓心角，求出展開后∠BAC=90°，連接BP，根據(jù)勾股定理求出BP即可．【詳解】圓錐底面是以BC為直徑的圓，圓的周長是6π，以AB為一邊，將圓錐展開，就得到一個以A為圓心，以AB為半徑的扇形，弧長是l=6π，設(shè)展開后的圓心角是n°，則nπ解得：n=180，即展開后∠BAC=1AP=1由勾股定理得：BP=A故選C．【點睛】本題考查了圓錐的計算，平面展開-最短路線問題，勾股定理，弧長公式等知識點的應(yīng)用，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．本題就是把圓錐的側(cè)面展開成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．【題型5臺階中的最短路徑】【例5】（23-24八年級·重慶九龍坡·期中）如圖是一個二級臺階，每一級臺階的長、寬、高分別為60cm、30cm、10cm．A和B是臺階兩個相對的端點，在B點有一只螞蟻，想到AA．60cm B．80cm C．100cm【答案】C【分析】本題考查平面展開—最短路徑問題，勾股定理．根據(jù)題意畫出臺階的側(cè)面展開圖，再根據(jù)勾股定理求出AB的長即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示，30+10+30+10=80cm，AB=60故選C．【變式5-1】（23-24八年級·河北廊坊·階段練習(xí)）如圖，學(xué)校實驗樓前一個三級臺階，它的每—級的長、寬、高分別為24dm，3dm，3dm，點M和點N是這個臺階上兩個相對的端點，M點有一只螞蟻，想到N點處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點N的最短路程（

）A．10dm B．20dm C．30dm【答案】C【分析】本題考查的是平面展開-最短路線問題，根據(jù)題意畫出臺階的平面展開圖，再用勾股定理根據(jù)兩點之間線段最短進(jìn)行解答．【詳解】解：如圖所示，∵它的每一級的長寬高分別為24dm,3dm,3dm,∴MN=即：螞蟻沿著臺階面爬行到點N的最短路程是30dm故選：D．【變式5-2】（23-24八年級·山東煙臺·期中）如圖，是一個三級臺階，它每一級長，寬，高分別為4m，34m和14m，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻想到B點去吃可口的食物，則它所走的最短路線長度為（A．3.5m B．4.5m C．5m D．5.5m【答案】C【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，把立體幾何圖中的問題轉(zhuǎn)化為平面幾何圖中的問題是解題的關(guān)鍵．將臺階展開為矩形，然后利用勾股定理計算AB的值，則根據(jù)兩點之間線段最短得到螞蟻所走的最短路線長度．【詳解】解：如下圖，將臺階展開為矩形，線段AB恰好是直角三角形的斜邊，則AC=4m，BC=在Rt△ABC中，AB=所以螞蟻所走的最短路線長度為5m．故選：D．【變式5-3】（23-24八年級·山東濟(jì)南·期末）如圖，這是一個臺階的示意圖，每一層臺階的高是20cm、長是50cm、寬是40cm，一只螞蟻沿臺階從點A出發(fā)爬到點B【答案】130【分析】展開成平面圖形，根據(jù)勾股定理，即可求解，本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：利用兩點之間線段最短．【詳解】解：將臺階展開成平面圖形：在Rt△ABC中，AC=50cm，AB=A其爬行的最短長度AB=130cm故答案為：130cm【題型6由垂線段最短求最短路徑】【例6】（12-13八年級·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，點D，E分別是AB、AC的中點，在CD上找一點P，連接AP、EP，當(dāng)AP+EP最小時，這個最小值是．【答案】2【分析】連接BE，BP，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得CD垂直平分AB，從而得到AP=BP，進(jìn)而得到BE就是PA+PE的最小值，再由勾股定理求出BE，即可求解．【詳解】解：如圖，連接BE，BP，∵AC=BC=4，點是的中點，∴CD垂直平分AB，∴AP=BP，∴AP+PE=BP+PE≥BE，∴BE就是PA+PE的最小值，∵Rt△ABC中，AC=BC=4，點D，E分別是AB，AC的中點，∴CE=2，∴BE=20∴PA+PE的最小值是25故答案為：25【點睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應(yīng)用，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)和軸對稱及勾股定理等知識是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（23-24八年級·廣西梧州·期中）如下圖，某國道通過A、B兩個村莊，而C村莊離國道較遠(yuǎn)，為了相應(yīng)政府“村村通公路”的號召，C村決定采用自己籌集一部分，政府補(bǔ)貼一部分的方法修建一條水泥路直通國道，已知C村到A、B兩村的距離分別為6km、8km，A，B兩村的距離為【答案】這條水泥路的最短距離為4.8【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形的面積公式，根據(jù)垂線段最短確定這條水泥路的最短距離是解本題的關(guān)鍵；過點C作CD⊥AB，根據(jù)垂線段最短可知這條水泥路的最短距離為CD的長度，利用勾股定理的逆定理得△ABC為直角三角形，然后利用面積相等即可求解．【詳解】解：過點C作CD⊥AB，垂足為D點，則這條水泥路的最短距離為CD的長度，，在△ABC中，AC=6km，BC=8km，則62+8∴△ABC為直角三角形，∵∴CD=AC×BC∴這條水泥路的最短距離為4.8km【變式6-2】（23-24·四川宜賓·模擬預(yù)測）如圖A，B，C為三個村莊，A，B兩村沿河而建且相距17千米，A，C相距52千米，B，C相距13千米，C村需從河邊修建一條引水渠到村莊，每千米造價1.5萬元，則費(fèi)用最低為（

A．6 B．1522 C．4.5【答案】D【分析】本題主要考查了勾股定理，正確理解勾股定理的含義是解題關(guān)鍵．過點C作CH⊥AB，設(shè)AH=x千米，則BH=17?x千米，由勾股定理可得AC2【詳解】如圖，過點C作CH⊥AB，設(shè)AH=x千米，則BH=17?x∵CH∴AC∴5∴x=5，∴AH=5千米，∴CH=A∴費(fèi)用最低為5×1.5=7.5萬元．故選：D【變式6-3】（23-24八年級·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，AD平分∠CAB交BC于D點，E，F(xiàn)分別是AD，AC上的動點，則CE+EF的最小值為【答案】12【分析】本題主要考查的是軸對稱的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)利用對稱，解決最短問題．如圖所示：在AB上取點F'，使AF'=AF，過點C作CH⊥AB，垂足為H．因為EF+CE=EF'+EC，推出當(dāng)C、E、F【詳解】解：如圖所示：在AB上取點F'，使A∵∠FAE=∠F∴△FAE≌△F∴EF=EF在Rt△ABC中，∴AB=A過點C作CH⊥AB，垂足為H．∵1∴CH=AC?BC∵EF+CE=EF∴當(dāng)C、E、F'共線，且點F'與H重合時，EF+EC的值最小，最小值為EF+EC的值最小為125故答案為：125【題型7由將軍飲馬求最短路徑】【例7】（23-24八年級·福建寧德·階段練習(xí)）如圖，一個牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家，他要完成這件事情所走的最短路徑是km．【答案】17【分析】如圖（見詳解），將小河看成直線MN，由題意先作A關(guān)于MN的對稱點，連接A`B，構(gòu)建直角三角形，則A`B就是最短路線；在Rt△A`DB中，∠A`DB=90°，BD=8km，A`D=AD+A`A，利用勾股定理即可求出A`B．【詳解】如圖，做出點A關(guān)于小河MN的對稱點A`，連接A`B交MN于點P，則A`B就是牧童要完成這件事情所走的最短路程長度．在Rt△A`DB中，由勾股定理求得A`B=則他要完成這件事情所走的最短路程是17km．【點睛】本題考查了軸對稱—最短路線問題，掌握軸對稱的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（23-24八年級·云南昭通·期中）如圖，河CD的同側(cè)有A、B兩個村，且AB=213km，A、B兩村到河的距離分別為AC=2km，BD=6km．現(xiàn)要在河邊CD上建一水廠分別向A、B兩村輸送自來水，鋪設(shè)水管的工程費(fèi)每千米需2000元．請你在河岸CD上選擇水廠位置

【答案】20000元【分析】作A點關(guān)于CD的對稱點為A'，連接A'B交CD于點O，過點A作AF⊥BD于點F，過點A'作A'E⊥BD交BD的延長線于點【詳解】解：如圖，作點A關(guān)于CD的對稱點A'，連接BA'交CD于O分過點A'作A'E∥CD交BD的延長線于點E，過點A

則AF=A'E，DF=AC=2∴BF=BD?FD=6?2=4km在Rt△ABF中，A∴AF=6km∴A'在Rt△A'由勾股定理得A'∴w=2000×10=20000（元）．故鋪設(shè)水管的總費(fèi)用為20000元．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（15-16八年級·江蘇無錫·階段練習(xí)）背景介紹：勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．千百年來，人們對它的證明門庭若市，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法．小試牛刀：把兩個全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長分別為a、b、c．顯然，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE．請用a、b、c分別表示出梯形ABCD、四邊形AECD、△EBC的面積，再探究這三個圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理：S梯形ABCDS△EBCS四邊形則它們滿足的關(guān)系式為______，經(jīng)化簡，可得到勾股定理a2知識運(yùn)用：（1）如圖2，鐵路上A、B兩點（看作直線上的兩點）相距40千米，C、D為兩個村莊（看作兩個點），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A、B，AD=25千米，BC=16千米，則兩個村莊的距離為______千米（直接填空）；（2）在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，要在AB上建造一個供應(yīng)站P，使得PC=PD，求出AP的距離．知識遷移：借助上面的思考過程與幾何模型，求代數(shù)式x2+9+【答案】小試牛刀：12aa+b；12b知識運(yùn)用：（1）41；（2）AP=16（千米）；知識遷移：20．【分析】小試牛刀：根據(jù)三角形的面積和梯形的面積可以表示出相應(yīng)部分面積；知識運(yùn)用：（1）連接CD，過點C作AD的垂線，根據(jù)垂直得到邊長之間的關(guān)系，再用勾股定理即可求得CD．（2）作CD的垂直平分線，交AB于點P，分別在Rt△APD和Rt△PBC中用勾股定理表示出CP與知識遷移：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合根據(jù)“軸對稱-最短路徑問題”求解即可．【詳解】解：小試牛刀：S梯形ABCDS△EBC=S四邊形AECD則它們滿足的關(guān)系式為：12知識運(yùn)用：（1）如圖2①，連接CD，作CE⊥AD于點E，

∵AB=EC=40，AE=BC=16，∴ED=9，有勾股定理得到：D∴CD=D∴兩個村莊相距41千米．（2）連接CD，作CD的垂直平分線交AB于點P，

設(shè)AP=x千米，則BP=40?x在Rt△ADP中，D在Rt△BPC中，C∵PC=PD，∴x2解得，x=16，即AP=16千米．知識遷移：如圖3，過AB作點C的對稱點C'，連接DC'交AB過C'作C

根據(jù)對稱性：AE=BC設(shè)PB=x，則AP=16?x，有勾股定理得，PCDP=16?x∴代數(shù)式x2DC【點睛】本題考查了四邊形綜合以及用數(shù)形結(jié)合方式來證明勾股定理，解答本題的關(guān)鍵在于勾股定理的應(yīng)用、最