北師大版2019選擇性必修第一冊(cè)專題6.4二項(xiàng)分布與超幾何分布(3類必考點(diǎn))(原卷版+解析)

專題6.4二項(xiàng)分布與超幾何分布TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考點(diǎn)1：二項(xiàng)分布的概率、均值與方差】 1【考點(diǎn)2：服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量概率最大問(wèn)題】 9【考點(diǎn)3：超幾何分布的概率、均值與方差】 14【考點(diǎn)1：二項(xiàng)分布的概率、均值與方差】【知識(shí)點(diǎn)：二項(xiàng)分布的概率、均值與方差】1．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次試驗(yàn)結(jié)果，則P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．2．二項(xiàng)分布在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是p，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率．在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．[方法技巧]求隨機(jī)變量X的均值與方差時(shí)，可首先分析X是否服從二項(xiàng)分布，如果X～B(n，p)，則用公式E(X)＝np；D(X)＝np(1－p)求解，可大大減少計(jì)算量．1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知X～Bn,p，且E3X?9=DA．n=18 B．n=16 C．p=14 2．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量從二項(xiàng)分布B1001,12A．P(X=k)=C1001kC．P(X>E(X))>12 D．PX=k3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品是經(jīng)過(guò)三道工序加工而成的，這三道工序互不影響，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品三道工序的次品率分別為110，111，(1)求該產(chǎn)品的次品率；(2)從該工廠生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中隨機(jī)抽取三件，記次品的件數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與期望EX4．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）為了豐富大學(xué)生的課外生活，某高校團(tuán)委組織了有獎(jiǎng)猜謎知識(shí)競(jìng)賽，共有500名學(xué)生參加，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將其整理后分成4組，各組區(qū)間為60，70，70，80，80(1)估計(jì)所有參賽學(xué)生的平均成績(jī)(各組的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中間值作代表)；(2)若團(tuán)委決定對(duì)所有參賽學(xué)生中成績(jī)排在前50名的學(xué)生進(jìn)行表彰，估計(jì)獲得表彰的學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)線.(3)以這100名學(xué)生成績(jī)不低于80分的頻率為概率，從參賽的500名學(xué)生中隨機(jī)選20名，其中參賽學(xué)生成績(jī)不低于80分的人數(shù)記為X，求X的方差.5．（2022春·重慶榮昌·高二重慶市榮昌永榮中學(xué)校?？计谀┠硨W(xué)校高三年級(jí)有400名學(xué)生參加某項(xiàng)體育測(cè)試，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[30,40),[40,50),?[90,100]，整理得到如下頻率分布直方圖：(1)若規(guī)定小于60分為“不及格”，從該學(xué)校高三年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)該學(xué)生不及格的概率；(2)若規(guī)定分?jǐn)?shù)在[80,90)為“良好”，90,100為“優(yōu)秀”.用頻率估計(jì)概率，從該校高三年級(jí)隨機(jī)抽取三人，記該項(xiàng)測(cè)試分?jǐn)?shù)為“良好”或“優(yōu)秀”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.6．（2023春·四川成都·高三成都七中?？奸_學(xué)考試）隨著人民生活水平的不斷提高，“衣食住行”愈發(fā)被人們所重視，其中對(duì)飲食的要求也愈來(lái)愈高．某地區(qū)為了解當(dāng)?shù)夭惋嬊闆r，隨機(jī)抽取了100人對(duì)該地區(qū)的餐飲情況進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查．請(qǐng)根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖（如圖）解決下列問(wèn)題．組別分組頻數(shù)頻率第1組50,60140.14第2組60,70m第3組70,80360.36第4組80,900.16第5組90,1004n合計(jì)(1)求m，n，x，y的值；(2)若將滿意度在80分以上的人群稱為“美食客”，將頻率視為概率，用樣本估計(jì)總體，從該地區(qū)中隨機(jī)抽取3人，記其中“美食客”的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．7．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）世界杯足球賽淘汰賽階段的比賽規(guī)則為：90分鐘內(nèi)進(jìn)球多的球隊(duì)取勝，如果參賽雙方在90分鐘內(nèi)無(wú)法決出勝負(fù)（踢成平局），將進(jìn)行30分鐘的加時(shí)賽，若加時(shí)賽階段兩隊(duì)仍未分出勝負(fù)，則進(jìn)入“點(diǎn)球大戰(zhàn)”．點(diǎn)球大戰(zhàn)的規(guī)則如下：①兩隊(duì)各派5名隊(duì)員，雙方輪流踢點(diǎn)球，累計(jì)進(jìn)球個(gè)數(shù)多者勝；②如果在踢滿5球前，一隊(duì)進(jìn)球數(shù)已多于另一隊(duì)踢5球可能踢中的球數(shù)，則該隊(duì)勝出，譬如：第4輪結(jié)束時(shí)，雙方進(jìn)球數(shù)比2:0，則不需踢第5輪了；③若前5輪點(diǎn)球大戰(zhàn)中雙方進(jìn)球數(shù)持平，則采用“突然死亡法”決出勝負(fù)，即從第6輪起，雙方每輪各派1人踢點(diǎn)球，若均進(jìn)球或均不進(jìn)球，則繼續(xù)下一輪．直到出現(xiàn)一方進(jìn)球另一方不進(jìn)球的情況，進(jìn)球方勝．現(xiàn)有甲乙兩隊(duì)在淘汰賽中相遇，雙方勢(shì)均力敵，120分鐘（含加時(shí)賽）仍未分出勝負(fù)，須采用“點(diǎn)球大戰(zhàn)”決定勝負(fù)．設(shè)甲隊(duì)每名球員射進(jìn)的概率為12，乙隊(duì)每名球員射進(jìn)的概率為2(1)設(shè)甲隊(duì)踢了5球，X為射進(jìn)點(diǎn)球的個(gè)數(shù)，求X的分布列與期望；(2)若每輪點(diǎn)球都由甲隊(duì)先踢，求在第四輪點(diǎn)球結(jié)束時(shí)，乙隊(duì)進(jìn)了4個(gè)球并剛好勝出的概率．8．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）近年來(lái)，我國(guó)加速推行垃圾分類制度，全國(guó)垃圾分類工作取得積極進(jìn)展．某城市推出了兩套方案，并分別在A，B兩個(gè)大型居民小區(qū)內(nèi)試行．方案一：進(jìn)行廣泛的宣傳活動(dòng)，通過(guò)設(shè)立宣傳點(diǎn)、發(fā)放宣傳單等方式，向小區(qū)居民和社會(huì)各界宣傳垃圾分類的意義，講解分類垃圾桶的使用方式，垃圾投放時(shí)間等，定期召開垃圾分類會(huì)議和知識(shí)宣傳教育活動(dòng)；方案二：智能化垃圾分類，在小區(qū)內(nèi)分別設(shè)立分類垃圾桶，垃圾回收前端分類智能化，智能垃圾桶操作簡(jiǎn)單，居民可以通過(guò)設(shè)備進(jìn)行自動(dòng)登錄、自動(dòng)稱重、自動(dòng)積分等一系列操作．建立垃圾分類激勵(lì)機(jī)制，比如，垃圾分類換積分，積分可兌換禮品等，激發(fā)了居民參與垃圾分類的熱情，帶動(dòng)居民積極主動(dòng)地參與垃圾分類．經(jīng)過(guò)一段時(shí)間試行之后，在這兩個(gè)小區(qū)內(nèi)各隨機(jī)抽取了100名居民進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，記錄他們對(duì)試行方案的滿意度得分（滿分100分），將數(shù)據(jù)分成6組：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)請(qǐng)通過(guò)頻率分布直方圖分別估計(jì)兩種方案滿意度的平均得分，判斷哪種方案的垃圾分類推廣措施更受居民歡迎（同一組中的數(shù)據(jù)用該組中間的中點(diǎn)值作代表）；(2)估計(jì)A小區(qū)滿意度得分的第80百分位數(shù)；(3)以樣本頻率估計(jì)概率，若滿意度得分不低于70分說(shuō)明居民贊成推行此方案，低于70分說(shuō)明居民不太贊成推行此方案．現(xiàn)從B小區(qū)內(nèi)隨機(jī)抽取5個(gè)人，用X表示贊成該小區(qū)推行方案的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【考點(diǎn)2：服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量概率最大問(wèn)題】【知識(shí)點(diǎn)：服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量概率最大問(wèn)題】1．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量從二項(xiàng)分布B1001,12A．P(X=k)=C1001kC．P(X>E(X))>12 D．PX=k2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）某家畜研究機(jī)構(gòu)發(fā)現(xiàn)每頭成年牛感染H型疾病的概率p=0.3，且每頭成年牛是否感染H型疾病相互獨(dú)立．設(shè)10頭成年牛中恰有k頭感染H型疾病的概率是gk，當(dāng)k為何值時(shí)，g3．（2023春·廣東·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）2022年“五一”期間，為推動(dòng)消費(fèi)市場(chǎng)復(fù)蘇，補(bǔ)貼市民，深圳市各區(qū)政府發(fā)放各類消費(fèi)券，其中某區(qū)政府發(fā)放了市內(nèi)旅游消費(fèi)券，該消費(fèi)券包含A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)旅游項(xiàng)目，甲、乙、丙、丁四人每人計(jì)劃從中任選兩個(gè)不同的項(xiàng)目參加，且他們的選擇互不影響．(1)求甲、乙、丙、丁這四個(gè)人中至少有一人選擇項(xiàng)目A的概率；(2)記X為這四個(gè)人中選擇項(xiàng)目A的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)如果將甲、乙、丙、丁四個(gè)人改為n個(gè)人(n>4)，其他要求相同，問(wèn)：這n個(gè)人中選擇項(xiàng)目A的人數(shù)最有可能是多少人？4．（2023春·廣東揭陽(yáng)·高三?？奸_學(xué)考試）某工廠生產(chǎn)一批零件，其直徑X滿足正態(tài)分布X～N10,0.25（單位：mm(1)現(xiàn)隨機(jī)抽取15個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)，認(rèn)為直徑在8.5,11.5之內(nèi)的產(chǎn)品為合格品，若樣品中有次品則可以認(rèn)定生產(chǎn)過(guò)程中存在問(wèn)題.求上述事件發(fā)生的概率，并說(shuō)明這一標(biāo)準(zhǔn)的合理性.（已知：P(μ?3σ<X<μ+3σ)=0.9973,0.9973(2)若在上述檢測(cè)中發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題，另抽取100個(gè)零件進(jìn)一步檢測(cè)，則這100個(gè)零件中的次品數(shù)最可能是多少？5．（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考期末）某次射擊比賽過(guò)關(guān)規(guī)定：每位參賽者最多有兩次射擊機(jī)會(huì)，第一次射擊擊中靶標(biāo)，立即停止射擊，比賽過(guò)關(guān)，得4分；第一次未擊中靶標(biāo)，繼續(xù)進(jìn)行第二次射擊，若擊中靶標(biāo)，立即停止射擊，比賽過(guò)關(guān)，得3分；若未擊中靶標(biāo)，比賽未能過(guò)關(guān)，得2分．現(xiàn)有12人參加該射擊比賽，假設(shè)每人兩次射擊擊中靶標(biāo)的概率分別為m，0.5，每人過(guò)關(guān)的概率為p．(1)求p（用m表示）；(2)設(shè)這12人中恰有9人通過(guò)射擊比賽過(guò)關(guān)的概率為fp，求fp取最大時(shí)p和(3)在（2）的結(jié)果下，求這12人通過(guò)射擊比賽過(guò)關(guān)所得總分的平均數(shù)．【考點(diǎn)3：超幾何分布的概率、均值與方差】【知識(shí)點(diǎn)：超幾何分布的概率、均值與方差】一般地，在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則即01...…其中，且。如果隨機(jī)變量的分布列具有上表形式，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布。在超幾何分布模型中，“任取件”是指“每次取一件不放回，共取件”，如果有放回的取則為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布。[方法技巧]求超幾何分布的分布列的步驟1．（2022春·河南三門峽·高二?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)老師從6道習(xí)題中隨機(jī)抽3道讓同學(xué)檢測(cè)，規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格．某同學(xué)只能求解其中的4道題，則他能及格的概率是（

）A．15 B．25 C．352．（2022春·山西呂梁·高二校聯(lián)考期中）已知10件產(chǎn)品中存在次品，從中抽取2件，記次品數(shù)為ξ，Pξ=1=1645，A．這10件產(chǎn)品的次品率為20% B．次品數(shù)為8件C．Eξ=0.4 3．（2022春·江蘇蘇州·高二蘇州中學(xué)校考期中）在一個(gè)袋中裝有質(zhì)地大小一樣的6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)小球，設(shè)取出的4個(gè)小球中黑球的個(gè)數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是（

）A．隨機(jī)變量X可能的取值為0，1，2，3，4，5，6 B．隨機(jī)變量X服從超幾何分布C．P(X＝0)＝P(X＝4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）某袋中裝有大小相同質(zhì)地均勻的黑球和白球共5個(gè)．從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球，已知恰全為黑球的概率為110，若記取出3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為X，則D[X]=5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某品牌手機(jī)廠為了更好地提升品牌的性能，進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，問(wèn)卷滿分為100分，現(xiàn)從中選出具有代表性的50份調(diào)查問(wèn)卷加以研究．現(xiàn)將這50份問(wèn)卷按成績(jī)分成如下五組：第一組[0,20)，3份；第二組[20,40)，8份；第三組[40,60)；第四組[60,80)；第五組[80,100)，4份；已知其中得分高于60分的問(wèn)卷份數(shù)為20．(1)在第二組與第四組問(wèn)卷中任取兩份，這兩份問(wèn)卷成績(jī)得分差不低于20分的概率；(2)如果在這50份調(diào)查問(wèn)卷中隨機(jī)取4份，其中及格份數(shù)記為隨機(jī)變量X，寫出X的分布列（結(jié)果只要求用組合數(shù)表示），并求出期望E(X)．6．（2023·江西上饒·統(tǒng)考一模）為了解某高校學(xué)生每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生每天平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖，將每天平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間不低于40分鐘的學(xué)生稱為“運(yùn)動(dòng)族”．(1)用樣本估計(jì)總體，已知某學(xué)生每天平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間不低于20分鐘，求該學(xué)生是“運(yùn)動(dòng)族”的概率；(2)從樣本里的“運(yùn)動(dòng)族”學(xué)生中隨機(jī)選取兩位同學(xué)，用隨機(jī)變量X表示每天平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間在40-50分鐘之間的學(xué)生數(shù)，求X的分布列及期望．7．（2022春·吉林松原·高二校考期末）冬奧會(huì)志愿者有6名男同學(xué)，4名女同學(xué).在這10名志愿者中，三名同學(xué)來(lái)自北京大學(xué)，其余7名同學(xué)來(lái)自北京郵電大學(xué)，北京交通大學(xué)等其他互不相同的7所大學(xué).現(xiàn)從這10名志愿者中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到機(jī)場(chǎng)參加活動(dòng).(每位同學(xué)被選中的可能性相等).(1)求選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同的大學(xué)的概率；(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的期望和方差.8．（2022秋·北京·高三北京八中?？茧A段練習(xí)）某學(xué)校在寒假期間安排了“垃圾分類知識(shí)普及實(shí)踐活動(dòng)”.為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，該校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生作為樣本進(jìn)行測(cè)試，記錄他們的成績(jī)，測(cè)試卷滿分100分，將數(shù)據(jù)分成6組：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)若全校學(xué)生參加同樣的測(cè)試，試估計(jì)全校學(xué)生的平均成績(jī)（每組成績(jī)用中間值代替）；(2)在樣本中，從其成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，用X表示其成績(jī)?cè)赱90,100]中的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)在（2）抽取的3人中，用Y表示其成績(jī)?cè)赱80,90)的人數(shù)，試判斷方差D(X)與D(Y)的大小.（直接寫結(jié)果）專題6.4二項(xiàng)分布與超幾何分布TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考點(diǎn)1：二項(xiàng)分布的概率、均值與方差】 1【考點(diǎn)2：服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量概率最大問(wèn)題】 9【考點(diǎn)3：超幾何分布的概率、均值與方差】 14【考點(diǎn)1：二項(xiàng)分布的概率、均值與方差】【知識(shí)點(diǎn)：二項(xiàng)分布的概率、均值與方差】1．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次試驗(yàn)結(jié)果，則P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．2．二項(xiàng)分布在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是p，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率．在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．[方法技巧]求隨機(jī)變量X的均值與方差時(shí)，可首先分析X是否服從二項(xiàng)分布，如果X～B(n，p)，則用公式E(X)＝np；D(X)＝np(1－p)求解，可大大減少計(jì)算量．1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知X～Bn,p，且E3X?9=DA．n=18 B．n=16 C．p=14 【答案】BD【分析】由題得3np?9=279np(1?p)=27【詳解】由題意可知3EX?9=9DX=27，則3np?9=279np(1?p)=27故選：BD2．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量從二項(xiàng)分布B1001,12A．P(X=k)=C1001kC．P(X>E(X))>12 D．PX=k【答案】AD【分析】結(jié)合二項(xiàng)分布的性質(zhì)，逐項(xiàng)計(jì)算，即可得到本題答案.【詳解】對(duì)A，P(X=k)=C對(duì)B，因?yàn)镻(X≤301)=k=0301P(X=k)，所以P(X≤301)=P(X≥700)，所以B錯(cuò)；對(duì)C，因?yàn)镋(X)=np=1001×1所以P(X>E(X))=PX>500.5對(duì)D，因?yàn)镻(X=k)=C1001k12故選：AD3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品是經(jīng)過(guò)三道工序加工而成的，這三道工序互不影響，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品三道工序的次品率分別為110，111，(1)求該產(chǎn)品的次品率；(2)從該工廠生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中隨機(jī)抽取三件，記次品的件數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與期望EX【答案】(1)1(2)分布列見解析，E【分析】（1）利用相互獨(dú)立事件的乘法概率計(jì)算公式能求出產(chǎn)品為正品的概率，即可由對(duì)立事件求次品概率（2）由題意得X=0，1，2，3，分別求出其相對(duì)應(yīng)的概率，能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【詳解】（1）產(chǎn)品正品的概率為：P=1?所以為次品的概率為1?（2）由題意得X=0，1，2，3，且X～B3,P(X=0)=3P(X=1)=CP(X=2)=CP(X=3)=1∴X的分布列如下：X0123P272791∴EX4．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）為了豐富大學(xué)生的課外生活，某高校團(tuán)委組織了有獎(jiǎng)猜謎知識(shí)競(jìng)賽，共有500名學(xué)生參加，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將其整理后分成4組，各組區(qū)間為60，70，70，80，80(1)估計(jì)所有參賽學(xué)生的平均成績(jī)(各組的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中間值作代表)；(2)若團(tuán)委決定對(duì)所有參賽學(xué)生中成績(jī)排在前50名的學(xué)生進(jìn)行表彰，估計(jì)獲得表彰的學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)線.(3)以這100名學(xué)生成績(jī)不低于80分的頻率為概率，從參賽的500名學(xué)生中隨機(jī)選20名，其中參賽學(xué)生成績(jī)不低于80分的人數(shù)記為X，求X的方差.【答案】(1)82分(2)95分(3)4.8【分析】（1）利用頻率分布直方圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，求出m，再求出這100名參賽學(xué)生的平均成績(jī)，由此估計(jì)出所有參賽學(xué)生的平均成績(jī)；（2）求出可以獲得表彰的學(xué)生人數(shù)的頻率，設(shè)獲得表彰的學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)線為x，根據(jù)條件建立關(guān)于x的方程求解即可；（3）根據(jù)條件,可知X~B【詳解】（1）由10×0.01+0.03+m+2m=1這100名參賽學(xué)生的平均成績(jī)約為0.01×10×65+0.03×10×75+0.04×10×85+0.02×10×95=82分，故估計(jì)所有參賽學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?2分.（2）獲得表彰的學(xué)生人數(shù)的頻率為50500設(shè)獲得表彰的學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)線為x，由分?jǐn)?shù)在區(qū)間90，100的頻率為10×0.02=0.2，可知由100?x×0.02=0.1，得x=95故估計(jì)獲得表彰的學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)線為95分.（3）這100名學(xué)生成績(jī)不低于80分的頻率為m+2m×10=0.6由題意，可知X~B故D5．（2022春·重慶榮昌·高二重慶市榮昌永榮中學(xué)校?？计谀┠硨W(xué)校高三年級(jí)有400名學(xué)生參加某項(xiàng)體育測(cè)試，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[30,40),[40,50),?[90,100]，整理得到如下頻率分布直方圖：(1)若規(guī)定小于60分為“不及格”，從該學(xué)校高三年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)該學(xué)生不及格的概率；(2)若規(guī)定分?jǐn)?shù)在[80,90)為“良好”，90,100為“優(yōu)秀”.用頻率估計(jì)概率，從該校高三年級(jí)隨機(jī)抽取三人，記該項(xiàng)測(cè)試分?jǐn)?shù)為“良好”或“優(yōu)秀”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)0.1(2)分布列見解析，期望為0.9.【分析】（1）由表可用1減去及格人數(shù)的概率得到不及格人數(shù)的概率.（2）設(shè)樣本中“良好”或“優(yōu)秀”為事件B,則P(B)=0.2+0.1=0.3,根據(jù)二項(xiàng)分布列出頻率分布列,計(jì)算數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）設(shè)“不及格”為事件A,則“及格”為事件A∴P(A)=1?P(A故該學(xué)生不及格的概率為0.1.（2）設(shè)“樣本中“良好”或“優(yōu)秀”為事件B,則P(B)=0.2+0.1=0.3依題意可知：X~B(3,0.3)PX=0=0.7P(X=2)=C所以,X的分布列為X0123P0.3430.4410.1890.027E(X)=np=3×0.3=0.96．（2023春·四川成都·高三成都七中?？奸_學(xué)考試）隨著人民生活水平的不斷提高，“衣食住行”愈發(fā)被人們所重視，其中對(duì)飲食的要求也愈來(lái)愈高．某地區(qū)為了解當(dāng)?shù)夭惋嬊闆r，隨機(jī)抽取了100人對(duì)該地區(qū)的餐飲情況進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查．請(qǐng)根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖（如圖）解決下列問(wèn)題．組別分組頻數(shù)頻率第1組50,60140.14第2組60,70m第3組70,80360.36第4組80,900.16第5組90,1004n合計(jì)(1)求m，n，x，y的值；(2)若將滿意度在80分以上的人群稱為“美食客”，將頻率視為概率，用樣本估計(jì)總體，從該地區(qū)中隨機(jī)抽取3人，記其中“美食客”的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)m=30，n=0.04，x=0.03，y=0.004(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為3【分析】（1）根據(jù)頻率分布表和頻率分布直方圖的定義列式求解即可.（2）ξ服從二項(xiàng)分布，即可根據(jù)公式求二項(xiàng)分布概率公式及期望公式求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意可得第四組的人數(shù)為100×0.16=16，所以m=100?14?36?16?4=30，n=4又60,70內(nèi)的頻率為30100=0.3，所以90,100內(nèi)的頻率為0.04，所以y=0.04（2）由頻率分布表可得該地區(qū)抽取“美食客”的概率為0.16+0.04=0.2，由題意ξ可取0，1，2，3，且ξ～B3,所以Pξ=0=CPξ=2=C所以ξ的分布列為：ξ0123P6448121Eξ7．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）世界杯足球賽淘汰賽階段的比賽規(guī)則為：90分鐘內(nèi)進(jìn)球多的球隊(duì)取勝，如果參賽雙方在90分鐘內(nèi)無(wú)法決出勝負(fù)（踢成平局），將進(jìn)行30分鐘的加時(shí)賽，若加時(shí)賽階段兩隊(duì)仍未分出勝負(fù)，則進(jìn)入“點(diǎn)球大戰(zhàn)”．點(diǎn)球大戰(zhàn)的規(guī)則如下：①兩隊(duì)各派5名隊(duì)員，雙方輪流踢點(diǎn)球，累計(jì)進(jìn)球個(gè)數(shù)多者勝；②如果在踢滿5球前，一隊(duì)進(jìn)球數(shù)已多于另一隊(duì)踢5球可能踢中的球數(shù)，則該隊(duì)勝出，譬如：第4輪結(jié)束時(shí)，雙方進(jìn)球數(shù)比2:0，則不需踢第5輪了；③若前5輪點(diǎn)球大戰(zhàn)中雙方進(jìn)球數(shù)持平，則采用“突然死亡法”決出勝負(fù)，即從第6輪起，雙方每輪各派1人踢點(diǎn)球，若均進(jìn)球或均不進(jìn)球，則繼續(xù)下一輪．直到出現(xiàn)一方進(jìn)球另一方不進(jìn)球的情況，進(jìn)球方勝．現(xiàn)有甲乙兩隊(duì)在淘汰賽中相遇，雙方勢(shì)均力敵，120分鐘（含加時(shí)賽）仍未分出勝負(fù)，須采用“點(diǎn)球大戰(zhàn)”決定勝負(fù)．設(shè)甲隊(duì)每名球員射進(jìn)的概率為12，乙隊(duì)每名球員射進(jìn)的概率為2(1)設(shè)甲隊(duì)踢了5球，X為射進(jìn)點(diǎn)球的個(gè)數(shù)，求X的分布列與期望；(2)若每輪點(diǎn)球都由甲隊(duì)先踢，求在第四輪點(diǎn)球結(jié)束時(shí)，乙隊(duì)進(jìn)了4個(gè)球并剛好勝出的概率．【答案】(1)分布列見解析，E(X)=(2)1【分析】（1）由題意知X～B(5,12)（2）由題意知甲乙兩隊(duì)比分為1：4或2：4，求出相應(yīng)的概率再相加即可.【詳解】（1）由題意知，X～B(5,12)P(X=0)=(12P(X=2)=C52(12所以X的分布列為X012345P155551E(X)=5×1（2）設(shè)“第四輪點(diǎn)球結(jié)束時(shí)，乙隊(duì)進(jìn)了4個(gè)球并勝出”為事件A，由題意知，甲乙兩隊(duì)比分為1：4或2：4，設(shè)“甲乙兩隊(duì)比分為1：4”為事件A1，“甲乙兩隊(duì)比分為2：4”為事件A若甲乙兩隊(duì)比分為1：4，則乙射進(jìn)4次，甲前三次射進(jìn)一次，第4次未進(jìn)，P(A若甲乙兩隊(duì)比分為2：4，則乙射進(jìn)4次，甲前四次射進(jìn)兩次，P(所以P(A)=P(A即在第四輪點(diǎn)球結(jié)束時(shí)，乙隊(duì)進(jìn)了4個(gè)球并勝出的概率為198．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）近年來(lái)，我國(guó)加速推行垃圾分類制度，全國(guó)垃圾分類工作取得積極進(jìn)展．某城市推出了兩套方案，并分別在A，B兩個(gè)大型居民小區(qū)內(nèi)試行．方案一：進(jìn)行廣泛的宣傳活動(dòng)，通過(guò)設(shè)立宣傳點(diǎn)、發(fā)放宣傳單等方式，向小區(qū)居民和社會(huì)各界宣傳垃圾分類的意義，講解分類垃圾桶的使用方式，垃圾投放時(shí)間等，定期召開垃圾分類會(huì)議和知識(shí)宣傳教育活動(dòng)；方案二：智能化垃圾分類，在小區(qū)內(nèi)分別設(shè)立分類垃圾桶，垃圾回收前端分類智能化，智能垃圾桶操作簡(jiǎn)單，居民可以通過(guò)設(shè)備進(jìn)行自動(dòng)登錄、自動(dòng)稱重、自動(dòng)積分等一系列操作．建立垃圾分類激勵(lì)機(jī)制，比如，垃圾分類換積分，積分可兌換禮品等，激發(fā)了居民參與垃圾分類的熱情，帶動(dòng)居民積極主動(dòng)地參與垃圾分類．經(jīng)過(guò)一段時(shí)間試行之后，在這兩個(gè)小區(qū)內(nèi)各隨機(jī)抽取了100名居民進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，記錄他們對(duì)試行方案的滿意度得分（滿分100分），將數(shù)據(jù)分成6組：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)請(qǐng)通過(guò)頻率分布直方圖分別估計(jì)兩種方案滿意度的平均得分，判斷哪種方案的垃圾分類推廣措施更受居民歡迎（同一組中的數(shù)據(jù)用該組中間的中點(diǎn)值作代表）；(2)估計(jì)A小區(qū)滿意度得分的第80百分位數(shù)；(3)以樣本頻率估計(jì)概率，若滿意度得分不低于70分說(shuō)明居民贊成推行此方案，低于70分說(shuō)明居民不太贊成推行此方案．現(xiàn)從B小區(qū)內(nèi)隨機(jī)抽取5個(gè)人，用X表示贊成該小區(qū)推行方案的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)方案一，二的滿意度平均得分分別為72.6，76.5，且方案二的措施更受居民歡迎；(2)第80百分位數(shù)為85分；(3)分布列見解析，4.【分析】（1）由頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)即可；（2）根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可；（3）由題意可得X滿足二項(xiàng)分布，然后進(jìn)行求解分布列和期望.【詳解】（1）設(shè)A小區(qū)方案一的滿意度平均分為x，則x=(45×0.006+55×0.014+65×0.018+75×0.032+85×0.020+95×0.010)×10=72.6設(shè)B小區(qū)方案二的滿意度平均分為y，則y=(45×0.005+55×0.005+65×0.010+75×0.040+85×0.030+95×0.010)×10=76.5因?yàn)?2.6<76.5，所以方案二的垃圾分類推行措施更受居民歡迎；（2）因?yàn)榍?組的頻率之和為0.06+0.14+0.18+0.32=0.7<0.8，前5組的頻率之和為0.06+0.14+0.18+0.32+0.2=0.9>0.8，所以第80百分位數(shù)在第5組，設(shè)第80百分位數(shù)為x，則0.7+(x?80)×0.020=0.8，解得x=85，所以A小區(qū)滿意度得分的第80百分位數(shù)為85分；（3）由題意可知方案二中，滿意度不低于70分的頻率為0.040+0.030+0.010×10=0.8，低于70分的頻率為0.005+0.005+0.010現(xiàn)從B小區(qū)內(nèi)隨機(jī)抽取5個(gè)人，則X～B5,45PX=0=CPX=2=CPX=4=C所以X的分布列為X012345P14321282561024由二項(xiàng)分布知數(shù)學(xué)期望EX【考點(diǎn)2：服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量概率最大問(wèn)題】【知識(shí)點(diǎn)：服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量概率最大問(wèn)題】1．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量從二項(xiàng)分布B1001,12A．P(X=k)=C1001kC．P(X>E(X))>12 D．PX=k【答案】AD【分析】結(jié)合二項(xiàng)分布的性質(zhì)，逐項(xiàng)計(jì)算，即可得到本題答案.【詳解】對(duì)A，P(X=k)=C對(duì)B，因?yàn)镻(X≤301)=k=0301P(X=k)，所以P(X≤301)=P(X≥700)，所以B錯(cuò)；對(duì)C，因?yàn)镋(X)=np=1001×1所以P(X>E(X))=PX>500.5對(duì)D，因?yàn)镻(X=k)=C1001k12故選：AD2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）某家畜研究機(jī)構(gòu)發(fā)現(xiàn)每頭成年牛感染H型疾病的概率p=0.3，且每頭成年牛是否感染H型疾病相互獨(dú)立．設(shè)10頭成年牛中恰有k頭感染H型疾病的概率是gk，當(dāng)k為何值時(shí)，g【答案】k=3【分析】首先得出概率通式是gk=C10kpk【詳解】10頭成年牛中恰有k頭感染H型疾病的概率是gk=C因?yàn)間kgk?1=C10k當(dāng)3.3?k>0，即k<3.3（k≥1，且k∈N）時(shí)，gkg當(dāng)3.3?k<0，即k>3.3（k≤10，且k∈N）時(shí)，gkg于是g0<g1<g23．（2023春·廣東·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）2022年“五一”期間，為推動(dòng)消費(fèi)市場(chǎng)復(fù)蘇，補(bǔ)貼市民，深圳市各區(qū)政府發(fā)放各類消費(fèi)券，其中某區(qū)政府發(fā)放了市內(nèi)旅游消費(fèi)券，該消費(fèi)券包含A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)旅游項(xiàng)目，甲、乙、丙、丁四人每人計(jì)劃從中任選兩個(gè)不同的項(xiàng)目參加，且他們的選擇互不影響．(1)求甲、乙、丙、丁這四個(gè)人中至少有一人選擇項(xiàng)目A的概率；(2)記X為這四個(gè)人中選擇項(xiàng)目A的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)如果將甲、乙、丙、丁四個(gè)人改為n個(gè)人(n>4)，其他要求相同，問(wèn)：這n個(gè)人中選擇項(xiàng)目A的人數(shù)最有可能是多少人？【答案】(1)65(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為4(3)答案見解析.【分析】（1）由題得到每個(gè)人選擇項(xiàng)目A的概率，即可求解；（2）根據(jù)題意可得到X服從二項(xiàng)分布：X～B4,（3）設(shè)選擇項(xiàng)目A的人數(shù)最有可能為k人，則通過(guò)PX=k≥PX=k+1PX=k≥PX=k?1可得n?2【詳解】（1）由題意可知，每個(gè)人選擇項(xiàng)目A的概率為C51C62故甲、乙、丙、丁這4個(gè)人中至少有一人選擇項(xiàng)目A的概率為1?（2）由（1）可知，每個(gè)人選擇項(xiàng)目A的概率為C51C故X服從二項(xiàng)分布：X～B4,所以PX=kPX=0=2PX=2=C42則X的概率分布列為：X0124P163281∴X的數(shù)學(xué)期望EX（3）設(shè)選擇項(xiàng)目A的人數(shù)最有可能為k人，則PX=k∵PX=k∴Cnk即2n!k!n?k!解得n?23又∵k∈N，所以當(dāng)n=3m+2，m∈N+時(shí)，則不等式為則當(dāng)k=m或k=m+1，即當(dāng)n被3除余2時(shí)，選擇項(xiàng)目A的人數(shù)最有可能是n?23人和n+1當(dāng)n=3m+1，m∈N+且m≥2時(shí)，則不等式為則k=m，即當(dāng)n被3除余1時(shí)，選擇項(xiàng)目A的人數(shù)最有可能是n?13當(dāng)n=3m，m∈N+且m≥2時(shí)，則不等式為k=m，即當(dāng)n被3整除時(shí)，選擇項(xiàng)目A的人數(shù)最有可能是n34．（2023春·廣東揭陽(yáng)·高三?？奸_學(xué)考試）某工廠生產(chǎn)一批零件，其直徑X滿足正態(tài)分布X～N10,0.25（單位：mm(1)現(xiàn)隨機(jī)抽取15個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)，認(rèn)為直徑在8.5,11.5之內(nèi)的產(chǎn)品為合格品，若樣品中有次品則可以認(rèn)定生產(chǎn)過(guò)程中存在問(wèn)題.求上述事件發(fā)生的概率，并說(shuō)明這一標(biāo)準(zhǔn)的合理性.（已知：P(μ?3σ<X<μ+3σ)=0.9973,0.9973(2)若在上述檢測(cè)中發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題，另抽取100個(gè)零件進(jìn)一步檢測(cè)，則這100個(gè)零件中的次品數(shù)最可能是多少？【答案】(1)見解析；(2)0.【分析】（1）P8.5<X<11.5=0.9973，故至少有1個(gè)次品的概率為（2）次品的概率為1?0.9973=0.0027，設(shè)次品數(shù)為Y,則Y~B100,p，其中p=0.0027，設(shè)次品數(shù)最可能是k件，則C【詳解】（1）因?yàn)閄～N10,0.52所以隨機(jī)抽取15個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)，至少有1個(gè)次品的概率為1?0.9973如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，至少有一個(gè)次品的概率約為0.0397，該事件是小概率事件，因此一旦發(fā)生這種狀況，就有理由認(rèn)定生產(chǎn)過(guò)程中存在問(wèn)題，即這一標(biāo)準(zhǔn)是合理的.（2）次品的概率為1?0.9973=0.0027，抽取100個(gè)零件進(jìn)一步檢測(cè)，設(shè)次品數(shù)為Y,則Y~B100,p，其中p=0.0027故PY=k設(shè)次品數(shù)最可能是k件，則C100即100!k!即pk≥1?p因?yàn)閜=0.0027，所以101p=0.2727,101p?1=?0.7273，故k=0.故這100個(gè)零件中的次品數(shù)最可能是0.5．（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考期末）某次射擊比賽過(guò)關(guān)規(guī)定：每位參賽者最多有兩次射擊機(jī)會(huì)，第一次射擊擊中靶標(biāo)，立即停止射擊，比賽過(guò)關(guān)，得4分；第一次未擊中靶標(biāo)，繼續(xù)進(jìn)行第二次射擊，若擊中靶標(biāo)，立即停止射擊，比賽過(guò)關(guān)，得3分；若未擊中靶標(biāo)，比賽未能過(guò)關(guān)，得2分．現(xiàn)有12人參加該射擊比賽，假設(shè)每人兩次射擊擊中靶標(biāo)的概率分別為m，0.5，每人過(guò)關(guān)的概率為p．(1)求p（用m表示）；(2)設(shè)這12人中恰有9人通過(guò)射擊比賽過(guò)關(guān)的概率為fp，求fp取最大時(shí)p和(3)在（2）的結(jié)果下，求這12人通過(guò)射擊比賽過(guò)關(guān)所得總分的平均數(shù)．【答案】(1)p=0.5+0.5m(2)p=0.75,m=0.5(3)39【分析】(1)利用對(duì)立事件概率的計(jì)算公式，用相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算公式能求出每位大學(xué)生射擊測(cè)試過(guò)關(guān)的概率.(2)求出f(p)=C129p9(1?p)3,(0<p<1)，通過(guò)求導(dǎo)可求得取到最大值時(shí)的【詳解】（1）每位大學(xué)生射擊過(guò)關(guān)的概率為：p=1?(1?m)(1?0.5)=0.5+0.5m.（2）f(p)=C129p9(1?p)3,(0<p<1)，f'(p)=C1299p8(1?p)3?3p9(1?p)2=3C129p8(1?p)2(3?4p)，令f'(p)=0，則p=1或（3）設(shè)一位大學(xué)生射擊過(guò)關(guān)測(cè)試所得分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X，則X的可能取值為4,3,2，則p(X=4)=0.5，p(X=3)=1?0.5×0.5=0.25，p(X=2)=1?0.5×1?0.5【考點(diǎn)3：超幾何分布的概率、均值與方差】【知識(shí)點(diǎn)：超幾何分布的概率、均值與方差】一般地，在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則即01...…其中，且。如果隨機(jī)變量的分布列具有上表形式，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布。在超幾何分布模型中，“任取件”是指“每次取一件不放回，共取件”，如果有放回的取則為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布。[方法技巧]求超幾何分布的分布列的步驟1．（2022春·河南三門峽·高二?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)老師從6道習(xí)題中隨機(jī)抽3道讓同學(xué)檢測(cè)，規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格．某同學(xué)只能求解其中的4道題，則他能及格的概率是（

）A．15 B．25 C．35【答案】D【分析】由超幾何分布的概率公式結(jié)合排列組合即可求得．【詳解】由超幾何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=C故選：D．2．（2022春·山西呂梁·高二校聯(lián)考期中）已知10件產(chǎn)品中存在次品，從中抽取2件，記次品數(shù)為ξ，Pξ=1=1645，A．這10件產(chǎn)品的次品率為20% B．次品數(shù)為8件C．Eξ=0.4 【答案】ACD【分析】假設(shè)次品為n件，由Pξ=1=1645求得次品n及次品率，再分別求的【詳解】假設(shè)10件產(chǎn)品中存在次品為n件，從中抽取2件，Pξ=1這10件產(chǎn)品的次品率為21010件產(chǎn)品中存在2件次品，從中抽取2件，記次品數(shù)為ξ，則ξ的可能取值為0，1，2，Pξ=0則EξDξ故選：ACD.3．（2022春·江蘇蘇州·高二蘇州中學(xué)?？计谥校┰谝粋€(gè)袋中裝有質(zhì)地大小一樣的6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)小球，設(shè)取出的4個(gè)小球中黑球的個(gè)數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是（

）A．隨機(jī)變量X可能的取值為0，1，2，3，4，5，6 B．隨機(jī)變量X服從超幾何分布C．P(X＝0)＝P(X＝【答案】BD【分析】根據(jù)題意知隨機(jī)變量X服從超幾何分，利用超幾何分布的性質(zhì)，再結(jié)合離散型隨機(jī)變量的方差公式即可求解.【詳解】根據(jù)超幾何分布的定義知，隨機(jī)變量X服從超幾何分布，故B正確；由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，4，故A不正確；P(X=0)=C44CP(X=3)=C63所以P(X=0)≠P(X=4)，故C不正確；E(X)=0×1D(X)=故選：BD.4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）某袋中裝有大小相同質(zhì)地均勻的黑球和白球共5個(gè)．從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球，已知恰全為黑球的概率為110，若記取出3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為X，則D[X]=【答案】9【分析】黑球的個(gè)數(shù)為n，通過(guò)從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球，恰全為黑球的概率為110，求出n，然后求解記取出3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為X【詳解】解：設(shè)黑球的個(gè)數(shù)為n，由p=Cn3記取出3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為X，X的取值可以為1，2，3；P(X=1)=C22C3則X分布列如下：X123P331所以E[X]=3則D[X]=3故答案為：9255．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某品牌手機(jī)廠為了更好地提升品牌的性能，進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，問(wèn)卷滿分為100分，現(xiàn)從中選出具有代表性的50份調(diào)查問(wèn)卷加以研究．現(xiàn)將這50份問(wèn)卷按成績(jī)分成如下五組：第一組[0,20)，3份；第二組[20,40)，8份；第三組[40,60)；第四組[60,80)；第五組[80,100)，4份；已知其中得分高于60分的問(wèn)卷份數(shù)為20．(1)在第二組與第四組問(wèn)卷中任取兩份，這兩份問(wèn)卷成績(jī)得分差不低于20分的概率；(2)如果在這50份調(diào)查問(wèn)卷中隨機(jī)取4份，其中及格份數(shù)記為隨機(jī)變量X，寫出X的分布列（結(jié)果只要求用組合數(shù)表示），并求出期望E(X)．【答案】(1)3269(2)分布列見解析，85【分析】（1）由題意可得第四組有16份問(wèn)卷，所取兩份問(wèn)卷分差不低于20分，故在第二組與第四組中各取一人，由古典概型的計(jì)算公式即可求解；（2）隨機(jī)變量X取值為0，1，2，3，4，求出各變量對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列與期望.【詳解】（1）由于成績(jī)?cè)赱80,100]的問(wèn)卷為4份，又得分高于60分的問(wèn)卷份數(shù)為20，故第四組有16份問(wèn)卷.由于所取兩份問(wèn)