第六章　第三節(jié)　平面向量的數(shù)量積

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。第三節(jié)平面向量的數(shù)量積【課標(biāo)解讀】【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.通過(guò)物理中功等實(shí)例,理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義,會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積.2.通過(guò)幾何直觀,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義.3.會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.4.能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積,會(huì)表示兩個(gè)平面向量的夾角.5.能用坐標(biāo)表示平面向量共線、垂直的條件.【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.【命題說(shuō)明】考向考法平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、化簡(jiǎn)、證明及數(shù)量積的應(yīng)用問(wèn)題,如證明垂直、求夾角、模等是每年必考的內(nèi)容,單獨(dú)命題時(shí),一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn).交匯命題時(shí),向量一般與解析幾何、三角函數(shù)、平面幾何等相結(jié)合考查.預(yù)測(cè)平面向量數(shù)量積的概念及運(yùn)算,與長(zhǎng)度、夾角、平行、垂直有關(guān)的問(wèn)題以及平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用仍是考查的熱點(diǎn),會(huì)以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】知識(shí)梳理·歸納1.向量的夾角定義已知兩個(gè)非零向量a和b,作OA=a,OB=b,則∠AOB叫做a與b的夾角范圍設(shè)θ是a與b的夾角,則θ的取值范圍是0≤θ≤π共線與垂直θ=0或θ=π?a∥b,θ=π2?a⊥微點(diǎn)撥確定兩個(gè)非零向量a和b的夾角,必須將兩個(gè)向量平移至同一起點(diǎn).2.平面向量的數(shù)量積條件兩個(gè)非零向量a與b的夾角為θ結(jié)論數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)記法記作a·b,即a·b=|a||b|cosθ規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為03.投影向量條件設(shè)a,b是兩個(gè)非零向量,它們的夾角是θ,e是與b方向相同的單位向量,AB=a,CD=b作圖過(guò)AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B,分別作CD所在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到A結(jié)論我們稱(chēng)上述變換為向量a向向量b投影,A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量.記為|a|cos4.向量數(shù)量積的運(yùn)算律交換律a·b=b·a分配律(a+b)·c=a·c+b·c數(shù)乘結(jié)合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)微點(diǎn)撥(1)數(shù)量積不滿足消去律,即a·b=a·c(a≠0)不能得出b=c;(2)數(shù)量積不滿足乘法結(jié)合律,即一般情況下,(a·b)·c≠a·(b·c).5.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a與b的夾角為θ.結(jié)論符號(hào)表示坐標(biāo)表示模|a|=a|a|=x夾角cosθ=acosθ=xa⊥b的充要條件a·b=0x1x2+y1y2=0|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b||x1x2+y1y2|≤x常用結(jié)論1.兩個(gè)向量a,b的夾角為銳角?a·b>0且a,b不共線;兩個(gè)向量a,b的夾角為鈍角?a·b<0且a,b不共線.2.平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2;(3)(a-b)2=a2-2a·b+b2.3.向量a在b上的投影向量為a·bb·bb,向量a在基礎(chǔ)診斷·自測(cè)類(lèi)型辨析改編易錯(cuò)高考題號(hào)12431.(思考辨析)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩個(gè)向量的夾角的范圍是0,π2.(提示:(1)兩個(gè)向量夾角的范圍是[0,π].(2)向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量,而不是向量.(√)(3)若a·b=a·c(a≠0),則b=c.(×)提示:(3)由a·b=a·c(a≠0)得|a||b|·cos<a,b>=|a||c|·cos<a,c>,所以向量b和c不一定相等.(4)向量a與b夾角為θ,a在b上的投影向量為(|a|cosθ)b|b|.(2.(必修第二冊(cè)P36練習(xí)T1·變條件)已知a=(-1,t-1),b=(3,2),且2a+b=3,則tA.2 B.3 C.±2 D.±2【解析】選C.由向量a=(-1,t-1),b=(3,2),可得2a+b=(1,2t),因?yàn)?a可得12+(2t)2=3,解得3.(2023·上海高考)已知向量a=(-2,3),b=(1,2),則a·b=.

【解析】因?yàn)橄蛄縜=(-2,3),b=(1,2),所以a·b=-2×1+3×2=4.答案:44.(向量夾角的概念不清致誤)在△ABC中,∠B=60°,AB=6,BC=5,則AB·BC=.

【解析】在△ABC中,∠B=60°,AB=6,BC=5,則AB·BC=|AB||BC|cos(180°-60°)=6×5×(-12)=-15答案:-15【核心考點(diǎn)·分類(lèi)突破】考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算[例1](1)(2023·全國(guó)乙卷)正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2,E是AB的中點(diǎn),則EC·ED=()A.5 B.3 C.25 D.5【解析】選B.正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2,E是AB的中點(diǎn),所以EB·EA=-1,EB⊥AD,EA⊥BC,BC·AD=2×2=4,則EC·ED=(EB+BC)·(EA+AD)=EB·EA+EB·AD+EA·BC+BC·AD=-1+0+0+4=3.(2)(2023·福州模擬)四邊形ABCD為平行四邊形,AB=6,AD=3.若點(diǎn)M,N滿足BM=2MC,DN=NC,則AM·NM=()A.20 B.16 C.9 D.6【解析】選B.因?yàn)锽M=2MC,DN=NC,所以AM=AB+BM=AB+23AD,NM=CM-CN=-13所以AM·NM=(AB+23AD)·(-13AD+12AB)=12AB(3)(2022·全國(guó)甲卷)設(shè)向量a,b的夾角的余弦值為13,且|a|=1,|b|=3,則(2a+b)·b=【解析】由題意可得a·b=1×3×13=1,b2則(2a+b)·b=2a·b+b2=2+9=11.答案:11解題技法解決向量數(shù)量積的運(yùn)算問(wèn)題的三種方法(1)當(dāng)已知向量的長(zhǎng)度和夾角時(shí),直接利用定義法求解;若不知長(zhǎng)度和夾角,選擇知道夾角和模的不共線向量為基底來(lái)表示要求的向量,再結(jié)合運(yùn)算律展開(kāi)求解;(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)或可通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系表示向量的坐標(biāo)時(shí),可利用坐標(biāo)法求解;(3)利用向量數(shù)量積的幾何意義求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.(2022·全國(guó)乙卷)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3,則a·b=()A.-2 B.-1 C.1 D.2【解析】選C.因?yàn)閨a-2b|2=|a|2-4a·b+4|b|2,|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3,所以9=1-4a·b+4×3=13-4a·b,所以a·b=1.2.(2022·上海高考)若平面向量|a|=|b|=|c|=λ,且滿足a·b=0,a·c=2,b·c=1,則λ=.

【解析】由題意,有a·b=0,則a⊥b,設(shè)<a,c>=θ,a·c則②①得,tanθ=1由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得cosθ=25則a·c=|a||c|cosθ=λ·λ·255=2,λ2=則λ=45答案:4【加練備選】已知點(diǎn)O是△ABC內(nèi)部的一點(diǎn),且滿足OA+OB+OC=0,AC=3,AC·AB=-1,則AC·BO的值為()A.53 B.32 C.2【解析】選A.記角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,由題意OA+OB+OC=0,OA+OC=-OB=BO,設(shè)D是線段AC的中點(diǎn),則2OD=BO,所以B,O,D三點(diǎn)共線,且O為△ABC的重心,所以BO=23BD=23×12(BA+BC)=13(BA+BC),所以AC·BO=(BC-BA)·13(BA+BC)=13又由AC·AB=bccosA=-1,可得bc·b2+c2-a22所以AC·BO=53考點(diǎn)二投影向量[例2](1)已知|a|=3,|b|=1,向量a與向量b的夾角為120°,則①向量a在向量b上的投影向量為;②向量b在向量a上的投影向量為.

【解析】①因?yàn)閨b|=1,所以b為單位向量.所以向量a在向量b上的投影向量為|a|cos120°·b|b|=3×(-12)·b②因?yàn)閨a|=3,所以a|a|=所以向量b在向量a上的投影向量為|b|cos120°·a|a|=1×(-12)·13答案:①-32b②-1(2)(2023·常州模擬)已知平面向量a,b,滿足a=2,b=(1,1),a+b=10,則a在b方向上的投影向量的坐標(biāo)為【解析】由a=2,b=2,且a+b=平方得a2+2a·b+b2=4+2a·b+2=10,解得a·所以a在b方向上的投影向量為a·bb·bb=a·bb2·b答案:(1,1)解題技法投影向量的求法方法一:用幾何法作出恰當(dāng)?shù)拇咕€,直接得到投影向量.方法二:利用公式.向量a在向量b上的投影向量為|a|·cos<a,b>·b|對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.已知|a|=12,|b|=8,a·b=24,則向量a在向量b上的投影向量為.

【解析】設(shè)a,b的夾角為θ,因?yàn)閍·b=|a||b|cosθ,所以cosθ=a·b|a||所以向量a在向量b上的投影向量為|a|cosθ·b|b|=12×14×18答案:382.(2023·衡陽(yáng)模擬)平面向量a⊥b,已知a=(6,-8),b=5,且b與向量(1,0)的夾角是鈍角.則b在向量(1,0)上的投影向量為()A.(-3,0) B.(-4,0) C.(0,3) D.(0,-4)【解析】選B.設(shè)b=(x,y),因?yàn)閍=(6,-8),a⊥b,所以6x-8y=0,即3x=4y①.又b=5,所以x2+y2=25②,由①②解得x=4y=3設(shè)c=(1,0),因?yàn)閎與向量c的夾角是鈍角,所以b·c=x<0,所以b=(-4,-3).則b在向量c上的投影向量為b·cc·考點(diǎn)三平面向量數(shù)量積的應(yīng)用【考情提示】高考對(duì)數(shù)量積的考查主要從模、夾角、垂直等角度出發(fā),常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).角度1求平面向量的模[例3](1)(2022·全國(guó)乙卷)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),則|a-b|=()A.2 B.3 C.4 D.5【命題意圖】考查向量的模、向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算.【解析】選D.因?yàn)閍-b=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),所以|a-b|=42+(2)已知向量a,b,c滿足a+b與c互為相反向量,a=2,c=1,a·c=1,則b=()A.2 B.7 C.2 D.7【解析】選D.由a+b與c互為相反向量,得c=-(a+b),兩邊平方得,c2=a2+b2+2a即b2+2a·b=-3,又由a·c=1,在c=-(a+b)兩邊同時(shí)點(diǎn)乘向量a,得a·c=-a2-a·b=1,即a·b=-5,聯(lián)立①②,解得b2=7,所以b=7(3)(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a,b滿足|a-b|=3,|a+b|=|2a-b|,則|b|=.

【解析】因?yàn)閨a-b|=3,|a+b|=|2a-b|,所以a2+b2-2a·b=3,a2+b2+2a·b=4a2+b2-4a·b,所以a2=2a·b,所以b2=3,所以|b|=3.答案:3解題技法求平面向量模的兩種方法(1)公式法:利用|a|=a·a及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2(2)幾何法:利用向量的幾何意義,即利用向量加、減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量,再利用余弦定理等方法求解.角度2求平面向量的夾角[例4](1)(2023·全國(guó)甲卷)向量|a|=|b|=1,|c|=2,且a+b+c=0,則cos<a-c,b-c>=()A.-15 B.-25 C.25【解析】選D.因?yàn)橄蛄縷a|=|b|=1,|c|=2,且a+b+c=0,所以-c=a+b,所以c2=a2+b2+2a·b,即2=1+1+2×1×1×cos<a,b>,解得cos<a,b>=0,所以a⊥b.又a-c=2a+b,b-c=a+2b,所以(a-c)·(b-c)=(2a+b)·(a+2b)=2a2+2b2+5a·b=2+2+0=4,|a-c|=|b-c|=4a2+4a·所以cos<a-c,b-c>=(a-c)·(b(2)已知向量a與a+b的夾角為60°,且a=8,b=7,則a與b夾角的余弦值為.

【解析】設(shè)向量a與b的夾角為θ,由a=8,b=7,可得a·(a+b)=a2+a·b=64+8×7cosθ=64+56cosθ,且a+b=a2+b又因?yàn)橄蛄縜與a+b的夾角為60°,可得cos60°=a·(a+即64+56cosθ8×113+112cos可得16+14cosθ=113+112cosθ解得cosθ=-1314或cosθ=-11即a與b夾角的余弦值為-1314或-11答案:-1314或-(3)金榜原創(chuàng)·易錯(cuò)對(duì)對(duì)碰①設(shè)a=(-3,m),b=(4,3),若a與b的夾角是鈍角,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

【解析】①由a與b的夾角是鈍角,則a·b=(-3,m)·(4,3)=-12+3m<0,解得m<4,又a與b的夾角不等于180°,則a與b不平行,即-9≠4m,解得m≠-94所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是m<4且m≠-94答案:(-∞,-94)∪(-9②已知向量a=(2,0),b=(1,4).若向量ka+b與a+2b的夾角為銳角,則k的取值范圍為.

【解析】②ka+b=(2k+1,4),a+2b=(4,8),因?yàn)橄蛄縦a+b與a+2b的夾角為銳角,所以4×(2k+1)+4×8>0且8×(2k+1)≠4×4,解得k>-92且k≠1所以k的取值范圍是(-92,12)∪(1答案:(-92,12)∪(解題技法求平面向量夾角的兩種方法定義法由cosθ=a·b|a坐標(biāo)法若a=(x1,y1)與b=(x2,y2),則cos<a,b>=x1<a,b>∈[0,π]角度3平面向量的垂直問(wèn)題[例5](1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a+μb),則()A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1【解析】選D.由題意得a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ).因?yàn)?a+λb)⊥(a+μb),所以(a+λb)·(a+μb)=0,即(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,整理得λμ=-1.(2)(2022·全國(guó)甲卷)已知向量a=(m,3),b=(1,m+1).若a⊥b,則m=.

【解析】因?yàn)橄蛄縜=(m,3),b=(1,m+1),a⊥b,所以a·b=m+3(m+1)=0,則m=-34答案:-3解題技法平面向量垂直問(wèn)題的解法(1)坐標(biāo)法:a=(x1,y1),b=(x2,y2)時(shí),若要證明a⊥b,則只需證明a·b=0,即證明x1x2+y1y2=0.(2)向量法:把a(bǔ),b用已知(模與夾角)的基底向量表示,進(jìn)行運(yùn)算證明a·b=0.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.(2023·濟(jì)南模擬)若向量a,b滿足a=1,(a+b)⊥a,(2a+b