24版高中同步新教材選擇性必修第一冊蘇教版數(shù)學(xué)備課4.4　數(shù)學(xué)歸納法

選擇性必修第一冊

蘇教版高中數(shù)學(xué)一般地,證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題,可按如下兩個步驟進行:(1)證明當(dāng)n=n0(n0∈N*)時命題成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥n0,k∈N*)時命題成立,證明當(dāng)n=k+1時命題也成立.根據(jù)(1)(2)就可以斷定命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.上述證明方法叫作數(shù)學(xué)歸納法.4.4數(shù)學(xué)歸納法?

|數(shù)學(xué)歸納法知識點必備知識清單破知識辨析1.用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時,第一步一定是驗證當(dāng)n=1時結(jié)論成立嗎?2.證明與正整數(shù)n有關(guān)的命題時,只需當(dāng)n取前幾個值時命題正確就可以嗎?3.在利用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時,如果推理過程正確,就可以不用歸納假設(shè)嗎?4.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時,由n=k到n=k+1,等式的左邊一定只增加了一項嗎?一語破的1.不一定.如證明凸n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°,第一步要驗證當(dāng)n=3時結(jié)論成立.2.不可以.由前幾個值命題正確,推不出與正整數(shù)n有關(guān)的命題正確,是不完全歸納法.3.不可以.不用歸納假設(shè),后續(xù)的證明就沒有了基礎(chǔ),數(shù)學(xué)歸納法的步驟缺一不可.4.不一定.如用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+a+a2+…+a2n+1=

(a≠1)”時,由n=k到n=k+1,等式的左邊增加了兩項.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n=k時成立,得n=k+1時成立,主要方法有比較法、

放縮法等.用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式:一是直接給出不等式,按要

求進行證明;二是給出兩個式子,按要求比較它們的大小.對第二類往往要先對n取前k個值

的情況分別驗證比較,以免出現(xiàn)判斷失誤的情況,最后猜出從某個k值開始都成立的結(jié)論,常

用數(shù)學(xué)歸納法證明.1|用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式定點關(guān)鍵能力定點破典例用數(shù)學(xué)歸納法證明:

+

+…+

>1-

+

-

+…+

-

(n∈N*).證明

(1)當(dāng)n=1時,左邊=1,右邊=1-

=

,左邊>右邊,所以不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N*)時,不等式成立,即

+

+…+

>1-

+

-

+…+

-

,則當(dāng)n=k+1時,

+

+…+

+

>1-

+

-

+…+

-

+

>1-

+

-

+…+

-

+

=1-

+

-

+…+

-

+

-

,即當(dāng)n=k+1時,不等式也成立.由(1)(2)知,不等式對任何n∈N*都成立.“歸納—猜想—證明”的解題步驟

2|用“歸納—猜想—證明”解決與遞推公式有關(guān)的數(shù)列問題

定點典例已知數(shù)列{an}中,

=-

,其中n≥2,且n∈N*.從條件①:a1=

與條件②:a1a2=-

,且a1>0中任意選擇一個,完成下面的問題.(1)求a2,a3,a4,并猜想{an}的通項公式;(2)證明(1)中的猜想.解析

(1)選條件①.由題意可得a2=a1·

=-

,同理可得a3=

,a4=-

,猜想an=

(n∈N*).選條件②.由題意可得

=-

=-

,∵a1>0,a1a2=-

,∴a1=

,a2=-

,∴a3=a2·

=

,同理可得a4=-

,猜想an=

(n∈N*).(2)證明:顯然當(dāng)n=1時,猜想成立,假設(shè)當(dāng)n=k時,猜想成立,即ak=

(k∈N*),當(dāng)n=k+1時,由

=-

,可得ak+1=-

·ak=-

·

=

=

(k∈N*),即當(dāng)n=k+1時,猜想也成立.綜上所述,an=

(n∈N*).數(shù)列在實際問題中有廣泛的應(yīng)用,在此類問題中,建立數(shù)列模型是關(guān)鍵,在建立數(shù)列模

型的過程中發(fā)展數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng),然后利用數(shù)列的通項公式、前n項和公式、遞推公

式等知識求解,在解模過程中發(fā)展邏輯推理的核心素養(yǎng).

|通過數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用發(fā)展邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)素養(yǎng)學(xué)科素養(yǎng)情景破素養(yǎng)解讀例題從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā),某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設(shè),并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).

根據(jù)規(guī)劃,2021年投入資金1000萬元,以后每年投入比上年減少10%.預(yù)測顯示,2021年當(dāng)?shù)?/p>

旅游業(yè)收入為300萬元,以后每年收入比上年增加20萬元.根據(jù)預(yù)測,解答以下問題:(1)從2021年至2030年,該地十年的旅游業(yè)收入共計多少萬元?(2)從哪一年起該地的旅游業(yè)總收入將首次超過總投入?(參考數(shù)據(jù):0.96≈0.531,0.97≈0.478,0.98≈0.430,0.918≈0.15009,0.919≈0.13509)典例呈現(xiàn)信息提取

①由投入資金的相關(guān)信息可建立等比數(shù)列模型;②由旅游業(yè)收入的相關(guān)信息可

建立等差數(shù)列模型.解題思路

(1)以2021年為第1年,設(shè)第n年旅游業(yè)收入為an萬元,則數(shù)列{an}是以300為首項,20為公差的等差數(shù)列,設(shè)其前n項和為An,故an=300+20(n-1)=20n+280,An=300n+

×20=10n2+290n,所以A10=10×102+290×10=3900.因此從2021年至2030年,該地十年的旅游業(yè)收入共計3900萬元.(2)以2021年為第1年,設(shè)第n年投入資金為bn萬元,則數(shù)列{bn}是以1000為首項,0.9為公比的

等比數(shù)列,設(shè)其前n項和為Bn,故bn=1000·0.9n-1,Bn=

=10000(1-0.9n),設(shè)cn=An-Bn,則cn+1-cn=an+1-bn+1=300+20n-1000·0.9n,令f(n)=300+20n-1000·0.9n(n∈N*),則f(n)為增函數(shù),且f(7)<0,f(8)>0,故c1>c2>…>c8,c8<c9<c10<