高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案(新高考)第28講三角恒等變換(2)(原卷版+解析)

第28講三角恒等變換（2）知識梳理1.在三角函數(shù)式的化簡、求值、證明等三角恒等變換中，要注意將不同名的三角函數(shù)化成同名的三角函數(shù)，如遇到正切、正弦、余弦并存的情況，一般要切化弦．2.要注意對“1”的代換：如1＝sin2α＋cos2α＝taneq\f(π,4)，還有1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2).3.對于sinαcosα與sinβ±cosα同時存在的試題，可通過換元完成：如設(shè)t＝sinα±cosα，則sinαcosα＝±eq\f(t2－1,2).4.要注意角的變換，熟悉角的拆拼技巧，理解倍角與半角是相對的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，eq\f(α,3)是eq\f(2α,3)的半角，eq\f(α,2)是eq\f(α,4)的倍角等．5.用三角方法求三角函數(shù)的最值常見的函數(shù)形式：(1)y＝asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2)).則－eq\r(a2＋b2)≤y≤eq\r(a2＋b2).(2)y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x可先降次，整理轉(zhuǎn)化為上一種形式．(3)y＝eq\f(asinx＋b,csinx＋d)(或y＝eq\f(acosx＋b,ccosx＋d))可轉(zhuǎn)化為只有分母含sinx或cosx的函數(shù)式sinx＝f(y)的形式，由正、余弦函數(shù)的有界性求解．6.用代數(shù)方法求三角函數(shù)的最值常見的函數(shù)形式：(1)y＝asin2x＋bcosx＋c可轉(zhuǎn)化為關(guān)于cosx的二次函數(shù)式．(2)y＝asinx＋eq\f(c,bsinx)(a，b，c＞0)，令sinx＝t，則轉(zhuǎn)化為求y＝at＋eq\f(c,bt)(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或單調(diào)性求解．1、【2023年新高考1卷】已知，則（）．A. B. C. D.2、【2021年新高考1卷】若，則（

）A． B． C． D．3、【2018年新課標(biāo)1卷文科】已知角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點，，且，則A． B． C． D．4、【2018年新課標(biāo)1卷文科】已知函數(shù)，則A．的最小正周期為，最大值為B．的最小正周期為，最大值為C．的最小正周期為，最大值為D．的最小正周期為，最大值為1、若tanα＝eq\f(1,3)，tan(α＋β)＝eq\f(1,2)，則tanβ＝.2、已知銳角α，β滿足sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，則α＋β等于()A.eq\f(3π,4) B.eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)C.eq\f(π,4) D．2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)3、已知，，則的值為_______．4、設(shè)為銳角，若，則的值為．5、（2022年福建詔安縣模擬試卷）已知，，則的值為（）A. B. C. D.考向一變角的運用例1、已知α為銳角，若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12)))的值．變式1、（1）（2022·江蘇·南京外國語學(xué)校模擬預(yù)測）已知，若，則（

）A． B． C． D．（2）（2022·廣東湛江·二模）若，，則___________.變式2、（1）（2021·山東煙臺市·高三二模）已知，，則的值為______．（2）已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(24,25)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________.方法總結(jié)：所謂邊角就是用已知角表示所求的角，要重點把握住它們之間的關(guān)系，然后運用有關(guān)公式進行求解?？枷蚨蠼抢?、已知銳角α，β滿足sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，求α＋β的值．變式1、已知α，β為銳角，且sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(\r(10),10)，求α－β的值．變式2、若sin2α＝eq\f(\r(5),5)，sin(β－α)＝eq\f(\r(10),10)，且α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))，β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，則α＋β的值為__________．變式3、（1）（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知且，則=（）A． B．C． D．或（2）（2022·河北張家口·高三期末）（多選題）已知，，則（）A． B． C． D．方法總結(jié)：求角的步棸：1、求角的某一個三角函數(shù)值，（結(jié)合具體情況確定是正弦、余弦還是正切）2、確定角的范圍（范圍盡量縮?。?、根據(jù)范圍和值確定角的大小?？枷蛉降木C合運用例3、已知函數(shù)f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).(1)當(dāng)a＝eq\r(2)，θ＝eq\f(π,4)時，求f(x)在區(qū)間[0，π]上的最大值與最小值；(2)若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．變式1、(1)函數(shù)f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx的最大值為；(2)函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))－2eq\r(2)sin2x的最小正周期是．變式2、（2022·山東青島·高三期末）（多選題）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．是圖象的一條對稱軸C．的最小正周期為D．將的圖象向左平移個單位后，得到的圖象關(guān)于原點對稱方法總結(jié)：降冪公式是解決含有cos2x、sin2x式子的問題較常用的變形之一，它體現(xiàn)了逆用二倍角公式的解題技巧．1、（2022·廣東韶關(guān)·一模）若，則__________.2、（2022年福建連城縣模擬試卷）已知，且，則（）A. B.C. D.3、（2022年廣東揭陽市模擬試卷）已知，則A. B. C. D..4、（2022年福建上杭縣模擬試卷）已知，，則（）A. B. C. D.05、（2022·江蘇宿遷·高三期末）已知，則____________.6、（2022·江蘇通州·高三期末）若，則α的一個可能角度值為__________.7、（2022·江蘇如東·高三期末）寫出一個滿足tan20°＋4cosθ＝的θ＝_________.8、（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知，．(1)求的值；(2)若，，求的值．第28講三角恒等變換（2）知識梳理1.在三角函數(shù)式的化簡、求值、證明等三角恒等變換中，要注意將不同名的三角函數(shù)化成同名的三角函數(shù)，如遇到正切、正弦、余弦并存的情況，一般要切化弦．2.要注意對“1”的代換：如1＝sin2α＋cos2α＝taneq\f(π,4)，還有1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2).3.對于sinαcosα與sinβ±cosα同時存在的試題，可通過換元完成：如設(shè)t＝sinα±cosα，則sinαcosα＝±eq\f(t2－1,2).4.要注意角的變換，熟悉角的拆拼技巧，理解倍角與半角是相對的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，eq\f(α,3)是eq\f(2α,3)的半角，eq\f(α,2)是eq\f(α,4)的倍角等．5.用三角方法求三角函數(shù)的最值常見的函數(shù)形式：(1)y＝asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2)).則－eq\r(a2＋b2)≤y≤eq\r(a2＋b2).(2)y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x可先降次，整理轉(zhuǎn)化為上一種形式．(3)y＝eq\f(asinx＋b,csinx＋d)(或y＝eq\f(acosx＋b,ccosx＋d))可轉(zhuǎn)化為只有分母含sinx或cosx的函數(shù)式sinx＝f(y)的形式，由正、余弦函數(shù)的有界性求解．6.用代數(shù)方法求三角函數(shù)的最值常見的函數(shù)形式：(1)y＝asin2x＋bcosx＋c可轉(zhuǎn)化為關(guān)于cosx的二次函數(shù)式．(2)y＝asinx＋eq\f(c,bsinx)(a，b，c＞0)，令sinx＝t，則轉(zhuǎn)化為求y＝at＋eq\f(c,bt)(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或單調(diào)性求解．1、【2023年新高考1卷】已知，則（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式計算作答.【詳解】因為，而，因此，則，所以.故選：B2、【2021年新高考1卷】若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡，然后增添分母()，進行齊次化處理，化為正切的表達式，代入即可得到結(jié)果．【詳解】將式子進行齊次化處理得：．故選：C．3、【2018年新課標(biāo)1卷文科】已知角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點，，且，則A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)兩點都在角的終邊上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函數(shù)的定義式，求得，從而得到，再結(jié)合，從而得到，從而確定選項.【詳解】由三點共線，從而得到，因為，解得，即，所以，故選B.4、【2018年新課標(biāo)1卷文科】已知函數(shù)，則A．的最小正周期為，最大值為B．的最小正周期為，最大值為C．的最小正周期為，最大值為D．的最小正周期為，最大值為【答案】B【解析】【分析】首先利用余弦的倍角公式，對函數(shù)解析式進行化簡，將解析式化簡為，之后應(yīng)用余弦型函數(shù)的性質(zhì)得到相關(guān)的量，從而得到正確選項.【詳解】根據(jù)題意有，所以函數(shù)的最小正周期為，且最大值為，故選B.1、若tanα＝eq\f(1,3)，tan(α＋β)＝eq\f(1,2)，則tanβ＝.【答案】eq\f(1,7)【解析】tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝eq\f(tanα＋β－tanα,1＋tanα＋βtanα)＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq\f(1,7).2、已知銳角α，β滿足sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，則α＋β等于()A.eq\f(3π,4) B.eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)C.eq\f(π,4) D．2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)【答案】C【解析】由sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，且α，β為銳角，可知cosα＝eq\f(2\r(5),5)，sinβ＝eq\f(\r(10),10)，故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f(2\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2)，3、已知，，則的值為_______．【答案】3【解析】．4、設(shè)為銳角，若，則的值為．【答案】【解析】因為為銳角，cos(=，∴sin(=，∴sin2(cos2(，所以sin(5、（2022年福建詔安縣模擬試卷）已知，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，則，所以，，所以，.故選：B.考向一變角的運用例1、已知α為銳角，若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12)))的值．【解析】設(shè)β＝α＋eq\f(π,6)，則β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，所以sinβ＝eq\f(3,5)，sin2β＝2sinβcosβ＝eq\f(24,25)，cos2β＝2cos2β－1＝eq\f(7,25)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)－\f(π,4)))＝sin（2β－eq\f(π,4)）＝sin2βcoseq\f(π,4)－cos2βsineq\f(π,4)＝eq\f(17\r(2),50).變式1、（1）（2022·江蘇·南京外國語學(xué)校模擬預(yù)測）已知，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故選：C.（2）（2022·廣東湛江·二模）若，，則___________.【答案】【解析】因為，，所以，故答案為：變式2、（1）（2021·山東煙臺市·高三二模）已知，，則的值為______．【答案】【解析】，而，∴，∴.故答案為：.（2）已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(24,25)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________.【答案】－eq\f(4,5)【解析】由題意知，α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)＜0，所以cos(α＋β)＝eq\f(4,5)，因為β－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝－eq\f(7,25)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（α＋β）－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))))＝cos(α＋β)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝－eq\f(4,5).方法總結(jié)：所謂邊角就是用已知角表示所求的角，要重點把握住它們之間的關(guān)系，然后運用有關(guān)公式進行求解?？枷蚨蠼抢?、已知銳角α，β滿足sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，求α＋β的值．【解析】因為α，β為銳角，且sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－\f(1,5))＝eq\f(2\r(5),5)，sinβ＝eq\r(1－cos2β)＝eq\r(1－\f(9,10))＝eq\f(\r(10),10)，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f(2\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2).由0＜α＜eq\f(π,2)，0＜β＜eq\f(π,2)，得0＜α＋β＜π.又cos(α＋β)＞0，所以α＋β為銳角，所以α＋β＝eq\f(π,4).變式1、已知α，β為銳角，且sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(\r(10),10)，求α－β的值．【解析】因為α，β為銳角，所以由sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(\r(10),10)，得cosα＝eq\f(2\r(5),5)，sinβ＝eq\f(3\r(10),10)，所以α＜β，所以－eq\f(π,2)＜α－β＜0，所以cos(α－β)＝eq\f(2\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＋eq\f(\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2)，故α－β＝－eq\f(π,4).變式2、若sin2α＝eq\f(\r(5),5)，sin(β－α)＝eq\f(\r(10),10)，且α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))，β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，則α＋β的值為__________．【答案】eq\f(7π,4)【解析】因為α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))，所以2α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，2π)).又sin2α＝eq\f(\r(5),5)，所以2α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，則α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，故cos2α＝－eq\f(2\r(5),5).又β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，所以β－α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,4)))，故cos(β－α)＝－eq\f(3\r(10),10)，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2α·cos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－eq\f(2\r(5),5)×（－eq\f(3\r(10),10)）－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2).又α＋β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，2π))，故α＋β＝eq\f(7π,4).變式3、（1）（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知且，則=（）A． B．C． D．或【答案】C【解析】因，則，，因，，則，又，有，于是得，因此，，所以.故選：C（2）（2022·河北張家口·高三期末）已知，，則（）A． B． C． D．【答案】BD【解析】，故，所以或，故或.又，所以或，故選：BD.方法總結(jié)：求角的步棸：1、求角的某一個三角函數(shù)值，（結(jié)合具體情況確定是正弦、余弦還是正切）2、確定角的范圍（范圍盡量縮小）3、根據(jù)范圍和值確定角的大小?？枷蛉降木C合運用例3、已知函數(shù)f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).(1)當(dāng)a＝eq\r(2)，θ＝eq\f(π,4)時，求f(x)在區(qū)間[0，π]上的最大值與最小值；(2)若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．【解析】(1)由題意，得f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋eq\r(2)cos（x＋eq\f(π,2)）＝eq\f(\r(2),2)(sinx＋cosx)－eq\r(2)sinx＝eq\f(\r(2),2)cosx－eq\f(\r(2),2)sinx＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)).因為x∈[0，π]，所以eq\f(π,4)－x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，\f(π,4)))，故f(x)在區(qū)間[0，π]上的最大值為eq\f(\r(2),2)，最小值為－1.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝0，,f(π)＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosθ(1－2asinθ)＝0，,2asin2θ－sinθ－a＝1.))由θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))知cosθ≠0，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,θ＝－\f(π,6)．))變式1、(1)函數(shù)f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx的最大值為；【答案】1【解析】因為f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx＝sinxcosφ－cosxsinφ＝sin(x－φ)，且－1≤sin(x－φ)≤1，所以f(x)的最大值為1.(2)函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(