新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義命題方向全歸類專題06函數(shù)的概念(原卷版+解析)

專題06函數(shù)的概念【命題方向目錄】命題方向一：函數(shù)的概念命題方向二：同一函數(shù)的判斷命題方向三：給出函數(shù)解析式求解定義域命題方向四：抽象函數(shù)定義域命題方向五：函數(shù)定義域的應(yīng)用命題方向六：函數(shù)解析式的求法方向1．待定系數(shù)法（函數(shù)類型確定）方向2．換元法或配湊法（適用于了型）方向3．方程組法方向4．求分段函數(shù)的解析式方向5．抽象函數(shù)解析式命題方向七：函數(shù)值域的求解方向1．觀察法方向2．配方法方向3．圖像法（數(shù)形結(jié)合）方向4．基本不等式法方向5．換元法（代數(shù)換元與三角換元）方向6．分離常數(shù)法方向7．判別式法方向8．單調(diào)性法方向9．有界性法方向10．導(dǎo)數(shù)法命題方向八：分段函數(shù)的應(yīng)用方向1．求值問題方向2．求參數(shù)問題方向3．解不等式問題【2024年高考預(yù)測(cè)】2024年高考仍重點(diǎn)考查分段函數(shù)求值、不等式、方程問題，注意函數(shù)定義域、值域與最值方法的復(fù)習(xí)．【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】1、函數(shù)的概念（1）一般地，給定非空數(shù)集，，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得中任意元素，都有中唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，那么從集合到集合的這個(gè)對(duì)應(yīng)，叫做從集合到集合的一個(gè)函數(shù)．記作：，．集合叫做函數(shù)的定義域，記為，集合，叫做值域，記為．（2）函數(shù)的實(shí)質(zhì)是從一個(gè)非空數(shù)集到另一個(gè)非空數(shù)集的映射．（3）函數(shù)表示法：函數(shù)書寫方式為，．（4）函數(shù)三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系．（5）相等函數(shù)：兩個(gè)函數(shù)只有在定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同時(shí)，兩個(gè)函數(shù)才相等．2、函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法．3、分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．【方法技巧與總結(jié)】1、直線與函數(shù)的圖象至多有1個(gè)交點(diǎn)．2、在函數(shù)的定義中，非空數(shù)集A，B，A即為函數(shù)的定義域，值域?yàn)锽的子集．3、分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)．分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集．4、函數(shù)值域的求法主要有以下幾種（1）觀察法：根據(jù)最基本函數(shù)值域（如≥0，及函數(shù)的圖像、性質(zhì)、簡(jiǎn)單的計(jì)算、推理，憑觀察能直接得到些簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的值域．（2）配方法：對(duì)于形如的值域問題可充分利用二次函數(shù)可配方的特點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的定義城求出函數(shù)的值域．（3）圖像法：根據(jù)所給數(shù)學(xué)式子的特征，構(gòu)造合適的幾何模型．（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的條件，即一正、二定、三相等．（5）換元法：分為三角換元法與代數(shù)換元法，對(duì)于形的值城，可通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù)．（6）分離常數(shù)法：對(duì)某些齊次分式型的函數(shù)進(jìn)行常數(shù)化處理，使函數(shù)解析式簡(jiǎn)化內(nèi)便于分析．（7）判別式法：把函數(shù)解析式化為關(guān)于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判別式求值域，一般地，形如，或的函數(shù)值域問題可運(yùn)用判別式法（注意x的取值范圍必須為實(shí)數(shù)集R）．（8）單調(diào)性法：先確定函數(shù)在定義域（或它的子集）內(nèi)的單調(diào)性，再求出值域．對(duì)于形如或的函數(shù)，當(dāng)ac>0時(shí)可利用單調(diào)性法．（9）有界性法：充分利用三角函數(shù)或一些代數(shù)表達(dá)式的有界性，求出值域．因?yàn)槌３霈F(xiàn)反解出y的表達(dá)式的過程，故又常稱此為反解有界性法．（10）導(dǎo)數(shù)法：先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，再確定最大（?。┲?，從而求出函數(shù)的值域．【典例例題】命題方向一：函數(shù)的概念例1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列對(duì)應(yīng)是從集合A到集合B的函數(shù)的是（

）A． B．C． D．例2．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）任給，對(duì)應(yīng)關(guān)系使方程的解與對(duì)應(yīng)，則是函數(shù)的一個(gè)充分條件是（

）A． B． C． D．例3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，下列圖形能表示以A為定義域，B為值域的函數(shù)的是（

）A． B．C． D．變式1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）將函數(shù)的圖像繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到曲線，當(dāng)時(shí)都能使成為某個(gè)函數(shù)的圖像，則的最大值是（

）A． B． C． D．變式2．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）存在函數(shù)滿足：對(duì)任意都有（

）A． B． C． D．【通性通解總結(jié)】利用函數(shù)概念判斷命題方向二：同一函數(shù)的判斷例4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與例5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列每組中的函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，例6．（2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）下列四組函數(shù)中，同組的兩個(gè)函數(shù)是相同函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與變式3．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下列函數(shù)中，與是同一個(gè)函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【通性通解總結(jié)】當(dāng)且僅當(dāng)給定兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則完全相同時(shí)，才表示同一函數(shù)，否則表示不同的函數(shù)．命題方向三：給出函數(shù)解析式求解定義域例7．（2023·北京東城·高三北京市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)開_________．例8．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考三模）函數(shù)的定義域?yàn)開_________.例9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)開_____．變式4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則_________.變式5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____.變式6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等腰三角形的周長(zhǎng)為，底邊長(zhǎng)是腰長(zhǎng)的函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)?)A． B． C． D．【通性通解總結(jié)】對(duì)求函數(shù)定義域問題的思路是：（1）先列出使式子有意義的不等式或不等式組；（2）解不等式組；（3）將解集寫成集合或區(qū)間的形式．命題方向四：抽象函數(shù)定義域例10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____.例11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)閇－2,2]，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____.例12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____.變式7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)開_______.變式8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開___________.【通性通解總結(jié)】1、抽象函數(shù)的定義域求法：此類型題目最關(guān)鍵的就是法則下的定義域不變，若的定義域?yàn)?，求中的解的范圍，即為的定義域，口訣：定義域指的是的范圍，括號(hào)范圍相同．已知的定義域，求四則運(yùn)算型函數(shù)的定義域2、若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的，其定義域?yàn)楦骰竞瘮?shù)定義域的交集，即先求出各個(gè)函數(shù)的定義域，再求交集．命題方向五：函數(shù)定義域的應(yīng)用例13．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則的取值范圍是_______．例14．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的值為______．例15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域是，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．變式9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為______.變式10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，則a的范圍是________．變式11．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)镽，則的取值范圍為_______.變式12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.【通性通解總結(jié)】對(duì)函數(shù)定義域的應(yīng)用，是逆向思維問題，常常轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解，必要時(shí)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．命題方向六：函數(shù)解析式的求法方向1．待定系數(shù)法（函數(shù)類型確定）例16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若是上單調(diào)遞減的一次函數(shù)，且，則______.例17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，則f(1)＝____．例18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知二次函數(shù)，其圖象過點(diǎn)，且滿足，則的解析式為______.變式13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某種動(dòng)物繁殖數(shù)量y(只)與時(shí)間x(年)的關(guān)系為y＝alog2(x＋1)，設(shè)這種動(dòng)物第一年有100只，到第7年它們發(fā)展到__________．方向2．換元法或配湊法（適用于了型）變式14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則f(x)＝________.變式15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的解析式為______．變式16．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則______．變式17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)），則_______．變式18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則__________.變式19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的解析式為_______變式20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義在上的函數(shù)單調(diào)遞增，且對(duì)，有，則___________.變式21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的值等于___.變式22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)若，則_________.變式23．（2023·安徽安慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是定義域?yàn)榈膯握{(diào)函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，則的值為（）A．0 B． C． D．1方向3．方程組法變式24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知對(duì)任意的實(shí)數(shù)a均有成立，則函數(shù)的解析式為________．變式25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，則___________.變式26．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)滿足3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，則f(x)的解析式為___________.變式27．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，則___________.變式28．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則函數(shù)f(x)的解析式為___________.變式29．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)與的定義域是，函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，是一個(gè)奇函數(shù)，且，則等于（

）A． B． C． D．變式30．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，其中且，則函數(shù)的解析式為__________變式31．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在上的單調(diào)函數(shù)，若對(duì)任意都有，則方程的解集為_______．變式32．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的連續(xù)單調(diào)函數(shù)，若，則不等式的解集為___________.方向4．求分段函數(shù)的解析式變式33．（2023·上海徐匯·高一統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的邊長(zhǎng)為，其中．用直線l：（）截這個(gè)正方形，將正方形分為兩個(gè)部分，其中包含了頂點(diǎn)D部分的面積記為S，將S表示為t的函數(shù)，則其解析式為________________．變式34．（2023·黑龍江七臺(tái)河·高三?？计谥校┰O(shè)函數(shù)，且，，求的解析式．變式35．（2023·寧夏吳忠·高一統(tǒng)考期中）已知和是定義域?yàn)榈亩魏瘮?shù)，函數(shù)圖象過點(diǎn)，，且，，(1)求的解析式(2)，用表示中較大者，記為，①求②寫出的函數(shù)解析式，并指出的最小值（不用寫理由）變式36．（2023·新疆烏魯木齊·高一?？计谀┙o定函數(shù)(1)判斷的單調(diào)性并證明(2)在同一坐標(biāo)系中畫出的圖像(3)任意的，用表示的較小者，記為，請(qǐng)寫出的解析式.方向5．抽象函數(shù)解析式變式37．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足以下條件：①在區(qū)間上單調(diào)遞增；②對(duì)任意，，均有，則的一個(gè)解析式為______．變式38．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，，且，，，…，，，則滿足條件的函數(shù)的一個(gè)解析式為________.變式39．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)滿足，寫出一個(gè)符合要求的解析式_________．變式40．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）是R上的函數(shù)，且滿足，并且對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有，則的解析式_______變式41．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列三個(gè)性質(zhì)的函數(shù)：______．①定義域?yàn)椋虎?；③的?dǎo)函數(shù)．【通性通解總結(jié)】求函數(shù)解析式的常用方法如下：（1）當(dāng)已知函數(shù)的類型時(shí)，可用待定系數(shù)法求解．（2）當(dāng)已知表達(dá)式為時(shí)，可考慮配湊法或換元法，若易將含的式子配成，用配湊法．若易換元后求出，用換元法．（3）若求抽象函數(shù)的解析式，通常采用方程組法．（4）求分段函數(shù)的解析式時(shí)，要注意符合變量的要求．（5）當(dāng)出現(xiàn)大基團(tuán)換元轉(zhuǎn)換繁瑣時(shí)，可考慮配湊法求解．（6）若已知成對(duì)出現(xiàn)，或，，類型的抽象函數(shù)表達(dá)式，則常用解方程組法構(gòu)造另一個(gè)方程，消元的方法求出．命題方向七：函數(shù)值域的求解【通性通解總結(jié)】方向1．觀察法例19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，函數(shù)的值域?yàn)開_____________例20．（2023·寧夏銀川·銀川一中校考二模）下列函數(shù)中，定義域和值域不相同的是（

）A． B． C． D．例21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開_________變式42．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．變式43．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，值域?yàn)榈氖牵?/p>

）A． B． C． D．方向2．配方法變式44．（2023·遼寧遼陽·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的值域是，則_________．變式45．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開_____.變式46．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．方向3．圖像法（數(shù)形結(jié)合）變式47．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開_____.變式48．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開____變式49．（2023·陜西銅川·?？家荒＃┤?，則函數(shù)的值域是__________．變式50．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，則的最小值為___________.變式51．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開____.變式52．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是_______________.方向4．基本不等式法變式53．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是______.變式54．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開__________．變式55．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開_____變式56．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的值域?yàn)開__________．方向5．換元法（代數(shù)換元與三角換元）變式57．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是______．變式58．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的，則其值域?yàn)開____________.變式59．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域?yàn)開________.變式60．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開___________變式61．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域______．變式62．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開_______．方向6．分離常數(shù)法變式63．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開_____．變式64．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)y的值域是（）A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞）變式65．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開_______．變式66．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開_________方向7．判別式法變式67．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值與最小值的和是（

）A． B． C． D．變式68．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是___________.變式69．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域______________．變式70．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開________.方向8．單調(diào)性法變式71．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．變式72．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的最大值為______.變式73．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．方向9．有界性法變式74．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是_________變式75．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．變式76．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為___________．變式77．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是________________.方向10．導(dǎo)數(shù)法變式78．（2023·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上最大值為M，最小值為m，則的值是_______.變式79．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)，定義域?yàn)?，則該函數(shù)的最小值為__________．變式80．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)在上的最小值是________.變式81．（2023·甘肅張掖·高三高臺(tái)縣第一中學(xué)統(tǒng)考期末）函數(shù)，的值域是______.命題方向八：分段函數(shù)的應(yīng)用方向1．求值問題例22．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知，則______.例23．（2023·四川德陽·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)，則______．例24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則___________.變式82．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)滿足，且在區(qū)間上，則的值為____．方向2．求參數(shù)問題變式83．（多選題）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則使的可以是（

）A． B． C． D．變式84．（多選題）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的值可能為（

）A． B． C． D．變式85．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)（

）A．0 B．1 C．2 D．3變式86．（2023·吉林·通化市第一中學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則方程的解集為（

）A． B． C． D．變式87．（2023·河北石家莊·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則（

）A． B． C．或3 D．或變式88．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，若的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式89．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)則解的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5方向3．解不等式問題變式90．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，則不等式的解集是（）A．B．C．D．變式91．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．變式92．（2023·黑龍江大慶·鐵人中學(xué)?？级＃┮阎瘮?shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式93．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知,則使成立的的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式94．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式95．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，對(duì)于實(shí)數(shù)a，使成立的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B．C． D．或【通性通解總結(jié)】1、分段函數(shù)的求值問題，必須注意自變量的值位于哪一個(gè)區(qū)間，選定該區(qū)間對(duì)應(yīng)的解析式代入求值2、函數(shù)區(qū)間分類討論問題，則需注意在計(jì)算之后進(jìn)行檢驗(yàn)所求是否在相應(yīng)的分段區(qū)間內(nèi)．【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？级＃┮阎瘮?shù)，則（

）A．4 B．5 C．6 D．72．（2023·河北·校聯(lián)考一模）若函數(shù)，則（

）A． B． C． D．3．（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．4．（2023·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，取得最小值，則m的取值范圍為（

）．A． B． C． D．6．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）一般地，設(shè)、分別為函數(shù)的定義域和值域，如果由函數(shù)可解得唯一的也是一個(gè)函數(shù)（即對(duì)任意一個(gè)，都有唯一的與之對(duì)應(yīng)），那么就稱是函數(shù)的反函數(shù)，記作.在中，是自變量，是的函數(shù)，習(xí)慣上改寫成的形式.例如函數(shù)的反函數(shù)為.設(shè)，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．7．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)與，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值為（

）A． B． C． D．8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中a，b，c為常數(shù)，若，則c＝（

）A．－1 B．0 C．1 D．2二、多選題9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列命題中，正確的有（

）A．函數(shù)與函數(shù)表示同一函數(shù)B．已知函數(shù)，若，則C．若函數(shù)，則D．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?0．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）將函數(shù)的圖像繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，得到曲線，若曲線仍然是一個(gè)函數(shù)的圖像，則的可能取值為（

）A． B． C． D．11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，則下列說法中一定正確的是（

）A． B．C． D．12．（2023·吉林白山·統(tǒng)考三模）存在函數(shù)，對(duì)任意都有，則函數(shù)不可能為（

）A． B．C． D．三、填空題13．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知，則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為______．14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，其中，為實(shí)數(shù)，，，若，則______．15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，則值域是_______16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開___（2）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開_____．四、解答題17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)

(1)將函數(shù)寫成分段函數(shù)；(2)畫出函數(shù)的圖像；(3)寫出函數(shù)的定義域和值域.18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）根據(jù)下列條件，求函數(shù)的解析式．(1)已知滿足.(2)已知，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y都有.19．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求的最小值；(2)若對(duì)任意恒成立，求k的取值范圍.20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的值域；(2)證明：；21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，周期，函數(shù)（）是奇函數(shù)．又已知在上是一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時(shí)函數(shù)取得最小值．(1)證明：；(2)求的解析式；(3)求在[4，9]上的解析式．22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，且(1)證明：函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；(2)若滿足，但，則稱為函數(shù)的二階周期點(diǎn)，如果有兩個(gè)二階周期點(diǎn)，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍．專題06函數(shù)的概念【命題方向目錄】命題方向一：函數(shù)的概念命題方向二：同一函數(shù)的判斷命題方向三：給出函數(shù)解析式求解定義域命題方向四：抽象函數(shù)定義域命題方向五：函數(shù)定義域的應(yīng)用命題方向六：函數(shù)解析式的求法方向1．待定系數(shù)法（函數(shù)類型確定）方向2．換元法或配湊法（適用于了型）方向3．方程組法方向4．求分段函數(shù)的解析式方向5．抽象函數(shù)解析式命題方向七：函數(shù)值域的求解方向1．觀察法方向2．配方法方向3．圖像法（數(shù)形結(jié)合）方向4．基本不等式法方向5．換元法（代數(shù)換元與三角換元）方向6．分離常數(shù)法方向7．判別式法方向8．單調(diào)性法方向9．有界性法方向10．導(dǎo)數(shù)法命題方向八：分段函數(shù)的應(yīng)用方向1．求值問題方向2．求參數(shù)問題方向3．解不等式問題【2024年高考預(yù)測(cè)】2024年高考仍重點(diǎn)考查分段函數(shù)求值、不等式、方程問題，注意函數(shù)定義域、值域與最值方法的復(fù)習(xí)．【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】1、函數(shù)的概念（1）一般地，給定非空數(shù)集，，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得中任意元素，都有中唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，那么從集合到集合的這個(gè)對(duì)應(yīng)，叫做從集合到集合的一個(gè)函數(shù)．記作：，．集合叫做函數(shù)的定義域，記為，集合，叫做值域，記為．（2）函數(shù)的實(shí)質(zhì)是從一個(gè)非空數(shù)集到另一個(gè)非空數(shù)集的映射．（3）函數(shù)表示法：函數(shù)書寫方式為，．（4）函數(shù)三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系．（5）相等函數(shù)：兩個(gè)函數(shù)只有在定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同時(shí)，兩個(gè)函數(shù)才相等．2、函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法．3、分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．【方法技巧與總結(jié)】1、直線與函數(shù)的圖象至多有1個(gè)交點(diǎn)．2、在函數(shù)的定義中，非空數(shù)集A，B，A即為函數(shù)的定義域，值域?yàn)锽的子集．3、分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)．分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集．4、函數(shù)值域的求法主要有以下幾種（1）觀察法：根據(jù)最基本函數(shù)值域（如≥0，及函數(shù)的圖像、性質(zhì)、簡(jiǎn)單的計(jì)算、推理，憑觀察能直接得到些簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的值域．（2）配方法：對(duì)于形如的值域問題可充分利用二次函數(shù)可配方的特點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的定義城求出函數(shù)的值域．（3）圖像法：根據(jù)所給數(shù)學(xué)式子的特征，構(gòu)造合適的幾何模型．（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的條件，即一正、二定、三相等．（5）換元法：分為三角換元法與代數(shù)換元法，對(duì)于形的值城，可通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù)．（6）分離常數(shù)法：對(duì)某些齊次分式型的函數(shù)進(jìn)行常數(shù)化處理，使函數(shù)解析式簡(jiǎn)化內(nèi)便于分析．（7）判別式法：把函數(shù)解析式化為關(guān)于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判別式求值域，一般地，形如，或的函數(shù)值域問題可運(yùn)用判別式法（注意x的取值范圍必須為實(shí)數(shù)集R）．（8）單調(diào)性法：先確定函數(shù)在定義域（或它的子集）內(nèi)的單調(diào)性，再求出值域．對(duì)于形如或的函數(shù)，當(dāng)ac>0時(shí)可利用單調(diào)性法．（9）有界性法：充分利用三角函數(shù)或一些代數(shù)表達(dá)式的有界性，求出值域．因?yàn)槌３霈F(xiàn)反解出y的表達(dá)式的過程，故又常稱此為反解有界性法．（10）導(dǎo)數(shù)法：先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，再確定最大（?。┲?，從而求出函數(shù)的值域．【典例例題】命題方向一：函數(shù)的概念例1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列對(duì)應(yīng)是從集合A到集合B的函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，對(duì)集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，集合B中都有唯一的數(shù)y與之對(duì)應(yīng)，是函數(shù)；對(duì)于B選項(xiàng)，時(shí)，，有兩個(gè)y與之對(duì)應(yīng)，不是函數(shù)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，不存在，不是函數(shù)；對(duì)于D選項(xiàng)，集合A中的元素0在集合B中沒有對(duì)應(yīng)元素，不是函數(shù).故選：A例2．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）任給，對(duì)應(yīng)關(guān)系使方程的解與對(duì)應(yīng)，則是函數(shù)的一個(gè)充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)任意，按，在的范圍中必有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，，則，則的范圍要包含，故選：A．例3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，下列圖形能表示以A為定義域，B為值域的函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】A是函數(shù)圖象，其值域?yàn)?，與已知函數(shù)的值域?yàn)椴环什环项}意；B是函數(shù)的圖象，定義域?yàn)?，值域?yàn)?，故符合題意；C是函數(shù)圖象，值域?yàn)椋c已知函數(shù)的值域?yàn)椴环?，故不符合題意；D是函數(shù)圖象，值域?yàn)?，故不符合題意.故選：B變式1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）將函數(shù)的圖像繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到曲線，當(dāng)時(shí)都能使成為某個(gè)函數(shù)的圖像，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在原點(diǎn)處的切線斜率為，切線方程為當(dāng)繞著原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)，若旋轉(zhuǎn)角大于，則旋轉(zhuǎn)所成的圖像與軸就會(huì)有兩個(gè)交點(diǎn)，則曲線不再是函數(shù)的圖像.所以的最大值為.

故選：B.變式2．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）存在函數(shù)滿足：對(duì)任意都有（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，不符合函數(shù)定義，A錯(cuò)誤；對(duì)于B,令，則，令，則，不符合函數(shù)定義，B錯(cuò)誤；對(duì)于C,令，則，令，則，不符合函數(shù)定義，C錯(cuò)誤；對(duì)于D,,,則，則存在時(shí)，，符合函數(shù)定義，即存在函數(shù)滿足：對(duì)任意都有，D正確，故選：D【通性通解總結(jié)】利用函數(shù)概念判斷命題方向二：同一函數(shù)的判斷例4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】C【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)槎粋€(gè)x對(duì)多個(gè)y，不是函數(shù)，所以它們不是同一函數(shù)．對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)榈亩x域?yàn)椋亩x域?yàn)?，所以它們不是同一函?shù)．對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椋?，所以兩個(gè)函數(shù)的定義域均為，又，所以它們是同一函數(shù)．對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，而的定義域?yàn)?，所以它們不是同一函?shù)．故選：C．例5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列每組中的函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)镽，函數(shù)的定義域?yàn)閇0，+∞），所以這兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于B，因?yàn)?，且，的定義域均為R，所以這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于C，，和的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，所以這兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)閧，且}，函數(shù)的定義域?yàn)镽，所以這兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù).故選：B.例6．（2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）下列四組函數(shù)中，同組的兩個(gè)函數(shù)是相同函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】D【解析】A選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?；函?shù)的定義域?yàn)椋皇窍嗤瘮?shù).B選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)椋缓瘮?shù)的定義域?yàn)?，不是相同函?shù).C選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)椋缓瘮?shù)的定義域?yàn)?，不是相同函?shù).D選項(xiàng)，由于，所以與的定義域、值域都為，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，所以與是相同函數(shù).故選：D變式3．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下列函數(shù)中，與是同一個(gè)函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對(duì)于A，函數(shù)，與函數(shù)的定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于B，函數(shù)，與函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于C，函數(shù)，與函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于D，函數(shù)，與函數(shù)的定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù).故選：B.【通性通解總結(jié)】當(dāng)且僅當(dāng)給定兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則完全相同時(shí)，才表示同一函數(shù)，否則表示不同的函數(shù)．命題方向三：給出函數(shù)解析式求解定義域例7．（2023·北京東城·高三北京市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)開_________．【答案】【解析】對(duì)于函數(shù)，有，解得.故函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.例8．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考三模）函數(shù)的定義域?yàn)開_________.【答案】【解析】函數(shù)中，，即，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：例9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)開_____．【答案】【解析】由，得，故函數(shù)的定義域?yàn)椋海蚀鸢笧椋鹤兪?．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則_________.【答案】或【解析】由有意義可得，所以或，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，故答案為：或.變式5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____.【答案】【解析】解法1：由函數(shù)，則滿足，可得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)于函數(shù)，令，即，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?解法2：由，，可得，令，解得，所以的定義域?yàn)?故答案為：.變式6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等腰三角形的周長(zhǎng)為，底邊長(zhǎng)是腰長(zhǎng)的函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)?)A． B． C． D．【答案】A【解析】由題設(shè)有，由得，故選A.【通性通解總結(jié)】對(duì)求函數(shù)定義域問題的思路是：（1）先列出使式子有意義的不等式或不等式組；（2）解不等式組；（3）將解集寫成集合或區(qū)間的形式．命題方向四：抽象函數(shù)定義域例10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，由得定義域?yàn)閯t函數(shù)的定義域滿足，解得定義域?yàn)?故答案為：.例11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)閇－2,2]，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____.【答案】【解析】令，得，從而，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：例12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____.【答案】【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，要使有意義，則，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：變式7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)開_______.【答案】【解析】由于函數(shù)的定義域?yàn)?，則，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)中，所以，即的定義域?yàn)?故答案為：.變式8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開___________.【答案】【解析】對(duì)于，因?yàn)椋杂傻膯握{(diào)性得，即，所以對(duì)于，有，即，由的單調(diào)性得，解得，所以的定義域?yàn)?故答案為：.【通性通解總結(jié)】1、抽象函數(shù)的定義域求法：此類型題目最關(guān)鍵的就是法則下的定義域不變，若的定義域?yàn)?，求中的解的范圍，即為的定義域，口訣：定義域指的是的范圍，括號(hào)范圍相同．已知的定義域，求四則運(yùn)算型函數(shù)的定義域2、若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的，其定義域?yàn)楦骰竞瘮?shù)定義域的交集，即先求出各個(gè)函數(shù)的定義域，再求交集．命題方向五：函數(shù)定義域的應(yīng)用例13．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則的取值范圍是_______．【答案】【解析】由，可知，解得，故答案為：.例14．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的值為______．【答案】【解析】的定義域滿足：，解集為，故且，解得.故答案為：例15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域是，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是.所以不等式恒成立．所以，當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，顯然恒成立；當(dāng)時(shí)，則有，即，解得.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為:變式9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為______.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)镽，所以在R上恒成立，所以，解得.故答案為：.變式10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，則a的范圍是________．【答案】【解析】有函數(shù)解析式知要使定義域?yàn)镽，則恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求參數(shù)a的范圍.當(dāng)時(shí)，，即定義域?yàn)镽；當(dāng)，要使的定義域?yàn)镽，則在上恒成立，∴，解得，綜上，有，故答案為：變式11．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)镽，則的取值范圍為_______.【答案】【解析】恒成立，恒成立，變式12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以的解為R，即函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)與x軸沒有交點(diǎn)，故成立；（2）當(dāng)時(shí)，要使函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，則，解得.綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【通性通解總結(jié)】對(duì)函數(shù)定義域的應(yīng)用，是逆向思維問題，常常轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解，必要時(shí)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．命題方向六：函數(shù)解析式的求法方向1．待定系數(shù)法（函數(shù)類型確定）例16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若是上單調(diào)遞減的一次函數(shù)，且，則______.【答案】【解析】因?yàn)槭巧蠁握{(diào)遞減的一次函數(shù)，所以可設(shè)，所以，又因?yàn)?，所以恒成立，所以，因?yàn)?，所以?所以.故答案為：例17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，則f(1)＝____．【答案】9【解析】設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17不論x為何值都成立．∴，解得∴f(x)＝2x＋7，從而得f(1)＝9.故答案為：9例18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知二次函數(shù)，其圖象過點(diǎn)，且滿足，則的解析式為______.【答案】【解析】根據(jù)題意可知，又恒相等，化簡(jiǎn)得到恒相等，所以，故，，，所以的解析式為.故答案為：.變式13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某種動(dòng)物繁殖數(shù)量y(只)與時(shí)間x(年)的關(guān)系為y＝alog2(x＋1)，設(shè)這種動(dòng)物第一年有100只，到第7年它們發(fā)展到__________．【答案】300【解析】由已知第一年有100只，得a＝100.將a＝100，x＝7代入y＝alog2(x＋1)，得y＝300.答案：300.方向2．換元法或配湊法（適用于了型）變式14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則f(x)＝________.【答案】且【解析】令，則，因?yàn)椋?，又且，所以且，所以且，故答案為：且變?5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的解析式為______．【答案】【解析】設(shè)，則，，∵，∴，，即，．故答案為：變式16．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則______．【答案】/2.5【解析】由題意得，，令，由，得，∴．故答案為：.變式17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)），則_______．【答案】【解析】令，于是有，故答案為：變式18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則__________.【答案】，【解析】又當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.設(shè)，則，所以所以故答案為：，變式19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的解析式為_______【答案】【解析】令，則，且，所以，所以，故答案為：.變式20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義在上的函數(shù)單調(diào)遞增，且對(duì)，有，則___________.【答案】【解析】根據(jù)題意，對(duì)，有又是定義在R上的單調(diào)增函數(shù)R上存在常數(shù)a使得，，解得故答案為：.變式21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的值等于___.【答案】7【解析】，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，，，則故答案為：7變式22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)若，則_________.【答案】【解析】令，，，變式23．（2023·安徽安慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是定義域?yàn)榈膯握{(diào)函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，則的值為（）A．0 B． C． D．1【答案】B【解析】令，可以求得，即可求出解析式，進(jìn)而求出函數(shù)值.根據(jù)題意，令，為常數(shù)，可得，且，所以時(shí)有，將代入，等式成立，所以是的一個(gè)解，因?yàn)殡S的增大而增大，所以可以判斷為增函數(shù)，所以可知函數(shù)有唯一解，又因?yàn)椋裕?，所?故選：B.方向3．方程組法變式24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知對(duì)任意的實(shí)數(shù)a均有成立，則函數(shù)的解析式為________．【答案】【解析】由，①得，即，②得：，所以，令，則，所以.故答案為：.變式25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，則___________.【答案】【解析】因?yàn)槎x在上的函數(shù)滿足，將換成可得：，將其代入上式可得：，所以，故答案為：.變式26．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)滿足3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，則f(x)的解析式為___________.【答案】f(x)=2x【解析】根據(jù)題意3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，用x+2代替x可得3f(x+1)+2f(﹣1﹣x)=2x+4，…①用﹣x代替x可得3f(﹣x﹣1)+2f(1+x)=﹣2x…②①②消去f(﹣1﹣x)可得：5f(1+x)=10x+12，∴f(x+1)=2x2(x+1)，f(x)=2x，故答案為：f(x)=2x.變式27．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，則___________.【答案】/【解析】因?yàn)棰?，所以②，②①得，．故答案為：．變?8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則函數(shù)f(x)的解析式為___________.【答案】【解析】以代替得出，與已知等式聯(lián)立，解出函數(shù)f(x)的解析式．∵，①∴，②①×3﹣②×5，得：﹣16f(x)=﹣10x﹣2，∴故答案為：變式29．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)與的定義域是，函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，是一個(gè)奇函數(shù)，且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，是一個(gè)奇函數(shù)，所以，，因?yàn)棰?，則②，所以①+②得，所以．故選：A．變式30．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，其中且，則函數(shù)的解析式為__________【答案】【解析】由題意，用代換解析式中的，可得，…….（1）與已知方程，……（2）聯(lián)立（1）（2）的方程組，可得，令，則，所以，所以.故答案為：.變式31．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在上的單調(diào)函數(shù)，若對(duì)任意都有，則方程的解集為_______．【答案】．【解析】∵定義在上的單調(diào)函數(shù)，對(duì)任意都有，令，則，在上式中令，則，解得，故，由得，即，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)和的圖像，

可知這兩個(gè)圖像有2個(gè)交點(diǎn)，即和，則方程的解集為．故答案為：.變式32．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的連續(xù)單調(diào)函數(shù)，若，則不等式的解集為___________.【答案】【解析】是定義在上的連續(xù)單調(diào)函數(shù)，存在唯一，使得，故令，，，在上單調(diào)遞增，且，，故的解集為.故答案為：方向4．求分段函數(shù)的解析式變式33．（2023·上海徐匯·高一統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的邊長(zhǎng)為，其中．用直線l：（）截這個(gè)正方形，將正方形分為兩個(gè)部分，其中包含了頂點(diǎn)D部分的面積記為S，將S表示為t的函數(shù)，則其解析式為________________．【答案】【解析】由題意可知為等腰直角三角形，,當(dāng)直線在的左側(cè)時(shí)，即直線與正方形的交點(diǎn)在上時(shí)，即當(dāng)時(shí)，直線的左側(cè)為等腰直角為三角形，此時(shí)，當(dāng)直線與正方形的交點(diǎn)在上時(shí)，即，直線的左側(cè)為五邊形，則，所以S表示為t的函數(shù)解析式為，故答案為：.變式34．（2023·黑龍江七臺(tái)河·高三?？计谥校┰O(shè)函數(shù)，且，，求的解析式．【解析】因?yàn)楹瘮?shù)解析式為，則，則，由可得，，解得，所以.變式35．（2023·寧夏吳忠·高一統(tǒng)考期中）已知和是定義域?yàn)榈亩魏瘮?shù)，函數(shù)圖象過點(diǎn)，，且，，(1)求的解析式(2)，用表示中較大者，記為，①求②寫出的函數(shù)解析式，并指出的最小值（不用寫理由）【解析】（1）設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)圖象過點(diǎn)，，，，可知對(duì)稱軸為，則，解得，所以.（2）①由（1）可知，當(dāng)時(shí)，即，解得或；當(dāng)時(shí)，即，解得；所以，所以.②由①可得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；綜上所述：的最小值是.變式36．（2023·新疆烏魯木齊·高一?？计谀┙o定函數(shù)(1)判斷的單調(diào)性并證明(2)在同一坐標(biāo)系中畫出的圖像(3)任意的，用表示的較小者，記為，請(qǐng)寫出的解析式.【解析】（1）判斷:在定義域上單調(diào)遞增，證明如下，，，即，所以在定義域上單調(diào)遞增.（2）作圖如下，（3）當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以所以.方向5．抽象函數(shù)解析式變式37．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足以下條件：①在區(qū)間上單調(diào)遞增；②對(duì)任意，，均有，則的一個(gè)解析式為______．【答案】（答案不唯一）【解析】如：，則，，又，則，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增，滿足題設(shè).故答案為：（答案不唯一）變式38．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，，且，，，…，，，則滿足條件的函數(shù)的一個(gè)解析式為________.【答案】【解析】由已知得，，，，又，故答案為：變式39．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)滿足，寫出一個(gè)符合要求的解析式_________．【答案】x(答案不唯一)【解析】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，所以x，故答案為：x,答案不唯一變式40．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）是R上的函數(shù)，且滿足，并且對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有，則的解析式_______【答案】【解析】令，代入得，又，則，∴，故答案為：．變式41．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列三個(gè)性質(zhì)的函數(shù)：______．①定義域?yàn)椋虎?；③的?dǎo)函數(shù)．【答案】（答案不唯一）【解析】若，其定義域?yàn)?，滿足①；，，所以，滿足②；，滿足③.故答案為：.【通性通解總結(jié)】求函數(shù)解析式的常用方法如下：（1）當(dāng)已知函數(shù)的類型時(shí)，可用待定系數(shù)法求解．（2）當(dāng)已知表達(dá)式為時(shí)，可考慮配湊法或換元法，若易將含的式子配成，用配湊法．若易換元后求出，用換元法．（3）若求抽象函數(shù)的解析式，通常采用方程組法．（4）求分段函數(shù)的解析式時(shí)，要注意符合變量的要求．（5）當(dāng)出現(xiàn)大基團(tuán)換元轉(zhuǎn)換繁瑣時(shí)，可考慮配湊法求解．（6）若已知成對(duì)出現(xiàn)，或，，類型的抽象函數(shù)表達(dá)式，則常用解方程組法構(gòu)造另一個(gè)方程，消元的方法求出．命題方向七：函數(shù)值域的求解【通性通解總結(jié)】方向1．觀察法例19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，函數(shù)的值域?yàn)開_____________【答案】【解析】因?yàn)椋?，又，所以?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，所以函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：例20．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？级＃┫铝泻瘮?shù)中，定義域和值域不相同的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A：函數(shù)的定義域?yàn)?，值域也為，不符合題意；對(duì)于B：函數(shù)的定義域和值域都為，不符合題意；對(duì)于C：的定義域和值域都為，不符合題意；對(duì)于D：的定義域?yàn)?；?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以值域?yàn)?，定義域和值域不相同，符合題意；故選：D．例21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開_________【答案】【解析】為開口方向向上，對(duì)稱軸為的拋物線，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，的值域?yàn)?故答案為：.變式42．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，故函?shù)的值域.故選：C.變式43．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，值域?yàn)榈氖牵?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的值域?yàn)?，，故排除；函?shù)的值域?yàn)?，故排除；函?shù)的值域?yàn)?，故滿足條件；函數(shù)的值域?yàn)?，，故排除，故選：．方向2．配方法變式44．（2023·遼寧遼陽·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的值域是，則_________．【答案】【解析】，故，解得．故答案為：變式45．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開_____.【答案】【解析】令，則，所以.故答案為：.變式46．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，則且又因?yàn)椋裕?，即函?shù)的值域?yàn)?，故選：B.方向3．圖像法（數(shù)形結(jié)合）變式47．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開_____.【答案】【解析】由題設(shè)，所以所求值域化為求軸上點(diǎn)到與距離差的范圍，如下圖示，由圖知：，即，當(dāng)三點(diǎn)共線且在之間時(shí)，左側(cè)等號(hào)成立；當(dāng)三點(diǎn)共線且在之間時(shí)，右側(cè)等號(hào)成立，顯然不存在此情況；所以，即，所以函數(shù)值域?yàn)?故答案為：變式48．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開____【答案】【解析】表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，的軌跡為圓，表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，由圖象可知：過作圓的切線，斜率必然存在，則設(shè)過的圓的切線方程為，即，圓心到切線的距離，解得：，結(jié)合圖象可知：圓上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率的取值范圍為，即的值域?yàn)?故答案為：.變式49．（2023·陜西銅川·校考一模）若，則函數(shù)的值域是__________．【答案】【解析】，設(shè)，，則.由于，則，且.設(shè)，由該式的幾何意義得下面圖形，，其中直線為圓的切線，由圖知.由圖知，在中，有，，所以，所以，所以.所以，，故所求值域?yàn)椋蚀鸢笧椋海兪?0．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，則的最小值為___________.【答案】/【解析】分別作，的圖象，分別取點(diǎn)，，原式視為兩圖象上各取一點(diǎn)的距離的平方，設(shè)為與的交點(diǎn)，，即.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).故得的最小值為.故答案為：.變式51．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開____.【答案】[，]【解析】∵﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1≥0?1≤x≤3.令x﹣2=cosθ

且θ∈[0，π]∴=，表示兩點(diǎn)（﹣3，﹣3）和（cosθ，sinθ）的斜率，，故點(diǎn)在單位圓的上半部分.如圖，斜率最小為，斜率最大值為直線與半圓相切時(shí)的斜率，，化簡(jiǎn)得，由，解得，故切線的斜率為.所以斜率的取值范圍，也即函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：變式52．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是_______________.【答案】【解析】，其中，則，又，因此，值域?yàn)?故答案為：方向4．基本不等式法變式53．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是______.【答案】【解析】因?yàn)椋驗(yàn)?，所以，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，因?yàn)?，所以，則函數(shù)的值域?yàn)?，故答案為?變式54．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開__________．【答案】【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故答案為：．變?5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開_____【答案】【解析】，令，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以，即值域?yàn)椋?故答案為：變式56．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的值域?yàn)開__________．【答案】．【解析】，即；，；當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最小值2；又最大值應(yīng)在兩個(gè)區(qū)間端點(diǎn)的某一處取到，；；．所以．所以值域?yàn)椋蚀鸢笧?方向5．換元法（代數(shù)換元與三角換元）變式57．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是______．【答案】【解析】令，則，令，則，所以，所以，所以，所以函數(shù)的值域是.故答案為：變式58．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的，則其值域?yàn)開____________.【答案】【解析】設(shè)，即，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，所以.故答案為：變式59．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域?yàn)開________.【答案】【解析】令，則，容易看出，該函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)開口向下的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為，，所以該函數(shù)在時(shí)取到最大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，所以函數(shù)值域?yàn)?故答案為：變式60．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開___________【答案】【解析】設(shè),則,所以原函數(shù)可化為:,由二次函數(shù)性質(zhì),當(dāng)時(shí),函數(shù)取最大值,由性質(zhì)可知函數(shù)無最小值.所以值域?yàn)?.故答案為:.變式61．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域______．【答案】/【解析】令，則，所以．又，所以，即函數(shù)的值域是．故答案為：.變式62．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開_______．【答案】【解析】由可得，即函數(shù)的定義域?yàn)樗栽O(shè)，，則，因?yàn)椋?，所以，所以，所以函?shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?方向6．分離常數(shù)法變式63．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開_____．【答案】【解析】由，又，則，則，所以，故函數(shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋海兪?4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)y的值域是（）A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞）【答案】D【解析】，∴y，∴該函數(shù)的值域?yàn)椋蔬x：D．變式65．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開_______．【答案】【解析】由，可得且，函數(shù)的定義域?yàn)榍?，，所以且，所以函?shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋海兪?6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開_________【答案】【解析】，，，，即的值域?yàn)?故答案為：.方向7．判別式法變式67．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值與最小值的和是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則有，當(dāng)時(shí)，代入原式，解得．當(dāng)時(shí)，，由，解得，于是的最大值為，最小值為，所以函數(shù)的最大值與最小值的和為．故選：B.變式68．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是___________.【答案】【解析】，因?yàn)樗院瘮?shù)的定義域?yàn)榱?，整理得方程：?dāng)時(shí)，方程無解；當(dāng)時(shí)，不等式整理得：解得：所以函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：變式69．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域______________．【答案】【解析】由解析式知：函數(shù)的定義域?yàn)椋遥嗾砜傻茫?，即該方程在上有解，∴?dāng)時(shí)，，顯然成立；當(dāng)時(shí)，有，整理得，即，∴綜上，有函數(shù)值域?yàn)?故答案為：.變式70．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開________.【答案】【解析】將函數(shù)變形為關(guān)于的方程，分析二次項(xiàng)的系數(shù)并結(jié)合與的關(guān)系求解出的取值范圍，從而值域可求.因?yàn)?，所以，所以，?dāng)，即時(shí)，此時(shí)；當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)，所以，綜上可知：，所以的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?方向8．單調(diào)性法變式71．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，又函?shù)在上遞減，所以函數(shù)在上遞減，所以函數(shù)的最大值為，最小值為，即函數(shù)的值域?yàn)?，故選：C.變式72．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的最大值為______.【答案】/【解析】因?yàn)椋?，則，令，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，則，即函數(shù)的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：變式73．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：令，解得：，即函數(shù)在為增函數(shù)，所以，即函數(shù)的值域?yàn)椋蔬x：D.方向9．有界性法變式74．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是_________【答案】【解析】化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.由題意，函數(shù)，因?yàn)?，所以，則，可得，故函數(shù)的值域是.變式75．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【解析】故選：C．變式76．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為___________．【答案】【解析】令，，則，，所以其中所以當(dāng)時(shí)，故答案為：變式77．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是________________.【答案】【解析】由題意，因?yàn)椋?，所以，所以函?shù)的值域?yàn)?，故答案為?方向10．導(dǎo)數(shù)法變式78．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上最大值為M，最小值為m，則的值是_______.【答案】【解析】由題意，，，在上，故函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，，故的值是.故答案為：變式79．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)，定義域?yàn)?，則該函數(shù)的最小值為__________．【答案】1【解析】因?yàn)?，，所以，令，得所以?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增所以.故答案為：.變式80．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)在上的最小值是________.【答案】【解析】由，令得，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在上的最小值是.故答案為：.變式81．（2023·甘肅張掖·高三高臺(tái)縣第一中學(xué)統(tǒng)考期末）函數(shù)，的值域是______.【答案】【解析】由題意在中，，∴函數(shù)在單調(diào)遞增∵，∴函數(shù)，的值域是故答案為：.命題方向八：分段函數(shù)的應(yīng)用方向1．求值問題例22．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知，則______.【答案】【解析】，．故答案為：．例23．（2023·四川德陽·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)，則______．【答案】2【解析】由題，因?yàn)椋?，故答案為?.例24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則___________.【答案】【解析】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：.變式82．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)滿足，且在區(qū)間上，則的值為____．【答案】【解析】分析：先根據(jù)函數(shù)周期將自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間，代入對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式求值，再代入對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式求結(jié)果.由得函數(shù)的周期為4，所以因此方向2．求參數(shù)問題變式83．（多選題）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則使的可以是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】①當(dāng)時(shí)，由，可得，若時(shí)，則，此時(shí)無解，若時(shí)，由，解得；②當(dāng)時(shí)，由，可得或.若時(shí)，則，由可得，方程無解，若時(shí)，由可得或，由可得或.綜上所述，滿足的的取值集合為.故選：BCD.變式84．（多選題）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】根據(jù)題意，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，其中當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，解可得，符合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，解可得或，符合題意；當(dāng)時(shí)，必有，此時(shí)，變形可得或，若，解可得，若，無解；綜合可得：或或或，分析可得選項(xiàng)可得：ACD符合；故選：ACD．變式85．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意．故選:B．變式86．（2023·吉林·通化市第一中學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則方程的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，解得或（舍去），當(dāng)x<0時(shí)，，解得（舍去），故解集為．故選：A．變式87．（2023·河北石家莊·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則（

）A． B． C．或3 D．或【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，由，得，解得（舍去）或；根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可知當(dāng)時(shí)，由，得(舍)或，綜上，故選:B.變式88．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，若的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意可得，在同一坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù)和的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)或時(shí)，兩圖象相交，若的值域是，以實(shí)數(shù)為分界點(diǎn)，可進(jìn)行如下分類討論：當(dāng)時(shí)，顯然兩圖象之間不連續(xù)，即值域不為；同理當(dāng),值域也不是；當(dāng)時(shí)，兩圖象相接或者有重合的部分，此時(shí)值域是；綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B變式89．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)則解的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】時(shí)，，解得時(shí)，，，，無解.由，則有，時(shí)，，通過函數(shù)圖像可知，方程有兩個(gè)根，如圖所示，時(shí)，，無解.故選：.方向3．解不等式問題變式90．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，則不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，由得：，解得：或，；當(dāng)時(shí)，由得：，解得：，；不等式的解集是.故選：A.變式91．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，則即為，當(dāng)時(shí)，，故無解，當(dāng)時(shí)，即為，在同一平面直角坐標(biāo)系下畫出和的大致圖像如圖，由圖可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，綜上所述，的解為，又，所以，當(dāng)時(shí)，，故，解得：，所以，當(dāng)時(shí)，，故，解得：，所以，綜上所述，不等式的解集是.故選：D.變式92．（2023·黑龍江大慶·鐵人中學(xué)校考二模）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?①當(dāng)時(shí)，.②當(dāng)時(shí)，.③當(dāng)時(shí)，.綜上所述：.故選：D.變式93．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知,則使成立的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】（方法1）當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得，又，所以；當(dāng)時(shí)，，不等式可化為，解得，又，所以.綜上，使不等式成立的的取值范圍是.故選:A.（方法2）函數(shù)的圖象如圖所示，虛線表示，函數(shù)圖象在虛線及以上的部分中的取值范圍即不等式的解集.由圖可知，的取值范圍就是點(diǎn)的橫坐標(biāo)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的范圍.在中，令，得，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.在中，令，得（舍去）或，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以使不等式成立的的取值范圍是.故選：A.變式94．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，所以，即，解得，當(dāng)時(shí)，，所以，即，解得，所以，的取值范圍是故選：D變式95．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，對(duì)于實(shí)數(shù)a，使成立的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B．C． D．或【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，則，則是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則是增函數(shù)，又，∴函數(shù)在R上是增函數(shù)，∵，∴，則，即，解得，則成立的充要條件是∴使成立的一個(gè)必要不充分條件的a的范圍對(duì)應(yīng)的集合應(yīng)真包含，故排除ABD，選C.故選：C．【通性通解總結(jié)】1、分段函數(shù)的求值問題，必須注意自變量的值位于哪一個(gè)區(qū)間，選定該區(qū)間對(duì)應(yīng)的解析式代入求值2、函數(shù)區(qū)間分類討論問題，則需注意在計(jì)算之后進(jìn)行檢驗(yàn)所求是否在相應(yīng)的分段區(qū)間內(nèi)．【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？级＃┮阎瘮?shù)，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【解析】由題意可得，故選：D.2．（2023·河北·校聯(lián)考一模）若函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于，所以，故，故選C.