北師大版2019選擇性必修第一冊(cè)專題1.2直線的方程(8類必考點(diǎn))(原卷版+解析)

專題1.2直線的方程TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考點(diǎn)1：點(diǎn)斜式方程】 1【考點(diǎn)2：斜截式方程】 2【考點(diǎn)3：兩點(diǎn)式方程】 3【考點(diǎn)4：截距式方程】 5【考點(diǎn)5：一般式方程】 8【考點(diǎn)6：直線過定點(diǎn)問題】 9【考點(diǎn)7：兩條直線平行的判定及應(yīng)用】 11【考點(diǎn)8：兩條直線垂直的判定及應(yīng)用】 13【考點(diǎn)1：點(diǎn)斜式方程】【知識(shí)點(diǎn)：點(diǎn)斜式方程】形式幾何條件方程適用范圍點(diǎn)斜式過一點(diǎn)(x0，y0)，斜率ky－y0＝k(x－x0)與x軸不垂直的直線1．（2021秋?天津期末）經(jīng)過點(diǎn)A（0，﹣3）且斜率為2的直線方程為（）A．2x﹣y﹣3＝0 B．2x+y+3＝0 C．x﹣2y﹣6＝0 D．x+2y+6＝02．（2022春?滿洲里市校級(jí)期末）已知直線l的傾斜角為60°，且經(jīng)過點(diǎn)（0，1），則直線l的方程為（）A．y=3x B．y=3x?2 C．3．（2021秋?湖南期中）過點(diǎn)（1，﹣1）且方向向量為（﹣2，3）的直線的方程為（）A．3x﹣2y﹣5＝0 B．2x﹣3y﹣5＝0 C．3x+2y﹣1＝0 D．2x+3y+1＝04．（2021秋?宜春期末）已知直線的傾斜角α＝30°，且過點(diǎn)A（4，3），則該直線的方程為．【考點(diǎn)2：斜截式方程】【知識(shí)點(diǎn)：斜截式方程】形式幾何條件方程適用范圍斜截式縱截距b，斜率ky＝kx＋b與x軸不垂直的直線1．（2021秋?揭東區(qū)期末）傾斜角為45°，在y軸上的截距為2022的直線方程是（）A．x﹣y+2022＝0 B．x﹣y﹣2022＝0 C．x+y﹣2022＝0 D．x+y+2022＝02．（2022春?黃浦區(qū)校級(jí)月考）已知直線在l在y軸上的截距為4，傾斜角為α，且sinα=45，則直線l的斜截式方程為3．（2022春?儋州校級(jí)期中）已知直線l的斜率為?43，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6，求直線【考點(diǎn)3：兩點(diǎn)式方程】【知識(shí)點(diǎn)：兩點(diǎn)式方程】形式幾何條件方程適用范圍兩點(diǎn)式過兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)與x軸、y軸均不垂直的直線1．（2021秋?福建月考）經(jīng)過點(diǎn)P1（3，﹣2），P2（5，﹣4）的直線方程是（）A．x﹣y﹣5＝0 B．x﹣y﹣1＝0 C．x+y﹣5＝0 D．x+y﹣1＝02．（2021秋?昌平區(qū)校級(jí)期中）經(jīng)過M（3，2）與N（6，2）兩點(diǎn)的直線的方程為（）A．x＝2 B．y＝2 C．x＝3 D．x＝63．（2021秋?合肥期末）已知點(diǎn)A（3，2），B（﹣1，4），則經(jīng)過點(diǎn)C（2，5）且經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)的直線方程為（）A．2x+y﹣1＝0 B．2x﹣y﹣1＝0 C．2x﹣y+1＝0 D．2x+y+1＝04．（2022春?漢中期中）已知直線l過點(diǎn)G（1，﹣3），H（﹣2，1），則直線l的方程為．5．（2021秋?宜春期末）已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A（﹣5，0），B（3，﹣3），C（0，2），求：（1）AC邊所在直線的方程（2）BC邊上中線所在直線的方程．【考點(diǎn)4：截距式方程】【知識(shí)點(diǎn)：截距式方程】形式幾何條件方程適用范圍截距式橫截距a，縱截距beq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線（多選）1．（2020秋?博興縣期中）已知直線l過點(diǎn)P（2，4），在x軸和y軸上的截距相等，則直線l的方程可能為（）A．x﹣y+2＝0 B．x+y﹣6＝0 C．x＝2 D．2x﹣y＝02．（2022?成都模擬）已知a＞0，b＞0，直線xa+y=b在x軸上的截距為1，則a+9A．3 B．6 C．9 D．103．（2021秋?湖北期末）過點(diǎn)（1，2）作直線l，滿足在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等的直線l有（）條．A．1 B．2 C．3 D．44．（2020秋?瑤海區(qū)校級(jí)期中）過點(diǎn)A（3，﹣1）且在x軸和y軸上的截距相等的直線方程是．5．（2021春?玉林月考）已知直線mx+3y﹣12＝0在兩個(gè)坐標(biāo)軸上截距之和為7，則實(shí)數(shù)m的值為．6．（2022?廬陽區(qū)校級(jí)開學(xué)）經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，4）且在x軸上的截距是在y軸上截距的2倍，則該直線的方程．7．（2021秋?湖州期中）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P（4，6）．（Ⅰ）當(dāng)l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等時(shí)，求l的方程；（Ⅱ）若l與x軸、y軸的正半軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)三角形AOB的面積最小時(shí)，求l的方程．【考點(diǎn)5：一般式方程】【知識(shí)點(diǎn)：一般式方程】一般式方程：Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠01．（2021秋?濰坊月考）已知直線l：3x?y+3=0A．直線l的傾斜角為π6B．直線l的法向量為(3C．直線l的方向向量為(1，3D．直線l的斜率為?2．（2021秋?荔灣區(qū)校級(jí)期末）若直線l與直線y＝1，x＝7分別交于點(diǎn)P、Q，且線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），直線l的一般式方程是．3．（2021秋?南江縣校級(jí)月考）已知A（1，2），B（3，4）．（1）求直線AB的一般式方程；（2）在x軸上求一點(diǎn)P，使得△PAB的面積為8，求P點(diǎn)坐標(biāo)．【考點(diǎn)6：直線過定點(diǎn)問題】【知識(shí)點(diǎn)：直線過定點(diǎn)問題】1．（2022春?達(dá)州期末）直線（a﹣1）x﹣（a+1）y+2＝0恒過定點(diǎn)（）A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1）2．（2022春?海淀區(qū)校級(jí)月考）不論m為何實(shí)數(shù)，直線x﹣2my﹣1+3m＝0恒過一個(gè)定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（1，0） B．（2，3） C．（3，2） D．(1，3．（2022?徐匯區(qū)校級(jí)開學(xué)）設(shè)直線2x+（k﹣3）y﹣2k+6＝0過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．4．（2022?安徽開學(xué)）直線l：（2m+1）x+（m+1）y＝3m+2（m∈R）經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)是．5．（2022?成都開學(xué)）（1）已知直線l的方程為ax+（a﹣1）y+3＝0，求直線l恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)A（﹣2，3），B（3，﹣1），M（1，﹣2），若過點(diǎn)M的直線l與線段AB有公共交點(diǎn)，求直線l的斜率k的取值范圍．【考點(diǎn)7：兩條直線平行的判定及應(yīng)用】【知識(shí)點(diǎn)：兩條直線平行的判定及應(yīng)用】直線方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)l1與l2平行的充分條件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)≠eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)l1與l2重合的充分條件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)1．（2022?鎮(zhèn)江開學(xué)）經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，1），且平行于直線y＝3x的直線方程為（）A．3x﹣y﹣10＝0 B．3x﹣y+10＝0 C．x+3y＝0 D．x﹣3y＝02．（2022春?自貢期末）若直線x+ay﹣2＝0與直線a2x+y+1＝0平行，則a＝（）A．﹣1或0 B．﹣1 C．1或0 D．13．（2022春?新邵縣校級(jí)月考）已知直線y＝mx﹣2與直線x+ny＝0平行，則m，n的關(guān)系為（）A．mn＝l B．mn+1＝0 C．m﹣n＝0 D．m﹣n+1＝04．（2022?臨澧縣校級(jí)開學(xué)）已知直線l：mx+y﹣1＝0，直線n：2x+（m﹣1）y+2＝0，若l∥n，則實(shí)數(shù)m＝．5．（2021秋?成都期末）已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A（4，0），B（6，7），C（0，3）．（Ⅰ）求AC邊所在的直線方程；（Ⅱ）求經(jīng)過AB邊的中點(diǎn)，且與AC邊平行的直線l的方程．6．（2021秋?泰州期末）已知兩條直線l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8．設(shè)m為實(shí)數(shù)，分別根據(jù)下列條件求m的值．（1）l1∥l2；（2）直線l2在x軸、y軸上截距之和等于6．【考點(diǎn)8：兩條直線垂直的判定及應(yīng)用】【知識(shí)點(diǎn)：兩條直線垂直的判定及應(yīng)用】直線方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)l1與l2垂直的充要條件A1A2＋B1B2＝01．（2022?遼寧開學(xué)）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A（0，4），且與直線2x﹣y﹣3＝0垂直，則直線l的方程是（）A．2x﹣y+4＝0 B．x+2y+8＝0 C．2x﹣y﹣4＝0 D．x+2y﹣8＝02．（2022春?南充期末）“m＝1”是“直線l1：（m﹣4）x+my+1＝0與直線l2：mx+（m+2）y﹣2＝0互相垂直”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2022?成都開學(xué)）已知直線l1：2sinαx+y﹣1＝0，直線l2：x﹣cosαy+1＝0，若l1⊥l2，則tanα＝（）A．?12 B．12 4．（2022春?澄城縣期末）已知直線l1：（m+2）x﹣（m﹣2）y+2＝0，直線l2：3x+（m+2）y﹣5＝0，若l1⊥l2，則m＝（）A．2或﹣5 B．﹣2或﹣5 C．2或5 D．﹣2或55．（2022春?達(dá)州期末）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P（2，4）．（1）若點(diǎn)Q（1，1）在直線l上，求直線l的方程；（2）若直線l與直線4x﹣3y＝0垂直，求直線l的方程．6．（2021秋?楊陵區(qū)校級(jí)期末）已知直線l：3x+4y﹣7＝0．（1）求直線l的斜率和在y軸上的截距；（2）若直線m與l垂直，且過點(diǎn)P（﹣2，5），求m的方程．7．（2021秋?任丘市校級(jí)期末）已知直線l過點(diǎn)P（3，4）．（1）若直線與直線4x﹣3y+5＝0垂直，求直線l的方程；（2）若直線l在兩坐標(biāo)軸的截距相等，求直線l的方程．8．（2021秋?武漢期末）已知直線l1：3x+2y+6＝0，直線l2：2x﹣3m2y+18＝0，直線l3：2mx﹣3y+12＝0．（1）若l1與l2的傾斜角互補(bǔ)，求m的值；（2）當(dāng)m為何值時(shí)，三條直線能圍成一個(gè)直角三角形．專題1.2直線的方程TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考點(diǎn)1：點(diǎn)斜式方程】 1【考點(diǎn)2：斜截式方程】 2【考點(diǎn)3：兩點(diǎn)式方程】 3【考點(diǎn)4：截距式方程】 5【考點(diǎn)5：一般式方程】 8【考點(diǎn)6：直線過定點(diǎn)問題】 9【考點(diǎn)7：兩條直線平行的判定及應(yīng)用】 11【考點(diǎn)8：兩條直線垂直的判定及應(yīng)用】 13【考點(diǎn)1：點(diǎn)斜式方程】【知識(shí)點(diǎn)：點(diǎn)斜式方程】形式幾何條件方程適用范圍點(diǎn)斜式過一點(diǎn)(x0，y0)，斜率ky－y0＝k(x－x0)與x軸不垂直的直線1．（2021秋?天津期末）經(jīng)過點(diǎn)A（0，﹣3）且斜率為2的直線方程為（）A．2x﹣y﹣3＝0 B．2x+y+3＝0 C．x﹣2y﹣6＝0 D．x+2y+6＝0【分析】直接代入點(diǎn)斜式方程求解即可．【解答】解：因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)A（0，﹣3）且斜率為2，所以直線的方程為y+3＝2（x﹣0），即2x﹣y﹣3＝0，故選：A．2．（2022春?滿洲里市校級(jí)期末）已知直線l的傾斜角為60°，且經(jīng)過點(diǎn)（0，1），則直線l的方程為（）A．y=3x B．y=3x?2 C．【分析】先求出斜率，再由直線的點(diǎn)斜式方程求解即可．【解答】解：由題意知：直線l的斜率為3，則直線l的方程為y=3故選：C．3．（2021秋?湖南期中）過點(diǎn)（1，﹣1）且方向向量為（﹣2，3）的直線的方程為（）A．3x﹣2y﹣5＝0 B．2x﹣3y﹣5＝0 C．3x+2y﹣1＝0 D．2x+3y+1＝0【分析】直接利用直線的斜率和方向向量的關(guān)系和點(diǎn)斜式求出直線的方程．【解答】解：過點(diǎn)（1，﹣1）且方向向量為（﹣2，3）的直線方程為y+1=?3整理得：3x+2y﹣1＝0．故選：C．4．（2021秋?宜春期末）已知直線的傾斜角α＝30°，且過點(diǎn)A（4，3），則該直線的方程為3x﹣3y+9﹣43=0【分析】根據(jù)直線的傾斜角求出斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線方程，化為一般式方程．【解答】解：直線的傾斜角α＝30°，所以直線的斜率為k＝tan30°=3又因?yàn)橹本€過點(diǎn)A（4，3），所以直線的方程為y﹣3=33（3x﹣3y+9﹣43=故答案為：3x﹣3y+9﹣43=【考點(diǎn)2：斜截式方程】【知識(shí)點(diǎn)：斜截式方程】形式幾何條件方程適用范圍斜截式縱截距b，斜率ky＝kx＋b與x軸不垂直的直線1．（2021秋?揭東區(qū)期末）傾斜角為45°，在y軸上的截距為2022的直線方程是（）A．x﹣y+2022＝0 B．x﹣y﹣2022＝0 C．x+y﹣2022＝0 D．x+y+2022＝0【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系，以及截距的定義，即可求解．【解答】解：∵所求直線的傾斜角為45°，∴k＝tan45°＝1，∵所求直線在y軸上的截距為2022，∴直線方程為x﹣y+2022＝0．故選：A．2．（2022春?黃浦區(qū)校級(jí)月考）已知直線在l在y軸上的截距為4，傾斜角為α，且sinα=45，則直線l的斜截式方程為y=±4【分析】由題意，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得直線的斜率，再用點(diǎn)斜式求出直線的方程．【解答】解：∵直線在l在y軸上的截距為4，傾斜角為α，且sinα=4∴cosα＝±1?sin2α=±35，斜率tanα∴直線l的斜截式方程為y=±43故答案為：y=±433．（2022春?儋州校級(jí)期中）已知直線l的斜率為?43，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6，求直線【分析】設(shè)直線l的方程為：y=?43x+b，求得其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入面積公式可求b的值，從而得到直線【解答】解：設(shè)直線l的方程為：y=?43x+所以直線l與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，b），（34由題意可得12×|b|×|解得b＝±4，所以直線l的方程為：y=?43【考點(diǎn)3：兩點(diǎn)式方程】【知識(shí)點(diǎn)：兩點(diǎn)式方程】形式幾何條件方程適用范圍兩點(diǎn)式過兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)與x軸、y軸均不垂直的直線1．（2021秋?福建月考）經(jīng)過點(diǎn)P1（3，﹣2），P2（5，﹣4）的直線方程是（）A．x﹣y﹣5＝0 B．x﹣y﹣1＝0 C．x+y﹣5＝0 D．x+y﹣1＝0【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合斜率公式，以及直線的點(diǎn)斜式公式，即可求解．【解答】解：∵P1（3，﹣2），P2（5，﹣4），∴k=?2?(?4)∴所求直線的方程為y﹣（﹣2）＝﹣（x﹣3），即x+y﹣1＝0．故選：D．2．（2021秋?昌平區(qū)校級(jí)期中）經(jīng)過M（3，2）與N（6，2）兩點(diǎn)的直線的方程為（）A．x＝2 B．y＝2 C．x＝3 D．x＝6【分析】利用直線的兩點(diǎn)式即可求解．【解答】解：經(jīng)過M（3，2）與N（6，2）兩點(diǎn)的直線的方程為y?2x?3=2?2故選：B．3．（2021秋?合肥期末）已知點(diǎn)A（3，2），B（﹣1，4），則經(jīng)過點(diǎn)C（2，5）且經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)的直線方程為（）A．2x+y﹣1＝0 B．2x﹣y﹣1＝0 C．2x﹣y+1＝0 D．2x+y+1＝0【分析】由題意，利用線段的中點(diǎn)公式求得線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)式求出直線的方程．【解答】解：∵點(diǎn)A（3，2），B（﹣1，4），∴線段AB的中點(diǎn)M（1，3），則經(jīng)過點(diǎn)C（2，5）且經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)M（1，3）的直線方程為y?35?3即2x﹣y+1＝0，故選：C．4．（2022春?漢中期中）已知直線l過點(diǎn)G（1，﹣3），H（﹣2，1），則直線l的方程為4x+3y+5＝0．【分析】根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)求得直線l的斜率，再由點(diǎn)斜式寫出直線方程即可．【解答】解：直線l的斜率為?3?11?(?2)所以直線l的方程為y﹣1=?43（x+2），即4x+3故答案為：4x+3y+5＝0．5．（2021秋?宜春期末）已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A（﹣5，0），B（3，﹣3），C（0，2），求：（1）AC邊所在直線的方程（2）BC邊上中線所在直線的方程．【分析】（1）根據(jù)直線方程的截距式方程列式，化簡(jiǎn)即得AC邊所在直線的方程；（2）由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，算出BC中點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而得到直線AD的斜率k=?113，再由直線方程的點(diǎn)斜式列式，化簡(jiǎn)即得【解答】解：（1）∵A（﹣5，0）、C（0，2），∴直線AC的截距式方程為x?5+y2=1即AC邊所在直線的方程為：2x﹣5y+10＝0；（2）∵B（3，﹣3），C（0，2），∴BC中點(diǎn)為D（32，?直線AD的斜率為k=因此，直線AD的方程為y=?113（化簡(jiǎn)得x+13y+5＝0，即為BC邊上中線所在直線的方程．【考點(diǎn)4：截距式方程】【知識(shí)點(diǎn)：截距式方程】形式幾何條件方程適用范圍截距式橫截距a，縱截距beq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線（多選）1．（2020秋?博興縣期中）已知直線l過點(diǎn)P（2，4），在x軸和y軸上的截距相等，則直線l的方程可能為（）A．x﹣y+2＝0 B．x+y﹣6＝0 C．x＝2 D．2x﹣y＝0【分析】分直線l過原點(diǎn)與不過原點(diǎn)兩類討論，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，直接寫出直線方程，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)出直線的截距式方程x+y＝m，代入P點(diǎn)坐標(biāo)求得m值，則直線方程可求．【解答】解：當(dāng)直線l過原點(diǎn)時(shí)，直線方程為y＝2x，即2x﹣y＝0；當(dāng)直線l不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為x+y＝m，則m＝2+4＝6，∴直線方程為x+y﹣6＝0．∴直線l的方程可能為2x﹣y＝0或x+y﹣6＝0．故選：BD．2．（2022?成都模擬）已知a＞0，b＞0，直線xa+y=b在x軸上的截距為1，則a+9A．3 B．6 C．9 D．10【分析】由已知求得ab＝1，再由基本不等式求a+9b的最小值．【解答】解：由直線xa+y=b在x軸上的截距為1，得又a＞0，b＞0，∴a+9b≥29ab當(dāng)且僅當(dāng)a＝9b，即a＝3，b=1故選：B．3．（2021秋?湖北期末）過點(diǎn)（1，2）作直線l，滿足在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等的直線l有（）條．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接利用直線的截距式求出直線的方程．【解答】解：過點(diǎn)（1，2）作直線l，滿足在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等的直線，設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，y＝kx，故直線的方程為y＝2x；當(dāng)不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為x|a|+y所以直線的方程為x+y+3＝0或x+y﹣3＝0或x﹣y+3＝0．滿足的直線有x+y﹣3＝0．故直線有2條；故選：B．4．（2020秋?瑤海區(qū)校級(jí)期中）過點(diǎn)A（3，﹣1）且在x軸和y軸上的截距相等的直線方程是x+3y＝0，或x+y﹣2＝0．【分析】分類討論，用待定系數(shù)法求得要求的直線的方程．【解答】解：當(dāng)過點(diǎn)A（3，﹣1）且在x軸和y軸上的截距相等的直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，它的斜率為?13=?13，它的方程是y=?13當(dāng)過點(diǎn)A（3，﹣1）且在x軸和y軸上的截距相等的直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)它方程為x+y＝k，把點(diǎn)A代入，可得3﹣1＝k，求得k＝2，它的方程是x+y﹣2＝0．綜上，所求的直線的方程為x+3y＝0，或x+y﹣2＝0，故答案為：x+3y＝0，或x+y﹣2＝0．5．（2021春?玉林月考）已知直線mx+3y﹣12＝0在兩個(gè)坐標(biāo)軸上截距之和為7，則實(shí)數(shù)m的值為4．【分析】由已知分別求出直線在坐標(biāo)軸上截距，建立關(guān)于m的方程即可求解．【解答】解：因?yàn)橹本€mx+3y﹣12＝0在兩個(gè)坐標(biāo)軸上截距之和為7，故m≠0，所以4+12所以m＝4．故答案為：4．6．（2022?廬陽區(qū)校級(jí)開學(xué)）經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，4）且在x軸上的截距是在y軸上截距的2倍，則該直線的方程y=?43x或x+2【分析】根據(jù)題意，設(shè)直線在y軸上的截距為b，則在x軸上的截距為2b，可分兩類情況即b＝0和b≠0討論可解．【解答】解：∵直線在x軸上的截距是在y軸上截距的2倍，設(shè)直線在y軸上的截距為b，則在x軸上的截距為2b，①b＝0時(shí)，即直線過原點(diǎn)，可設(shè)直線方程為y＝kx，又經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，4），則直線方程為：y=?4②當(dāng)b≠0時(shí)，設(shè)直線方程為x2b+y則直線方程為：x+2y﹣5＝0，故答案為：y=?43x或x7．（2021秋?湖州期中）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P（4，6）．（Ⅰ）當(dāng)l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等時(shí)，求l的方程；（Ⅱ）若l與x軸、y軸的正半軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)三角形AOB的面積最小時(shí)，求l的方程．【分析】（Ⅰ）l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)它的方程為x+y＝n，把點(diǎn)P（4，6）代入，能求出l的方程；當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)它的方程為y＝kx，把點(diǎn)P（4，6）代入，能求出l的方程，由此能求出直線l的方程．（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為xa+yb=1(a＞0，b＞0)，則4【解答】解：（Ⅰ）∵l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)它的方程為x+y＝n，把點(diǎn)P（4，6）代入可得n＝10，故l的方程為x+y＝10，即x+y﹣10＝0．……………（3分）當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)它的方程為y＝kx，把點(diǎn)P（4，6）代入可得k=3故l的方程為y=32x，即3x綜上可得，直線l的方程為x+y﹣10＝0或3x﹣2y＝0．（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為xa+y∴1≥24a?6b得ab此時(shí)△AOB面積最小，最小值為48．∴直線l的方程為x8+y12=1【考點(diǎn)5：一般式方程】【知識(shí)點(diǎn)：一般式方程】一般式方程：Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠01．（2021秋?濰坊月考）已知直線l：3x?y+3=0A．直線l的傾斜角為π6B．直線l的法向量為(3C．直線l的方向向量為(1，3D．直線l的斜率為?【分析】結(jié)合已知直線方程，分別求出直線的斜率，傾斜角及方向向量，法向量，然后檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答】解：由題意可得直線的斜率k=3，故直線的傾斜角π3，AD錯(cuò)誤，與l垂直的直線斜率?3所以與l垂直的直線的一個(gè)方向向量為（1，?3又（3，1）與（1，?33）不平行，故選：C．2．（2021秋?荔灣區(qū)校級(jí)期末）若直線l與直線y＝1，x＝7分別交于點(diǎn)P、Q，且線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），直線l的一般式方程是．【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得P，Q，再利用斜率的計(jì)算公式即可得出直線l的斜率，從而求出直線l的方程．【解答】解：由題意，設(shè)P（x，1），Q（7，y），∵線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），∴x+72=11+y2=0，解得x∴直線l的斜率=1?0故直線l的方程為y﹣0=?16（x﹣1），即x+6故答案為：x+6y﹣1＝0．3．（2021秋?南江縣校級(jí)月考）已知A（1，2），B（3，4）．（1）求直線AB的一般式方程；（2）在x軸上求一點(diǎn)P，使得△PAB的面積為8，求P點(diǎn)坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合斜率公式，以及直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解．（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解．【解答】解：（1）∵A（1，2），B（3，4），∴kAB故直線AB方程為y﹣2＝x﹣1，即x﹣y+1＝0．（2）∵A（1，2），B（3，4），∴|AB|=(1?3設(shè)點(diǎn)P（t，0），則P到直線AB的距離d=|t+1|∵△PAB的面積為8，∴12×22×|t+1|故P點(diǎn)坐標(biāo)為（7，0）或（﹣9，0）．【考點(diǎn)6：直線過定點(diǎn)問題】【知識(shí)點(diǎn)：直線過定點(diǎn)問題】1．（2022春?達(dá)州期末）直線（a﹣1）x﹣（a+1）y+2＝0恒過定點(diǎn)（）A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1）【分析】根據(jù)直線的方程，建立二元一次方程組，再求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：直線（a﹣1）x﹣（a+1）y+2＝0，整理得a（x﹣y）﹣（x+y+2）＝0；故x?y=0x+y+2=0，解得x=1故恒過定點(diǎn)（1，1）．故選：A．2．（2022春?海淀區(qū)校級(jí)月考）不論m為何實(shí)數(shù)，直線x﹣2my﹣1+3m＝0恒過一個(gè)定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（1，0） B．（2，3） C．（3，2） D．(1，【分析】直線x﹣2my﹣1+3m＝0，即x﹣1+m（3﹣2y）＝0，由此能求出不論m為何實(shí)數(shù)，直線x﹣2my﹣1+3m＝0恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：直線x﹣2my﹣1+3m＝0，即x﹣1+m（3﹣2y）＝0，令y=32，解得x＝1，可得它恒過一個(gè)定點(diǎn)∴不論m為何實(shí)數(shù)，直線x﹣2my﹣1+3m＝0恒過一個(gè)定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，32故答案為：D．3．（2022?徐匯區(qū)校級(jí)開學(xué)）設(shè)直線2x+（k﹣3）y﹣2k+6＝0過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）．【分析】將直線轉(zhuǎn)化為k（y﹣2）+2x﹣3y+6＝0，令2x?3y+6=0y?2=0【解答】解：直線2x+（k﹣3）y﹣2k+6＝0，即k（y﹣2）+2x﹣3y+6＝0，令2x?3y+6=0y?2=0，解得x＝0，y故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）．故答案為：（0，2）．4．（2022?安徽開學(xué)）直線l：（2m+1）x+（m+1）y＝3m+2（m∈R）經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)是（1，1）．【分析】將直線l轉(zhuǎn)化為m（2x+y﹣3）+x+y﹣2＝0，令2x+y?3=0x+y?2=0【解答】解：直線l：（2m+1）x+（m+1）y＝3m+2，即m（2x+y﹣3）+x+y﹣2＝0，令2x+y?3=0x+y?2=0，解得x＝1，y故直線l經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）．故答案為：（1，1）．5．（2022?成都開學(xué)）（1）已知直線l的方程為ax+（a﹣1）y+3＝0，求直線l恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)A（﹣2，3），B（3，﹣1），M（1，﹣2），若過點(diǎn)M的直線l與線段AB有公共交點(diǎn)，求直線l的斜率k的取值范圍．【分析】（1）由已知結(jié)合直線系方程可求；（2）先求出kMA，kMB，然后結(jié)合直線的位置關(guān)系可求．【解答】解：（1）由已知可得ax+ay﹣y+3＝0，即a（x+y）﹣y+3＝0，則x+y=0?y+3=0解得x＝﹣3，y＝3，所以直線l恒過定點(diǎn)（﹣3，3）；（2）因?yàn)閗MA=3+2?2?1=?53由過點(diǎn)M的直線l與線段AB有公共交點(diǎn)得k≤?53或k故k的取值范圍為{k|k≤?53或k【考點(diǎn)7：兩條直線平行的判定及應(yīng)用】【知識(shí)點(diǎn)：兩條直線平行的判定及應(yīng)用】直線方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)l1與l2平行的充分條件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)≠eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)l1與l2重合的充分條件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)1．（2022?鎮(zhèn)江開學(xué)）經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，1），且平行于直線y＝3x的直線方程為（）A．3x﹣y﹣10＝0 B．3x﹣y+10＝0 C．x+3y＝0 D．x﹣3y＝0【分析】由題意可設(shè)，所求直線方程為y＝3x+b，將點(diǎn)（﹣3，1）代入該直線，即可求解．【解答】解：由題意可設(shè)，所求直線方程為y＝3x+b，∵所求直線經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，1），∴1＝3×（﹣3）+b，解得b＝10，故所求直線方程為y＝3x+10．故選：B．2．（2022春?自貢期末）若直線x+ay﹣2＝0與直線a2x+y+1＝0平行，則a＝（）A．﹣1或0 B．﹣1 C．1或0 D．1【分析】分a＝0和a≠0兩種情況求解，根據(jù)兩直線平行時(shí)的斜率關(guān)系即可求出a的值．【解答】解：當(dāng)a＝0時(shí)，兩直線分別為x﹣2＝0，y+1＝0，此時(shí)兩直線垂直，不平行，不合題意，當(dāng)a≠0時(shí)，因?yàn)橹本€x+ay﹣2＝0與直線a2x+y+1＝0平行，所以1a2=綜上，a＝1，故選：D．3．（2022春?新邵縣校級(jí)月考）已知直線y＝mx﹣2與直線x+ny＝0平行，則m，n的關(guān)系為（）A．mn＝l B．mn+1＝0 C．m﹣n＝0 D．m﹣n+1＝0【分析】根據(jù)題意，將直線的方程變形為一般式方程，由直線平行的判斷方法分析mn的關(guān)系，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，直線y＝mx﹣2，即mx﹣y﹣2＝0，若直線y＝mx﹣2與直線x+ny＝0平行，則有mn﹣（﹣1）＝0，即mn+1＝0，故選：B．4．（2022?臨澧縣校級(jí)開學(xué)）已知直線l：mx+y﹣1＝0，直線n：2x+（m﹣1）y+2＝0，若l∥n，則實(shí)數(shù)m＝2．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線平行的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：直線l：mx+y﹣1＝0，直線n：2x+（m﹣1）y+2＝0，l∥n，則2m=m?1故答案為：2．5．（2021秋?成都期末）已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A（4，0），B（6，7），C（0，3）．（Ⅰ）求AC邊所在的直線方程；（Ⅱ）求經(jīng)過AB邊的中點(diǎn)，且與AC邊平行的直線l的方程．【分析】（Ⅰ）由A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)可以寫出直線AC斜率，再代入A、C中的一個(gè)點(diǎn)就可以求出AC方程．（Ⅱ）求出AB中點(diǎn)，l與AC平行，從而斜率相等，即可設(shè)出l，代入A、C中點(diǎn)求得l．【解答】解：（Ⅰ）由題意知AC斜率為k=3?00?4=?34，所以AC邊所在直線方程為y﹣0=?34（Ⅱ）由（Ⅰ）知l可設(shè)為3x+4y+m＝0，又AB邊中點(diǎn)為（5，72），將點(diǎn)（5，72）代入直線l的方程得3×5+4×72+m＝0，解得m＝﹣29，所以l6．（2021秋?泰州期末）已知兩條直線l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8．設(shè)m為實(shí)數(shù)，分別根據(jù)下列條件求m的值．（1）l1∥l2；（2）直線l2在x軸、y軸上截距之和等于6．【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合兩直線平行的公式，即可求解．（2）根據(jù)已知條件，分別令直線l2中的x＝0，y＝0，結(jié)合直線l2在x軸、y軸上截距之和等于6，即可求解．【解答】解：（1）∵l1//l2，l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8，∴（3+m）×（5+m）＝4×2，∴m＝﹣7，m＝﹣1，當(dāng)m＝﹣7時(shí)，l1：2x﹣2y+13＝0，l2：x﹣y﹣4＝0，此時(shí)l1//l2，當(dāng)m＝﹣1時(shí)，l1：x+2y﹣4＝0，l2：x+2y﹣4＝0，此時(shí)l1，l2重合，∴m＝﹣7．（2）l2：2x+（5+m）y＝8，令y＝0，則x＝4；令x＝0，則y=8直線l1在x軸、y軸上截距之和等于6，∴4+85+m=6【考點(diǎn)8：兩條直線垂直的判定及應(yīng)用】【知識(shí)點(diǎn)：兩條直線垂直的判定及應(yīng)用】直線方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)l1與l2垂直的充要條件A1A2＋B1B2＝01．（2022?遼寧開學(xué)）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A（0，4），且與直線2x﹣y﹣3＝0垂直，則直線l的方程是（）A．2x﹣y+4＝0 B．x+2y+8＝0 C．2x﹣y﹣4＝0 D．x+2y﹣8＝0【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)，求出直線l的斜率，再結(jié)合直線l經(jīng)過點(diǎn)A（0，4），即可求解．【解答】解：∵直線l與直線2x﹣y﹣3＝0垂直，∴直線l的斜率為?12∵直線l經(jīng)過點(diǎn)A（0，4），∴y=?12x+4，即x故選：D．2．（2022春?南充期末）“m＝1”是“直線l1：（m﹣4）x+my+1＝0與直線l2：mx+（m+2）y﹣2＝0互相垂直”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】利用直線垂直的性質(zhì)列出方程求出m，再根據(jù)充要條件的定義判斷即可．【解答】解：∵直線l1：（m﹣4）x+my+1＝0與直線l2：mx+（m+2）y﹣2＝0互相垂直，∴（m﹣4）m+m（m+2）＝0，∴2m2﹣2m＝0，∴m＝0或m＝1，∴m＝1是直線l1：（m﹣4）x+my+1＝0與直線l2：mx+（m+2）y﹣2＝0互相垂直的充分不必要條件，故選：A．3．（2022?成都開學(xué)）已知直線l1：2sinαx+y﹣1＝0，直線l2：x﹣cosαy+1＝0，若l1⊥l2，則tanα＝（）A．?12 B．12 【分析】結(jié)合直線垂直的條件及同角基本關(guān)系即可求解．【解答】解：因?yàn)閘1：2sinαx+y﹣1＝0，直線l2：x﹣cosαy+1＝0，l1⊥l2，所以2sinα﹣cosα＝0，則tanα=1故選：B．4．（2022春?澄城縣期末）已知直線l1：（m+2）x﹣（m﹣2）y+2＝0，直線l2：3x+（m+2）y﹣5＝0，若l1⊥l2，則m＝（）A．2或﹣5 B．﹣2或﹣5