八年級初二數(shù)學下學期平行四邊形單元 期末復習同步練習試題

八年級初二數(shù)學下學期平行四邊形單元期末復習同步練習試題

一、選擇題

1.如圖，在菱形ABC。中，點R為邊A3的中點，。尸與對角線AC交于點G,過點G

作GE1A。于點E,若48=2,且N1=N2,則下列結論不正確的是（）

A.DF±ABB.CG=2GAC.CG=DF+GED.S四邊形所0c

2.如圖，已知正方形ABC。的邊長為8,點E,尸分別在邊BC、CO上,

ZEAF=45°.當七尸=8時，4EF的面積是（）.

A.8B.16C.24D.32

3.如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,且AD>BC,BC=6cm,AD=9cm,P、Q分別從A、C同時出

發(fā),P以lcm/s的速度由A向D運動,Q以2cm/s的速度由C向B運動，多少s時直線將四邊

形ABCD截出一個平行四邊形（）

A.1B.2C.3D.2或3

4.如圖，點E在正方形A8C。外，連接AE,BE,DE,過點A作AE的垂線交OE于

F,若AE=AF=4i,BF=M，則下列結論不正確的是（）

A.zVIFDsMEBB.點B到直線AE的距離為2

C.EBJ.EDD.SMFD+SAAFB=1+V^

5.如圖，E是邊長為2的正方形43C。的對角線AC上一點，且AE=4B,F為BE上

任意一點，F(xiàn)GAAC于點G,尸"_143于點〃，則尸6+尸〃的值是（）

A.-B.72C.2D.1

6.如圖所示，在周長是10cm的ABCD中，AB*AD,AC>B￡>相交于點。，點E

在AO邊上，且是AASE的周長是（）

AE_______D

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

7.如圖，矩形ABC。中，AB=4,AD=3,.折疊紙片使點。落在AC邊上的加處，

折痕為A”,則C”的長為（）

DHC

囪

.1u

53

A.-B.2C?—D.1

22

8.如圖，點P,Q分別是菱形ABCD的邊AD,BC上的兩個動點，若線段PQ長的最大值為

8石，最小值為8,則菱形ABCD的邊長為（）

一

A.476B.10C.12D.16

9.如圖，正方形ABCD的邊長為10,AG=CH=8,BG=DH=6,連接GH,則線段GH的長為

（）

10.如圖，矩形ABCD的面積為20cm2,對角線相交于點。.以AB、AO為鄰邊畫平行四邊

形AOQB,對角線相交于點O;以AB、A。為鄰邊畫平行四邊形AOiCzB,對角線相交于點

02：......以此類推，則平行四邊形AO,CsB的面積為（）

二、填空題

11.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E為邊CD的中點，點尸在線段AB

上運動，尸是CP的中點，則ACE尸的周長的最小值是.

12.如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，若重合部分構成的四邊形A6CO中,

AB=3,AC=2,則BD的長為.

13.如圖，四邊形ABCD是菱形，NDAB=48°,對角線AC,BD相交于點。，OH_LA8于

H,連接。H,貝ljNDHO=度.

D

14.如圖，在等邊ABC和等邊OEF中，在直線AC上，BC=3￡>E=3,連接

BD,BE,則BD+BE的最小值是.

15.菱形。8CD在平面直角坐標系中的位置如圖所示，頂點B（2石，0）,ZDOB=

60°,點P是對角線。C上一個動點，E（0,-1）,則EP十BP的最小值為

16.如圖，菱形ABC。的邊長是4,NA8C=60°,點E,F分別是AB,邊上的

動點（不與點A,B,。重合），且BE=BF,若EGHBC,FGHAB,EG與EG相

交于點G,當AOG為等腰三角形時，8E的長為.

17.如圖，在平行四邊形ABCD中，AC±AB,AC與BD相交于點O,在同一平面內將AABC

沿AC翻折，得到△ABC若四邊形ABCD的面積為24cm2,則翻折后重疊部分（即S^ACE）

的面積為cm2.

B'

18.如圖，已知在AABC中，AB=AC=13,BC=10,點M是AC邊上任意一點，連接MB,以

MB、MC為鄰邊作平行四邊形MCNB,連接MN,則MN的最小值是

19.在菱形A8CD中，M是AD的中點，AB=4,N是對角線AC上一動點，△DMN的周長

最小是2+2g，則8。的長為.

B

D

20.如圖，在四邊形ABCO中，AD//8cAD=5,8C=18,E是8C的中點.點P以每秒

1個單位長度的速度從點4出發(fā)，沿AO向點。運動;點。同時以每秒3個單位長度的速度

從點。出發(fā)，沿C5向點8運動.點P停止運動時，點。也隨之停止運動，當運動時間為

/秒時，以點為頂點的四邊形是平行四邊形，貝V的值等于.

三、解答題

21.已知，四邊形ABCD是正方形，點E是正方形ABCD所在平面內一動點（不與點。重

合），AB^AE,過點8作DE的垂線交。E所在直線于F,連接CF.

DC

提出問題：當點E運動時;線段CF與線段。E之間的數(shù)量關系是否發(fā)生改變？

探究問題：

（1）首先考察點E的一個特殊位置：當點E與點8重合（如圖①）時，點F與點B也重

合.用等式表示線段CF與線段DE之間的數(shù)量關系：_；

（2）然后考察點E的一般位置，分兩種情況：

情況1:當點E是正方形ABCD內部一點（如圖②）時；

情況2：當點E是正方形ABCD外部一點（如圖③）時.

在情況1或情況2下，線段CF與線段DE之間的數(shù)量關系與（1）中的結論是否相同？如

果都相同，請選擇-一種情況證明：如果只在一種情況下相同或在兩種情況下都不相同，請

說明理由；

拓展問題：

（3）連接AF,用等式表示線段AF、CF、OF三者之間的數(shù)量關系：

22.如圖，點E為必BCD的邊AD上的一點，連接EB并延長，使8F=8E,連接EC并延

長，使CG=CE,連接FG."為FG的中點，連接D”，AF.

（1）若N8AE=70。，ZDCE=20°,求/DEC的度數(shù)；

（2）求證：四邊形AFH。為平行四邊形；

（3）連接EH,交BC于點。，若。C=OH,求證：EF±EG.

連線的方法，分別在圖(1)、圖(2)中按要求作圖(保留作圖痕跡，不寫作法).

(1)在如圖(1)的邊上求作一點N,連接CN,使CV=40；

(2)在如圖(2)的AO邊上求作一點Q,連接C。，使CQPAM.

24.共頂點的正方形ABCD與正方形AEFG中，48=13,AE=572.

(1)如圖1,求證：DG=BE；

(2)如圖2,連結BF,以8F、8c為一組鄰邊作平行四邊形8CHF.

①連結8H,BG,求——的值；

BG

②當四邊形8C”F為菱形時，直接寫出8”的長.

25.已知，如圖，在三角形A4BC中，AB^AC=20cm,8。_LAC于。，且

5O=16cvn.點M從點A出發(fā)，沿AC方向勻速運動，速度為4cm/s；同時點P由B

點出發(fā)，沿8A方向勻速運動，速度為Icm/s,過點P的動直線PQ//AC,交BC于點

Q,連結PM,設運動時間為f(s)(0<r<5),解答下列問題：

備用圖

(1)線段AO=cm-

(2)求證：PB=PQ-

（3）當t為何值時，以Q、D、M為頂點的四邊形為平行四邊形？

26.如圖，在正方形ABCD中，點E是BC邊所在直線上一動點（不與點8、C重合），過

點B作BF1.0E,交射線0E于點F,連接CF.

備用圖

（1）如圖，當點E在線段BC上時，ZBDF=a.

①按要求補全圖形；

②ZEBF=（用含a的式子表示）；

③判斷線段BF,CF,DF之間的數(shù)量關系，并證明.

（2）當點E在直線BC上時，直接寫出線段BF,CF,DF之間的數(shù)量關系，不需證明.

27.如圖，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，點E在邊AD所在的直線上，連接CE,以

CE為邊，作正方形CEFG（點C、E、F、G按逆時針排列），連接BF.

（1）如圖1,當點E與點D重合時，BF的長為；

（2）如圖2,當點E在線段AD上時，若AE=1,求BF的長；（提示：過點F作BC的垂

線，交BC的延長線于點M,交AD的延長線于點N.）

（3）當點E在直線AD上時，若AE=4,請直接寫出BF的長.

28.已知E,F分別為正方形ABCD的邊BC,CD上的點，AF,DE相交于點G,當E,F分

別為邊BC,CD的中點時，有：①AF=DE；②AF,DE成立.

試探究下列問題：

(1)如圖1,若點E不是邊BC的中點，F(xiàn)不是邊CD的中點，且CE=DF,上述結論①，

②是否仍然成立？(請直接回答"成立"或"不成立")，不需要證明)

(2)如圖2,若點E,F分別在CB的延長線和DC的延長線上，且CE=DF,此時，上述結

論①，②是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由；

(3)如圖3,在(2)的基礎上，連接AE和BF,若點M,N,P,Q分別為AE,EF,FD,

AD的中點，請判斷四邊形MNPQ是"矩形、菱形、正方形”中的哪一種，并證明你的結論.

29.如圖，在矩形ABCD中，AD=nAB,E,F分別在A8,8c上.

(1)若n=l,AF±DE.

①如圖1,求證：AE=BF；

②如圖2,點G為CB延長線上一點，0E的延長線交AG于若AH=AD,求證：AE+BG

=AG；

CF

(2)如圖3,若E為AB的中點，ZADE=NEDF.則—的值是(結果用

30.如圖，在矩形ABC。中，AB=a,8C=6,點口在ZX7的延長線上，點E在AD

上，且有

2

(1)如圖1,當。=匕時，若NCBE=60°,求證：BE=BF；

3

(2)如圖2,當匕=一。時，

2

①請直接寫出NABE與N8尸C的數(shù)量關系：；

②當點E是AD中點時，求證：CF+BF=2a；

③在②的條件下，請直接寫出S/F:S矩形相8的值.

【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除

一、選擇題

1.D

解析：D

【分析】

A、由四邊形ABCD是菱形，得出對角線平分對角，求得NGAD=N2,得出AG=GD,

AE=ED,由SAS證得4AFG絲Z^AEG,得出NAFG=/AEG=90°,即可得出A正確；

B、由DF_LAB,F為邊AB的中點，證得AD=BD,證出4ABD為等邊三角形，得出

ZBAC=Z1=Z2=3O°,由AC=2A8-cosNBAC,AG=-------------，求出AC,

cosNBAC

AG,即可得出B正確；

C、由勾股定理求出￡)/?=-A/7?，由GE=tan/2?ED求出GE,即可得出C正確;

D、四邊形BFGC的面積=Z\ABC的面積-Z\AGF的面積，可以發(fā)現(xiàn)D不對.

【詳解】

解：?.?四邊形A8CO是菱形，

ZFAG=ZEAG,Zl=ZGAD,AB=AD，

Zl=Z2,

NGAD=Z2,

AG=GD.

GE1AD,

：.GE垂直平分AO.

AE-ED.

點尸為AB的中點，

AF^AE.

易證AAFG三AAEG(SAS).

：.ZAFG=ZAFG=90°.

DF_LAB故A正確.

_LAB,點尸為AB的中點，

AF^-AB=1,AD=BD.

2

AD=BD=AB，

：.ABO為等邊三角形.

NBAD=ABCD=60°.

N84C=N1=N2=3O。.

：.AC=2ABcosZBAC=2x2x—=2>/3，

2

_AF12百

AG=---------------==------

cosABAC>/33?

T

.ACATFi2G46

33

:.CG=2GA,故B正確.

GE垂直平分AO,

:.ED=-AD=\,

2

DF=VAD2-AF2=y/3>

h

...GE=tanN2ED=lxtan30°=上.

3

：.DF+GE=43+—=—=CG.故C正確.

33

N54C=N1=3O。，48c的邊AC上的高等于AB的一半，即為1,

“1cE

FCJ——AG=,

23

S^iilK.BFGC-S&ABC~SAGF=*26X1-;X1X,故D不止確.

2236

【點睛】

本題考查了菱形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、三角函數(shù)、線段垂直平分

線的性質、含30°角的直角三角形的性質等知識；本題綜合性強，有一定難度.

2.D

解析：D

【分析】

如圖：ZXADF繞點A順時針旋轉90°,得到AABH,可得AH=AF,ZBAH-ZDAF,進

一步求出NEAH=NEAF=45°,再利用"邊角邊"證明4AEF和aAEH全等，再根據全等三

角形的面積相等，即可解答.

【詳解】

解：如圖，將4ADF繞點A順時針旋轉90°,得到△ABH,

根據旋轉的性質可得：AH=AF,NBAH=/DAF,

；NEAF=45°,/BAD=90°

.?.NEAH=/EAF=45°

在AAEF和AAEH中

AF=AHZEAH=ZEAF=45°,AE=AE

.,.△AEF^AAEH(SAS),

，EH=EF=8,

1

SAFE=SZ\AEH=--x8X8=32.

2

故選：D.

【點睛】

本題考查了正方形和全等三角形的判定與性質，熟記并靈活應用它們的性質并利用旋轉作

輔助線、構造出全等三角形是解題的關鍵.

3.D

解析：D

【解析】

【分析】

根據題意設t秒時，直線將四邊形ABCD截出一個平行四邊形，AP=t,DP=9-t,CQ=2t,BQ=6-

2t.要使成平行四邊形，則就有AP=BQ或CQ=PD,計算即可求出t值.

【詳解】

根據題意設t秒時，直線將四邊形ABCD截出一個平行四邊形

則AP=t,DP=9-t,CQ=2t,BQ=6-2t

要使構成平行四邊形

則：AP=BQ或CQ=PD

進而可得：t=6-2t或2f=9—f

解得f=2或t=3

故選D.

【點睛】

本題主要考查四邊形中的動點移動問題，關鍵在于根據平行四邊形的性質列出方程求解即

可.

4.B

解析：B

【分析】

A、首先利用已知條件根據邊角邊可以證明△APDgAAEB；

B、利用全等三角形的性質和對頂角相等即可解答；

C、由(1)可得NBEF=90°,故BE不垂直于AE過點B作BP_LAE延長線于P,由①得

ZAEB=1350所以/PEB=45°,所以4EPB是等腰內△,于是得到結論；

D、根據勾股定理和三角形的面積公式解答即可.

【詳解】

解：在正方形ABCD中，AB=AD,

VAF±AE,

/BAE+NBAF=90°,

又：/DAF+/BAF=/BAD=90°,

/BAE=NDAF,

在AAFD和AAEB中，

AE^AF

<NBAE=NDAF

AB=AD

.".△AFD^AAEB(SAS),故A正確；

VAE=AF,AF1AE,

.?.△AEF是等腰直角三角形，

NAEF=NAFE=45°,

/AEB=/AFD=180°-45°=135°,

/BEF=135°-45°=90°,

；.EB_LED,故C正確;

VAE=AF=V2>

???FE=0AE=2,

在Rt^FBE中，BE=，F(xiàn)B2-FE?=J10_4=#，

.".SAAPD+SAAPB=SAAPE+SABPE,

=—xV2+—x2xV6

22

=1+#),故D正確；

過點B作BP1AE交AE的延長線于P,

?/NBEP=180°-135°=45°,

.??△BEP是等腰直角三角形，

:.BP="x瓜=#),

2

即點B到直線AE的距離為6,故B錯誤，

故選：B.

【點睛】

本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，勾

股定理的應用，綜合性較強，難度較大，熟記性質并仔細分析圖形，理清圖中三角形與角

的關系是解題的關鍵.

5.B

解析：B

【分析】

過點E作EM_LAB,連接AF,先求出EM,由S?ABE=AB?EM=AE?GF+'AB?FH,可得

222

FG+FH=EM,則FG+FH的值可求.

【詳解】

解：如圖，過點E作EM_LAB,連接AF,

:四邊形ABCD是正方形，

AZACB=45°,

...△AEM是等腰直角三角形，

VAB=AE=2,

???AM2+EM2=2EM2=AE2=4

；.EM=0,

+

SAABE=SAAEFSAABF，

111

???SAABE=-AB?EM=-AE?GF+-AB?FH，

222

.\EM=FG+FH=72；

故選:B.

【點睛】

本題考查了正方形的性質，等腰直角三角形的性質，運用面積法得出線段的和差關系是解

題的關鍵.

6.D

解析：D

【分析】

根據平行四邊形的性質求出AB+AD=5cm,根據線段的垂直平分線求出BE=DE,求出A4BE的

周長等于AB+AD,代入求出即可.

【詳解】

C語=10cm

AB+AD=5cm

?.?在ABC。中，OB=OD,OE±BD

：.EB=ED

CAEB=AB+AE+BE-AB+AE+BE=AB+AD

CAEB=5CM

故選：D.

【點睛】

本題主要考查的知識點是平行四邊形對邊相等的這條性質，結合線段的垂直平分線的性質

來進行計算是解題的關鍵.

7.A

解析：A

【分析】

先利用勾股定理求出AC=5,再令CH=X,則。"=4-x,利用勾股定理求出答案.

【詳解】

?.?四邊形ABCO為矩形，

AB=DC=4,

AD—3,

在RtADC中，

由勾股定理得：

AD2+DC2=AC2.

得：AC=5,

令CH=x,則?！?4—x,

由折疊性質可知：

DH=HD'=4—x,

AD=AD'=3,

故。'C=AC-AD'=5-3=2,

在Rt^”r)'C中，

由勾股定理得：HD'2+D'C2=HC2，

.-.(4-X)2+22=X2,

5

2

故c”=9.

2

故選：A.

【點睛】

此題考查矩形的性質，勾股定理，折疊的性質，涉及直角三角形的邊長的計算題時可多次

進行勾股定理的計算.

8.B

解析：B

【分析】

當點P和點A重合時，當點C和點Q重合時，PQ的值最大，當PQLBC時，PQ的值最

小，利用這兩組數(shù)據，在RtZXABQ中，可求得答案.

【詳解】

當點P和點A重合時，當點C和點Q重合時，PQ的值最大，PQ=8小

當PQJ_BC時，PQ的值最小，

；.PQ=8,ZQ=90°,

在RtAACQ中，

CQ=J(8WL8?=16.

在RtAABQ中，設AB=BC=x,則BQ=16-x,

.\AQ2+BQ2=AB2B[J82+(16-x)2=x2

解之：x=10.

故答案為：B.

【點睛】

本題考查菱形的性質和勾股定理的運用，解題關鍵是根據菱形的性質，判斷出PQ最大和最

小的情況.

9.B

解析：B

【分析】

延長BG交CH于點E,根據正方形的性質證明4ABGg/XCDH絲ABCE,可得GE=BE-

BG=2,HE=CH-CE=2,ZHEG=90",從而由勾股定理可得GH的長.

【詳解】

解：如圖，延長BG交CH于點E,

?.?四邊形ABCD是正方形，

AZABC=90°,AB=CD=10,

VAG=8,BG=6,

.\AG2+BG2=AB2,

ZAGB=90°,

AZl+Z2=90°,

又；N2+N3=90。，

.,.Z1=Z3,

同理：N4=N6,

在ZkABG和ACDH中，

AB=CD=10

AG=CH=8

BG=DH=6

.?.△ABG絲△CDH(SSS),

.\Z1=Z5,Z2=Z6,

.\Z2=Z4,

在4ABG和ABCE中，

VZ1=Z3,AB=BC,Z2=Z4,

.".△ABG^ABCE(ASA),

；.BE=AG=8,CE=BG=6,ZBEC=ZAGB=90°,

GE=BE一BG=8—6=2,

同理可得HE=2,

在RtAGHE中，

GH=ylGE2+HE2=A/22+22=272，

故選：s.

【點睛】

本題主要考查正方形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理及其逆定理的綜合運

用，通過證三角形全等得出AGHE為直角三角形且能夠求出兩條直角邊的長是解題的關

鍵.

10.A

解析：A

【分析】

設矩形ABCD的面積為S=20cm2,由O為矩形ABCD的對角線的交點，可得平行四邊形

AOCiB底邊AB上的高等于BC的L,依此類推可得下一個圖形的面積是上一個圖形的面積

2

的!，然后求解即可.

【詳解】

設矩形ABCD的面積為S=20cm2,

VO為矩形ABCD的對角線的交點，

，平行四邊形AOCiB底邊AB上的高等于BC的,，

2

平行四邊形AOGB的面積=，S,

2

???平行四邊形AOGB的對角線交于點。1，

,平行四邊形AO1C2B的邊AB上的高等于平行四邊形AOCiB底邊AB上的高的;，

]1S

平行四邊形AO1C2B的面積=7x—S=f，

2222

S205

依此類推，平行四邊形AOGB的面積二A二尹二(cm2),

故選：A.

【點睛】

本題考查了矩形的對角線互相平分，平行四邊形的對角線互相平分的性質，得到下一個圖

形的面積是上一個圖形的面積的-是解題的關鍵.

2

二、填空題

11.272+2

【分析】

由題意根據三角形的中位線的性質得到EF=：PD,得到CMEF=CE+CF+EF=CE+；(CP+PD)

=~(CD+PC+PD)=；CACDP，當aCDP的周長最小時，Z\CEF的周長最??；即PC+PD的值

最小時，4CEF的周長最??；并作D關于AB的對稱點D',連接CD，交AB于P,進而分

析即可得到結論.

【詳解】

解：為CD中點，F(xiàn)為CP中點，

,1

??EF=一PD,

2

111

CACEF=CE+CF+EF=CE+—(CP+PD)=—(CD+PC+PD)=—CACDP

當acDP的周長最小時，acEF的周長最??；

即PC+PD的值最小時，ACEF的周長最小；

如圖，作D關于AB的對稱點T,連接CT,則PD=PT,

T

VAD=AT=BC=2,CD=4,ZCDT=90°,

2

???CT=ylCDr+DT=A/42+42=40，

VACDP的周長=CD+DP+PC=CD+PT+PC,

VPT+POCT,

PT+PC>472，

APT+PC的最小值為4a,

.,.△PDC的最小值為4+472，

??CACEF=_CACDP=2-72+2?

故答案為：2&+2.

【點睛】

本題考查軸對稱-最短距離問題以及三角形的周長的計算等知識，解題的關鍵是學會利用軸

對稱解決最值問題.

12.472

【分析】

首先由對邊分別平行可判斷四邊形ABCD為平行四邊形，連接AC和BD,過A點分別作DC

和BC的垂線，垂足分別為F和E,通過證明4ADF絲Z^ABC來證明四邊形ABCD為菱形,

從而得到AC與BD相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD長度.

【詳解】

解：連接AC和BD,其交點為0,過A點分別作DC和BC的垂線，垂足分別為F和E,

VAB/7CD,AD〃BC,

四邊形ABCD為平行四邊形，

AZADF=ZABE,

???兩紙條寬度相同，

;.AF=AE,

■ZADF=NABE

<ZAFD=ZAEB=90°

AF^AE

.?.△ADF^AABE,

；.AD=AB,

四邊形ABCD為菱形，

；.AC與BD相互垂直平分，

BD=2y1AB2-AO2=4A/2

故本題答案為：472

【點睛】

本題考察了菱形的相關性質，綜合運用了三角形全等和勾股定理，注意輔助線的構造一定

要從相關條件以及可運用的證明工具入手，不要盲目作輔助線.

13.24

【分析】

由菱形的性質可得OD=OB,ZCOD=90°,由直角三角形的斜邊中線等于斜邊的一半，可

得。H=,BD=OB,可得NOHB=NOBH,由余角的性質可得/DHO=NDCO,即可求解.

2

【詳解】

【解答】解：；四邊形ABC。是菱形，

AOD=OB,ZCOD=90°,NDAB=NDCB=48°,

DH1AB,

1

AOH=-BD=OB,

2

：.ZOHB=ZOBH,

又,：AB〃CD,

；.NOBH=/ODC,

在Rt^CO。中，ZODC+ZDCO=90°,

在中，ZDH0+Z0H8=90°,

AZDH0=ZDC0=-ZDCS=24°,

2

故答案為：24.

【點睛】

本題考查了菱形的性質，直角三角形斜邊中線的性質，余角的性質，是幾何綜合題，判斷

出0H是BD的一半，和/DH0=NDC。是解決本題的關鍵.

14.737

【分析】

如圖，延長CB到T,使得BT=DE,連接DT,作點B關于直線AC的對稱點W,連接TW,

DW,過點W作WK_LBC交BC的延長線于K.證明BE=DT,BD=DW,把問題轉化為求

DT+DW的最小值.

【詳解】

解：如圖，延長CB到T,使得BT=DE,連接DT,作點B關于直線AC的對稱點W,連接

TW,DW,過點W作WKJ.BC交BC的延長線于K.

1?△ABC,ADEF都是等邊三角形,BC=3DE=3,

；.BC=AB=3,DE=1,ZACB=ZEDF=60",

ADE//TC,

VDE=BT=1,

...四邊形DEBT是平行四邊形，

，BE=DT,

；.BD+BE=BD+AD,

VB,W關于直線AC對稱，

；.CB=CW=3,ZACW=ZACB=60°,DB=DW,

ZWCK=60",

VWK1CK,

AZK=90°,ZCWK=30",

13r3^3

，CK=—CW=-,WK=V3CK=—I-,

222

.311

??TK=l+3+—=—,

22

???TW-y/TK2+WK2=+(苧=而，

ADB+BE=DB+DT=DW+DT>TW,

.".BD+BE>737，

ABD+BE的最小值為病,

故答案為J方.

【點睛】

本題考查軸對稱-最短問題，等邊三角形的性質，解直角三角形，平行四邊形的判定和性質

等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

15.V19

【分析】

先根據菱形的性質可得0C垂直平分BD,從而可得DP=BP,再根據兩點之間線段最短

可得EP+BP的最小值為DE,然后利用等邊三角形的判定與性質求出點D的坐標，最后

利用兩點之間的距離公式即可得.

【詳解】

如圖，連接BP、DP、EP,DE、BD,過點D作。A_L。8于點A,

8(2&,0),

:.OB=25

四邊形ABCD是菱形，

.??0C垂直平分BD,OB=OD=25

點P是對角線oc上的點，

:.DP=BP，

:.EP+BP=EP+DP,

由兩點之間線段最短可知，EP+OP的最小值為DE,即EP+BP的最小值為DE,

OB=OD,NDOB=60°,

：.BOD是等邊三角形,

DA1OB,

:.OA=^OB=y/3,A￡)=J"一32=也后一(揚2=3,

.?.7X6,3)，

又E(0,-D，

DE=Op+(3+1)2=719，

即EP+8P的最小值為J歷，

故答案為：719.

【點睛】

本題考查了菱形的性質、等邊三角形的判定與性質、兩點之間的距離公式等知識點，根據

兩點之間線段最短得出EP+BP的最小值為DE是解題關鍵.

16.—或4-3百

33

【分析】

連接AC交BD于0,由菱形的性質可得AB=BC=4,ZABD=30°,AC1BD,B0=D0,

A0=C0,可證四邊形BEGF是菱形，可得NABG=30。，可得點B,點G,點D三點共線，由

直角三角形性質可求BD=46,AC=4,分兩種情況討論，利用等腰三角形的性質可求解.

【詳解】

如圖，連接AC交BD于。，

；.AB=BC=4,NABD=30。，AC1BD,B0=D0,A0=C0,

：EG〃BC,FG〃AB,

，四邊形BEGF是平行四邊形，

又；BE=BF,

.?.四邊形BEGF是菱形，

/ABG=30°,

...點B,點G,點D三點共線，

VAC1BD,ZABD=30°,

A0=yAB=2,B0=J-AO?=飛4。-展=2百，

ABD=45/3.AC=4,

lBG

同理可求BG=GBE,即BE=耳，

若AD=DG,=4時,

.".BG'=BD-DG'=4^-4，

46-4.473

..BE=-----=—=4------------;

V33

若AG"=G"D時，過點G"作G"HJ_AD于H,

；.AH=HD=2,

VZADB=30°,G"H1AD,

.,.DG"=2HG",

VHD2+HG"2=DG"2.

解得：HG"=^1,DG"=2HG"=^I,

33

BG"=BD-DG"=4V3，

綜上所述：BE為言或4-迪.

33

【點睛】

本題考查了菱形的性質，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理等知識，利用分類討論

思想解決問題是本題的關鍵.

17.6

【分析】

2

由折疊的性質可得NBAC=NB'AC=9O°,AB=AB',SiABc=SAAB'c=12cm,可證點B,點A,點

B，三點共線，通過證明四邊形ACDB，是平行四邊形，可得B，E=CE,即可求解.

【詳解】

解：...四邊形ABCD是平行四邊形，

2

；.AB〃CD,SAABc=-x24=12cm,

2

?.?在同一平面內將aABC沿AC翻折，得到aAB'C,

2

...NBAC=NB'AC=90°,AB=AB',SAABc=SAAB'c=12cm,

AZBAB'=180°,

.??點B,點A,點e三點共線，

VAB//CD,AB'//CD,

；?四邊形ACDB，是平行四邊形，

，B'E=CE,

._1_2

=

??SAACE=~SAAB'c6cm,

故答案為：6.

【點睛】

本題考查了翻折變換，平行四邊形的判定和性質，證明點B,點A,點夕三點共線是本題

的關鍵.

120

18.—

13

【分析】

設MN與8c交于點。，連接A。，過點。作O”_LAC于H點，根據等腰三角形的性質和勾

股定理可求4。和。H長，若MN最小，則M0最小即可，而。點到AC的最短距離為0H

長，所以MN最小值是2。從

【詳解】

解：設與BC交于點。，連接A。，過點。作。于H點，

?.?四邊形MCNB是平行四邊形,

，。為8c中點，MN=2M0.

：A8=AC=13,BC=10,

：.AO1BC.

在Rt/XAOC中，利用勾股定理可得

A0=4AC1-CO'=V132-52=12.

利用面積法：A。義CO=ACXOH,

即12X5=13XOH,解得。H=竺.

13

當M。最小時，則就最小，。點到AC的最短距離為?！遍L,

所以當M點與H點重合時，MO最小值為0H長是瑞.

120

所以此時MN最小值為2OH=.

120

故答案為：n.

【點睛】

本題主要考查了平行四邊形的性質、垂線段最短、勾股定理、等腰三角形的性質，解題的

關鍵是分析出點到某線段的垂線段最短，由此進行轉化線段，動中找靜.

19.4

【分析】

根據題意，當B、N、M三點在同一條直線時，ZXDMN的周長最小為：BM+DM=2+2>/5,

由DM=；AO=2,則BM=2A^，利用勾股定理的逆定理，得到/AMB=90°,則得到

△ABD為等邊三角形，即可得到BD的長度.

【詳解】

解：如圖：連接BD,BM,則AC垂直平分BD,則BN=DN,

B

D

當B、N、M三點在同一條直線時，ZXDMN的周長最小為：BM+DM=2+26，

VAD=AB=4,M是AD的中點，

，AM=DM」AD=2,

2

.??BM=25

AM2+BM2=22+(2V3)2=16=AB2,

.二△ABM是直角三角形，即NAMB=90°；

VBM是AABD的中線，

**.AABD是等邊三角形，

，BD=AB=AD=4.

故答案為：4.

【點睛】

本題考查了菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理的逆定理，以及三線合一定

理.解題的關鍵是熟練掌握所學的知識，正確得到4ABD是等邊三角形.

20.2或3.5

【分析】

分別從當Q運動到E和B之間、當Q運動到E和C之間去分析求解即可求得答案.

【詳解】

，BE=CE=—BC=9,

2

①當Q運動到E和B之間，則得：

3t-9=5-t,

解得：t=3.5；

②當Q運動到E和C之間，則得：

9-3t=5-t,

解得：t=2,

當運動時間t為2秒或3.5秒時，以點P,Q,E,D為頂點的四邊形是平行四邊形.

【點睛】

“點睛”此題考查了梯形的性質以及平行四邊形的判定與性質.解題時注意掌握輔助線的

作法，注意掌握數(shù)形結合思想、分類討論思想與方程思想的應用.

三、解答題

21.⑴。E=0CF；(2)在情況1與情況2下都相同，詳見解析；⑶AF+CF=

y[2DF^\AF-CF\^y/2DF

【分析】

(1)易證ABCD是等腰直角三角形，得出DB=eCB,即可得出結果；

(2)情況1：過點C作CG_LCF,交DF于G,設BC交DF于P,由ASA證得

△CDG^ACBF,得出DG=FB,CG=CF,則AGCF是等腰直角三角形，F(xiàn)G=&CF,連接BE,

設NCDG=a,則/CBF=a,ZDEA=ZADE=90°-a,求出NDAE=2a,則NEAB=90--2a,

ZBEA=ZABE=y(180°-ZEAB)=45°+a,ZCBE=45°-a,推出/FBE=45°,得出ZiBEF是等腰

直角三角形，則EF=BF,推出EF=DG,DE=FG,得出DE=&CF；

情況2：過點C作CG_LCF交DF延長線于G,連接BE,設CD交BF于P,由ASA證得

△CDG絲△CBF,得出DG=FB,CG=CF,則AGCF是等腰直角三角形，得FG=J^CF,設

ZCDG=a,則/CBF=a,證明4BEF是等腰直角三角形，得出EF=BF,推出DE=FG,得出

DE=0CF；

(3)①當F在BC的右側時，作HDLDF交FA延長線于H,由(2)得ABEF是等腰直角三

角形，EF=BF,由SSS證得4ABF絲z\AEF,得出/EFA=NBFA=；NBFE=45°,則4HDF是等腰

直角三角形，得HF=J^DF,DH=DF,VZHDF=ZADC=90°,由SAS證得△HDAg^FDC,得

CF=HA,即可得出AF+CF=&DF；

②當F在AB的下方時，作DH_LDE,交FC延長線于H,在DF上取點N,使CN=CD,連接

BN,證明ABFN是等腰直角三角形，得BF=NF,由SSS證得ACNF之4CBF,得

NNFC=NBFC=；NBFD=45°,則ADFH是等腰直角三角形，得FH=J^DF,DF=DH,由SAS

證得AADF絲ZXCDH,得出CH=AF,即可得出AF+CF=夜DF：

③當F在DC的上方時，連接BE,作HD_LDF,交AF于H,由（2）得4BEF是等腰直角三

角形，EF=BF,由SSS證得△ABFg/^AEF,得NEFA=NBFA=]NBFE=45°,則4HDF是等腰直

角三角形，得出HF=J^DF,DH=DF,由SAS證得AADC且△HDF,得出AH=CF,即可得出

AF-CF=V2DF；

④當F在AD左側時，作HD_LDF交AF的延長線于H,連接BE,設AD交BF于P,證明

△BFE是等腰直角三角形，得EF=BF,由SSS證得aABF四Z\AEF,得

ZEFA=ZBFA=—ZBFE=45°,則NDFH=NEFA=45。，AblDF是等腰直角三角形，得DH=DF,

2

HF=0DF,由SAS證得△HDAg/^FDC,得出AF=CF,即可得出CF-AF=夜DF.

【詳解】

解：（1）?..四邊形ABCD是正方形，

，CD=CB,ZBCD^90°,

.??△BCD是等腰直角三角形，

.".DB=V2CB,

當點E、F與點B重合時，則DE=J^CF,

故答案為：DE=0CF；

（2）在情況1或情況2下，線段CF與線段DE之間的數(shù)量關系與（1）中結論相同；理由

如下：

情況1：：四邊形ABCD是正方形，

；.CD=CB=AD=AB=AE,ZBCD=ZDAB=ZABC=90°,

過點C作CG_LCF,交DF于G,如圖②所示：

國16

則NBCD=NGCF=90°,

AZDCG=ZBCF,

設BC交DF于P,

VBF1DE,

.\ZBFD=ZBCD=90°,

VZDPC=ZFPB,

.\ZCDP=ZFBP,

在ACDG和ACBF中，

ZDCG=ZBCF

CD=CB

NCDG=NCBF

.".△CDG^ACBF(ASA),

；.DG=FB,CG=CF,

???△GCF是等腰直角三角形，

.-.FG=V2CF,

連接BE,

設NCDG=a,則/CBF=a,ZADE=90°-a,

VAD=AE,

.,.ZDEA=ZADE=90--a,

.,.ZDAE=180°-2(900-a)=2a